2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(二十)文科数学

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2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(二十二)数学

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷（二十二）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一．选择题1.已知集合{}220A x x x =--≤，集合{}04B x x =<≤，则A B =（）A. []1,4-B. (]0,2C. []1,2-D. (],4-∞【答案】B 【解析】【分析】求出集合A ，根据交集定义计算．【详解】集合{}12A x x =-≤≤，(]0,2A B =．故选B ．【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题．2.已知方程222114x y m m +=--表示焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为（）A. ()1,2B. ()2,2-C. ()2,+∞D. R【答案】A 【解析】【分析】x 的分母为正，y 的分母为负．【详解】焦点在x 轴上．则21040m m ->⎧⎨-<⎩，解得12m <<．故选A ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，在方程221x y m n+=中，若0mn <，则其是双曲线方程．3.已知直线()1:4410l m x y -++=和()()2:4110l m x m y +++-=，若12l l ⊥，则实数m 的值为 A. 1或3- B.12或13- C. 2或6- D. 12-或23【答案】C 【解析】【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．【详解】∵直线()1:4410l m x y -++=和()()2:4110l m x m y +++-=，若12l l ⊥， ∴()()()44410m m m -+++=，得24120m m +-= ，解得2m =或6m =-， ∴实数m 的值为2或6-．故选C ．【点睛】本题考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．4.已知椭圆E ：221112x y +=与双曲线C ：22215x y a -=（0a >，0b >）有相同的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为（）A. y x =B. y =C. y x =D. y x = 【答案】D 【解析】【分析】求出椭圆焦点坐标，即为双曲线焦点坐标，再由双曲线中,,a b c 的关系求得a 后可得渐近线方程．【详解】椭圆E 的焦点为()3,0±．故22354a =-=．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±．故选D ．【点睛】本题考查椭圆与双曲线的标准方程，考查其几何性质．属于基础题．5.已知直线l 过点()1,2，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为（） A. 20x y -=B. 240x y +-=C. 20x y -=或220x y +-=D. 20x y -=或240x y +-=【答案】D 【解析】【分析】根据题意，分直线l 是否经过原点2种情况讨论，分别求出直线l 的方程，即可得答案．【详解】根据题意，直线l 分2种情况讨论：①当直线过原点时，又由直线经过点()1,2，所求直线方程为2y x =，整理为20x y -=， ②当直线不过原点时，设直线l 的方程为12x y a a +=，代入点()1,2的坐标得1212a a+=，解得2a =，此时直线l 的方程为124x y+=，整理为240x y +-=．故直线l 方程为20x y -=或240x y +-=.故选D ．【点睛】本题考查直线的截距式方程，注意分析直线的截距是否为0，属于基础题．6.已知tan 2α，()1tan 7αβ+=，则tan β=（） A. 2- B.13 C.34D. 3【答案】D 【解析】【分析】由()βαβα=+-结合两角差的正切公式计算．【详解】由()()()()()12tan tan 7tan tan 311tan tan 127αβαβαβααβα--+-=+-===⎡⎤⎣⎦++⨯+⨯-．故选D ．【点睛】本题考查两角差的正切公式，属于基础题．本题解题关键是“角”的变换，即()βαβα=+-．7.由直线30x y ++=上一点P 向圆 C ：()()22231x y -++=引切线，则切线长的最小值为（） A.14B.13C.12D. 1【答案】D 【解析】【分析】PC 最小即可，此最小值即为C 到直线的距离．【详解】点P 为直线上到圆心C 距离最小的点时，切线长最小，故有min PC ==1=．故选D ．【点睛】本题考查切线的性质，考查点到直线的距离公式．属于基础题．8.设正三角形ABC 的边长为2，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则在A ，B ，C ，D ，E ，F 这6个点中，任取2个点，则所取的2）A.15B.25C.13D.23【答案】A 【解析】【分析】63对，再求出任取2点的方法种数，媃中求得概率．【详解】ABC 中，有3对，在6点中取2点有15种，31155P ==．故选A ．【点睛】本题考查古典概型概率，求出事件的个数是解题关键．本题可能列举法求出基本事件的个数．9.已知1F ，2F 是双曲线C ：22152x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，213PF PF =，则12cos F PF ∠=（）A. 415-B.415C.1115D.58【答案】C 【解析】【分析】由双曲线的定义得122PF PF a -==12,PF PF ，最后由余弦定理可求得结论．【详解】由双曲线的定义知，122PF PF a -==，又213PF PF =，故12335PF PF ，1227F F ，∴221212121211cos 215PF PF F F F PF PF PF ．故选C ．【点睛】本题考查双曲线的定义，考查余弦定理．在双曲线中涉及到双曲线上的点到焦点的距离时，要考虑利用双曲线的定义求解，这样才能事半功倍．10.已知0x >，0y >，23x y +=，则23x yxy+的最小值为（）A. 3-B. 111【答案】B 【解析】23x yxy +2(2)2111x x y y x y xy y x ++==++≥+=+选B 11.已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在[)0,1为减函数在[)1,+∞为增函数，()20f =，则不等式()()0x f x f x --≥⎡⎤⎣⎦的解集为（）A. (][]202-∞-,,B. [][)202-+∞,,C. (]{}[),101,-∞-+∞D. (]{}[),202,-∞-+∞【答案】D 【解析】【分析】由奇函数性质把不等式变为20xf x ，再根据x 的值分类讨论，同时根据函数的单调性确定()f x 的正负．【详解】不等式()()0x f x f x --≥⎡⎤⎣⎦可化为20xf x，可得0x = 或()00x f x >⎧⎨≥⎩或()0x f x <⎧⎨≤⎩．得0x = 或2x ≥ 或2x -≤．故选D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查函数基本性质的综合应用．属于基础题．12.若直线l 交双曲线22126x y -=的左，右两支于A ，B 两点，O 为坐标原点，若0OA OB ⋅=，则21OA21OB+=（）A.12 B.13C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】设直线OA 的方程为()0y kx k =≠，代入双曲线方程求出A 点坐标，计算2OA ，直线OB 的方程为1yx k（0k ≠），同理可得2OB ，计算21OA 21OB +即可。

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2021届全国百校联考新高考原创预测试卷（二十四）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

