历年高考题——双曲线(完整资料).doc

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高考数学解答题双曲线的标准方程 Word版含答案

1.双曲线的标准方程一．知识梳理1.定义：平面内与两定点1F 、2F 的距离的差的绝对值是常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点1F 、2F 叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．注：若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。

设()y x M ,为双曲线上的任意一点,若M 点在双曲线右支上,则()02,2121>=->a a MF MF MF MF ；若M 在双曲线的左支上,则a MF MF MF MF 2,2121-=-<；因此得a MF MF 221±=-.2.标准方程：焦点在x 轴上:()0,12222>>=-b a by a x焦点在y 轴上:()0,12222>>=-b a bx a y .可以看出,如果2x 项的系数是正的,那么焦点就在x 轴上；如果2y 项的系数是正的,那么焦点就在y 轴上.3.标准方程中的c b a ,,三个量满足222b a c +=4.方程()0122<=+mn ny mx 表示的曲线为双曲线,它包含焦点在x 轴上或在y 轴上两种情形.若将方程变形为11122=+n y m x ,则当0>m ，0<n 时,方程为11122=--ny m x ，它表示焦点在x 轴上的双曲线,此时nb m a 1,1-==；当0,0><n m 时,方程为11122=--mx n y ,它表示焦点在y 轴上的双曲线,此时mb n a 1,1-==。

因此,在求双曲线的标准方程时,若焦点的位置不确定,则常考虑上述设法. 三．例题分析题型1 双曲线的定义及应用例1.双曲线11442522=-y x 上一点P 到右焦点的距离是5,则下列结论正确的是（） A.P 到左焦点的距离为8 B.P 到左焦点的距离为15 C.P 到左焦点的距离不确定 D.这样的P 点不存在习题1.双曲线116922=-y x 上一点P 到左焦点1F 的距离101=PF ,求P 点到右焦点2F 的距离2PF .习题24表示的曲线方程为（） A ．24x －25y ＝1(x ≤－2)B ．24x －25y ＝1(x ≥2)C ．24y －25x ＝1(y ≤－2)D ．24y －25x ＝1(y ≥2)题型2.求双曲线方程例2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程: （1）4=a ，经过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3104,1A ；（2）经过点()24,3-、⎪⎭⎫ ⎝⎛5,49；（3）与双曲线141622=-y x 有相同的焦点，且经过点)2,23(.题型3.判断曲线类型例3.（1）．“m>2”是“方程22121x y m m -=--表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2）．设()0,2πθ∈，则“方程22134sin x y θ+=表示双曲线”的必要不充分条件为（）A ．()0,πθ∈B ．2,23πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ C ．3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．π3π,22θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）．已知方程22134x y m m +=+-表示双曲线，则m 的取值范围是______．（4）．若方程22131x y m m-=+-表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为____________．解析：（1）方程22121x y m m -=--表示双曲线等价于()()210m m --<，即1m <或m>2，故“m>2”是“方程22121x y m m -=--表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A （2）由()0,2θ∈π，方程22134sin x y θ+=表示双曲线，则sin 0θ<，所以(),2θ∈ππ，根据选项，“方程22134sin x y θ+=表示双曲线”的必要不充分条件为B. 故选：B.（3）若方程22134x y m m +=+-表示在x 轴上的双曲线，则3040m m +>⎧⎨-<⎩，解得34-<<m ；若方程22134x y m m +=+-表示在y 轴上的双曲线，则3040m m +<⎧⎨->⎩，此时m ∈∅.综上所述，34-<<m . 故答案为：()3,4-.（4）因为方程22131x y m m -=+-表示焦点在x 轴上的双曲线，所以有3010m m +>⎧⎨->⎩，解得31m -<<，所以实数m 的取值范围为(3,1)-，故答案为：(3,1)-题型4 双曲线的轨迹例4.在△ABC 中，()6,0B -，()6,0C ，直线AB 、AC 的斜率乘积为94，求顶点A 的轨迹.例5.（1）已知两圆()()22221249,49C x y C x y ++=-+=：：，动圆C 与圆1C 外切，且和圆2C 内切，则动圆C 的圆心C 的轨迹方程为（） A ．()221379y x x -=≥B ．22197y x -=C ．22179x y -=D ．()221397x x y -=≥（2）已知动圆M 与圆1:C ()2242x y ++=外切，与圆2C ：()2242x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（） A ．()2212214x y x -=≥ B ．()2212214x y x -=≤-C ．()2212214x y x +=≥D ．221214x y -=解析：（1）如图，设动圆C 的半径为R ，则13CC R =+，23CC R =-，则121268CC CC C C -=<=，所以动圆圆心C 的轨迹是以1C ，2C 为焦点，以6为实轴长的双曲线的右支.因为26,28a c ==，所以2223,4,7a c b c a ===-=.故动圆圆心C 的轨迹方程为()221397x x y -=≥. 故选：D.（2）如图，由题意得：MB MA =，圆1:C ()2242x y ++=与圆2C ：()2242x y -+=的半径2，即122BC AC =()121212MC MC MB BC MA AC MB BC MA AC -=+--=+-+1212228BC AC C C =+==，故点M 的轨迹为以12,C C 为焦点的双曲线的右支，其中222a =28c =，故2a =4c =，则22216214b c a =-=-=，所以轨迹方程为(2212214x y x -=≥,故选：A题型5.双曲线的最值问题例 6.(1).P 为双曲线11522=-y x 右支上一点，N M ,分别是圆()44:221=++y x C 和圆()14:222=+-y x C 上的点，则||||PN PM -的最大值为______.。

高考数学专题复习：双曲线(含解析)

高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。

修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。

2.理解数形结合的思想。

3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。

一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。

点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。

2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。

点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。

双曲线的通径为 $2a$。

3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。

双曲线高考题

第八章圆锥曲线方程——双曲线【考试要求】（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．【考题】1、（全国Ⅰ卷文8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C上，∠1F P 2F =060，则12||||PF PF =（）A ．2B ．4C ． 6D ． 82、（全国Ⅰ新卷文5）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为（）A B C ．2 D ．23、（天津卷理5）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为（）A ．22136108x y -=B ．221927x y -=C ．22110836x y -= D ．221279x y -=4、（安徽卷理5）双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（）A ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．)5、（福建卷理7）若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(a>0)axy -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅的取值范围为（）A ．)+∞B ．[3)++∞C ．7[-,)4+∞D ．7[,)4+∞6、（浙江卷理8）设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF FF =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．340x y ±=B ．350x y ±=C ．430x y ±=D ．540x y ±=7、（辽宁卷理9文9）设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A B C ．12 D ．128、（全国Ⅰ卷理9）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为（）A ．B C ． D ．9、（浙江卷文10）设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线2222x y 1a b-=（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F =60°，∣OP ∣7a ,则该双曲线的渐近线方程为（）A ．x±3B 3y=0C ．x±2y =0D 2x ±y=010、（全国Ⅰ新卷理12）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为（）A ． 22136x y -=B ． 22145x y -=C ．22163x y -=D ． 22154x y -=11、（江苏卷6）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线112422=-y x 上一点M ，点M的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是__________12、（北京卷理13文13）已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。

高考数学专题《双曲线》习题含答案解析

专题9.4 双曲线1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（）ABC ．2D【答案】D 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，易知by x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒==故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a == ，则2c a =，b =，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b ，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，那么双曲线的离心率是（）练基础A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20by a=，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可.【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =，因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e =故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D |AB ．则双曲线的离心率为（）A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）a =（）AB ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c = ，=，解得12a = ，故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，焦点到渐近线的，则C 的焦距等于（）．A.2B. C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】22221(0,0)x y a b a b -=>>F A OAF △O 221412x y -=221124x y -=2213x y -=2213y x -=由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.本题选择D选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)xC y mm-=>的一条渐近线为my+=，则C的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b的关系，再结合双曲线中22,a b对应关系，联立求解m，再由关系式求得c，即可求解.【详解】my+=化简得y=，即ba，同时平方得2223ba m=，又双曲线中22,1a m b==，故231m m=，解得3,0m m==（舍去），2223142c a b c=+=+=⇒=，故焦距24c=.故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yx bb-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y=.【解析】由已知得222431b-=，解得b=或b=，因为0b>，所以b=.因为1a=，所以双曲线的渐近线方程为y=.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C：22221x ya b-= (a>0，b>0)的一条渐近线为y= 2222tan60cc a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩221,3a b==2213yx-=x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===1.（2018·全国高考真题（理））设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若则的离心率为( )ABC ．D【答案】B 【解析】由题可知在中，在中,故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心1F 2F 2222:1x y C a b-=O 2F C P 1PF =C222,PF b OF c==PO a∴=2Rt POF V 222cos P O PF b F OF c∠==12PF F △22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==223bc a c=⇒=e ∴=练提升率为（）A B ．C D 【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ V 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即c e a ==.故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．C D 【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴=所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=.故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213xy -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)P x ，根据圆的性质有120F P F P ⋅= ，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可.【详解】由题设，渐近线为y =，可令00(,)P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)F P x x =+ ，200(2,)F P x =- ，又220120403x F P F P x ⋅=-+= ，∴0x =故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（）A ．B ．55(,)32C ．55(,42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1，所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e <<故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D ．若M 为直线2a x c=（c =0的一点，则当M 的纵坐标为2MAF V 外接圆的面积最小【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确；由正弦定理得到2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确；对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,FF F P FP 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ，当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确；对于D 中，由正弦定理，可知2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=，在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=，又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=≤-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（）A ．点P 的轨迹是椭圆B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN V 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN V 的面积6PMN S =V 【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项.【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =，当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩，所以132PMN S PM PN ==△，故C 对；选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩，所以162PMN S PM MN ==△，故D 对，故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案.【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯= ．当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=．故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案；【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||AC =，1(||||)2a AC BC =-=，1=c e a ．1+1. （2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）ABCD【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e =故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y=|OP |=（）ABCD【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =练真题由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==．故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c == ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=，故选A ．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（）A B C ．D ．【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====．,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y x =上，1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ．5. （2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =g ，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==，所以该双曲线的离心率为2c e a ====．。

历年高考题——双曲线

历年高考题——双曲线1.[2013 ·全国Ⅰ ] 已知双曲线C :x2y2 1(a 0,b 0) 的离心率为5，则 C的渐近a2 b2 2线方程为.2.[2013 ·广东 ]已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F (3,0)，离心率为3，则C的方2程是.3.[2014 ·全国 ] 已知双曲线 C 的离心率为2，焦点为F1, F2，点A在C上. 若F1A 2F2A ，则 cos AF2 F1 .4.[2014 ·天津 ] 双曲线x2y2 1(a 0, b 0) 的一条渐近线平行于直线l : y 2x 10 ，a2 b2双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程是.5.[2014 ·北京 ] 设双曲线C经过点(2,2)，且与y2x2 1 拥有同样的渐近线，则 C 的方4程为.6.[2014 ·全国Ⅰ ] 已知 F 为双曲线C : x2 my2 3m(m 0) 的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为.7.[2014 ·广东 ]若实数k知足0 k 9 ，则曲线x2y2 1与曲线x2 y2 1 25 9 k 25 k 9的相等 . （ A. 焦距 B. 实半轴长 C. 虚半轴长 D. 离心率）8.[2014 ·山东 ] 已知 a b 0 ，椭圆C1 : x2 y a2 b3的离心率之积为，则 C2的渐近线方程为2 21，双曲线 C2x2 y22 : 2b2 1，C1与C2a.x2 y21(a 0, b 0) 的左、右焦点，双曲线上存9.[2014 ·重庆 ] F1, F2分别是双曲线b2a2在一点 P ，使得 PF1 PF2 3b ， PF1 PF2 9ab ，则该双曲线的离心率为. 410.[2014 ·浙江 ] 设直线 x 3y m 0( m 0) 与双曲线x2y 2 1( a 0, b 0) 的两条a 2 b2渐近线分别交于点A, B .若点 P(m,0) 知足PA PB ，则该双曲线的离心率为.11.[2015 ·广东 ] 已知双曲线 C : x2y 2 1 的离心率 e 5 ，且其右焦点为F2 (5,0) ，则a2 b2 4双曲线的方程为.12.[2015 ·全国Ⅱ ]已知A, B为双曲线E 的左、右极点，点M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为120 ，则 E 的离心率为.13.[2015x2 y 2F1, F2，点P在双曲线E上，·福建 ] 若双曲线E : 1 的左、右焦点分别为9 16且 PF1 3 ，则 PF2 .14.[2015 ·北京 ] 已知双曲线x2y2 1(a 0) 的一条渐近线为3x y 0 ，则a2 b2a .15.[2015 ·湖南 ] 设F是双曲线C :x2y21的一个焦点 . 若C上存在一点P，使线段a2 b2PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 C 的离心率为.是双曲线 E : x 2y216.[2016 ·全国Ⅱ ] 已知 F1, F2 2 2 1的左、右焦点，点M在E上，MF1a b与 x 轴垂直，sin1，则 E 的离心率为. MF2 F132:x 217.[2016 ·浙江 ] 已知椭圆 C 1 : x2 y21(m 1) 与双曲线 C 2 2y 2 1(n 0) 的焦点mn重合， e 1 ,e 2 分别为 C 1, C 2 的离心率，则 m __ n,e 1e 2 __ 1 . （填“ >”或“ <”）18.[2016 ·山东 ] 已知双曲线 E :x 2y 222 1(a 0,b 0) . 若矩形 ABCD 的四个极点在 E ab上， AB, CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2 AB 3 BC ，则 E 的离心率为.19.[2016 ·北京 ] 双曲线x2y 21(a 0, b 0) 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OCa 2b 2所在的直线，点B 为该双曲线的焦点 . 若正方形 OABC 的变为为 2，则 a.20.[2016 ·天津 ]已知双曲线x 2y 2 1( a 0, b0) 的焦距为 2 5 ，且双曲线的一条渐a 2b 2近线与直线 2xy 0 垂直，则双曲线的方程为.。

