直线的参数方程及渐开线与摆线》 课件(人教A版选修(15)
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高中新课程数学选修《 渐开线与摆线》课件2(与“渐开线”有关文档共9张)
设 在基机圆械直的 工线半 业径 中上为 ，的广r，泛绳一地子个使外用端位齿M轮置的传坐为递标动为原力（点。x，，y）建。 立直角坐标系。
设圆的半径为r。
y 的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？
显然，点M由角 唯一确定。
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
四 渐开线与摆线
1、渐开线 2、摆线
第1页，共9页。
1、渐开线
第2页，共9页。
1、渐开线的定义
探究：P41
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切
而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
上一个定点的轨迹是什么？
M
B
OA
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
线 段 O A 的 长 等 于 M A 的 长 ， 即 O A r。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
第7页，共9页。
3、摆线的参数方程
M
B
OA
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
y
x y rr((cso ins cso ins ))(是 参 数 )。 B
M
摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。 显然，点M由角 唯一确定。
显然，点M由角 唯一确定。 因此大多数齿轮采用这种齿形。 由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，
O
A
x
渐开线的应用： 设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
人教版高中数学选修2.4-渐开线与摆线ppt课件
＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
uuur 动点 M 的坐标为(x，y)，向量OM ＝(x，y)．
所以xy＝ ＝221α－ －csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
[悟一法] (1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点 的轨迹． (2)在圆的摆线中，圆周上定点M的位置也可以由圆心角φ唯一确定．
φ＋φsin φ－φcos
φ φ
上对应的点 A、
B，并求出 A、B 间的距离．
解：将
φ＝π2代入xy＝ ＝scions
φ＋φsin φ－φcos
φ， φ，
得 x＝cos π2＋π2·sin π2＝0＋π2＝π2，
轨迹曲线的参数方程为
x＝8t－sin t y＝81－cos t
(0≤t≤2π)
即 t＝π 时，即 x＝8π 时，y 有最大值 16.
曲线的对称轴为三角函数的性质有类似的地 方．
[通一类]
3．当
φ＝π2、π
时，求出渐开线xy＝ ＝scions
[研一题] [例2] 求半径为2的圆的摆线的 参数方程．(如图所示，开始时定 点M在原点O处，取圆滚动时转过 的角度α，(以弧度为单位)为参数) [精讲详析] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的摆线 的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可． 当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图所示， ∠ABM＝α.
度为单位)，则
|AM|＝ ¼ AM0 ＝4θ
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角和向量知
uuur 识，得OA＝(4cos θ，4sin θ)，
高中数学《参数方程-平摆线和渐开线》课件
5.求摆线
= 2(-sin),
(0≤t<2π)与直线 y=2 的交点的直角坐标.
= 2(1-cos)
π
2
3
2
解:当 y=2 时,2=2(1-cos t),∴cos t=0.∵0≤t<2π,∴t= 或 π,
∴x1=2
2
π
π
;2.
∴交点的直角坐标为(π-2,2),(3π+2,2).
首 页
一
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
二
自主思考 2 圆的渐开线和摆线的参数方程不宜化为普
通方程吗?
提示:用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接、简便.
有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线),建立它们的普通方程比较困
UITANG LIANXI
探究三
探究一 求平摆线的参数方程
求平摆线的参数方程,只需由题意求出圆的半径 r 即可.
【典型例题 1】 平面直角坐标系中,若圆的摆线过点(1,0),求这条摆线
的参数方程.
= (-sin),
思路分析:根据圆的摆线的参数方程的表达式
(φ 为参
= (1-cos)
数),可知只需求出其中的 r,也就是说,摆线的参数方程由圆的半径唯一确定,
因此只需把点(1,0)代入参数方程求出 r 值再代入参数方程的表达式.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
探究三
解:令 r(1-cos φ)=0,可得 cos φ=1.所以 φ=2kπ(k∈Z),代入可得
渐开线与摆线 课件
由于 r>0,则 cos φ=1,即 φ=2kπ(k∈Z).
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
直线的参数方程ppt课件
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5．化直线l的参数方程
x＝－3＋t， y＝1＋ 3t
(t为参数)为普通方程，并求倾斜角，
说明|t|的几何意义．
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【解】 由xy＝ ＝－ 1＋3＋3tt， 消去参数t，得
直线l的普通方程为 3x－y＋3 3＋1＝0.