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第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2211220A B x x x =--=-≤，，，，，则A B =（）A. ()12， B. []12， C. {}12， D.{}12x x ==，【答案】C 【解析】【分析】首先求集合B ，再求AB .【详解】220x x -≤，解得：02x ≤≤{}02B x x ∴=≤≤，{}1,2A B ∴=.故选：C【点睛】本题考查集合的交集，意在考查计算能力，属于基础题型. 2.若3sin()25πα-=，则cos2α=（） A.725B. 2425C. 725-D. 2425-【答案】C 【解析】【分析】根据题意先求出3cos 5α=，然后再用倍角公式求解即可得到结果．【详解】由条件得3sin cos 25παα⎛⎫-== ⎪⎝⎭， ∴2237cos22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭．故选C ．【点睛】本题考查诱导公式和倍角公式的应用，考查变形和计算能力，解题的关键是正确进行公式的变形，属于基础题．3.若00x y >>，，则2x y +≤是224x y +≤的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先判断当2x y +≤时，两边平方后能判断224x y +≤成立，反过来，判断是否成立，再判断充分必要条件.【详解】当2x y +≤时，且0,0x y >>()222424x y x y xy ∴+≤⇒++≤， 22424x y xy ∴+≤-< ，∴若00x y >>，， 2224x y x y +≤⇒+≤，反过来，当2x y ==时，满足224x y +≤，当此时2x y +> ，∴当00x y >>，，2242x y x y +≤⇒+≤/.故选：A【点睛】本题考查充分必要条件，意在考查基本的判断方法，属于基础题型. 4.已知等比数列{}n a 满足1223612a a a a +=+=，，则1a 的值为（） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】由题意列方程组11211612a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩求解. 【详解】设等比数列的公比为q ，11211612a a q a q a q +=⎧∴⎨+=⎩ ，解得：12,2q a == 故选：B【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，属于基础题型. 5.某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为43，则图中x 的值为（）A. 2 2C. 1D.12【答案】C【解析】【分析】画出该三视图对应的直观图，再由棱锥的体积公式得出x 的值. 【详解】该三视图对应的直观图是三棱锥S ABC -，如下图所示由棱锥的体积公式得：311442223233S ABC V x x x x -⎛⎫=⋅⋅⋅⋅== ⎪⎝⎭，解得：1x = 故选：C【点睛】本题主要考查了已知三视图求体积，属于中档题. 6.已知ln 2421log 532a b c e ===，，，则a b c ，，满足（） A. a b c <<B. b a c <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】A 【解析】【分析】根据对数运算法则化简，再根据函数的单调性比较大小. 【详解】4221log 5log 5log 52a === 2213log 32b == ，2log y x =是单调递增函数，2221log 5log 3log 42∴<<<= ，ln 22c e ==，a b c ∴<<.故选：A【点睛】本题考查对数的运算，和比较大小，意在考查基础计算能力，属于基础题型.7.已知直线:1l y x =-与抛物线24y x =相交于A B ，两点，M 是AB 的中点，则点M 到抛物线准线的距离为（） A.72B. 4C. 7D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据数形结合分析可知点M 到抛物线准线的距离1'2MM AB =，再根据弦长公式求AB . 【详解】由题意可知直线1y x =-过抛物线24y x =的焦点()1,0，如图，',','AA BB MM 都和准线垂直，并且垂直分别是',','A B M ，由图象可知()1'''2MM AA BB =+，根据抛物线的定义可知''AA BB AB +=，1'2MM AB ∴=， 214y x y x=-⎧⎨=⎩ 联立得2610x x -+=， 126x x += ，1228AB x x ∴=++=， '4MM ∴=.故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义和弦长公式，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于基础题型.8.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数()1sin 2f x x x =-的图像大致是（） A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由判断函数()f x 的奇偶性以及利用导数得出区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性即可判断. 【详解】()()()111sin sin sin ()222f x x x x x x x f x ⎛⎫-=---=-+=--=- ⎪⎝⎭则函数()f x 在R 上为奇函数，故排除B 、D.()1cos2f x x '=-，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 2x >，即0f x所以函数()f x 在区间0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故排除C故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于中档题.9.关于函数()sin cos f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是周期函数；②()f x 的最小值为；③()f x 的图象关于y 轴对称；④()f x 在区间42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增.其中所有正确结论的编号是（） A. ①② B. ①③C. ②③D. ②④【答案】B 【解析】【分析】①代入周期公式，判断周期；②去绝对值得到分段函数判断最小值；③利用定义判断函数的奇偶性；④去绝对值，化简函数，再判断函数的单调性.【详解】①()()()2sin 2cos 2sin cos f x x x x x πππ+=+++=+()()2f x f x π∴+=，()f x ∴是周期为2π的周期函数，故①正确；②()f x 的周期是2π，所以分析[]0,2x π∈时函数的值域，当0,x时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ，5,444x πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，sin ,142x π⎛⎤⎛⎫∴+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，()f x ∴的值域是(-，当[],2x ππ∈时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，59,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，cos 4x π⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()f x ∴的值域是⎡-⎣，综上可知函数()f x 的值域是⎡-⎣，最小值是-1，故②不正确；③()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=()f x ∴是偶函数，关于y 轴对称，故③正确；④由②知，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，3,424x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ，而sin y x =在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④不正确. 综上可知，正确编号是①③. 故选：B【点睛】本题考查含绝对值的三角函数性质的判断，意在考查转化与化归的思想，推理能力，和计算能力，属于中档题型，本题的关键是根据函数的周期，正确去掉绝对值，然后再分析函数的性质.10.已知双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线右支交于点M ，若1230F MF ∠=°，则双曲线的渐近线斜率为（）A. (3±B. (3±+C. 13⎛±+ ⎝⎭） D.1⎛± ⎝⎭ 【答案】A 【解析】【分析】由直角三角形以及中位线的性质得出24MF a =，由双曲线的定义得16F M a =，再由余弦定理以及222c a b =+化简得出(3ba=±，即可得出双曲线的渐近线斜率. 【详解】取切点为B ，连接BO ，作21AF MF ⊥，垂足于A 因为2BO AF ，且O 为12F F ，的中点，所以222AF BO a ==直角三角形2AF M 中，1230F MF ∠=°，所以2224MF AF a == 由双曲线的定义得： 1226F M a MF a =+=由余弦定理可知：()()()222264264cos30c a a a a =+-⨯⨯︒ 化简得：()221363c a =-，又222c a b =+所以()221263b a =-，即()222126333b a=-=-所以()33ba=±- 故双曲线的渐近线斜率为()33ba±=±- 故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，涉及了直角三角形的性质以及余弦定理，属于中档题.11.2019年11月18日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔10年再度走进中国.为了增强趣味性，并实时播报现场赛况，我校现场小记者李明和播报小记者王华设计了一套播报转码法，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a bc z ，，，…，的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数通过变换公式：()()**26121322262x N x x x y x x N x x +⎧⎪⎪=⎨⎪+∈∈≤⎪≤⎩，，不能被整除，，能被整除，将明文转换成密文，如6613162→+=，即f 变换成251:25132p +→=，即y 变换成m .若按上述规定，若王华收到的密文是ukweat ，那么原来的明文是（） A. fujian B. puxianC. putianD. fuxian【答案】C 【解析】【分析】分别得出u 、w 对应的自然数，将21y =、23y =代入公式得出对应的明文，由排除法即可得出答案.【详解】u 对应的自然数为21，即21y =，则1212x +=或13212x+=，解得：41x =(舍)，16x =即u 对应的明文为p ，故排除A ，D ； w 对应的自然数为23，即23y =，则1232x +=或13232x+=，解得：45x =(舍)，20x ，即w 对应的明文为t ，故排除B ；故选：C【点睛】本题主要考查了分段函数已知函数值求自变量，属于中档题.12.已知对任意实数x 都有()()'2xf x f x e -=，()01f =-，若()()1f x k x >-，则k 的取值范围是（）A. ()1+∞， B. 32342e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C. 1214e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D. 3214e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】D 【解析】【分析】首先根题意构造函数()()xf x F x e=，并且求得函数()()21xf x e x =-，再讨论1,1x x >< 和1x =三种情况，参变分离后讨论k 的取值范围. 【详解】设()()xf x F x e=， ()()()()()()22x xxx f x e f x e f x f x F x ee ''--'===，()2F x x c ∴=+，即()()()22x xf x x c f x e x c e=+⇒=+， ()01f c ==-，()()21x f x e x ∴=-，不等式()()()()1211xf x k x ex k x >-⇒->-当1x >时，()211x e x k x -<-，即()min211x e x k x ⎡⎤-<⎢⎥-⎣⎦ ，设()()211x e x g x x -=-，()()()()222232311xx x x e g x e x x x x -'=⋅=⋅---，1x > 当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '< ，()g x 单调递减，当3,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴当32x =时，函数取得最小值，32342g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当1x >时，324k e <，当1x <时，()211x e x k x ->-，即()max211x e x k x ⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦设()()211x e x g x x -=-，()()()()222232311xx x x e g x e x x x x -'=⋅=⋅---，1x < ，当0x <时，()0g x '>，()g x 单调递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减， 0x ∴=时，()g x 取得最大值，()01g =，1x ∴<时，1k >，当1x =时，()10f e =>恒成立，综上可知：3214k e <<. 故选：D【点睛】本题考查构造函数，不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查利用函数的导数构造函数，并利用导数分析函数的性质，利用导数构造函数需熟记一些函数的导数，()()()()xf x f x xf x ''=+，()()()2f x xf x f x x x ''-⎛⎫=⎪⎝⎭，()()()()222x f x xf x x f x ''=+ ()()()()()xxe f x e f x f x ''=+，()()()x xf x f x f x e e ''-⎛⎫= ⎪⎝⎭. 二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知复数z 满足13iz i =+（i 为虚数单位），则复数z =__________. 【答案】3i + 【解析】【分析】先化简13iz i+=，再求z . 【详解】22133331i i i iz i i i ++-+====--3z i ∴=+.故答案为：3i +【点睛】本题考查复数的化简，共轭复数，属于简单题型.14.已知x y ，满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是__________.【答案】[]05，【解析】【分析】首先作出不等式表示的可行域，再令0z =作出初始目标函数，通过平移直线求得函数的最大值，求2z x y =+的取值范围.【详解】首先画出不等式组表示的可行域，如图OAB ∆，令0z =，画出初始目标函数20x y +=，然后平移到点B 取得最大值2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩ ，解得：1,2x y ==，max 1225z ∴=+⨯=.当目标函数过点()0,0时，取得最小值，min 0200z =+⨯=，2z x y ∴=+的取值范围是[]0,5.故答案为：[]0,5【点睛】本题考查线性规划，意在考查画图，数形结合分析问题的能力，属于基础题型. 15.在三棱锥P ABC -中，60ABC ∠=︒，90PBA PCA ∠=∠=︒，点P 到底面ABC 的距2，若三棱锥P ABC -的外接球表面积为6π，则AC 的长为__________. 3【解析】【分析】PN 平面ABC ,垂足为点N ，连接,NB NC ，由条件可知AN 是四边形ABNC 外接圆的直径，并作出几何体外接球的球心，并且求出2AN =，根据同弦所对的圆周角相等，可知60ANC ∠=，求出AC 的长.【详解】PN平面ABC ,垂足为点N ，连接,NB NC ，,PN AB PB AB ⊥⊥，AB ∴⊥平面PBN ，BN ⊂平面PBN ，AB BN ∴⊥，同理AC CN ⊥， AN ∴是四边形ABNC 外接圆的直径，取AN 的中点M ，即M 是四边形ABNC 外接圆的圆心，作OM ⊥平面ABC ，则OA OB OC ON ===过PN 的中点H 作PN 的垂线，交OM 于点O ，则ON OP =OA OB OC ON OP ∴====，O ∴是三棱锥P ABC -外接球的球心，246S R ππ==，62R ∴=，22OM =, 2231122AM R OM ∴=-=-=, 2AN ∴=，即底面外接圆的直径是2，60ABC ∠=，60ANC ∴∠=，332AC AN ∴=⨯=.3【点睛】本题考查几何体的外接球问题，意在考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型，一般几何体的外接球问题关键是确定球心，也可利用补体求解，若是几何体可以补成长方体或正方体，可以转化为正方体或长方体的外接球问题.16.