双曲线历年高考真题100题解析版

高考真题一、单选题A ．221913x y -=B ．221139x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=【答案】D 【解析】试题分析：依题意有222{3bac c a b ===+，解得1,a b ==2213y x -=.考点：双曲线的概念与性质． A ．2 B ．C ．D ．1【答案】D 【解析】试题分析：由离心率e =ca 可得:e 2=a 2+3a2=22，解得：a =1．考点：复数的运算 A ．B ．3C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，双曲线C 的标准方程为x 23m −y 23=1．则c 2=3m +3，c =√3m +3，设一个焦点F(√3m +3,0)，一条渐近线l 的方程为y =√3√3m=√m，即x −√my =0，所以焦点F 到渐近线l 的距离为d =√3m+3√m+1=√3，选A ．【考点定位】1、双曲线的标准方程和简单几何性质；2、点到直线的距离公式．A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】2=，所以，b a ，双曲线的渐近线方程为y x =，即0x ±=，选A. 考点：椭圆、双曲线的几何性质. A ．B ．C ．D ．3【答案】B 【解析】试题分析：因为P 是双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点，所以||PF 1|−|PF 2||=2a ，又|PF 1|+|PF 2|=3b所以，(|PF 1|+|PF 2|)2−(|PF 1|−|PF 2|)2=9b 2−4a 2，所以4|PF 1|⋅|PF 2|=9b 2−4a 2 又因为|PF 1|⋅|PF 2|=94ab ，所以有，9ab =9b 2−4a 2，即9(ba )2−9(ba )−4=0 解得：ba =−13（舍去），或ba =43；所以e 2=c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+(b a )2=1+(43)2=259，所以e =53故选B.考点：1、双曲线的定义和标准方程；2、双曲线的简单几何性质. A ．(1,3) B ．(]1,3C ．(3,+∞)D ．[)3,+∞ 【答案】B 【详解】可用三角形的两边和大于第三边，及两边差小于第三边，但要注意前者可以取到等号成立，因为可以三点一线．也可用焦半径公式确定a 与c 的关系．A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意,所以，由双曲线的定义，有，∴．A．(√2，2)B．(√2，√5)C．(2，5)D．(2，√5)【答案】B【详解】由题意得，双曲线的离心率e2=(ca )2=a2+(a+1)2a2=1+(1+1a)2，因为1a 是减函数，所以当a>1时，0<1a<1，所以2<e2<5，所以√2<e<√5，故选B.考点：双曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质及其应用，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，函数的单调性及函数的最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算、转化与化归思想的应用，本题的解得中把双曲线的离心率转化为1a的函数，利用函数的单调性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档题.A ．3B ．C ．D ．【答案】C 【解析】可得双曲线的准线为21a x c =±=±,又因为椭圆焦点为(1=.即b 2=3故b=故C.A ．B ．2C ．3D ．6【答案】A 【解析】试题分析：先根据双曲线得到其渐近线的方程，再利用圆心到渐近线的距离等于半径，就可求出r 的值．22163x y -=的渐近线方程是2y =±20y ±=，又圆心是(3,0)，所以由点到直线的距离公式可得r =A ．考点：1、双曲线；2、双曲线的渐近线；3、直线与圆相切；4、点到直线的距离．A ．2 BC ．32D ．1【答案】D 【详解】由222123x y c b e a a 可知虚轴-=====，解得a=1，应选D. A ．B ．5C ．D ．【答案】D 【解析】由题意知:双曲线的一条渐近线为,由方程组2{1b y x a y x ==+,消去y,得210bx x a-+=有唯一解,所以△=2()40ba-=,所以2b a =,2c e a a ====故选D. 【考点定位】本小题考查双曲线与抛物线的基本知识,求离心率、直线与抛物线的位置关系等.A ．22124x y -=B ．22142-=x yC ．22146x y -= D ．221410x y -= 【答案】B 【解析】由2e =得222222331,1,222c b b a a a =+==，选B.A ．221090x y x +-+=B ．2210160x y x +-+=C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=【答案】A 【详解】圆心为(5,0)，渐近线方程为430x y ±=，所以半径为4545⨯=，所以圆的方程是22(5)16x y -+=，即221090x y x +-+=，选A.A ．B ．12C ．D ．24【答案】B 【解析】试题分析：由已知可得121212|:|3:2,26,4,PF PF PF PF PF PF =-=⇒==又22212121212||||F F PF PF F F PF F =+=⇒∆是直角三角形146122S =⨯⨯=,故选B ．考点：双曲线标准方程及其性质． A．2B．2CD【答案】B 【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000[()]1a PF e x a ex c =--=+=+，22000[)]1aPF e x ex a c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||2PF PF F F PF PF +-，即cos60222=，解得2052x =，所以2200312y x =-=，故P 到x轴的距离为0y =.A ．√2B ．√3C ．√3+12D ．√5+12【答案】D 【解析】试题分析：设该双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0），得点B （0，b ），焦点为F （c ，0），直线FB 的斜率为−bc 由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a 、b 、c 的等式，变形整理为关于离心率e 的方程，解之即可得到该双曲线的离心率；设该双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0），可得它的渐近线方程为y =±ba x ，焦点为F （c ，0），点B （0，b ）是虚轴的一个端点，∴直线FB 的斜率为k FB =0−b c−0=−b c ，∵直线FB 与直线y =ba x 互相垂直，∴−bc ×ba =−1，∴b 2=ac,∵b 2=c 2−a 2，∴c 2−a 2=ac ，∴e 2−e −1=0,∴e =1±√52∵双曲线的离心率e ＞1，∴e=√5+12,故选：D考点：双曲线的简单性质A ．By=0 C ．="0" D±y=0【答案】D 【解析】不妨设12(,0),(,0)F c F c -，则11221222OF F P OF F P F P F POP ++++==因为1260F PF ∠=，所以121212cos602F P F PF P F P F P F P ⋅⋅=⋅=，22212121212||||1cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅ 所以2221212||4PF PF PF PF c +=⋅+ 因为P 在双曲线上，所以122PF PF a -=则2222212121212()||244PF PF PF PF PF PF c PF PF a -=+-⋅=-⋅= 所以221244PF PF c a ⋅=-，故122212222F P F PF P F P c a ⋅⋅==-222221212||484PF PF PF PF c c a +=⋅+=-因为OP =，所以1272F P F POP +==故22121212||274F P F P F P F Pa ++⋅=，即222327ca a -=故22237b a a +=，解得b =所以双曲线的渐近线方程为0x a =0y ±=，故选DA ．3B ．3C ．D ．【答案】A 【详解】由点P 到双曲线右焦点的距离是2知P 在双曲线右支上．又由双曲线的第二定义知点P 到双曲线，双曲线的右准线方程是3x =，故点P 到y 轴的距离是3．A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m >【答案】C 【解析】试题分析：由题可知1a =，b =c =ce a==>1m >，故选C ．考点：双曲线的离心率．A ．12B ．2C ．1 D【答案】B 【解析】由于对称性，我们不妨取顶点(1,0)A ，取渐近线为0x y -=，所以由点到直线的距离公式可得d ==450得到. 【考点定位】本题考查了双曲线的渐近线及点到直线的距离公式，如果能画图可简化计算，属于简单题.A ．22182x y +=B ．221126x y +=C ．221164x y +=D ．221205x y +=【答案】D 【详解】由题意，双曲线221x y -=的渐近线方程为y x =±，∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上，∴22441a b +=，∵e =∴22234a b a -=，∴224b a =， ∴22205a b ==，∴椭圆方程为：221205x y +=.故选D.考点：椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质. A ．12或32B ．23或2 C ．12或2 D ．23或32【答案】A 【分析】设1122432PF t F F t PF t ===，，，讨论两种情况，分别利用椭圆与双曲线的定义求出,a c 的值，再利用离心率公式可得结果. 【详解】因为1122::PF F F PF 4:3:2=，所以可设1122432PF t F F t PF t ===，，，若曲线为椭圆则123262a PF PF t c t =+==，，则12c e a ==；若曲线为双曲线则，324222a t t t a t c t ，，=-===，∴32c e a ==，故选A . 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率以及双曲线的定义及离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解． A ．2B ．C ．4D ．【答案】C 【解析】2228x y -=可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C.A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【分析】先根据双曲线()222109x y a a -=>求出渐近线方程，再与320x y ±=比较即可求出a 的值．【详解】由双曲线的几何性质可得，双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为3y x a=±，又因为渐近线方程为320x y ±=，即32y x =±，故2a =，选C ．【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属基础题．ABC ．2D ．3【答案】B 【分析】先设2(,),0aP t t c>，由两直线垂直，结合直线的斜率公式可得221tta a c c c c⋅=-+-，再结合三角形的面积公式可得24ct ab =，然后由双曲线离心率的求法求解即可. 【详解】解: 由P 是准线上一点，设2(,),0a P t t c>,又1(,0)F c -，2(,0)F c ,由12PF PF ⊥,可得221tt aa cc cc⋅=-+-,解得t =因为12·4PF PF ab =, 由三角形的面积公式有24ct ab =,2a =, 即223c a =,即==ce a, 故选:B. 【点睛】本题考查了直线的斜率公式及三角形的面积公式，重点考查了双曲线离心率的求法，属中档题.A.ab B ．22b a + C ．a D ．b 【答案】B 【解析】略A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．D ．【解析】试题分析：由已知得2,2,bb a a=∴=在方程210y x =+中令0y =，得2222225,5,525,5,20,x c c a b a a b =-∴=-∴=+====∴所求双曲线的方程为221520x y -=，故选A ．考点：1．双曲线的几何性质；2．双曲线方程的求法． A ．（0，）B ．（1，）C ．（，1）D ．（，+∞）【答案】B 【解析】试题分析：求出渐近线方程及准线方程；求得它们的交点A ，B 的坐标；利用圆内的点到圆心距离小于半径，列出参数a ，b ，c 满足的不等式，求出离心率的范围．解：渐近线y=±x ．准线x=±，求得A （）．B （），左焦点为在以AB 为直径的圆内，得出，，b ＜a ，c 2＜2a 2 ∴，故选B ．点评：本题考查双曲线的准线、渐近线方程形式、考查园内的点满足的不等条件、注意双曲线离心率本身要大于1． A ．2B ．2C ．4D ．4【答案】B试题分析：根据题意，点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，由双曲线的性质，可得b=1；则c=，则焦距为2c=2；故选B．点评：本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论．A．B．C．D．【答案】A【解析】由双曲线的基本性质对称轴是坐标轴，这时只须考虑双曲线的焦点在x轴的情形．因为有且只有一对相较于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，所以直线A1B1和A2B2，关于x轴对称，并且直线A1B1和A2B2，与x轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x轴的夹角大于30°且小于等于60°，否则不满足题意．可得，即，，所以e＞．同样地，当，即，所以e≤2．所以双曲线的离心率的范围是．故选A．A ．a 2=B ．a 2=3C ．b 2=D ．b 2=2【答案】C 【解析】由题意，C 2的焦点为（±，0），一条渐近线方程为y=2x ，根据对称性易知AB 为圆的直径且AB=2a∴C 1的半焦距c=，于是得a 2﹣b 2=5 ①设C 1与y=2x 在第一象限的交点的坐标为（x ，2x ），代入C 1的方程得：②，由对称性知直线y=2x 被C 1截得的弦长=2x ，由题得：2x=，所以③由②③得a 2=11b 2④ 由①④得a 2=5.5，b 2=0.5 故选CA ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】D 【解析】双曲线的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，焦距2，离心率，双曲线的实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，焦距2tanθ，离心率，故它们的离心率相同．故选D ．A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C 【详解】c e a ===2214b a =，即12b a =，故渐近线方程为12b y x x a =±=±.本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.A ．y=±2xB ．y=C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】B 【解析】双曲线的离心率为a=渐进性方程为b y x a =±，计算得b a =故渐进性方程为y =. 【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质. A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由于对称性，我们不妨取顶点(2,0)A ，取渐近线为20x y -=，所以由点到直线的距离公式可得5d ==【考点定位】本题考查了双曲线的渐近线及点到直线的距离公式，属于简单题．A BC ．2D ．3【答案】B 【详解】通径|AB|=2222b a a =⋅得2222222222233b a c a a c aa c e =⇒-===⇒⇒⇒= BA ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22136x y -=D ．22163x y -=【答案】A试题分析：双曲线的渐近线为b y x a=，所以0bx ay -=，22650x y x +-+=变形为()2234x y -+=，所以圆心为()3,0,2r =()222222329435,4b c c a c c a b =∴=∴-==∴==，所以双曲线方程为22154x y -=考点：双曲线方程及性质 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】由已知，取顶点，渐近线，则顶点到渐近线的距离为，解得.A ．B ．2C D ．1【答案】A 【解析】试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为b ，所以距离为b =考点：双曲线与渐近线． A ．B ．C ．D ．【答案】A试题分析：由题意，得c=√5,ba =12，又a2+b2=c2，所以a=2,b=1，所以双曲线的方程为x24−y21=1，选A.【考点】双曲线【名师点睛】求双曲线的标准方程的关注点：（1）确定双曲线的标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）．②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【答案】C【解析】试题分析：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选C．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．A B．54C．43D．53【答案】D 【解析】因为双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），2225349163c b a c a a e a ∴=∴-=∴==，（），．故选D.考点：双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的可设为2222(0)x y a bλλ-=≠；（2）若渐近线方程为b y x a =±，则可设为2222(0)x y a bλλ-=≠；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b ；（4） 22221(0.0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为b a ==可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D 【解析】依题意，，，因为，由于，，，所以当时，，，，，所以12e e <；当时，，，而，所以，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >．考点：双曲线的性质，离心率．A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -【答案】C 【解析】试题分析：焦点在y 轴上的是C 和D ，渐近线方程为ay x b=±，故选C ．考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．A B ．2C D【答案】D 【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，，过点M 作MN x⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以2e =，故选D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．A ．2 B．C ．4D．【答案】C 【解析】试题分析：设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．考点：双曲线的方程与几何性质 A ．14B ．13C．4D．3【答案】A 【解析】试题分析：由已知设21,2,F A m F A m ==则由定义得12122,2,4,2.F A F A a m a F A a F A a -=∴===122,24.ce F F c a a====在12AF F ∆中，由余弦定理得()()2222222121212124441cos 22244a a a AF F F AF AF F AF F F a a+-+-∠===⋅⨯⨯，故选A ．考点：1.双曲线的几何性质（焦点三角形问题）；2.余弦定理．A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=【答案】B 【解析】由题意得224,14,188x y a b c a b c ==-⇒===-=- ，选B. 【考点】双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程，解方程组求出,a b ，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，（2）与22221x y a b-=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.A ．13B ．1 2C ．2 3D ．32【答案】D 【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3=±y ，所以||3PF =，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ．点睛:本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得(2,0)F ，结合PF 与x 轴垂直，可得||3PF =，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．得的弦长为2，则C 的离心率为（） A ．2 BCD【答案】A 【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d ==，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c===即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ．点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．A ．223=144x y -B ．224=143x y -C ．22=144x y -D ．22=1412x y -【答案】D 【解析】试题分析：根据对称性，不妨设(,)A x y 在第一象限，则，∴221612422b b xy b b =⋅=⇒=+，故双曲线的方程为221412x y -=，故选D. 【考点】双曲线的渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程时注意：（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论． ①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax 2＋By 2＝1（AB ＜0）．②若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ（λ≠0）．A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y x = 【答案】A 【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：2222221312,c b c a b e e a a a a-==∴==-=-=∴=因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，选A. 点睛：已知双曲线方程22221(,0)x y a b a b-=>求渐近线方程：22220x y by x a b a -=⇒=±.A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B 【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得3(,2M N ，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为(2,0)F ，从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y =和y x =联立，求得3(,2M N，所以3MN==，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线MN的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.A．22139x y-=B．22193x y-=C．221412x y-=D．221124x y-=【答案】A【详解】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后利用离心率求解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为(),0F c（c>0），则A Bx x c==，由22221c ya b-=可得：2bya=±，不妨设：22,,,b bA cB ca a⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay-=，据此可得：21bc bdc-==，22bc bdc+==，则12226bcd d bc+===，则23,9b b==，双曲线的离心率：2cea====，据此可得：23a=，则双曲线的方程为22139x y-=.本题选择A选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可.A ．(√2,+∞)B ．(√2,2)C ．(1,√2)D ．(1,2)【答案】C 【解析】 c 2=a 2+1，e 2=c 2a2=a 2+1a 2=1+1a 2，∵a >1，∴0<1a 2<1 ，1<e 2<2 ，则0<e <√2，选C.A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=【答案】D 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan 603c c a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==，双曲线方程为：2213y x -=. 本题选择D 选项.【考点】双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程，解方程组求出,a b ，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，（2）与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.A ．221412x y -=B ．22179x y -=C ．22188x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【详解】可得渐近线方程为，将x=a 代入求得．由条件知，半焦距,所以由得，．又因,所以解得，．双曲线C 的方程为221412x y -=故选A ．A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =1【答案】A 【详解】由题意得，双曲线的焦距为10，即22225a b c +==，又双曲线的渐近线方程为by x a=0bx ay ⇒-=，点1(2)P ，在C 的渐近线上，所以2a b =，联立方程组可得，所以双曲线的方程为22=1205x y -．考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质．A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(⋃D ．(,(2,)-∞+∞【答案】A 【详解】由题意,根据双曲线的对称性知D 在x 轴上，设,0)Dx （，则由 BD AB ⊥得：，因为D 到直线BC 的距离小于a，即01b a<<，所以双曲线渐近线斜率1,0)(0,1)bk a =±∈-⋃（，故选A ．A ．2B ．C ．4D ．【答案】C 【解析】试题分析：双曲线方程变形为22148x y -=，所以28b b =∴=2b =考点：双曲线方程及性质A．3 B．2 CD【答案】B【详解】M N，是双曲线的两顶点，M O N，，将椭圆长轴四等分∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故答案选BA．14B．35C．34D．45【答案】C【解析】由x2-y2=2知,a2=2,b2=2,c2=a2+b2=4,∴,c=2.又∵|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2|PF2|,∴|PF1,|PF2.又∵|F1F2|=2c=4,∴由余弦定理得cos∠F1PF22224+-34. 故选C.二、填空题【答案】，.【解析】由题意得：，，，∴焦距为，渐近线方程为.考点：双曲线的标准方程及其性质【答案】【解析】因为的方程为，所以的一条渐近线的斜率，所以的一条渐近线的斜率，因为双曲线、的顶点重合，即焦点都在轴上，设的方程为，所以，所以的方程为.考点：双曲线的性质，直线的斜率.【答案】y x = 【解析】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，即2C 的渐近线方程为y x = 考点：双曲线渐近线【答案】22x y 1412-=【解析】解：由已知得，22,4221412b c c e a a a x y==∴===∴=∴-=双曲线的方程为【答案】16 【分析】根据双曲线的焦点坐标，判断出双曲线焦点所在的坐标轴，再根据222c a b =+列方程，求得m 的值. 【详解】双曲线的焦点坐标为()0,5F ，故焦点在y 轴上，由222c a b =+得259,16m m =+=. 【点睛】本小题主要考查根据双曲线的焦点坐标求双曲线的方程，属于基础题.【答案】44 【详解】由题意因为PQ 过双曲线的右焦点(5，0)，所以P ，Q 都在双曲线的右支上，则有6,6FP PA PQ QA -=-=，两式相加，利用双曲线的定义得28FP FQ +=，所以△PQF 的周长为284FP FQ PQ b ++=+=28＋16＝44. 故答案为44.【答案】1) 【详解】因为在12PF F ∆中，由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，则由已知，得21a c PF PF =，即12aPF cPF =，12c PF PF a=, 由双曲线的定义知212222222c a PF PF a PF PF a PF a c a-=-=⇒=-,，由双曲线的几何性质知22222,20,a PF c a c a c ac a c a>->-⇒--<-所以2210,e e --<解得11e <<，又1()e ∈+∞,，故双曲线的离心率1)e ∈【答案】2【解析】设(,),(1)P x y x ≥，因为直线10x y -+=平行于渐近线0x y -=，所以点到直线的距离恒大于直线10x y -+=与渐近线0x y -=之间距离，因此c 的最大值为直线10x y -+=与渐近线0x y -=之间距离，为2.2=考点：双曲线渐近线，恒成立转化【答案】【分析】根据题意，根据1,,P A F 三点共线，求出直线1AF 的方程，联立双曲线方程，即可求得P 点坐标，则由11APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-即可容易求得.【详解】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，12PF a PF =+，∴△APF 的周长为|P A|+|PF|+|AF|=|P A|+12a PF ++|AF|=|P A|+1PF +|AF|+2a ，由于2||a AF +是定值，要使△APF 的周长最小，则|P A|+1PF 最小，即P 、A 、1F 共线，∵(A ，()13,0F -∴直线1AF的方程为13x +=-，即3x =-代入2218y x -=整理得2960y +-=，解得y =y =-舍)，所以P 点的纵坐标为∴11116622APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-⨯⨯⨯⨯=故答案为：【点睛】本题考查双曲线中三角形面积的求解，涉及双曲线的定义，属综合中档题.【答案】2+【详解】双曲线22221x y a b-=的右焦点为(,0)c .不妨设所作直线与双曲线的渐近线b y x a =平行，其方程为()b y x c a =-，代入22221x y a b -=求得点P 的横坐标为222a c x c+=，由2222a c ac +=，得2()410c c a a -+=，解之得2c a =+2c a =1ca>），故双曲线的离心率为2+考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程.【答案】2214x y -=【详解】依题意，设所求的双曲线的方程为224x y λ-=.点M 为该双曲线上的点，16124λ∴=-=.∴该双曲线的方程为：2244x y -=，即2214x y -=.故本题正确答案是2214x y -=.【答案】2y x =± 【解析】||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+= ，因为22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⇒⎨⎪=⎩，所以222A B pb y y p a a +==⇒=⇒渐近线方程为2y x =±. 【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为221Ax By +=的形式，当0A >，0B >，A B ≠时为椭圆，当0AB <时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．【答案】2 【解析】222222221,,13c a b a b m e m a a +=====+=，2m =.渐近线方程是y ==.P ，Q ，其焦点是F 1 ，F 2 ，则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是________．【答案】【解析】右准线方程为10x ==，渐近线方程为3y x =±，设(,1010P ，则Q ，1(F ，2F ，则S == 点睛:（1）已知双曲线方程22221x y a b -=求渐近线：22220x y b y x a b a-=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．【答案】48 【解析】根据双曲线方程2222y x a b -＝1知a 2＝16，b 2＝m ，并在双曲线中有a 2＋b 2＝c 2，∴离心率e ＝c a ＝2，22c a＝4＝1616m+，m ＝48.【答案】【解析】试题分析：222227,3,7310,2a b c a b c c ==∴=+=+=∴==【考点】双曲线性质【名师点睛】本题重点考查双曲线几何性质，而双曲线的几何性质与双曲线的标准方程息息相关，明确双曲线标准方程中各个量的对应关系是解题的关键，22221(0,0)x y a b a b-=>>揭示焦点在x 轴，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c =b y x a =±，离心率为c a =【解析】试题分析：根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线上，∴.考点：双曲线的标准方程及其性质.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用，焦点坐标，渐近线方程等性质，也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来. 【答案】11 【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b-=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =.【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =. 【名师点睛】1.已知双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>求渐近线：22220x y b y x a b a-=⇒=±.2.已知渐近线y mx =设双曲线的标准方程为222m x y λ-=.3.双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.【答案】3【解析】如图所示，由题意可得|OA|=a ，|AN|=|AM|=b ， ∵∠MAN=60°， ∴， ∴=设双曲线C 的一条渐近线y=bax 的倾斜角为θ，则tanθ=||||AP OP =．又tan θ=b a，b a =，解得a 2=3b 2，∴3==．答案：3点睛：求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c的方程或不等式，再根据222b c a=-和cea=转化为关于离心率e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）．【答案】12 y x =±【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】∵双曲线2214xy-=的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线22221x ya b-=的渐近线方程为y=±bxa∴双曲线2214xy-=的渐近线方程为y=±12x故答案为y=±1 2 x【点睛】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想【答案】4【详解】分析：根据离心率公式cea=，及双曲线中,,a b c的关系可联立方程组，进而求解参数a的值.。