故k＝ 3＝tan α，即α＝π3，
几何意义为|
→ M0M
|＝4，且
→ M0M
与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下
方)．
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1．一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上
的动点M(x，y)的参数方程为
x＝x0＋tcos y＝y0＋tsin
α， α
(t为参数)，这是直线参数方程的
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【解析】 将xy＝ ＝12－ ＋23tt 化为y＝－32x＋72， ∴斜率k1＝－32， 显然k＝0时，直线4x＋ky＝1与上述直线不垂直， ∴k≠0，从而直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－4k. 依题意k1k2＝－1，即－4k×－32＝－1， ∴k＝－6. 【答案】 －6
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θ， θ
(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
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【解】 (1)直线l的参数方程为
x＝－3＋tcos56π＝－3－ 23t， y＝3＋tsin56π＝3＋2t
(t为参数)．
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(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0. 把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得 4－3－ 23t2＋3＋12t2－16＝0， 即13t2＋4(3＋12 3)t＋116＝0. 由t的几何意义，知 |PA|·|PB|＝|t1·t2|， 故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝11136.
摆线和渐开线课件
圆的渐开线参数方程
已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对 应的曲线上两点A，B对应的参数分别是π2和32π，求A，B两点间 的距离．
[思路点拨] 渐开线的参数方程 ―代 参―入 数→ A，B两点的坐标 ―距 公―离 式→ A，B两点的距离
[解题过程] 由题意，知r＝1，则圆的渐开线参数方程为
(2)设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程
x＝rcosφ＋φsinφ ____y＝___r_s_in_φ__－__φ_c_o_s_φ______ (φ是参数)
2．摆线及其参数方程 ( 1 ) 当 一 个 圆 沿 着 一 条 定 直 线 _ _ _ _无_ _滑_ _动_ 地_ 滚 动 时 ， 圆 周 上 的
[规律方法] 求渐开线的参数方程方法，对于圆的渐开 线，我们以基圆圆心O为原点，一条直径所在直线为X轴建立 直角坐标系，根据动点满足的条件和向量的有关性质可以得
到，圆的渐开线的参数方程为
X＝RCOSΦ＋ΦSINΦ， Y＝RSINΦ－ΦCOSΦ
参数)．
(Φ为
圆的摆线方程
已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大 时该摆线的参数方程． [思路点拨]
[解题过程] 令y＝0，可得a(1－cosφ)＝0， 由于a＞0，所以cosφ＝1， 所以φ＝2kπ(k∈Z)． 代入x＝a(φ－sinφ)， 得x＝a(2kπ－sin2kπ)(k∈Z)． 又因为x＝2，所以a(2kπ－sin2kπ)＝2， 解得a＝k1π(k∈Z)．
又由实际可知a＞0， 所以a＝k1π(k∈N＋)， 易知当k＝1时，a取最大值1π代入，
得圆的摆线的参数方程yx＝＝1π1πφ1－－csionsφφ，
(φ为参数)
[规律方法] 根据圆的摆线的参数方程
渐开线与摆线 课件
(5)抛物线
x＝ta2np2α，
抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为_y_＝__t_a2_np_α______(α__为__参__数__)__
或__xy_＝ ＝__22_pp_tt2_，___(_t_为__参__数__)_.
类型一 参数方程化为普通方程
例1 把下列参数方程化为普通方程：
x＝cos θ－4sin θ， (1)y＝2cos θ＋sin θ
(t 为参数，a，b>0).
x＝aet＋2 e－t， 解 由y＝bet－2 e－t，
2ax＝et＋e－t， ① 解得2by＝et－e－t， ②
∴①2－②2，得4ax22－4by22＝4，
∴ax22－by22＝1(x>0).
类型二 参数方程的应用
命题角度1 直线参数方程的应用
例2 已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长.
(2)动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P(－1,1)，求|PB|＋|AB|的最 小值.
类型三 极坐标与参数方程
例4 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标 方程； 解 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.
参数方程
复习课
1.参数方程的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某 个的变点数Mt的(x 函，数y)都xy＝＝在fgt这t，，条①并曲且线对上于，t的那每么一个方允程许组值①，就由方叫程做组这①条所曲确线定 的 参数方程 ，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.参数方程中 的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意 义的变数.