在锐角ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，点O 为ABC 外接圆的圆心，3A π=，且AO AB AC λμ=+，则λμ的最大值为__________.【答案】19【解析】【分析】首先变形()()AO OB OA OC OA λμ=-+-，得到()1AO OB OC λμλμ--=+，两边平方后，得到()2221λμλμλμ∴--=+-，最后利用基本不等式求λμ的最大值【详解】ABC ∆是锐角三角形，∴O 在ABC ∆的内部，0,1λμ∴<<()()AO OB OA OC OA λμ=-+-()1AO OB OC λμλμ--=+，两边平方后()()222222212AO OB OCOB OC OB OC λμλμλμλμ--=+=++⋅3A π=,120BOC ∴∠=，且AO BO CO ==，()2221λμλμλμ∴--=+-()132λμλμ∴+=+0,1λμ<<，13λμ∴+≥t =，2341t t ∴-+≥，解得：1t ≥（舍）或13t ≤，1139λμ⇒≤， λμ∴的最大值是19.故答案为：19【点睛】本题考查向量加，减和数量积运算的综合问题，意在考查转化与化归的思想和计算能力，本题的关键的关键转化是()()AO OB OA OC OA λμ=-+-，整理后得到()1AO OB OC λμλμ--=+，然后再两边平方求λμ的最大值.三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin cos 2sin cos A B c bB A b-=.（1）求A ；（2）设5b =，ABCS =若D 在边AB 上，且3AD DB =，求CD 的长.【答案】（1）3π；（2【解析】【分析】（1）根据正弦定理变换互化为sin cos 2sin sin sin cos sin A B C B B A B -=，再化简求得1cos 2A =，求角A ；（2）根据面积求8AB =，ADC ∆中，根据余弦定理求CD 的长.【详解】（1）因为sin cos 2sin cos A B c b B A b-=，由正弦定理可得sin cos 2sin sin sin cos sin A B C BB A B-=，化简得：sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-，所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，即()sin 2sin cos A B C A +=.又因为A B C π++=，所以()()sin sin sin A B C C π+=-=. 则sin 2sin cos C C A =.因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =. 因为0A π<<，所以3A π=.（2）因为11sin 5sin 223ABCSAB AC A AB AB π=⋅⋅=⨯⨯⨯=，因为ABCS=AB =，即8AB =，因为3AD DB =，即34AD AB =，所以6AD =.在ACD △中，563AC AD A π===，，，由余弦定理得：2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅⋅，则212536256312CD =+-⨯⨯⨯=，所以CD =【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于基础题型，一般边和角在一个是式子的时候，可以采用正弦定理边角互化，转化为三角函数恒等变形问题.18.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =-，{}n b 为正项等比数列，且1134362b a b a =+=+，.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设1211log n n n c a b ++=⋅，求{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）23n a n =-，212n n b -=；（2）21n nT n =+. 【解析】【分析】（1）首先已知n S 求n a ，再设数列{}n b 的首项1b ，设公比为q ，231b q b =，求数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可知()()12121n c n n =-+，再利用裂项相消法求和.【详解】（1）由22n S n n =-，得当1n =时，111a S ==-，当2n ≥时，()()22112143n S n n n n -=---=-+，所以当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=-，11a =-也满足此式.所以23n a n =-.又1134326232b a b a =+==+=，，因为{}n b 为正项等比数列，设{}n b 的公比为()0q q >. 所以23116b q b ==，即4q =，所以11211242n n n n b b q ---=⋅=⋅=.（2）因为()2111213212n n n a n n b +++=+-=-=，.所以()()()211212111log 21log 22121n n n n c a b n n n +++===-⋅-+.11122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭所以123n n T c c c c =++++…1111111112335572121n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭ (11122121)n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 所以21n nT n =+. 【点睛】本题考查已知数列的前n 项和n S ，求通项公式，以及数列求和，已知考查基本方法和计算计算能力，属于基础题型，11n nn S a S S -⎧=⎨-⎩ 12n n =≥，一般求和的方法包括：1.公式法求和，2.分组转化法求和，3.裂项相消法求和，4.错位相减法求和，5.倒序相加法求和，6.规律求和法.19.如图，正方形ABCD 的边长为22，以AC 为折痕把ACD △折起，使点D 到达点P 的位置，且PA PB =.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PC 的中点，设()01PN PA λλ=<<，且三棱锥A BMN -的体积为89，求λ的值.【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，取AC 中点O ，连结POBO ，，由条件证明,PO AC PO OB ⊥⊥；（2）利用等体积转化1839A BMNB AMN AMNV V S BO --==⋅=，解得43AMNS =，由面积公式解得λ的值.【详解】解：（1）取AC 中点O ，连结POBO ，. 因为PC PA =，所以PO AC ⊥. 在POB 中，122PO OB AC ===，22PB PA == 则222PB PO OB =+，所以PO OB ⊥，又ACOB O =，且AC OB ⊂、面ABC ，所以PO ⊥面ABC ，又PO ⊂面PAC ，所以面PAC ⊥面ABC . （2）因为面PAC ⊥面ABC ，又面PAC面ABC AC =，且BO AC ⊥，所以OB ⊥面PAC ，所以13A BMNB AMN AMNV V S BO --==⋅.又因为2OB =，89A BMN V -=，所以43AMNS=. 因为PN PA λ=，所以()112AMNAPMPACS SS λλ-=-=.又142PACSPA PC =⋅=，所以14423λ-⨯=，得13λ=. 【点睛】本题考查面面垂直的证明和利用等体积转化求参数的问题，意在考查空间想象能力和推理证明，计算能力，属于中档题型，本题第二问的关键是等体积转化A BMN B AMN V V --=，一般求四面体的体积或是求点到面的距离都需要考虑等体积转化，求点到面的距离也可以转化为其他等价的点到平面的距离.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，左，右顶点分别为A B ，，离心率为12，且过点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，. （1）求C 的方程；（2）设过点F 的直线l 交C 于P ，Q （异于A B ，）两点，直线PAQB ，的斜率分别为12k k ，.若21k tk =，求t 的值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】【分析】（1）根据12c a =，求得2243b a =，再代入点的坐标，求得椭圆方程；（2）设直线PB 的斜率为3k ，直线l 的方程1x my =+和椭圆方程22143x y +=联立，利用根与系数的关系表示13k k 和23k k 的值，再求21k t k =. 【详解】（1）依题意得椭圆的离心率为12c e a ===，则2243b a =.将点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程2222:1x y C a b+=得221913a a +=，则2243a b ==，，故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设直线PB 的斜率为()()31122k P x y Q x y ，，，，.由题意可知，直线PQ 的斜率不为0，故可设直线1l x my =+：.由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x ，得()2234690m y my ++-=，所以122634m y y m +=-+，122934y y m =-+.所以()2112232211212221y y y y k k x x m y y m y y ⋅=⨯=---++ 22222992496413434m m m m m -+==--++++.又因为点P 在椭圆上，所以211321344y k k x ==--，则213k k =，所以3t =.【点睛】本题考查椭圆方程和直线与椭圆的位置关系的综合应用问题，意在考查利用根与系数的关系求解定值，属于中档题型，本题第二问的关键是设直线PB 的斜率为3k ，并且表示13k k 和23k k 的值.21.已知函数()ln 1f x ax x ax =++.（1）函数()f x 在1x =处的切线l 过点()22-，，求l 的方程；（2）若*N a ∈且函数()f x 有两个零点，求a 的最小值.【答案】（1）22y x =-+即220x y +-=；（2）8. 【解析】【分析】（1）首先求出在1x =处的切线方程，然后代入点()2,2-，求参数a 的值；（2）首先利用导数判断函数的单调性和最小值，因为()f x 有两个零点，所以()min 0f x <即210ae--<得2a e >，再根据零点存在性定理证明()f x 在211a e e ⎛⎫⎪⎝⎭，上有一个零点，在211e ⎛⎫⎪⎝⎭，上有一个零点，得到a 的最小值. 【详解】（1）因为()()ln 10f x ax x ax x =++>，所以()1'ln ln 2f x a x ax a a x a x=+⋅+=+，所以()'12f a =又()11f a =+，所以()f x 在1x =处切线l 方程为()()121y a a x -+=-，即21y ax a =-+.又因为直线l 过点()22-，，所以得241a a -=-+即1a =-. 所以直线l 方程为22y x =-+即220x y +-=. （2）因为()()'ln 2ln 2f x a x a a x =+=+. 令()'0f x =得ln 2x =-即2x e -=，因为*a N ∈所以0a >，所以当20x e -<<时，()'0f x <，当2x e ->时，()'0f x >，则()f x 在()20e-，上单调递减，在()2e-+∞，上单调递增，所以()()22min 1f x f eae--==-.因为()f x 有两个零点，所以()min 0f x <即210ae --<得2a e >，又因为()110f a =+>，1111ln 1a a aaf a a e e e e ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2211a a a a a a e a a e e e-=++=-+. 设()()21ag a e a a a =-+>则()'2ag a e a =-，因为()'g a 在()1+∞，上单调递增，所以()'0g a >，所以()g a 在()1+∞，单调递增，所以()()10g a g e >=>.又10a e>，所以10a f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故()f x 在211a e e ⎛⎫⎪⎝⎭，上有一个零点，在211e ⎛⎫⎪⎝⎭，上有一个零点，即()f x 在()0+∞，上有两个零点，则2a e >又*a N ∈且2739e ≈．，所以a 得最小值为8.【点睛】本题考查导数的几何意义，和已知零点个数求参数的取值范围，意在考查转化与化归的思想和计算能力，本题第二问的难点是函数的最小值()min 0f x <后，如何说明左右各有一个零点，即根据零点存在性定理说明，当1a >时，证明1111ln 10a a aaf a a e e e e ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题计分.22.已知曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换''x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩得到曲线'C ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设A 点的极坐标为32π⎛⎫ ⎪⎝⎭，. （1）求曲线'C 的极坐标方程；（2）若过点A 且倾斜角为6π的直线l 与曲线'C 交于M N ，两点，求AM AN ⋅的值. 【答案】（1）'C 的极坐标方程为：1ρ=（2）54【解析】【分析】(1) 由曲线C 的参数方程得出其普通方程，利用坐标变换得出'C 的方程，再转化为极坐标方程；(2)利用直线的参数方程的参数的几何意义求解即可.【详解】解：（1）曲线C 的普通方程为：2213x y +=，将曲线C上的点按坐标变换''x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩得到''x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，代入()()22''1x y +=得'C 的方程为：221x y +=.化为极坐标方程为：1ρ=.（2）点A 在直角坐标的坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为直线l 过点A 且倾斜角为6π，设直线l的参数方程为32212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22:1C x y +=得：2504t -+=. 设M N ，两点对应的参数分别为12t t ，，则121254t t t t +==.所以1254AM AN t t ⋅==. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程以及极坐标方程的转化、直线的参数方程参数的几何意义，属于中档题.23.已知函数()221f x m x =--，m R ∈，且102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为{}11x x -≤≤. （1）求m 的值；（2）若,,a b c 都为正数，且11124m a b c++=，证明：249a b c ++≥. 【答案】（1）1m =（2）证明见解析【解析】【分析】(1)由题设条件得出220m x -≥，解得m x m -≤≤，根据102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集求出m 的值；(2)将1代换为11124a b c++，利用基本不等式证明不等式即可. 【详解】（1）由102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭得220m x -≥得m x m -≤≤，因为102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为{}11x x -≤≤，所以1m =. （2）由（1）得111124a b c++=， ∴()1112442241119242424b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++++++≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当且仅当24a b c ==时，等号成立. 所以249a b c ++≥成立.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式证明不等式，注意“1”的代换，属于中档题.。