高中数学关于双曲线的经典试题(含答案)

高中数学关于双曲线的经典试题（含答案）高中数学经典试题：已知双曲线C的中点在原点，焦点在x轴上，点P（-2，0）与其渐进线的距离为（根号10）／5，过P作斜率为1/6的直线交双曲线于A，B两点，交y轴于点M，且PM是PA与PB的等比中项．⑴求双曲线C的渐进线方程⑵求双曲线C的方程高中数学经典试题答案第一问设渐近线方程为y=kx，利用点到直线的距离，求出k=1/3，可求得渐近线方程为y=1/3x，第二问解答如下设：A(x1，y1)B（x2，y2）直线为y=(1/6)*(x+2)，与y轴相交，即x=0时y=1/3所以M(0，1/3)|PM|是|PA|与|PB|的等比中项，即|PA|：|PM|=|PM|：|PB|画个图可知他们是相似三角形所以有：|y1|：(1/3)=(1/3)：|y2|由于A、B必在x轴的两侧，所以y1，y2其中的一个必是负的因此上式整理为：1/9=-y1*y2再把直线和双曲线联立解方程组，要消x留y其中双曲线的a=3b得到一个关于y的一元二次方程过程我省略了，方程是：27y^2-24y+4-b^2=0则y1*y2=(4-b^2)/27课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。