2.3-2.4《直线的参数方程及渐开线与摆线》 课件(人教A版选修4-4)36946-PPT精品文档81页
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.原点到直线
x y
= =
3 -
+ 3 2
4 +
t 3
t
(t为参数)的距离为(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】
2.已知直线
x y
= =
3+4t -4+ 3
得 (3- 2t)2+( 2t)2=5，
2
2
整理，得 t2-3 2t+4=0.
由于Δ=( 3 2 )2-4×4=2>0，故上述方程有两个不相等实数根
t1、t2，由根与系数的关系，得
又直线l过点
P(3,5)，故由上式及t的几何意义得
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2= 3 2 .
12.（14分）已知双曲线 x 2 - y 2 = 1 ，过点P(2，1)的直线交双曲
10.（12分）化直线l的参数方程
x
=
-3
+
t
(t为参数)为普通方
y=1+ 3t
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
【解析】
11.（14分）(2019·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
参数方程为 x = 3 -
2 2
t
(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标
y
=
5+
故点(6,-12π)为所求.
4.直线
x
=
1
+
1 2
t
(t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则
1.原点到直线
x y
= =
3 -
+ 3 2
4 +
t 3
t
(t为参数)的距离为(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】
2.已知直线
x y
= =
3+4t -4+ 3
得 (3- 2t)2+( 2t)2=5，
2
2
整理，得 t2-3 2t+4=0.
由于Δ=( 3 2 )2-4×4=2>0，故上述方程有两个不相等实数根
t1、t2，由根与系数的关系，得
又直线l过点
P(3,5)，故由上式及t的几何意义得
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2= 3 2 .
12.（14分）已知双曲线 x 2 - y 2 = 1 ，过点P(2，1)的直线交双曲
10.（12分）化直线l的参数方程
x
=
-3
+
t
(t为参数)为普通方
y=1+ 3t
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
【解析】
11.（14分）(2019·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
参数方程为 x = 3 -
2 2
t
(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标
y
=
5+
故点(6,-12π)为所求.
4.直线
x
=
1
+
1 2
t
(t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则
高中新课程数学选修《 渐开线与摆线》课件2(与“渐开线”有关优秀PPT文档)
的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是多少？
第9页，共9页。
线 段 O A 的 长 等 于 M A 的 长 ， 即 O A r。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
第7页，共9页。
3、摆线的参数方程
M
B
OA
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。 设圆的半径为r。 y
B
M C
所以，摆线的参数方程为：
设 开 始 时 绳 子 外 端 （ 笔 尖 ） 位 于 点 A ，
当 外 端 展 开 到 点 M 时 ， 因 为 绳 子 对 圆 心 角 的 一 段 弧 A B ，
展 开 后 成 为 切 线 ， 所 以 切 线 B M 的 长 就 是 A B 的 长 ， 这 是 动 点 （ 笔 尖 ） 满 足 的 几 何 条 件 。
从 点 设 OM 开 分 D始 别 时 做 定 AA 点 B ， M 在 x 轴 原 的 点 垂 ， 线 圆 ， 滚 垂 动 足 xy了 分 别 角 rr(是 (后 1C E与 ， cx sxD 轴 oi。 ns相 切 )).于 ,(点 为 A ， 参 圆 心 数 在 )点 B 。
设 点 M 的 坐 标 为 ( x , y ) , 取 为 参 数 ， 根 据 点 M 满 足 的 几 何 条 件 ， 有
B
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
O
相应的定圆叫做渐开线的基圆。
第3页，共9页。
M A
2、渐开线的参数方程
y
以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面
直角坐标系。
M
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：2.3直线的参数方程 2.4 渐开线与摆线
(2)l1⊥l2⇔a1a2+b1b2=0.
2.标准形式的参数方程中参数的应用 经过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为
xyxy00ttscions， （ ， t为参数）
(1)若P1,P2是直线l上的两个点,对应的参数分别为
t1,t2,则向量
的数量为t2-t1,所以
=|t2-t1|,
2.直线的参数方程形式唯一吗?如果不唯一,同一直线 不同形式的参数方程中的参数都具有相同的几何意义 吗?
提示:直线的参数方程形式不唯一,同一直线不同形式
的参数方程中的参数具有不同的意义,甚至不具有明显
的几何意义,如直线x-y=0的参数方程 x 2 t ， (t为参数)
中的参数t就不具有明显的几何意义.