2021届全国百校联考新高三原创预测试卷(三)文科数学

2021届全国百校联考新高三原创预测试卷（三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数iiz 2143--= ，则复数在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}2|0,A x x x x R =+=∈，则满足{}0,1,1A B =-的集合B 的个数是A ．4B ．3C ．2D ．13．若实数,x y 满足521x y x y x +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最小值是A ．9B ．203C ．103D ．24．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为 A ．54钱 B ．43钱 C ．32钱 D ．53钱 5．定义运算a bad bc c d=-，则函数()1sin 21xf x x=的大致图象是A ．B ．C ．D ．6．已知4sin()5πα+=，且α是第四象限角，则cos(2)απ-的值是 A ．35B ．35C ．35± D ．457．已知圆C :221x y +=，定点()00,P x y ，直线l :001x x y y +=，则“点P 在圆C 外”是“直线l 与圆C 相交”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8.在边长为4的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足AMB ∠为锐角的概率为 A ．18π-B ．8πC ．14π-D ．4π9．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(2)2f =-，则满足2(2)2f x -≤-≤的x 的取值范围是A ．[]22-,B ．[]1,3C ．[]1,1-D ．[]0,410．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为A ．3-B ．32C ．12D ．12-11．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为3c ，则双曲线的渐近线方程为 A ．3y x =±B ．2y x =±C ．y x =±D ．2y x =±12．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是 A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>第II 卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

百校联盟2021届高三普通高中教育教学质量监测考试全国卷数学(文) 试题(wd无答案)

百校联盟2021届高三普通高中教育教学质量监测考试全国卷数学（文）试题一、单选题(★) 1. 若，则（）A．3B．2C．D．(★★) 2. 设集合，，则（）A．B．C．D．(★★★) 3. 我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图（1）为北京某宫殿建筑，图（2）为该宫殿某一“柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1，则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为（）图（1）图（2）A．B．C．D．(★) 4. 从3，5，7，9，10中任取3个数作为边长，不能够围成三角形的概率为（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知两个随机变量，呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设，，利用最小二乘法，得到线性回归方程，则（）A．变量的估计值的最大值为B．变量的估计值的最小值为C．变量的估计值的最大值为D．变量的估计值的最小值为(★★) 6. 已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．(★★) 7. 已知曲线的一条切线的斜率为7，则该切线的方程为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知函数，若，，则的最小值为（）A．B．C．2D．3(★★) 9. 已知，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．(★★) 10. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，其中；若，则（）A．B．C．D．(★★★) 11. 已知等比数列的前项和为，若，且，则等比数列公比（）A．有最大值，无最小值B．有最小值，无最大值C．有最大值也有最小值D．无最大值也无最小值(★★) 12. 已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，，，，分别为线段，，的中点，则直线，，，中，与平面所成角为定值的有（）A．1条B．2条C．3条D．4条二、填空题(★★) 13. 若实数，满足，则的最大值为______.(★★) 14. 已知，，若在方向上的投影为，则______.(★★) 15. 圆：上的点到直线距离的最大值为______. (★★★) 16. 已知首项为1的数列的前项和为，若，则数列的前项和______.三、解答题(★★★) 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，. （1）求；（2）若，，点在线段上，，求的余弦值.(★★★) 18. 已知数列满足，且，数列是公差为的等差数列.（1）探究：数列是等差数列还是等比数列，并说明理由；（2）求使得成立的最小正整数的值.(★★★) 19. 如图，多面体中，，平面，平面，且.（1）设是线段上的点，求证；（2）求点到平面的距离.(★★) 20. 某工厂用机器生产了10000件产品，根据该产品某种质量指标值的有关数据得到如图直方图，若任取1件产品，该质量指标值在的频率为0.4.（1）求，的值；（2）求产品质量指标值的中位数以及平均数；（3）为了调查，两种机器生产的产品的质量指标是否有差异，研究人员用机器也生产了10000件产品，所得数据如下所示，判断是否有99%的把握认为，两种机器生产的产品的质量与质量指标是否超过30有关.机器生产产品机器生产产品质量指标不超过3060005000质量指标超过3040005000附：.0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.828(★★★★) 21. 已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）若，证明：在上恒成立.(★★★) 22. 已知椭圆：的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，点，求证：.。