为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。

要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。

可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。

这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。

这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。

因此b^2=5要练说，得练听。

听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。

我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。

高考数学十年真题专题解析—双曲线

双曲线年份题号考点考查内容2011理7双曲线直线与双曲线的位置关系，双曲线的几何性质2012理8文10双曲线抛物线与双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系2013卷1文理4双曲线双曲线的离心率和渐近线2014卷1理4双曲线双曲线的标准方程及其几何性质文4双曲线双曲线的离心率卷2理5双曲线双曲线的标准方程及其几何性质2015卷1文16双曲线双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系卷2理11双曲线双曲线的标准方程及其几何性质文15双曲线双曲线的标准方程的求法，双曲线的渐近线2016卷2理11双曲线双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算2017卷1理15双曲线双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法文5双曲线双曲线标准方程及其几何性质卷2理9圆、双曲线圆的几何性质，双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算文5双曲线双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算卷3理5双曲线双曲线与椭圆的几何性质，待定系数法求双曲线的方程文14双曲线双曲线的渐近线2018卷1理11双曲线双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系卷2理5文6双曲线双曲线的几何性质卷3理11双曲线双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法文10双曲线双曲线的离心率、渐近线，点到直线距离公式2019卷1理16双曲线双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法文10双曲线双曲线的离心率、渐近线卷2理11文12圆、双曲线直线与圆的位置关系，双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法卷3理10双曲线双曲线的定义、标准方程及其几何性质文10双曲线双曲线的定义、标准方程及其几何性质2020卷1理15双曲线双曲线的定义、标准方程及其几何性质，双曲线离心率的求法文11双曲线双曲线的定义、标准方程及其几何性质卷2理8文9双曲线双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系卷3理11双曲线双曲线的定义、标准方程及其几何性质文14双曲线双曲线的渐近线、离心率考点出现频率2021年预测考点92双曲线的定义及标准方程23次考2次命题角度：(1)双曲线的定义及应用；(2)双曲线的标准方程；(3)双曲线的几何性质．核心素养：直观想象、数学运算考点93双曲线的几何性质23次考21次考点94直线与双曲线的位置关系23次考5次考点92双曲线的定义及标准方程1．(2017新课标Ⅲ理)已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 【解析】由题意可得：52b a =，3c =，又222a b c +=，解得24a =，25b =，则C 的方程为2145x y 2-=，故选B ．2．(2017天津理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=【答案】B 【解析】设(,0)F c -，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由44PF k c c -==-，由题意有4b c a=，又ca=222c a b =+，得b =，a =B ．3．【2017天津文】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF△是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为()A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=【答案】D【解析】由题意可得2222tan 603c c a b ba ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=︒=⎩，解得221,3ab ==，故双曲线方程为2213y x -=，故选D ．4．(2016天津理)已知双曲线222=1(0)4x y b b->，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为()A ．22443=1y x -B ．22344=1y x -C ．2224=1x y b-D ．2224=11x y -【答案】D 【解析】不妨设A 在第一象限，(,)A x y ，所以2242x y by x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得224424x b y b ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，故四边形ABCD 的面积为22232442444bxy b b b b =⨯==+++，解得212b =．故所求的双曲线方程为2224=11x y -，故选D ．5．【2016天津文】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为()A ．1422=-y x B ．1422=-y x C ．15320322=-y x D ．12035322=-y x 【答案】A【解析】由题意得2215,2,11241b x yc a b a ==⇒==⇒-=，故选A ．6．(2015安徽理)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C 【解析】由题意，选项,A B 的焦点在x 轴，故排除,A B ，C 项的渐近线方程为2204y x -=，即2y x =±，故选C ．7．(2014天津理)已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．2233125100x y -=D ．2233110025x y -=【答案】A 【解析】依题意得22225b a c c a b ìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，双曲线的方程为221520x y -=．8．(2012湖南文理)已知双曲线C ：22x a -22y b =1的焦距为10，点P(2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =1【答案】A 【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==．又 C 的渐近线为b y x a =±，点P(2，1)在C 的渐近线上，12ba∴=，即2a b =．又222c a b =+，a ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1．9．(2011山东文理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆C ：22x y +-650x +=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22136x y -=D ．22163x y -=【答案】A 【解析】圆22:(3)4C x y -+=，3,c =而32bc=，则22,5b a ==，故选A ．10．(2016北京文)已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则a =_______；b =_____________．【答案】1,2a b ==．【解析】依题意有2c b a⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，结合222c a b =+，解得1,2a b ==．11．(2016北京理)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为正方形OABC 的边,OA OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a =______．2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线图象如图，∵OABC 为正方形，2=OA∴==c OB π4∠=AOB ，∵直线OA 是渐近线，方程为=b y x a ，∴tan 1=∠=bAOB a，又∵2228+==a b c ，∴2=a．12．(2015新课标1文)已知双曲线过点)3,4(，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为．【答案】2214x y -=【解析】∵双曲线的渐近线方程为x y 21±=，故可设双曲线的方程为22(0)4x y λλ-=>，又双曲线过点)3,4(，∴2244λ-=，∴1λ=，故双曲线的方程为2214x y -=．13．(2015北京理)已知双曲线()22210x y a a-=>0y +=，则a =．33【解析】因为双曲线()22210x y a a -=>的一条渐近线为y =，所以1a =，故33a =．14．(2011山东文理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为．【答案】22143x y -=【解析】由题意可知双曲线的焦点(，，即c =心率为274c a =，∴2a =，故23b =，∴双曲线的方程为22143x y -=．考点93双曲线的几何性质15．(2020·新课标Ⅰ文)设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为()A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，∵121||1||2OP F F ==，∴点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，∴2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，∴12F F P S =△121||||32PF PF =，故选B ．16．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点12,F F ，离心率为5．P 是C 上的一点，且P F P F 21⊥．若21F PF ∆的面积为4，则=a ()A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．【解析】解法一：ca=c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，12F P F P ⊥ ，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2tan 221θb S F PF =．∴︒45tan 2b =4，则2=b ，又∵5==ace ，∴1=a ．解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222===+ace c n m ，求的1=a ．17．【2020年高考浙江卷8】已知点()()()0,0,2,0,2,0O A B -．设点P 满足–2PA PB =，且P 为函数y =图像上的点，则OP =()A．2B．5CD．【答案】D【解析】由条件可知点P 在以,A B 为焦点的双曲线的右支上，并且2,1c a ==，∴23b =，方程为()22103yx x -=>且点P为函数y =上的点，联立方程()22103y x x y ⎧-=>⎪⎨⎪=⎩，解得：2134x =，2274y =，OP ∴==D ．18．【2019·全国Ⅰ文】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为()A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒，1cos50 cea∴======︒，故选D．19．【2019年高考全国Ⅱ理】设F为双曲线C：22221(0,0)x y a ba b-=>>的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a+=交于P，Q两点．若PQ OF=，则C的离心率为A BC．2D【答案】A【解析】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ x⊥轴，又||PQ OF c==，||,2cPA PA∴=∴为以OF为直径的圆的半径，∴||2cOA=，,22c cP⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P点在圆222x y a+=上，22244c c a∴+=，即22222,22c ca ea=∴==．e∴=，故选A．20．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：2242x y-=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若=PO PF，则△PFO的面积为A ．324B ．322C ．22D ．32【答案】A【解析】由222,2,6,a b c a b ===+=6,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则263222P P b y x a =⋅=⨯=，1133262224PFO P S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△，故选A ．【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．21．【2019·全国Ⅲ文】已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为A ．32B ．52C ．72D ．92【答案】B【解析】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又453OP OF ==+=，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =，0115532232OPF S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△，故选B ．22．【2019·北京文】已知双曲线2221x y a-=(a>0)的离心率是5，则a=()A 6B ．4C ．2D ．12【答案】D【解析】∵双曲线的离心率c e a ==c =，∴1a=12a =，故选D ．23．【2019·浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是()A ．22B ．1C ．D ．2【答案】C【解析】∵双曲线的渐近线方程为0x y ±=，∴a b =，则c ==，∴双曲线的离心率ce a==C ．24．(2018全国Ⅱ文理)双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b的离心率为()A ．=yB ．=yC ．2=±y x D ．2=±y x 【答案】A【解析】∵c e a ==，∴2222221312b c a e a a-==-=-=，∴b a =b y x a =±，∴渐近线方程为y =，故选A ．25．【2018·全国Ⅲ文】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2C ．322D ．【答案】D【解析】c e a === 1b a ∴=，∴双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=，∴点(4,0)到渐近线的距离d ==，故选D ．26．【2018高考浙江2】双曲线2213x y -=的焦点坐标是()A ．()),0,B ．()()20,0,2,-C ．((0,,0D ．()()0,22,0,-【答案】B【解析】试题分析：根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标．试题解析：双曲线方程为2213x y -=，∴焦点坐标可设为()0,c ±．222,3142c a b c =+=+== ，∴焦点坐标为()20,±，故选B ．【名师点睛】由双曲线方程()222210,0x y a b a b-=>>可得焦点坐标为()(,0c c ±=，顶点坐标为()0,a ±，渐近线方程为by x a=±．27．【2018高考全国1理11】已知双曲线13:22=-y x C ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ．若OMN △为直角三角形，则=MN ()A ．23B ．3C ．32D ．4【答案】B【解析】【基本解法1】(直接法)∵双曲线221,(2,0)3x y F -=，∴渐近线方程为33y x =±，倾斜角分别为30,150 ，∴60MON ∠= ，不妨设90MNO ∠= ，∴30,30OMN FON ∠=∠= ，∵2OF =，∴在Rt FON ∆中，3cos3022ON OF =⋅=⨯=，∴在Rt MON ∆中，tan 603MN ON =⋅==．【基本解法2】(直接法)根据题意，可知其渐近线的斜率为()2,0F ，从而得到30FON ∠=︒，∴直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN的方程为)2y x =-，分别与两条渐近线y =和y x =联立，求得(33,,,32M N MN ⎛∴= ⎝⎭，故选B ．28．【2018高考天津文理7】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为()A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22139x y -=D ．22193x y -=【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为()()00,F c c >，则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==，则12226bc d d b c +===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ===，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=，故选C ．29．【2017·全国Ⅰ文】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．12C ．23D ．32【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，∴(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，∴3||=PF ，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，故选D ．30．【2017·全国Ⅱ文】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是()A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)【答案】C【解析】由题意得222222111c a e a a a+===+，∵1a >，∴21112a <+<，则1e <<C ．31．(2017新课标Ⅱ理)若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为()A ．2B C D ．233【答案】A 【解析】双曲线C 的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心(2,0)到渐近线的距离为2b d c==，圆心(2,0)到弦的距离也为d ==，所以2b c =，又222c a b =+，所以得2c a =，所以离心率2ce a==，选A ．32．(2016全国I 理)已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1，3)B ．(–1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)【答案】A 【解析】由题意得22()(3)0m n m n +->，解得223m n m -<<，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得M 2234m n m n ++-=，即21m =，所以13n -<<．33．(2016全国II 理)已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为()A B ．32C D ．2【答案】A 【解析】设1(,0)F c -，将x c =-代入双曲线方程，得22221c y a b -=，化简得2by a=±，因为211sin 3MF F ∠=，所以222212112||tan ||222b MF b c a a MF F F F c ac ac-∠=====122224c a e a c e -=-=，所以22102e e --=，所以e =A ．34．(2016浙江理)已知椭圆1C ：2221x y m +=(1m >)与双曲线2C ：2221x y n -=(0n >)的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则A ．m n >且121e e >B ．m n >且121e e <C ．m n <且121e e >D ．m n <且121e e <【答案】A 【解析】由题意知2211m n -=+，即222m n =+，222221222221111()2m n n n e e m n n n -+++=⋅=⋅+4242422111122n n n n n n ++==+>++，∴121e e >．故选A ．35．(2015湖南文)若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点(3,4)-，则此双曲线的离心率为A．3B ．54C ．43D ．53【答案】D 【解析】由已知可得双曲线的渐近线方程为by x a=±，点(3,4)-在渐近线上，∴43b a =，又222a b c +=，∴2222162599c a a a =+=，∴53c e a ==．36．(2015四川文理)过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点，则||AB ＝A．3B ．C ．6D ．【答案】D 【解析】双曲线2213y x -=的右焦点为(2,0)，渐近线方程为y =，将2x =代入y =得y =±，∴||AB =．37．(2015福建理)若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于()A ．11B ．9C ．5D ．3【答案】B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．38．(2015湖北理)将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D【解析】由题意1e a ==，2e ==∵()()b b m m b a a a m a a m +--=++，由于0m >，0a >，0b >，所以当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22(()b b m a a m+<+，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，22((b b m a a m+>+，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >．39．(2015重庆文)设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 做12A A 的垂线与双曲线交于,BC 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的渐近线的斜率为A ．12±B ．22C ．1±D．