【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点 3
M到动点P的位移t为参数的参数方程是
x
1
tc
o
s
3
，
(t为参数)即为
x
1
(1t为t ， 参数) 2
y
3
ts
in
3
，
答案:
x
1
1(tt ，为 参y 数 3) 2
3 t. 2
y
3
3 t. 2
【知识探究】
探究点 直线的参数方程、渐近线与摆线
3.摆线及其参数方程
(1)定义.
当一个圆沿着一条定直线_________滚动时,圆周上的 无滑动地
_____________的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫做 _一__个__定__点. 运动
旋轮线
(2)参数方程. 设圆的半径为r,圆滚动的角为φ,那么摆线的参数方程 是__xy__rr_（ （_1__c_soi_sn_） _） ._，(φ是参数)
2.标准形式的参数方程中参数的应用 经过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为
xyxy00ttscions， （ ， t为参数）
(1)若P1,P2是直线l上的两个点,对应的参数分别为
t1,t2,则向量
的数量为t2-t1,所以
=|t2-t1|,
2.直线的参数方程形式唯一吗?如果不唯一,同一直线 不同形式的参数方程中的参数都具有相同的几何意义 吗?
提示:直线的参数方程形式不唯一,同一直线不同形式
的参数方程中的参数具有不同的意义,甚至不具有明显
的几何意义,如直线x-y=0的参数方程 x 2 t ， (t为参数)
中的参数t就不具有明显的几何意义.
【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点 3
M到动点P的位移t为参数的参数方程是
x
1
tc
o
s
3
，
(t为参数)即为
x
1
(1t为t ， 参数) 2
y
3
ts
in
3
，
答案:
x
1
1(tt ，为 参y 数 3) 2
3 t. 2
y
3
3 t. 2
【知识探究】
探究点 直线的参数方程、渐近线与摆线
3.摆线及其参数方程
(1)定义.
当一个圆沿着一条定直线_________滚动时,圆周上的 无滑动地
_____________的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫做 _一__个__定__点. 运动
旋轮线
(2)参数方程. 设圆的半径为r,圆滚动的角为φ,那么摆线的参数方程 是__xy__rr_（ （_1__c_soi_sn_） _） ._，(φ是参数)
高二数学,人教A版 ,渐开线与摆线 , 第1课时 课件
新知初探思维启动
1.直线的参数方程 经过点 M0(x0,yபைடு நூலகம்),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋ tcos α (t 为参数) y＝y0＋ tsin α ________________________. 直线上的动点 M 到定点 M0 的
绝对值 距离为上式中参数 t 的 ________.
所以,摆线的参数方程是__________________________.
x＝ r φ－ sin φ (φ 是参数) y＝ r 1－ cos φ
典题例证技法归纳
题型探究 题型一 直线参数方程几何意义的应用
例1 过 点 P( － 3,0) 且 倾 斜 角 为 30° 的直线和曲线
1 y＝t－ t
1 x＝ t＋ t
(t 为参数 )相交于 A、 B 两点 ,求线段 AB 的长 .
【解】
直线的参数方程为 1 y＝2s
3 x＝－ 3＋ s 2
(s 为参数 ),
曲线 1 y＝t－ t
1 x＝ t＋ t
(t 为参数 )可以化为 x2－ y2＝4.将直线的参
由于直线的参数方程为标准参数方程 , 即 s 为直线上的点
到定点的距离,所以可以直接通过求两点的参数之差求得
弦长 . 在解题时要注意应用参数的几何意义 , 还要注意是
否为标准方程.
变式训练
x＝1－ 3t 1.已知直线的参数方程是 (t 为参数 ),求直线上 y＝3t
到定点 A(1,0)的距离等于 3的点 M 的坐标 ,并求出此直线 的倾斜角 .
x＝1＋ cos α， (2)圆 C 的参数方程为 (α 为参数 ),试判断直 y＝ sin α
高中数学人教A版选修4-4课件 第二讲参数方程2.4渐开线与摆线
思维辨析
变式训练 1 已知圆的渐开线的参数方程是 ������ = cos������ + ������sin������, (φ 为参数),则此渐开线对应的基圆的直径 ������ = sin������-������cos������ π 是 ,当参数 φ= 时对应的曲线上的点的坐标 为 .
√2
四
渐开线与摆线
学 习 目 标 思 维 脉 络 1.了解 圆的渐开线的参 渐开线与摆线 数方程,了解 摆线的生成 渐开线的概念及生成过程 过程及它的参数方程. 摆线的概念及生成过程 2.了解 用向量知识推导 圆的渐开线与摆线的参数方程 运动轨迹的方法和步骤.