2021届全国百校联考新高三原创预测试卷(十三)文科数学

2021届全国百校联考新高三原创预测试卷（十三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

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一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1.若221z ii=+-，则z=（）A. 2B.C. 10D. 【答案】D【解析】【分析】先化简()()()212221213111iz i i i i ii i i+=+=+=++=+--+，再代入模的公式求解.【详解】因为()()()212221213 111iz i i i i ii i i+=+=+=++=+ --+，所以z ==故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的模，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2.已知集合{}{}3,2,1,0,1,2,3,123A B x Z x =---=∈-≤-<，则A B =（）A. {}1,2,3B. {}1,0,1-C. {}2,3D.{}3,2,1,0,1---【答案】A 【解析】【分析】先化简集合{}1234B =，，，，再与集合A 取交集. 【详解】因为{}{}{}123151234B x Z x x Z x =∈-≤-<=∈≤<=，，，，又因为{}3,2,1,0,1,2,3A =---，所以{}123A B =，，.故选：A【点睛】本题主要考查复集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.已知角α的终边经过点()1,2P -，则()cos πα-=（）A.B. C.D. 【答案】B 【解析】【分析】根据角α的终边经过点()1,2P -，利用三角函数的定义求得cos 5α==，再利用诱导公式求()cos πα-.【详解】因为角α的终边经过点()1,2P -，所以()25cos 12α==+-，所以()5cos cos 5παα-=-=-. 故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的定义及诱导公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4.执行如图所示的程序框图，则当输入的x 分别为3和6时，输出的值的和为（）A. 45B. 35C. 147D. 75【答案】D 【解析】【分析】根据循环终止条件，分别求得输入3和6的结果，再求和. 【详解】当输入的x 为3时，27544y =-=. 当输入的x 为6时，26531y =-=. 所以输出的值的和为75. 故选：D【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题. 5.据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（）A. CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住B. CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C. 猪肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%D. 猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%【答案】D【解析】【分析】A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可.B. CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判断.C.食品占19.9%，再看第二个图，分清2.5%是在CPI一篮子商品中，还是在食品中即可.D. 易知猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.【详解】A. CPI一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.B. CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，权重超过50%，故正确.C.食品占中19.9%，分解后后可知猪肉是占在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%，故正确.D. 猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约 2.1%+2.5%=4.6%，故错误.故选：D【点睛】本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6.刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD为朱方，正方形BEFG为青方”，则在五边形AGFID内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（）A.1637B.949C.937D.311【答案】C 【解析】【分析】首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解.【详解】因为正方形ABCD 为朱方，其面积为9，五边形AGFID 的面积为37ABCD BGFE DCI IEF S S S S ∆∆+++=，所以此点取自朱方的概率为937. 故选：C【点睛】本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 7.已知圆224210x yx y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为（） A.5 B. 5C.5 D.54【答案】C 【解析】【分析】将圆224210x y x y +-++=，化为标准方程为，求得圆心为()21-，.根据圆224210x yx y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，12b a =.再根据c e a ==. 【详解】已知圆224210x y x y +-++=，所以其标准方程为：()()22214x y -++=，所以圆心为()21-，. 因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，所以其渐近线方程为by x a=±，又因为圆224210x y x y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，所以12b a =.所以c e a ===. 故选：C【点睛】本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,7,3C c ABC π==∆的面积为，则ABC ∆的周长为（）A. 8B. 12C. 15D. 7+【答案】C 【解析】【分析】根据142,3ABC C S π∆==，解得15ab =，再由余弦定理得()22222cos 49c a b ab C a b ab =+-=+-=，求得+a b 即可.【详解】因为2,3C ABC π=∆的面积为153，所以1sin 1253ab C =，解得15ab =. 由余弦定理得()22222cos 49c a b ab C a b ab =+-=+-=，所以8a b +=，又因为7c =，所以1sin 14253ab C =，解得15ab =. 由余弦定理得()22222cos 49c a b ab C a b ab =+-=+-=，所以8a b +=，所以ABC ∆的周长为15. 故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9.函数()()()22lg 101xf x x x =+-+在[]22-,上的图象大致为（） A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的特点，结合选项的图象特征，利用特殊值进行验证排除确定. 【详解】因()()00lg 101lg 20f =+=>，排除B ，D.又因为()()4461012lg 1016lg 010f ⎛⎫+=+-=< ⎪⎝⎭，排除C. 故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析，特殊法应用的能力，属于中档题.10.已知函数()1sin 22f x x x =，将()f x 的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到函数()g x 的图象，且()g x 满足66g x g x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ϕ的最小值为（） A.6πB.4π C.3π D.23π 【答案】B 【解析】【分析】将化简为()1sin 22sin 223f x x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，再利用平移变换得到()()sin 2sin 2233g x x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据()g x 满足66g x g x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有()g x 图象关于6x π=对称求解.【详解】因为()1sin 2cos 2sin 2223f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()()sin 2sin 2233g x x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()g x 满足66g x g x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 图象关于6x π=对称，所以22632k πππϕπ⨯--=+，解得24k ππϕ=--，又因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为4π. 故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及图象变换，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（）A. 36B. 26C. 5D.53【答案】B 【解析】【分析】先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 【详解】如图所示：1,,A P C 确定一个平面α，因为平面11//AA DD 平面11BB CC ，所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ，所以四边形1APC Q 是平行四边形. 即正方体被平面截的截面. 因为12B P PC =，所以112C B PC =，即1PC PB ==所以11AP PC AC ===由余弦定理得：22211111cos 25AP PC AC APC AP PC +-∠==⨯所以1sin 5APC ∠=所以S 四边形1APQC 1112sin 2AP PC APC =⨯⨯⨯∠=故选：B【点睛】本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.12.定义：()(){}N f x g x ⊗表示()()f x g x <的解集中整数的个数.若()()()22log ,11f x x g x a x ==++，且()(){}1N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是（） A. 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦C. (],0-∞D.11,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ 【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象，结合()(){}1N f x g x ⊗=，则有(1)410(2)911g a g a =+>⎧⎨=+≤⎩求解.【详解】因为()(){}1N f x g x ⊗= 如图所示：则有(1)410(2)911g a g a =+>⎧⎨=+≤⎩解得：104a -<≤ 故选：B【点睛】本题主要考查函数与不等式问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知a =（4，﹣1），b =（2，t 2﹣1），若a b ⋅=5，则t ＝_________. 【答案】2± 【解析】【分析】结合已知，直接利用向量数量积的坐标表示代入即可求解t ．【详解】∵a =（4，﹣1），b =（2，t 2﹣1）， ∴a •b =4×2﹣（t 2﹣1）＝5， t 2＝4，则t ＝±2．故答案为：±2．【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示的简单应用是，属于基础试题． 14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-+.当01x <≤时，()2020log f x x =-，则()2018f =__________，()()1201920202020f f f ⎛⎫++= ⎪⎝⎭_________. 【答案】 (1). 0 (2). 1 【解析】【分析】根据函数()f x 是定义在R 上的奇函数，有()()f x f x -=-，再根据()()11f x f x +=-+，得到()()4f x f x +=，所以()f x 的周期4T=，然后再求解.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，()()11f x f x +=-+， ()()2f x f x -=， ()()2f x f x -=--， ()()2f x f x +=-，()()4f x f x +=，函数()f x 的周期4T=.()()()()201845042200f f f f =⨯+===，()()()()120202020120192020log 4505145052020f f f f f ⎛⎫++=-+⨯-+⨯ ⎪⎝⎭()()()()1101101f f f f =+-+=-+=.故答案为：0，1【点睛】本题主要考查函数的基本性质，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.15.在三棱锥A BCD -中，,2,AB AD AB AD BC CD ⊥====A BCD -的体积最大时，三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为__________. 【答案】8:3π 【解析】【分析】根据题意，当面BCD ⊥面ABD 时，三棱锥A BCD -的体积最大.此时取BD 的中点O ，由,2,23AB AD AB AD ⊥==，得4BD =，OA=2，同理根据22BC CD ==，且222BC CD BD +=，由直角三角形中线定理可得2OC =，从而得到外接圆半径R =2，再分别利用体积公式求解. 【详解】如图所示：当面BCD ⊥面ABD 时，三棱锥A BCD -的体积最大. 取BD 的中点O ，因为,2,23AB AD AB AD ⊥==，所以4BD =，OA=2， 22BC CD ==，222BC CD BD +=，2OC =，外接圆半径R =2， V 球343233R ππ==，1143223232A BCD V -=⨯⨯⨯=，三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为8:3π. 故答案为：8:3π【点睛】本题主要考查组合体的体积问题，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.16.牛顿迭代法（Newton 's method ）又称牛顿–拉夫逊方法（Newton –Raphsonmethod ），是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设r 是()0f x =的根，选取0x 作为r 初始近似值，过点()()00,x f x 作曲线()y f x =的切线,l l 与x 轴的交点的横坐标()()()()01000'0'f x x x f x f x =-≠，称1x 是r 的一次近似值，过点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，称2x 是r 的二次近似值.重复以上过程，直到r 的近似值足够小，即把n x 作为()0f x =的近似解.设123,,,,n x x x x 构成数列{}n x .对于下列结论：①()()()12'n n n n f x x x n f x -=-≥；②()()()1112'n n n n f x x x n f x ---=-≥；③()()()()()()12112'''n n n f x f x f x x x f x f x f x =----；④()()()()()()()12111212'''n n n f x f x f x x x n f x f x f x --=----≥. 其中正确结论的序号为__________．【答案】②④【解析】【分析】①，②；根据过点()()00,x f x 作曲线()y f x =的切线,l l 与x 轴的交点的横坐标()()()()01000'0'f x x x f x f x =-≠，称1x 是r 的一次近似值，过点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，称2x 是r 的二次近似值.重复以上过程，利用归纳推理判断。