【答案】C 【解析】由题意，得12(,0),(,0),(,0)A a A a F c -，将x c =代入双曲线方程，解得2b y a =±．不妨设2(,)b B c a ，2(,)b C c a -，则1222,A BA C b b a a k k c a c a-==+-，根据题意，有221b b a a c a c a -⋅=-+-，整理得1b a=，∴双曲线的渐近线的斜率为1±．40．(2015重庆理)设双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点，过,B C 分别作,AC AB 的垂线，两垂线交于点D ．若D 到直线BC的距离小于a ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A ．(1,0)(0,1)-∪B ．(,1)(1,)-∞-+∞∪C．∪D．(,1))-∞-+∞∪【答案】A 【解析】由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a -，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由BD AC ⊥得221b b a a c x a c -⋅=---，解得42()b c x a c a -=-，所以42()b c x a a c a c a -=<=+-，所以42222b c a b a <-=221b a ⇒<01b a ⇒<<，而双曲线的渐近性斜率为b a±，所以双曲线的渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)- ，故选A ．41．(2014新课标1文理)已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为AB ．3CD ．3m【答案】A 【解析】双曲线方程为22133x y m -=，焦点F到一条渐近线的距离为b =，故选A ．42．(2014广东文理)若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等【答案】A 【解析】∵09k <<，∴90,250k k ->->，本题两条曲线都是双曲线，又25(9)(25)9k k +-=-+，∴两双曲线的焦距相等，故选A ．43．(2014重庆文理)设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为A ．34B ．35C ．49D ．3【答案】B 【解析】由双曲线的定义得12||||||2PF PF a -=，又12||||3PF PF b +=，∴22221212(||||)(||||)94PF PF PF PF b a +--=-，即124||||9PF PF ab =，因此22949b a ab -=，即299()40b b a a --=，则(31b a +)(34ba-)=0，解得41(33b b a a ==-舍去)，则双曲线的离心率251()3b e a =+=．44．(2013新课标1文理)已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0a b >>)的离心率为52，则C 的渐近线方程为A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x=±【答案】C 【解析】由题知，52c a =，即54=22c a =222a b a +，∴22b a=14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C ．45．(2013湖北文理)已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】D 【解析】双曲线1C 的离心率是11cos e θ=，双曲线2C 的离心率是()222sin 1tan 1sin cos e θθθθ+==，故选D ．46．(2012新课标文理)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则C 的实轴长为()A ．2B ．22C ．4D ．8【答案】C 【解析】设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,23)A -(4,23)B --得：222(4)(23)4224a a a =--=⇔=⇔=47．(2012福建文理)已知双曲线22215x y a -=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于A ．31414B ．324C ．32D ．43【答案】C 【解析】∵双曲线22215x y a -=的右焦点为(3，0)，∴2a +5=9，∴2a =4，∴a =2，∵c =3，∴32c e a ==，故选C ．48．(2011安徽文理)双曲线x y 222-=8的实轴长是()A ．2B ．22C ．4D ．42【答案】C 【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =．故选C ．49．(2011湖南文理)设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =．50．(2011天津文理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2，-1)，则双曲线的焦距为()A ．23B ．25C ．43D ．45【答案】B 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为by x a =±，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)得22p -=-，即4p =，又∵42pa +=，∴2a =，将(－2，－1)代入by x a=得1b =，∴225c a b =+=，即225c =．51．【2020年高考全国Ⅰ理15】已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为．【答案】2【思路导引】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【解析】依题可得，3BFAF =，而2b BF a=，AF c a =-，即23b a c a=-，变形得22233c a ac a -=-，化简可得，2320e e -+=，解得2e =或1e =(舍去)．故答案为：2．52．【2020年高考江苏6】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)5x y a a -=>的一条渐近线方程为52y x =，则该双曲线的离心率是．【答案】32【解析】由22205x y a -=得渐近线方程为5y x a =±，又0a >，则2a =，2259c a =+=，3c =，得离心率32c e a ==．53．【2020年高考北京卷12】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是__________．【答案】(3,0)【解析】∵双曲线22163x y -=，∴26a =，23b =，222639c a b =+=+=，∴3c =，∴右焦点坐标为(3,0)，∵双曲线中焦点到渐近线距离为b，∴b =．54．【2019·江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲．【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =，∵0b >，∴b =．∵1a =，∴双曲线的渐近线方程为y =．55．【2018·北京文】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为52，则a =________________．【答案】4【解析】在双曲线中c ==，且2c e a ==，∴2a a =，即216a =，∵0a >，∴4a =．56．(2018北京理14)已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．12-；【解析】设椭圆的右焦点为(,0)F c ，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知(,22c A ，由点A 在椭圆M 上得，22223144c c a b +=，∴22222234b c a c a b +=，222b a c =-，∴22222222()34()a c c a c a a c -+=-，∴4224480a a c c -+=，∴428+40e e -=椭椭，∴24e =±椭，∴1e =椭(舍去)或1e =椭，∴椭圆M 1，∵双曲线的渐近线过点3(,22c A ，渐近线方程为y =，故双曲线的离心率2e ==双．57．【2018高考江苏8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点(),0F c 到一条渐近线的距离为32，则其离心率的值是▲．【答案】2【解析】试题分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率．试题解析：∵双曲线的焦点(),0F c 到渐近线by x a=±即0bx ay ±=的距离为bcb c==，2b c ∴=，因此222222311244,,2a c b c c c a c e =-=-===．【名师点睛】双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a ．58．【2018高考上海2】双曲线2214x y -=的渐近线方程为．【答案】2x y =±【解析】由已知得24,1a b ==，渐近线方程为2x y =±．【考点分析】双曲线简单的几何性质，考查运算求解能力59．(2017新课标Ⅰ理)已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若MAN ∠=60°，则C 的离心率为________．【答案】233【解析】如图所示，AH MN ⊥，AM AN b ==，MAN ∠=60°，所以30HAN ∠= ，又MN 所在直线的方程为by x a=，(,0)A a 到MN的距离AH =在Rt HAN ∆中，有cos HA HAN NA =，所以32=，即2=，因为222c a b =+，得2a c =，所以3c e a ==．60．(2017新课标Ⅲ文)双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a =．【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =．61．(2017山东文理)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为．【答案】22y x =±【解析】由抛物线定义可得：||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=，∵22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，∴222A B pb y y p a a +==⇒=⇒渐近线方程为22y x =±．62．(2017北京文理)若双曲线221y x m-=的离心率为m =_________．【答案】2【解析】∵221,a b m ==，∴11c a ==2m =．63．【2016浙江文】设双曲线x 2–23y=1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______．【答案】(27,8)．【解析】由已知得1,3,2a b c ===，则2ce a==，设(,)P x y 是双曲线上任一点，由对称性不妨设P 在双曲线的右支上，则12x <<，121PF x =+，221PF x =-，12F PF ∠为锐角，则2221212PF PF F F +>，即222(21)(21)4x x ++->，解得72x >，∴722x <<，则1247,8)PF PF x +=∈．64．(2016山东文理)已知双曲线E ：22221x y a b-=(0,0)a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2||3||AB BC =，则E 的离心率是．【答案】2【解析】依题意，不妨设6,4AB AD ==，作出图象如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a ==65．(2015新课标1文)已知F 是双曲线C ：2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(0,66)A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为．【答案】C ：2218y x -=的右焦点为(3,0)F ，实半轴长1a =，左焦点为(3,0)M -，∵P 在C 的左支上，∴ΔAPF 的周长|||||l AP PF AF =++||||||||PF AF AM PM ++-≥=||||21515232AF AM a ++=++=，当且仅当,,A P M 三点共线且P 在,A M 中间时取等号，此时直线AM的方程为13x =-，与双曲线的方程联立得P的坐标为(2,-，此时，ΔAPF的面积为116622⨯⨯-⨯⨯=．66．(2015山东文)过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ，若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为．【答案】2【解析】设直线方程为()b y x c a =-，由22221()x y a b b y x c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得222a c x c +=，由2222a c a c+=，ce a =，解得2e =+(2e =-舍去)．67．(2015山东理)平面直角坐标系xOy 中，双曲线1C ：22221x y a b -=(0,0)a b >>的渐近线与抛物线2C ：22x py =(0p >)交于,,O A B ，若△OAB 的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______．32【解析】22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线为by x a =±，则2222(,)pb pb A a a ，2222(,)pb pb B a a -，22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2p F ，则22222AFpb pa a k pb b a-==，即2254b a =，2222294c a b a a +==，32c e a ==．68．(2014山东文理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线方程为．【答案】y x =±【解析】抛物线的准线2p y =-，与双曲线的方程联立得2222(1)4p x a b =+，根据已知得2222(1)4p a c b +=①，由||AF c =得2224p a c +=②，由①②得22a b =，即a b =，∴所求双曲线的渐近线方程为y x =±．69．(2014浙江文理)设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是．【答案】2【解析】联立直线方程与双曲线渐近线方程b y x a =±可解得交点为(,)33am bmA b a b a--，(,33am bmB b a b a-++，而13ABk =，由||||PA PB =，可得AB 的中点3333(,)22am am bm bmb a b a b a b a -+-+-+与点)0,(m P 连线的斜率为-3，可得224b a =，∴52e =．70．(2014北京文理)设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．【答案】221312x y -=2y x =±【解析】设与2214y x -=具有相同渐近线的双曲线C 的方程为224y x k -=，将点()2,2代入C 的方程中，得3k =-．∴双曲线的方程为221312x y -=，渐近线方程为2y x =±．71．(2014湖南文理)设F 1，F 2是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为_________．1+【解析】由已知可得，12cos30PF c ==，22sin 30PF c c == ，由双曲线的定义，2c a -=，则1c e a ===．72．(2013辽宁文理)已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点，,P Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5,0)A 在线段PQ ，则PQF ∆的周长为．【答案】44【解析】由题意得，||||6FP PA -=，||||6FQ QA -=，两式相加，利用双曲线的定义得||||28FP FQ +=，∴PQF ∆的周长为||||||44FP FQ PQ ++=．73．(2013陕西理)双曲线221169x y -=的离心率为．45【解析】所以离心率为45,45162516922222=⇒==⇒=e ac e a b 74．(2012辽宁文理)已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为．【答案】121,22,a c PF PF a ==∴-==22112224PF PF PF PF ∴-+=22212121221212,(2)8,24,()8412,PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥∴+==∴=∴+=+=∴+= 75．(2012天津文理)已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C的右焦点为F ，则a =b =．【答案】1，2【解析】双曲线的116422=-y x 渐近线为x y 2±=，而12222=-b y a x 的渐近线为x a by ±=，∴有2=a b，a b 2=，又双曲线12222=-by a x 的右焦点为)0,5(，∴5=c ，又222b a c +=，即222545a a a =+=，∴2,1,12===b a a ．76．(2012江苏文理)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+m 的值为．【答案】2【解析】由题意得m ＞0，∴a =m ，b =,4,422++=∴+m m c m 由e =5=a c得542=++mm m ，解得m =2．77．(2011北京文理)已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b =．【答案】2【解析】由2221(0)y x b b -=>得渐近线的方程为2220y x b-=，即y bx =±，由一条渐近线的方程为2y x =得2b =．考点94直线与双曲线的位置关系78．(2020·新课标Ⅱ文理8)设O 为坐标原点，直线a x =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D EODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B【思路导引】∵()2222:10,0x y C a b a b-=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a =±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE ∆的面积为8，可得ab值，根据2c =结合均值不等式，即可求得答案．【解析】∵2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE ∆面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，∴其焦距为28c =≥==，当且仅当a b ==取等号，∴C 的焦距的最小值：8，故选B ．79．(2020·浙江卷)已知点O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．设点P 满足|PA|–|PB|=2，且P 为函数y=图像上的点，则|OP|=()A ．222B ．4105CD．【答案】D【解析】∵||||24PA PB -=<，∴点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数y =由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得132332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==80．(2019天津文理)已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =(O 为原点)，则双曲线的离心率为()ABC ．2D【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-，双曲线的渐近线方程为by x a=±，则有(1,(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24b a =，2b a =，∴c e aa===D ．【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度．解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．81．【2018高考全国2理5】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其渐近线方程为()A．y =B．y =C ．22y x =±D ．32y x =±【答案】A【解析】试题分析：根据离心率得,a c 关系，进而得,a b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果．试题解析：222222,12,c b c a b e e a a a a-==∴==-=∴= ．∵渐近线方程为,by x a=±∴渐近线方程为y =，故选A ．【名师点睛】已知双曲线方程222210,0x y a b a b -=>>求渐近线方程：22220x y by x a b a-=⇒=±．【考点】双曲线的简单几何性质(离心率、渐近线方程)82．【2018高考全国3理11】设12F F ，是双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：,的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF =，则C 的离心率为()AB ．2CD【答案】C【解析】试题分析：由双曲线性质得到2PF b =，PO a =，然后在2Rt POF △和在12Rt PF F △中利用余弦定理可得．试题解析：由题可知22,PF b OF c ==，PO a ∴=．在2Rt POF △中，222cos P O PF bF OF c ∠==，22221212212||||||cos P O 2||||PF F F PF b F PF F F c ∠+-=∴=，222224(6),322b c bc a b c c+-∴=∴=⋅，e ∴=，故选C ．【名师点睛】本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．83．(2018天津文理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为()A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为(,0)(0)F c c >，则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得2by a=±，不妨设2(,)b A c a ，2(),b B c a -，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得21d ==2bc b c -，222bc b d c +==，则12226bc d d b c +===，则3b =，29b =，双曲线的离心率2c e a ====，据此可得23a =，则双曲线的方程为22139x y -=，故选A ．84．(2014天津文)已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．2233125100x y -=D ．2233110025x y -=【答案】A 【解析】依题意得22225b a c c a b ìï=ïïï=íïïï=+ïî，∴25a =，220b =，双曲线的方程为221520x y -=．85．(2013重庆文理)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是A．(,2]3B．[,2)3C．(,)3+∞D．[,)3+∞【答案】A 【解析】设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率ba必须满足33b a <，∴21(33b a <≤，241()43ba <+≤，既有23<，又双曲线的离心率为。