1.渐开线 (1)把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支 铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么笔尖画出的 曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆. (2)圆的渐开线的参数方程: ������ = ������(cos������ + ������sin������), (φ 为参数). ������ = ������(sin������-������cos������) 2.摆线 (1)圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上 一个定点的轨迹,圆的摆线又叫旋轮线. (2)圆的摆线的参数方程: ������ = ������(������-sin������), (φ 为参数). ������ = ������(1-cos������)
)
做一做2 半径为2的圆的摆线的参数方程为( ������ = 2cos������, A. (φ 为参数) ������ = 2sin������ ������ = -2cos������, B. (φ 为参数) ������ = -2sin������ ������ = 2(������-sin������), C. (φ 为参数) ������ = 2(1-cos������) ������ = 2(1-sin������), D. (φ 为参数) ������ = 2(������-cos������) 答案：C
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2
答案:(x+1)2+y2=2
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9.已知直线l过点P(1，2)，其参数方程为
x y
= =
1 2
-t +t
(t是参数)，
直线l与直线2x+y-2=0交于点Q，求|PQ|=_______.
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【解析】
答案：
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67
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x
=
3
-
2 2
t
(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标
y
=
5+
2t 2
系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为
极轴)中，圆C的方程为ρ= 2 5 sinθ. (1)求圆C的直角坐标方程； (2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3， 5 )，求 |PA|+|PB|.
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x=2t
7.点（-3，0）到直线
y =
(t为参数）的距离为_______.
2t 2
【解析】∵直线
x
=
2t
的普通方程为x-
y =
2t 2
y=2 0，2
∴点(-3,0)到直线的距离为d= 答案：1
|-3 -=0 |1.
1+(-2 2 )2
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8.(2010·天津高考)已知圆C的圆心是直线
t1、t2，由根与系数的关系，得
又直线l过点
P(3,5)，故由上式及t的几何意义得
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2 .
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12.（14分）已知双曲线 x 2 - y 2 = 1 ，过点P(2，1)的直线交双曲
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
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一、选择题（每小题6分，共36分）
x y
= =
t 1
+
（t为参数）
t
与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为___
_______.
【解析】将直线的参数方程化为普通方程为x-y+1=0.
由题意可得圆心(-1,0)，则圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆
的半径，故r= 2 = ，2所以圆的方程为(x+1)2+y2=2.
3
（C）过点（1，-2）且倾斜角为 2 的直线
3
பைடு நூலகம்
（D）过点（-1，2）且倾斜角为 2 的直线
3
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【解析】
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6.直线
x=-1+tsin10(t为参数)的倾斜角为(
y=2-tcos10
(A)10° (B)80°
(C)100°
【解析】
) (D)170°
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62
二、填空题（每小题8分，共24分）
70
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71
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72
三、解答题（共40分）
10.（12分）化直线l的参数方程
x
=
-3
+
t
(t为参数)为普通方
y=1+ 3t
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
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【解析】
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11.（14分）(2010·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
参数方程为
75
【解析】方法一：
(1)由ρ= 2 s5inθ，得x2+y2- y2 =50， 即x2+(y- 5 )2=5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得 (3- 2t)2+(，2t)2=5
2
2
整理，得 t2-3 2t.+4=0
由于Δ=( 3 )22-4×4=2>0，故上述方程有两个不相等实数根
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【解析】
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80
1.原点到直线
x y
= =
3 -
+ 3 2
4 +
t 3
t
(t为参数)的距离为(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】
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55
2.已知直线
x y
= =
3+4t -4+ 3
(t为参数)，下列命题中错误的是(
t
)
(A)直线经过点（7，-1）
(B)直线的斜率为 3
4
(C)直线不过第二象限
y
=
-
3
3+
3t 2
AB的中点坐标为( )
(A)（3，-3） (C)（ 3 ，-3）
(B)（- 3 ，3） (D)（3，- 3 ）
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【解析】
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5.以t为参数的方程
x
=
1
-
1 2
t
表示(
)
y
=
-
2
+
3t 2
（A）过点（1，-2）且倾斜角为 的直线
3
（B）过点（-1，2）且倾斜角为 的直线
(A)(6,0)
(B)(6,6π)
(C)(6,-12π)
(D)(-π,12π)
【解析】选C.当φ=2π时，得
x y= =6 6((scions22-+ 22 co sisn22))==-612，
故点(6,-12π)为所求.