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(十三)文科数学

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8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题；本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.集合01{|}M x x ＝＜＜，1222x N x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂等于（） A. )[11﹣， B. )[01，C. [11]﹣， D. 01（，）【答案】D 【解析】【分析】首先求集合N ，然后再求M N ⋂.【详解】1222x ≤≤ 解得：11x -≤≤ ，{}11N x x ∴=-≤≤，{}()010,1M N x x ∴⋂=<<=.故选：D【点睛】本题考查集合的交集，属于简单题型.2.已知复数z 满足3)3i z i =，则z 为（）A. 34B. 34C. 32D. 32【答案】A 【解析】由题设可得34z ===+，应选答案A 。

2021届全国百校联考新高三原创预测试卷(十一)文科数学

2021届全国百校联考新高三原创预测试卷（十一）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2,3,4A =，{}B x x n A ==∈，则A B 的元素个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】由题意可知{}B =，再求出A B ，即可求出结果.【详解】由题意可知，{}{}2B x x n A ==∈=，所以{}0,1,2A B =，所以集合A B 中的元素有3个.故选：C.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.已知实数a ，b 满足()()i 2i 35i a b ++=-（其中i 为虚数单位），则复数z b ai =+的共轭复数为( ) A. 131i 55-+ B. 131i 55-- C.131i 55+ D.131i 55- 【答案】B 【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【详解】实数,a b 满足()()i 2i 35i a b ++=-(其中i 为虚数单位)， ∴()()()()()22352a bi i i i i ++-=--，∴11355a bi i +=- ， ∴11355a b ==-，，则复数13155z b ai i =+=-+的共轭复数为131i 55--．故选：B ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知平面α，直线m ，n ，若n ⊂α，则“m n ⊥”是“m α⊥”的（） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据线面垂直的判定条件，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【详解】根据线面垂直的判定条件知，若直线m α⊥，n ⊂α，则“m n ⊥”即必要性成立；若n ⊂α，m n ⊥，则直线m 可以在平面α内，也可以与平面α相交，还可以为相交垂直，则充分性不成立.所以，若n ⊂α，则“m n ⊥”是“m α⊥”的必要不充分条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面垂直的性质是解决本题的关键，属于基础题.4.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n =( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】开始，输入1,1,0,1a A S n ====，则2S =，判断210≥，否，循环，12,,22n a A ===，则92S =，判断9102≥，否，循环，13,,4,4n a A ===则354S =，判断35104≥，否，循环，14,,8,8n a A === 则1358S =，判断135108≥，是，输出4n =，结束.故选择C. 5.若()()21,0,0xx f x g x x ⎧->⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，则()()2f g -的值为( )A.78B. 78-C. 7D. -7【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数的性质可求出()21=xg x --+，即可求出()()2f g -的值.【详解】因为()()21,0,0x x f x g x x ⎧->⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，当0x <时，则0x ->，所以()21xf x --=-，又()f x 是奇函数，所以 ()()21xf x f x -=--=-+，所以()21=xg x --+，所以()23g -=-，所以()()()237f g f -=-=-. 故选：D.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性，属于基础题.6.甲、乙、丙、丁四人商量是否参加志愿者服务活动.甲说：“乙去我就肯定去.”乙说：“丙去我就不去.”丙说：“无论丁去不去，我都去.”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去.”则以下推论可能正确的是( ) A. 乙、丙两个人去了 B. 甲一个人去了 C. 甲、丙、丁三个人去了 D. 四个人都去了【答案】C 【解析】【分析】直接利用甲、乙、丙、丁四位同学所说结合丙说：“无论丁去不去，我都去．”分别分析得出答案．【详解】对于选项A ，∵丙说：“无论丁去不去，我都去．” ∴丙一定去出游，故A 选项错误；对于选项B ，∵乙说：“丙去我就不去．”， ∴由选项A 可知，乙一定没去，故选项B 错误；对于选项C ，∵丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．” ∴由选项B 可知，甲、丁一定都出游，故甲、丙、丁三个人去了，此选项正确；对于选项D ，∵乙说：“丙去我就不去．” ∴四个人不可能都去出游，故此选项错误．故选：C ．【点睛】此题主要考查了推理与论证，依次分析得出各选项正确性是解题关键．7.已知数列{}n a 为等比数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，且21a =，1016a =，66a b = ，则11S =（）A. 44B. 44-C. 88D. 88-【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的性质，求得64a =，再利用等差数列的前n 项和公式，即可求解11S 的值，得到答案．【详解】由题意，等比数列{}n a 为等比数列，满足21a =，1016a =，根据等比数列的性质，可得266210116,0a a a a =⨯=>，可得64a =，所以664b a ==，则11111611()11442b b b S +==⨯=，故选A ．【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的性质和等差数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8.不等式组2001x y y x ≥⎧⎪≤≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为Ω，用随机模拟方法近似计算Ω的面积，先产生两组（每组100个）区间[]0,1上的均匀随机数1x ，2x ，…，100x 和1y ，2y ，…，100y ，由此得到100个点()(),1,2,,100i i x y i =，再数出其中满足()21,2,,100i i y x i <=的点数为33，那么由随机模拟方法可得平面区域Ω面积的近似值为( ) A. 0.33 B. 0.76C. 0.67D. 0.57【答案】C 【解析】【分析】设平面区域为Ω的面积为S ，因为其中满足()21,2,,100i i y x i <=的点数为33，由此即可求出满足2y x ≥的点的个数，再根据几何概型即可求出结果．【详解】设平面区域为Ω的面积为S ，依题意， 100331100S -=，∴0.67S =．故选：C ．【点睛】本题考查了几何概型的应用，属于基础题. 9.将函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到数学函数()g x 的图像，在()g x 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（） A. 24x π=-B. 4x π=C. 524x π=D. 12x π=【答案】A 【解析】分析：根据平移变换可得243y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据放缩变换可得函数()g x 的解析式，结合对称轴方程求解即可.详解：将函数()223f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到243y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，即()224241233g x sin x sin x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24,32x k k Z ππ+=+π∈，得1,424x k k Z π=π-∈，当0k =时，离原点最近的对称轴方程为24x π=-，故选A.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程；由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.10.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为( )A.10 B.15C.310D.35【答案】C 【解析】【详解】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于090,故选C.取DD 1中点F ，则1FCD ∠为所求角, 2221251310cos 225FCD +-∠==，选C. 11.已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点12,F F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F ∆的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥成立，则双曲线的离心率取值范围是（） A. (]1,2 B. ()1,2 C. (]0,3D. (]1,3【答案】D 【解析】分析：设12PF F ∆的内切圆半径为r ，由12122,2PF PF a F F c -==，用12PF F ∆的边长和r 表示出等式中的三角形面积，结合双曲线的定义得到a 与c 的不等式，可求出离心率取值范围. 详解：设12PF F ∆的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得12122,2PF PF a F F c -==，121211,22PF PF S PF r S PF r ∆∆=⋅=⋅， 12122PF F S c r cr ∆=⋅⋅=，由题意得12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥，故()12332c PF PF a ≤-=，故3ce a=≤，又1e >，所以，双曲线的离心率取值范围是(]1,3，故选D.点睛：本题主要考查利用双曲线的定义、简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.12.已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数x 都有()()2x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x +'>，若()2ln 2a f =，()1f b e-=，11ln 44c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c的大小关系是( ) A. a c b << B. a b c >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()xg x e f x =，结合已知可判断函数的奇偶性及单调性，然后即可求解不等式．详解】令()()xg x e f x =，∵当0x <时，()()0f x f x +'>，则()()()0,0xg x e f x f x x '=+'>⎤⎣⎦<⎡，所以当0x <时，函数()g x 单调递增；因为对于任意的实数x 都有()()()()2=x x x f x e e f x e f x f x --=⇔-，所以()()()()()2xx x x g x ef x e f x e f x eg x ---=-=⋅=⋅= 即()g x 为偶函数，所以当0x >时，函数()g x 单调递减，又()()()ln22ln 2ln 2ln 2a f ef g ===，()()()()11111f b e f g g e--==-=-=，()()1ln 41111ln ln ln ln 4ln 44444c f e fg g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又ln41ln2>>，所以()()()ln 41ln 2g g g <<，即a b c >>．故选：B ．【点睛】本题主要考查导数在函数单调性中的应用，解题的关键是构造函数g （x ）并判断出单调性及奇偶性．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,2a =，()1,0b =，则2a b -=__________.【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算可得()21,4a b -=，再利用平面向量模的坐标运算公式即可求出结果.【详解】由题意可知，()21,4a b -= ，所以21+16=a b -=..【点睛】本题主要考查了平面向量模的坐标运算公式，属于基础题.14.若倾斜角为α的直线l 与曲线3y x =相切于点()1,1，则24cos sin 2αα-的值为__________. 【答案】15- 【解析】【分析】根据题意，求出3y x =的导数，计算可得1|x y ='的值，由导数的几何意义可得tan 3α=，由三角函数的恒等变形公式可得22222cos 42tan sin co 4cos 2sin 4cos s s tan i 21n ααααααααα-==--++，代入数据计算可得答案．【详解】根据题意，曲线3y x =，其导数23y x '=，则有13|x y ='=，所以tan 3α=，所以22222cos 42tan 21sin 4cos 2sin 4cos tan 1105cos sin 2ααααααααα--===-=-+-+. 故答案为：15-.【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义． 15.斜率为3的直线l 过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F ，若l 与圆M ：()2224x y -+=相切，则p =______.【答案】12 【解析】【分析】根据题意，可知倾斜角，数形结合，即可得到圆的半径和参数p 之间的关系，从而解得p . 【详解】结合题意作图如下：由图可得24MF AM ==，2242pr -==，解得12p =. 故答案：12.【点睛】本题考查抛物线方程的求解，注意数形结合即可.16.已知数列{}n a 满足()*12Nn n a a n +=∈，且12a=，n S 表示数列{}n a 的前n 项之和，则使不等式2311223122263127n n n S S S S S S +++++<成立的最大正整数n 的值是__________. 