双曲线试题及答案

双曲线试题及答案1. 已知双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1$，其中 $a = 3$，$b = 4$，求双曲线的焦点坐标。

答案：双曲线的焦点坐标为 $(\pm\sqrt{a^2 + b^2}, 0)$，代入 $a = 3$ 和 $b = 4$，得到焦点坐标为 $(\pm 5, 0)$。

2. 双曲线 $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ 的渐近线方程是什么？答案：双曲线的渐近线方程为 $y = \pm\frac{b}{a}x$，代入$a = 3$ 和 $b = 4$，得到渐近线方程为 $y =\pm\frac{4}{3}x$。

3. 如果一个双曲线的中心在原点，且通过点 $(2, 3)$，并且其一条渐近线方程为 $y = 2x$，求双曲线的方程。

答案：设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}= 1$，由于渐近线方程为 $y = 2x$，可知 $\frac{b}{a} = 2$。

将点 $(2, 3)$ 代入方程得 $\frac{4}{a^2} - \frac{9}{b^2} =1$。

联立 $b = 2a$ 解得 $a = 1$，$b = 2$，因此双曲线方程为 $x^2 - \frac{y^2}{4} = 1$。

4. 已知双曲线 $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ 与直线$y = mx + 1$ 相交，求直线的斜率 $m$ 的取值范围。

答案：将直线方程代入双曲线方程，得到 $\frac{x^2}{16} -\frac{(mx + 1)^2}{9} = 1$。

整理得 $(9 - 16m^2)x^2 - 32mx -70 = 0$。

双曲线历年高考真题100题原卷版

1高考真题一、单选题A ．221913x y -=B ．221139x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=A ．2B ．C ．D ．1A ．B ．3C ．D ．A ．B ．C ．D ．A ．B ．C ．D ．3A ．(1,3)B ．(]1,3 C ．(3,+∞)D ．[)3,+∞ A ． B ． C ． D ．A ．(√2，2)B ．(√2，√5)C ．(2，5)D ．(2，√5)A ．3B ．C ．D ．A ．B ．2C ．3D ．6A ．2 BC ．32D ．12 A ． B ．5 C ． D ．A ．22124x y -=B ．22142-=x yC ．22146x y -=D ．221410x y -=A ．221090x y x +-+=B ．2210160x y x +-+=C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=A．B ．12 C．D ．24ABCDA ．√2B ．√3C ．√3+12D ．√5+12A ．By=0 C ．="0" D±y=0ABC．D． A ．12m > B ．1m ≥ C ．1m > D ．2m >A ．12B．2C ．1 DA ．22182x y +=B ．221126x y +=3C ．221164x y +=D ．221205x y +=A ．12或32B ．23或2 C ．12或2 D ．23或32A ．2 B．C ．4 D． A ．4 B ．3C ．2D ．1ABC ．2D ．3A.ab B ．22b a + C ．a D ．bA ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．D ．A ．（0，）B ．（1，）C ．（，1）D ．（，+∞）A ．2B ．2C ．4D ．4A ．B ．C ．D ．A ．a 2=B ．a 2=3C ．b 2=D ．b 2=2A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等A．14y x=±B．13y x=±C．12y x=±D．y x=±A．y=±2x B．y=C．12y x=±D．y=A．B．C．D．ABC．2 D．3A．22154x y-=B．22145x y-=C．22136x y-=D．22163x y-=A．1 B．2 C．3 D．4A．B．2CD．1A．B．C．D．A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=145AB ．54C ．43D ．53A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -AB ．2CDA ．2 B．C ．4D．A ．14B ．13C．4D．3A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=A ．13 B ．1 2C ．2 3D ．3 2得的弦长为2，则C 的离心率为（） A ．2 BCDA．223=1 44x y-B．224=1 43x y-C．22=1 44x y-D．22=1 412x y-A．y=B．y=C．2y x=±D．2y x=±A．32B．3 C．D．4A．22139x y-=B．22193x y-=C．221412x y-=D．221124x y-=A．(√2,+∞)B．(√2,2)C．(1,√2)D．(1,2)A．221412x y-=B．221124x y-=C．2213xy-=D．2213yx-=A．221412x y-=B．22179x y-=C．22188x y-=D．221124x y-=A．220x-25y=1 B．25x-220y=1 C．280x-220y=1 D．220x-280y=1A．(1,0)(0,1)-6B．(,1)(1,) -∞-+∞C．(⋃D．(,(2,) -∞+∞A．2B．C．4D．A．3 B．2CDA．14B．35C．34D．45二、填空题7P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1P F2Q的面积是________．三、解答题已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；89(1)求12,C C 的方程；已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是，一条渐近线的方程是.（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.（Ⅰ）求点P 的轨迹方程; （Ⅱ）设d 为点P 到直线l ： 12x =的距离，若22PM PN =,求PM d的值.（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题（21）图，已知过点()11,M x y 的直线1l ： 1144x x y y +=与过点()22,N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求·OG OH 的值.10（1）求双曲线C 的方程；（2）记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF的面积为求直线l 的方程第3小题满分7分．已知双曲线2212x C y -=：．（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为(01)，．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记·MP MQ λ=．求λ的取值范围；（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM 截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF|=2，求过M 点的坐标；（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为的直线l2交C 于P 、Q 两点，若l 与圆相切，求证：OP ⊥OQ ；（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.11（Ⅰ）求该双曲线的方程；（Ⅱ）如图，点A的坐标为(0)，B是圆22(1x y +=上的点，点M 在双曲线右支上，求MA MB +的最小值，并求此时M 点的坐标（Ⅰ）若2322,,2a a a +成等差数列，求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221n y x a -=的离心率为n e ，且253e =，证明：121433n nn n e e e --++⋅⋅⋅+>.（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由.四、双空题。