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4.直线
x
=
1
+
1 2
t
(t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则
(D)|t|是定点M0（3，-4）到该直线上对应点M的距离 【解析】选D.直线的普通方程为3x-4y-25=0,由普通方程可 知,A、B、C正确，由于参数方程不是标准式， 故|t|不具有上述几何意义，故选D.
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3.当φ=2π时，圆的渐开线 xy==66((scions-+csoisn))上的点是( )
答案:(x+1)2+y2=2
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9.已知直线l过点P(1，2)，其参数方程为
x y
= =
1 2
-t +t
(t是参数)，
直线l与直线2x+y-2=0交于点Q，求|PQ|=_______.
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【解析】
答案：
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x
=
3
-
2 2
t
(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标
y
=
5+
2t 2
系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为
极轴)中，圆C的方程为ρ= 2 5 sinθ. (1)求圆C的直角坐标方程； (2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3， 5 )，求 |PA|+|PB|.
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x=2t
7.点（-3，0）到直线
y =
(t为参数）的距离为_______.
2t 2
【解析】∵直线
x
=
2t
的普通方程为x-
y =
2t 2
y=2 0，2
∴点(-3,0)到直线的距离为d= 答案：1
|-3 -=0 |1.
1+(-2 2 )2
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8.(2010·天津高考)已知圆C的圆心是直线
t1、t2，由根与系数的关系，得
又直线l过点
P(3,5)，故由上式及t的几何意义得
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2 .
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12.（14分）已知双曲线 x 2 - y 2 = 1 ，过点P(2，1)的直线交双曲
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
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一、选择题（每小题6分，共36分）
x y
= =
t 1
+
（t为参数）
t
与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为___
_______.
【解析】将直线的参数方程化为普通方程为x-y+1=0.
由题意可得圆心(-1,0)，则圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆
的半径，故r= 2 = ，2所以圆的方程为(x+1)2+y2=2.
3
（C）过点（1，-2）且倾斜角为 2 的直线
3
பைடு நூலகம்
（D）过点（-1，2）且倾斜角为 2 的直线
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【解析】
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61
6.直线
x=-1+tsin10(t为参数)的倾斜角为(
y=2-tcos10
(A)10° (B)80°
(C)100°
【解析】
) (D)170°
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二、填空题（每小题8分，共24分）
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三、解答题（共40分）
10.（12分）化直线l的参数方程
x
=
-3
+
t
(t为参数)为普通方
y=1+ 3t
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
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【解析】
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74
11.（14分）(2010·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
参数方程为
75
【解析】方法一：
(1)由ρ= 2 s5inθ，得x2+y2- y2 =50， 即x2+(y- 5 )2=5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得 (3- 2t)2+(，2t)2=5
2
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整理，得 t2-3 2t.+4=0
由于Δ=( 3 )22-4×4=2>0，故上述方程有两个不相等实数根
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【解析】
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80
1.原点到直线
x y
= =
3 -
+ 3 2
4 +
t 3
t
(t为参数)的距离为(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】
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2.已知直线
x y
= =
3+4t -4+ 3
(t为参数)，下列命题中错误的是(
t
)
(A)直线经过点（7，-1）
(B)直线的斜率为 3
4
(C)直线不过第二象限
y
=
-
3
3+
3t 2
AB的中点坐标为( )
(A)（3，-3） (C)（ 3 ，-3）
(B)（- 3 ，3） (D)（3，- 3 ）
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【解析】
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5.以t为参数的方程
x
=
1
-
1 2
t
表示(
)
y
=
-
2
+
3t 2
（A）过点（1，-2）且倾斜角为 的直线
3
（B）过点（-1，2）且倾斜角为 的直线
(A)(6,0)
(B)(6,6π)
(C)(6,-12π)
(D)(-π,12π)
【解析】选C.当φ=2π时，得
x y= =6 6((scions22-+ 22 co sisn22))==-612，
故点(6,-12π)为所求.
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4.直线
x
=
1
+
1 2
t
(t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则
(D)|t|是定点M0（3，-4）到该直线上对应点M的距离 【解析】选D.直线的普通方程为3x-4y-25=0,由普通方程可 知,A、B、C正确，由于参数方程不是标准式， 故|t|不具有上述几何意义，故选D.
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3.当φ=2π时，圆的渐开线 xy==66((scions-+csoisn))上的点是( )