【答案】5 【解析】首先根据等比数列的定义和前n 项和公式即可求出n S ，进而可得1121211 2222n n n n n S S ++++=---，然后再利用裂项相消法可求出23112231222n n n S S S S S S +++++，再解不等式即可求出结果．【详解】由数列{}n a 满足()*12N n n a a n +=∈且12a=，所以数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，所以()12122212n n nS +-==--；所以()()1112121221122222222n n n n n n n n S S +++++++==-----，所以23233411223112111111222222222222222n n n n n S S S S S S +++++=-+-+⋯+----++---211222n +=--，则26312112227n +--<，整理得21122254n +>-，即22256n +<，即6n <，故n 的最大正整数为5．故答案为5．【点睛】本题主要考查了等比数列的定义和等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，同时考查了裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c )cos cos a Bb A ac +=，且sin2sin A A =.（1）求A 及a；（2）若2b c -=，求BC 边上的高. 【答案】（1）a =.3A π=（2【分析】（1）利用正弦定理化边为角可得a =再利用二倍角公式求得角A ；（2）先利用余弦定理求得3bc =,再利用等面积法求解即可.【详解】（1)cos cos a B b A ac +=,根据正弦定理得,sin cos sin cos sin ,A B B A C +=sin sin ,C C ∴=又因为sin 0,C ≠a ∴=sin2sin ,2sin cos sin ,A A A A A =∴=因为sin 0,A ≠所以1cos 2A =, (),0,.3A A ππ∴∈=（2）由（1）知,.3a A π=由余弦定理得2222cos ,a b c bc A =+- 2227,7(),b c bc b c bc ∴=+-∴=-+因为2b c -=,所以74,bc =+所以 3.bc = 设BC 边上的高为h .11sin 322ABC S bc A ∴==⨯=△12ABC S ah =△,12∴=14h ∴=即BC 边上的高为14. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,考查三角形的面积公式的应用,考查余弦定理的应用. 18.惠州市某商店销售某海鲜，经理统计了春节前后50天该海鲜的日需求量x （1020x ≤≤，单位：公斤），其频率分布直方图如下图所示.该海鲜每天进货1次，每销售1公斤可获利40元；若供大于求，剩余的海鲜削价处理，削价处理的海鲜每公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，调拨的海鲜销售1公斤可获利30元.假设商店该海鲜每天的进货量为14公斤，商店销售该海鲜的日利润为y 元.（1）求商店日利润y 关于日需求量x 的函数表达式. （2）根据频率分布直方图，①估计这50天此商店该海鲜日需求量的平均数.②假设用事件发生的频率估计概率，请估计日利润不少于620元的概率. 【答案】（1）()()301401420501401014x x y x x ⎧+≤≤⎪=⎨-≤<⎪⎩（2）①15.32公斤 ②0.4【解析】【分析】（1）根据条件列分段函数关系式，即得结果；（2）①根据组中值求平均数，②先根据函数关系式确定日利润不少于620元对应区间，再求对应区间概率.【详解】（1）当1014x ≤<时()401014=50140y x x x =-⨯-- 当1420x ≤≤时()40143014=30140y x x =⨯+⨯-+所求函数表达式为：()()301401420501401014x x y x x ⎧+≤≤⎪=⎨-≤<⎪⎩．（2）①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间[)10,12的频率是120.050.1f =⨯=；海鲜需求量在区间[)12,14的频率是220.10.2f =⨯= 海鲜需求量在区间[)14,16的频率是320.150.30f =⨯=；海鲜需求量在区间[)16,18的频率是420.120.24f =⨯=；海鲜需求量在区间[]18,20的频率是520.080.16f =⨯=；这50天商店销售该海鲜日需求量的平均数为：1122334455x x f x f x f x f x f =⋅+⋅+⋅++⋅+⋅110.1130.2150.30170.24190.16=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 15.32=（公斤）②当14x =时，560y =，由此可令30140620x +≥，得16x ≥所以估计日利润不少于620元的概率为()0.120.0820.4+⨯=.【点睛】本题考查函数解析式以及利用频率分布直方图求平均数和概率，考查综合分析求解能力，属中档题.19.如图，在多边形ABPCD 中（图1），四边形ABCD 为长方形，BPC △为正三角形，3AB =，32BC =，现以BC 为折痕将BPC △折起，使点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上（图2）.（1）证明：平面PCD ⊥平面P AB ；（2）若点E 在线段PB 上，且13PE PB =，当点Q 在线段AD 上运动时，求点Q 到平面EBC 的距离.【答案】（1）证明见解析；（23. 【解析】【分析】（1）过点P 作PO AD ⊥，垂足为O ，由于点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上，可得PO ⊥平面ABCD ，进一步得到AB ⊥AD ，由线面垂直的判定可得AB ⊥PD ，通过计算P A ，PD ，AD ，可得222PA PD AD +=，从而得PA PD ⊥，则PD ⊥平面PAB ，再根据面面垂直的判定定理即可证明结果；（2）利用等积法即可求出点E 到底面QBC 的距离．【详解】(1)证明：过点P 作PO AD ⊥，垂足为O . 由于点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上， ∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO AB ⊥， ∵四边形ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥，又ADPO O =，∴AB ⊥平面P AD ，∴AB PD ⊥，AB PA ⊥，又由3AB =，32PB =，可得3PA =，同理3PD =，又32=AD ，∴222PA PD AD =＋， ∴PA PD ⊥，且PA AB A =，∴PD ⊥平面P AB 又因为平面PCD所以平面PCD ⊥平面P AB(2)设点E 到底面QBC 的距离为h ，所以点Q 到平面EBC 的距离为d则13Q EBC E QBC OBC V V S h --==⨯，由13PE PB =，可知23BE BP =， ∴23h PO =，∵PA PD ⊥，且3PA PD ==， ∴32PA PD PO AD ⋅==，∴23223h ==，又1192323222QBCSBC AB =⨯⨯=⨯=，22332323334EBCPBCSS ==⨯= ∴11921233323Q EBC QBCEBCV S h S d -=⨯=⨯⨯==.所以点Q到平面EBC的距离为3d=.【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求点到面的距离，是中档题20.已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的离心率为13，左、右焦点分别为1F，2F，210A⎛⎝⎭为椭圆C上一点.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为1A，2A，过1A，2A分别作x轴的垂线1l，2l，椭圆C的一条切线:l y kx m=+与1l，2l交于M，N两点，求证：1MF N∠是定值.【答案】（1）22198x y；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)根据椭圆离心率，将点210A⎛⎝⎭代入椭圆方程，由此即可求出椭圆方程；(2)由题设知12:3:3l x l x=-=,，l与C的方程联立消去y可得()22298189720k x kmx m+++-=，再根据判别式可得2298m k=+，再求出点,M N的坐标，根据向量的数量积即可证明．【详解】(1)由题意可知222211344019baa b-=⎪+=⎪⎩得29a=，28b=故所求椭圆C的标准方程为22198x y；(2)证明：由题意可知，1l的方程为3x=-，2l的方程为3x=，直线l 与直线1l ，2l 联立可得()3,3M k m --+，()3,3N k m +，所以()12,3F M k m =--+，()14,3F N k m =+.所以221189FM F N m k ⋅=-+-. 联立221,98,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22298189720k x kmx m +++-= 因为直线l 与椭圆C 相切，所以()()()222184989720kmkm ∆=-+-=，化简，得2298m k =+.所以221189FM F N m k ⋅=-+-，所以11FM F N ⊥，故1MF N ∠为定值π2(注：可以先通过0k =计算出此时1π2MF N ∠=，再验证一般性) 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的数量积，直线方程的综合应用，考查计算能力，属于中档题． 21.已知函数2()1ln f x x ax =+-. （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）证明：322()x xf x e x ax e <⋅+-. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)()212ax f'x x -=,分a 0≤和a 0>两种情况讨论单调性即可；(2)法一：将不等式()x 322xf x ?e x ax e <+-变形为x 22e 1nx 0e x ⋅->，构造函数()x 22e φx 1nx e x =⋅-，证明()min φx 0＞即可；法二：将不等式()x 322xf x ?e x ax e <+-变形为x 222e 1nx ·e x x>，分别设()()x 222e 1nxφx ?r x =e x x =，，求导证明()()min max φx r x >即可. 【详解】(1) ()()2f x 11nx ax x 0=+->，()212ax f'x x-=当a 0≤时，()f'x 0>，函数()f x 的单调增区间为()0,∞+，无减区间；当a 0>时，()x ,f'x 0⎛∈> ⎝，当x ∞⎫∈⎪⎪⎭，()f'x 0<，()f x ∴单增区间为⎛ ⎝上增，单调减区间为∞⎫+⎪⎪⎭上递减． (2)解法1： ()x 322xf x e x ax e <⋅+-，即证x 22e 1nx 0e x ⋅->，令()x 22e φx 1nx e x=⋅-，()x 0>，()()x 2222x 1e e xφ'x e x --=，令()()x2r x 2x 1e e x =--，()x2r'x 2xe e =-，()r'x 在()0,∞+，上单调递增，()r'10<，()r'20>，故存在唯一的()0x 1,2∈使得()r'x 0=，()r'x ∴)在()00,x 上单调递减，在()0x ,∞+上单调递增，()r 00<，()r 20=，∴当()x 0,2∈时，()r x 0﹤ ， ()x 2,∞∈+时，()r x 0>；所以()φx 在()0,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，()()φx φ211n20∴≥=->，得证.解法2：要证： ()x 322xf x ?e ax e ﹤+，即证： x 222e 1nx ·e x x >，令()()x 222e φx ?x 0e x =>，()()x232x x 2e φ'x e x-=，∴当()x 0,2∈时，()φ'x 0<，()x 2,∞∈+时，()φ'x 0>；所以()φx 在()0,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，∴ ()()1φx φ2=2≥；令()1nxr x =x，()211nxr'x =x-，，当()x 0,e ∈ 时，()r'x ，()x e,∞∈+时，()r'x 0<；所以()r x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减，()()1r x r e e ∴≤=，()()11φx r x 2e ∴≥>≥，x 222e lnxe x x∴⋅﹤，得证. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，最值，证明不等式问题，第二问证明的方法比较灵活，对不等式合理变形，转化为函数问题是解题关键，是难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4－4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线2212:C x y -=，曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线．．6πθ=与曲线1C ，2C 分别交于A 、B 两点（异于极点O ），定点(3,0)M ，求MAB ∆的面积【答案】（1）22221:cos sin 2C ρθρθ-=，2:4cos C ρθ=；（2）32-. 【解析】【分析】（1）先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程；（2）先利用极坐标求出弦长AB ，再求高，最后求MAB ∆的面积．【详解】（1）曲线1C 的极坐标方程为：2222cos sin 2ρθρθ-= ，因为曲线2C 的普通方程为：()2224x y -+= ，2240.x y x ∴+-=∴曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=；（2）由（1）得：点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 的极坐标为6π⎛⎫⎪⎝⎭，∴22AB =-=，()3,0M 点到射线()06πθρ=≥的距离为33sin62d π==∴MAB ∆的面积为 ()1132222AB d ⋅=⨯⨯=.【点睛】本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解面积问题，考查计算能力，属于中等题.选修4-5：不等式选讲23.设不等式2120x x -<--+<的解集为M ，,a b M ∈.（1）证明：111364a b +<；（2）比较14ab -与2a b -的大小，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)|14|2||ab a b ->-. 【解析】试题分析：(1)首先求得集合M ，然后结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论； (2)利用平方做差的方法可证得|1-4ab |＞2|a -b |. 试题解析：（Ⅰ）证明：记f (x ) =|x -1|-|x +2|，则f (x )=3-21,3,x ⎧⎪-⎨⎪-⎩， 2211.x x x ≤--<<≥，所以解得-12＜x ＜12，故M =(-12,12).所以，|36a b +|≤13|a |+16|b |＜13×12+16×12=14. （Ⅱ）由（Ⅰ）得0≤a 2＜14，0≤b 2＜14.|1-4ab |2-4|a -b |2=(1-8ab +16a 2b 2)-4(a 2-2ab +b 2)=4(a 2-1)(b 2-1)>0. 所以，|1-4ab |＞2|a -b |.。