双曲线历年高考真题40题解析版

双曲线历年高考真题40题一、单选题1．（2014·广东高考真题（文））若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（）A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【答案】D2．（2012·山东高考真题（文））已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为A ．23x y =B ．23x y =C ．28x y =D ．216x y =【答案】D3．（2009·全国高考真题（理））已知双曲线2222:1(00)y C a b a bχ-=＞，＞的右焦点为FC 于A 、B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为( ) A ．65B ．75C ．85D ．95【答案】A4．（2014·湖北高考真题（理））已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A ．3B ．3C ．3D ．2【答案】A5．（2013·广东高考真题（理））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A ．2214x = B ．22145x y -=C ．22125x y -=D ．2212x -= 【答案】B6．（2014·广东高考真题（理））若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的（）A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等【答案】D7．（2015·天津高考真题（理））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为（）A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=【答案】D8．（2012·福建高考真题（理））已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A ．B ．C ．3D ．5【答案】A9．（2019·全国高考真题（文））双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40° B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D10．（2017·全国高考真题（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（） A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -= 【答案】B11．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0则a =A B ．4C ．2D ．12【答案】D12．（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．【答案】A13．（2019·天津高考真题（文））已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A B C ．2D 【答案】D14．（2019·浙江高考真题）渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（）A ．2B ．1C D ．2【答案】C15．（2010·全国高考真题（文））中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为A BC ．D 【答案】D16．（2015·安徽高考真题（文））下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（）A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=【答案】A17．（2010·陕西高考真题（理））双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（）A B CD 【答案】B18．（2010·全国高考真题（文））已知1F 、2F 为双曲线C ：221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12·PF PF = A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B19．（2008·四川高考真题（文））已知双曲线C :221916x y -=的左右焦点分别为12,F F ,P为C 的右支上一点,且212||||PF F F =,则12PF F △的面积等于 A ．24 B ．36C ．48D ．96【答案】C20．（2018·浙江高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（）A ．()，)B ．()2,0-，()2,0C ．(0,，(D ．()0,2-，()0,2【答案】B21．（2020·浙江高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =|OP |=（）A ．2B ．5C D【答案】D22．（2018·全国高考真题（理））设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为A ．BC ．2D【答案】B23．（2015·重庆高考真题（文））设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（）A ．12±B ．2±C ．1±D ．【答案】C24．（2015·福建高考真题（理））若双曲线的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（） A ．11 B ．9C ．5D ．3【答案】B25．（2015·四川高考真题（文））过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB|＝（）A ．3B ．C ．6D ．【答案】D26．（2018·全国高考真题（文））已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2C ．2D ．【答案】D二、多选题27．（2020·海南高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ACD三、填空题28．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB=，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2.29．（2020·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是____. 【答案】3230．（2020·全国高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b-= (a >0，b >0)的一条渐近线为y ，则C 的离心率为_________．31．（2020·全国高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.【答案】232．（2013·江苏高考真题）双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为________. 【答案】34yx 33．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y =.34．（2015·陕西高考真题（理））若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p = ．【答案】35．（2012·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心m 的值为 ▲ ．【答案】2．36．（2013·陕西高考真题（文））221169x y -=，则此双曲线的离心率为__________．【答案】5437．（2013·湖南高考真题（文））设F 1，F 2是双曲线C ，22221a x y b-=(a>0,b>0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ．使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为________________.1；38．（2015·山东高考真题（理））平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B .若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______________ 【答案】32四、解答题39．（2016·上海高考真题（理））双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点. （1）若l 的倾斜角为π2，1F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率.【答案】（1）y =；（2）.五、双空题40．（2020·北京高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】()3,0。

新课标双曲线历年高考题精选(精)

新课标双曲线历年高考题精选1.(05上海理5假设双曲线的渐近线方程为y=±3x, 它的一个焦点是(10,0, 那么双曲线的方程为————2.(07福建理6以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是 3.(07上海理8以双曲线15422=-y x 的中心为焦点,且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是4.(07天津理4设双曲线22221(00x y a b a b-=>>,抛物线24y x =的准线重合,那么此双曲线的方程为(A.2211224x y -=B.2214896x y -=C.222133x y -= D.22136x y -= 5.(04北京春理3双曲线x y 22 491-=的渐近线方程是( A.y x =±32B.y x =±23 C. y x =±94D.y x =±496.(2021安徽卷理以下曲线中离心率为的是A .22124x y -=B .22142x y -=C .22146x y -=D .221410x y -=7.(2021宁夏海南卷理双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为(8.(2021天津卷文设双曲线0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2,焦距为32,那么双曲线的渐近线方程为(9.(2021湖北卷文双曲线1412222222=+=-by x y x 的准线经过椭圆(b >0的焦点,那么b =(10. (2021重庆文假设双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,那么p 的值为(C (A2 (B3 (C411.(2021江西文双曲线22221(0,0x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =±,假设顶点到渐近线的距离为1,那么双曲线方程为 223144x y -= .112.(2021山东文圆22:6480C x y x y +--+=.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,那么适合上述条件的双曲线的标准方程为221412x y -=13.(2021安徽文双曲线22112x y n n -=-n = 414、(2021海南、宁夏文双曲线221102x y -=的焦距为( DD. 15. (2021重庆理双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0的一条渐近线为y =kx (k >0,离心率e ,那么双曲线方程为 (C(A 22x a-224y a =1 (B222215x y a a -= (C222214x y b b -= (D222215x y b b -=16.(2021辽宁卷理以知F 是双曲线的左焦点,是双曲线右支上的动点,那么的最小值为17.(2021辽宁文双曲线22291(0y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15,那么m =( D A .1B .2C .3 D .4 18.(04湖南文4如果双曲线1121322=-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么点P 到右准线的距离是(17.(2021四川文双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ,P 为C 的右支上一点,且212PF FF =,那么12PFF ∆的面积等于( C (A24 (B36 (C48 (D9619.(04天津理4设P 是双曲线19222=-y a x 上一点,双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点,假设3||1=PF ,那么=||2PFA. 1或5B. 6C. 7D. 920.(05全国Ⅱ理6双曲线136=-的焦点为F 1、F 2,点M 在双曲线上且MF 1⊥x 轴,那么F 1到直线F 2M 的距离为21(05全国Ⅲ理9双曲线2212y x -=的焦点为12F F 、,点M 在双曲线上且120MF MF ⋅= ,那么点M 到x 轴的距离为( 22.(05湖南理7双曲线22a x -22b y =1(a >0,b >0的右焦点为F ,右准线与一条渐近线交于点A ,△OAF 的面积为22a (O 为原点,那么两渐近线的夹角为(A 、30º B 、45º C 、60º D 、90º23.(07福建理6以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( A .221090x y x +-+= B .2210160x y x +-+= C .2210160x y x +++= D .221090x y x +++=30.(07辽宁理11设P 为双曲线22112y x -=上的一点,12F F ,是该双曲线的两个焦点,假设12||:||3:2PF PF =,那么12PFF △的面积为(A .B .12C .D .2424.(07四川理5如果双曲线12422=-y x 上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是25(07陕西理7双曲线C :12222=-by c a (a >0,b >0,以C 的右焦点为圆心且与C 的浙近线相切的圆的半径是 A.ab B.22b a + C.a D.b26.(07重庆理16过双曲线224x y -=的右焦点F 作倾斜角为105 的直线,交双曲线于P Q ,两点,那么FP FQ 的值为______.27.(2021山东卷理设双曲线122=-ba 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点,那么双曲线的离心率为( .28.(2021四川卷文、理双曲线0(12222>=-b by x 的左、右焦点分别是1F 、2F ,其一条渐近线方程为x y =,点,3( 0y P 在双曲线上.那么1PF ·2PF =(29.(2021全国卷Ⅱ理双曲线(222210,0x y C a b a b-=>>:的右焦点为F ,过F 且斜率C 于A B 、两点,假设4AF FB =,那么C 的离心率为 (30.(2021江西卷文设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>的两个焦点, 假设12F F ,,(0,2P b 是正三角形的三个顶点,那么双曲线的离心率为31.(2021湖北卷理双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b+=的焦点,那么直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是( A.11,22K ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B.11,,22K ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C. K ⎡∈⎢⎣⎦ D. ,K ⎛⎫∈-∞+∞⎪⎪⎝⎦⎣⎭32.(2021全国卷Ⅰ理设双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,那么该双曲线的离心率等于( 33.(2021全国卷Ⅱ文双曲线13622=-y x 的渐近线与圆0(3(222>=+-r r y x 相切,那么r = (34.(2021福建卷文假设双曲线(222213x y a o a -=>的离心率为2,那么a 等于(35.(2021全国卷Ⅰ文设双曲线(222200x y a b a b-=1>,>的渐近线与抛物线21y =x +相切,那么该双曲线的离心率等于(36.(2021重庆卷理双曲线的左、右焦点分别为,假设双曲线上存在一点使,那么该双曲线的离心率的取值范围是 .37.(2021湖南卷文过双曲线C :的一个焦点作圆的两条切线, 切点分别为A ,B ,假设(O 是坐标原点,那么双曲线线C 的离心率为 2 .38.(2021湖南卷理以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为60 ,那么双曲线C 的离心率为39.(2021湖南文双曲线0,0(12222>>=-b a b y ax 的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,那么双曲线离心率的取值范围是( CA .(1B .+∞C .(11]D .1,+∞ 40.(2021浙江文、理假设双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,那么双曲线的离心率是(41. (2021湖南理假设双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,那么双曲线离心率的取值范围是( B.A.(1,2B.(2,+∞C.(1,5D. (5,+∞(2021海南、宁夏理过双曲线221916x y -=的右顶点为A ,右焦点为F 。

(完整版)双曲线题型大全-

双曲线题型一双曲线的定义和几何性质1．设双曲线的左、右焦点分别为. 若点P在双曲线上，且为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是A．B．C．D．2．已知双曲线的一条渐近线截椭圆所得弦长为，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3．已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点的横坐标为1，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．变式：4．已知点为双曲线的左右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．，则双曲线方程为（）A．B．C．D．7．在下列双曲线方程中，表示焦点在y轴上且渐近线方程为的是A．B．C．D．题型二双曲线的离心率问题8．已知点为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（）A．B．C．D．9．设、是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（为坐标原点）且则的值为（）A．B．2C．D．310．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于（）A．B．C．D．11．设F1，F2是双曲线(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使()·＝0(O为坐标原点)，且|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．＋1C．D．＋1变式：12．已知、分别为双曲线的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于、两点，且为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．13．若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（）A．B．C．D．今日作业14．若双曲线的渐近线与圆相切，则的渐近线方程为__________．15．设、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若，的面积为，且，则该双曲线的离心率为_____________.10．椭圆的离心率为，其右焦点到椭圆外一点的距离为，不过原点．．．．的直线与椭圆相交于，两点，且线段的长度为．（1）求椭圆C的方程；（2）求面积的最大值.参考答案1．A【解析】【分析】由题意画出图形，不妨设P在第一象限，P点在P1与P2之间运动，求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值，可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围．【详解】△F1PF2为锐角三角形，不妨设P在第一象限，P点在P1与P2之间运动，如图，当P在P1处，∠F1P1F2为=90°，∴S=|F1F2|•|y|=|P1F1|•|P1F2|，由|P1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2，|P1F1|﹣|P1F2|=2，可得|P1F1|•|P1F2|=6，此时|P1F1|+|P1F2|=2，当P在P2处，∠P2F1F2为=90°，x=2，易知y=3，此时|P2F1|+|P2F2|=2|P2F2|+2=8，∴△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是（2，8），【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查等价转化思想方法，属于中档题．2．B【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程．与椭圆的方程联立，利用弦长转化求解即可．【详解】双曲线的一条渐近线不妨设为：，则：，可得：一条渐近线截椭圆所得弦长为，可得：，可得，解得．故选：B．【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．属中档题.3．B【解析】【分析】设,则有，利用点差法可得，从而可得结果.因为直线与双曲线交于，两点，且线段的中点的横坐标为，所以，，设,则有，，两式相减可化为，可得，，双曲线的离心率为，故选B.【点睛】本题主要考查待定系数法求双曲线的方程与离心率及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.4．A【解析】【分析】由特殊角等腰三角形的三边关系以及双曲线的定义可表示出a、c的关系，对关系式化简，通过离心率公式，对关系式变型，解方程求出离心率.【详解】由题意知：，因为等腰三角形的顶角为，所以根据三角形的性质可求出，由双曲线定义可得：，由离心率公式可得：.故选A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，求离心率有两种方式，一种是由题目中条件求出参数值，根据离心率公式得离心率，另一种是根据条件求得a、c的齐次式，等号两侧同时除以a或等，构造离心率.5．D【解析】【分析】利用双曲线方程求出实轴与虚轴长，列出方程求解即可．【详解】双曲线﹣=1（m＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，可得=，解得m=2，则双曲线的标准方程是：﹣=1．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．6．C【解析】【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出、，即可得到双曲线方程.【详解】双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为，可得，即，解得，所求双曲线方程为：.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.7．C【解析】由题意，该双曲线的焦点在轴上，排除A、B项；又方程的渐近线方程为，而方程的渐近线方程为，故选C.8．D【解析】分析：设的内切圆半径为，由，用的边长和表示出等式中的三角形面积，结合双曲线的定义得到与的不等式，可求出离心率取值范围.详解：设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，，，由题意得，故，故，又，所以，双曲线的离心率取值范围是，故选D.点睛：本题主要考查利用双曲线的定义、简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.9．B【解析】【分析】由已知中，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得是以直角的直角三角形，进而根据是双曲线右支上的点，及双曲线的性质结合勾股定理构造方程可得的值，进而求出的值.【详解】由双曲线方程，可得，，又，，，，故是以直角的直角三角形，又是双曲线右支上的点，，由勾股定理可得，解得，故，故选B.【点睛】本题主要平面向量的几何运算，考查双曲线的标准方程，双曲线的定义与简单性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.10．D【解析】分析：运用离心率公式和渐近线方程，结合点到直线的距离公式可得的值，再由的关系即可求得的值，然后求得焦距详解：双曲线的离心率为双曲线的渐近线方程为不妨设，即，则焦点到渐近线的距离为，，解得则焦距为故选点睛：本题考查了双曲线的几何性质，根据题意运用点到线的距离公式进行求解，本题较为基础。

专题26 双曲线(解答题)(新高考地区专用)(解析版).docx

专题26 双曲线（解答题）1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2,0）,实轴长为2. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线/： y = A X +A /2与双曲线C 的左支交于A , B 两点，求k 的取值范围.【试题来源】宁夏长庆高级中学2020-2021学年高二上期期中考试（文）【答案】（1） —-/=1; （2）3 ~ 3【分析】（1）由条件可得a =也,c = 2,然后可得答案；1-3宀 0△ = 36（1次）〉0,6s/2k 门® +X B 二― V °，'解出即可.1 — 5k再由―所以心，所以双曲线方程为F".1-3宀 0A = 36（l-^）＞0,所以当时，，与双曲线左支有两个交点.（2）联立直线与双曲线的方程消元，然后可得＜（2）设A （X A , y A ）, Bg, y B ）r 22.已知双曲线C: - — / =1.2 （1）求与双曲线c 有共同的渐近线，且过点（-血,Q 的双曲线的标准方程；（2）若直线/与双曲线c 交于A 、B 两点，且A, B 的中点坐标为（1, 1）,求直线/的斜率.【试题来源】江西省南昌市第十中学2020-2021学年高二上学期期中考试（文）1【答案】（1）—= 1;（2）-. ‘2 2【分析】（1）设所求双曲线方程为才-）?=斤伙工0）,代入点坐标，求得怎即可得答案；（2）设人（召,必）,3（兀2，丁2），利用点差法，代入久B 的中点坐标为（1，1），即可求得斜率.【解析】（1）因为所求双曲线与双曲线C 有共同的渐近线，所以设所求双曲线方程为~y 2=k （k^0）,代入（—血,得k = -l,r 2所以所求双曲线方程为r-y = l ：（2）设7401，必）3（兀2，丁2），因为A 、B 在双曲线上，互-X=i （1）所以2?,⑴一⑵得3 7夕乜）"厂％心+%），⑵ 2因为A 、B 的中点坐标为（1, 1）,即西+吃=2,必+% =2 ,3.已知点A （->/3,0）和B （J 亍,0），动点C 到A ，B 两点的距离之差的绝对值为2,记点c 的轨迹为E.（1）求轨迹E 的方程；（2）设E 与直线y^x-2交于两点M, N ,求线段MN 的长度.【试题来源】福建省南平市高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试2 _所以心=兀 1 +兀22(% + %)【答案】（1）宀亍1；（2） 4屈【分析】（1）设C（x,y）,由于||C4|-|CB| = 2, \AB\=2^3 ,利用双曲线的定义求解即可；（2）直线和双曲线方程联立消y,利用根与系数关系以及弦长公式求解即可.【解析】（1）设C（x,y）,贝ij||G4|-|CB|| = 2,2 2所以点C的轨迹E为双曲线二一笃= l（a>0上>0）,且2a = 2, 2c=|4B|=2jLa b2则a=l,戾之2—/=2,所以轨迹E的方程为21 = 1；2—1（2）由］2 ，得宀仆-6 = 0,y = x-2因为A〉。

高考数学圆锥曲线之双曲线(高三)完整版总结与试题【学生试卷】

a 或x
a ，y
R ．
( a, 0) ．
x2 y 2 ， a 2 b2
对称轴： x轴，y轴．对称中心：坐标原点O 焦点坐标：
则渐近线方程为
0, 0 ．
x2 y 2 b 2 0 ，即 y x ． 2 a b a
b x ，即 a
②若渐近线方程为 y
(c, 0) ．
2
A． 2 3
B． 5
C． 3
D． 2
16.设双曲线 C 的中心为点 O，若有且只有一对相交于点 O、所成的角为 60° 的直线 A1B1 和 A2B2，使|A1B1| ＝|A2B2|，其中 A1、B1 和 A2、B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ( ) 2 3 A． 3 ，2 2 3 B． 3 ，2 2 3 C． 3 ，＋∞ 2 3 D． 3 ，＋∞ y2 17.设双曲线 C 经过点(2， 2)，且与－x2＝1 具有相同 4 渐近线，则 C 的方程为____.
的渐近线为正方形 OABC 的边 OA, OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点．若正方形 OABC 的边长为 2，则 a =____．四、自我尝试 x 2 y2 15．〖2017 福州质检〗已知双曲线 E： 2－ 2＝1(a>0， a b b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，|F1F2|＝6，P 是 E 右支上的一点，PF1 与 y 轴交于点 A，△PAF2 的内切圆与边 AF2 的切点为 Q.若|AQ|＝ 3，则 E 的离心率是( )
4．当 a b 时离心率 e
x2 5.若点 O 和点 F(－2，0)分别为双曲线 2－y2＝1(a>0) a

《双曲线》练习试题经典(含答案)

《双曲线》练习题一、选择题：1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是( A )A.17B.15C.174D.1542．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（ B ）A．x2﹣y2=1 B．x2﹣y2=2 C．x2﹣y2=D．x2﹣y2=3．在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，则双曲线C的标准方程为（ B ）A．B．C．或D．4.1（a＞b＞0）1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ）A B C D5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ A ）A．（﹣1，3）B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）6．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（ A ）A．2 B．C．D．7．、的圆相切，则双曲线的离心率为（A ）A B C D 8．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( B )A.3 B.62 C.63 D.339．已知双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐近线的，则m 等于( D ) A ．9 B ．4 C ．2 D ．,3 10．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足12120,||||2,MF MF MF MF ==则该双曲线的方程是( A )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝111．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( C )A ．42 B ．83 C ．24 D ．4812．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( C )A ．28B ．14－8 2C ．14＋82D ．8213．已知双曲线﹣=1（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ D ） A ．﹣=1B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=114．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若3|F 1B|=|F 2A|，则该双曲线的离心率是（ C ）A ．B ．C ．D ．215．过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ C ）条。

【十年高考(文数)2010-2019】九解析几何第二十六讲双曲线(附答案)

34．（2016
年山东）已知双曲线
E：
x2 a2
–
y2 b2
=1（a>0，b>0）．矩形 ABCD
的四个顶点在 E
上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是_______．
35．（2015 新课标 1）已知双曲线过点 (4, 3) ，且渐近线方程为 y = ± 1 x ，则该双曲线的 2
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
>
0，b
> 0) 的右支与焦
点为 F 的抛物线 x2 = 2 py( p > 0) 交于 A ， B 两点，若| AF | + | BF |= 4 | OF | ，则该
双曲线的渐近线方程为
．
32．（2017 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x2 − y2 = 1的右准线与它的两条渐近 3
： x2 a2
−
y2 b2
=1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C
的渐近线上，
则 C 的方程为
5 千里之行始于足下
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A． x2 − y2 =1 20 5
B． x2 − y2 =1 5 20
C． x2 − y2 =1
D． x2
−
y2
=1
80 20
20 80
21．（2011 安徽）双曲线 2x2 − y2 = 8 的实轴长是
x2 a2
-
y2 b2
=
1 (a >
0,b >
0)的一条渐近线平行于直线 l ：
y = 2x + 10 ，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为

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历年高考题——双曲线
1.[2013·全国Ⅰ]
已知双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x C 的离心率为
2
5
，则C 的渐近线方程为 .
2.[2013·广东] 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为)0,3(F ，离心率为2
3
，则C 的方程是 .
3.[2014·全国] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为21,F F ，点A 在C 上.若A F A F 212=，则=∠12cos F AF .
4.[2014·天津]
双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的一条渐近线平行于直
线102:+=x y l ，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程是 .
5.[2014·北京] 设双曲线C 经过点)2,2(，且与
14
22
=-x y 具有相同的渐近线，则C 的方程为 .
6.[2014·全国Ⅰ] 已知F 为双曲线)0(3:22>=-m m my x C 的一个焦点，
则点F 到C 的一条渐近线的距离为 .
7.[2014·广东]
若实数k 满足90<<k ，则曲线19252
2=--
k
y x 与曲线
19
252
2=--y k x 的相等.（A.焦距 B.实半轴长 C.虚半
轴长 D.离心率）
8.[2014·山东] 已知0>>b a ，椭圆1:22
221=+b y a x C ，双曲线
1:22
222=-b
y a x C ，21C C 与的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程
为 .
9.[2014·重庆] 21,F F 分别是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦
点，双曲线上存在一点P ，使得b PF PF 321=+，ab PF PF 4
9
21=⋅，则
该双曲线的离心率为 .
10.[2014·浙江] 设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线
)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两条渐近线分别交于点B A ,.若点)0,(m P 满足PB PA =，则该双曲线的离心率为
.
11.[2015·广东]
已知双曲线1:22
22=-b y a x C 的离心率4
5=e ，且其右焦
点为)0,5(2F ，则双曲线的方程为 .
12.[2015·全国Ⅱ] 已知B A ,为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为︒120，则E 的离心率为 .
13.[2015·福建]
若双曲线116
9:2
2=-y x E 的左、右焦点分别为21,F F ，
点P 在双曲线E 上，且31=PF ，则=2PF .
14.[2015·北京] 已知双曲线)0(122
22>=-a b
y a x 的一条渐近线为
03=+y x ，则=a .
15.[2015·湖南]
设F 是双曲线1:22
22=-b
y a x C 的一个焦点.若C 上存在
一点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率
为 .
16.[2016·全国Ⅱ] 已知21,F F 是双曲线1:22
22=-b y a x E 的左、右焦点，
点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，3
1
sin 12=∠F MF ，则E 的离心率
为 .
17.[2016·浙江]
已知椭圆)1(1:222
1>=+m y m
x C 与双曲线
)0(1:222
2>=-n y n
x C 的焦点重合，21,e e 分别为21,C C 的离心率，则1__,__21e e n m .（填“>”或“<”）
18.[2016·山东]
已知双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x E .若矩形ABCD 的
四个顶点在E 上，CD AB ,的中点为E 的两个焦点，且BC AB 32=，
则E 的离心率为 .
19.[2016·北京]
双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的渐近线为正方形
OABC 的边OC OA ,所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形
OABC 的变成为
2，则=a .
20.[2016·天津]
已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的焦距为52，且
双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程
为 .。