2021届全国百所名校新高考原创预测试卷(二十)文科数学

2021届全国百所名校新高考原创预测试卷（二十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：（大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合P={y |y=﹣x 2+2}，Q={x |y=﹣x +2}则P ∩Q 是（） A ．（0，2），（1，1） B ．{（0，2），（1，1）} C ．∅ D ．{y |y ≤2}2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知平面向量a ， b 的夹角为3π，且1a =， 1b =，则2a b -=（） A. 1 B. 2 C.3 D. 34．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9=54，则a 2+a 4+a 9=（） A ．9B.15 C ．18D ．365．若x=，则sin 4x ﹣cos 4x 的值为（） A ．B ．﹣C ．﹣D ．6.下列命题推断错误的是（）A ．命题“若x=y ，则sinx=siny”的逆否命题为真命题B ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题C ．“x=﹣1”是“x 2﹣5x ﹣6=0”的充分不必要条件D ．命题p ：存在x 0∈R ，使得，则非p ：任意x ∈R ，都有7执行如图所示的程序框图，则输出的i 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．88.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．96B ．8042π+C ．964(21)π+-D ．964(221)π+-9．.已知a ＞0，x ，y 满足约束条件，若z=2x+y 的最小值为1，则a=( )A ．B ．C ．1D ．210．已知三棱锥S ﹣ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是（） A ．B ．1C ．D ．11已知函数()2ln f x x a x =-有两个零点，则a 的取值范围是（） A. 10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭ B. 1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. ()0,2eD. ()2,e +∞ 12．已知定义域为{x |x ≠0}的偶函数f （x ），其导函数为f′（x ），对任意正实数x 满足xf′（x ）＞﹣2f （x ），若g （x ）=x 2f （x ），则不等式g （x ）＜g （1）的解集是（） A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，0）∪（0，1）C ．（﹣1，1）D ．（﹣1，0）∪（0，1）二、填空题：（大题共4小题，每小题5分）13．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽取10名学生，将这50名学生随机编号50~1号，并分组，第一组5~1号，第二组10~6号，…，第十组50~46，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为 ___ 14．已知函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，1]时，f （x ）=log 2（x +1），则f （1﹣）= ．15．函数23()sin 3cos 4f x x x =+-([0,])2x π∈的最大值是____． 16．已知数列{a n }满足：2a 1+22a 2+23a 3+ (2)a n =n （n ∈N *），b n =，设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 1•S 2•S 3•…•S 10= ．三、解答题：（答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知函数()233cos sin cos 2f x x x x =+⋅-. (1)求函数()f x 的最小正周期T 和函数()f x 的单调递增区间； (2)若函数()f x 的对称中心为()0,0x ，求[]00,2x π∈的所有0x 的和. 18．数列{}n a 的前n 项和为2n S n = ，数列{}n b 为等比数列，且81,22111==b b b a ．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）（2）设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 19．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b，c ，且acosB+bcosA=2c cosC ．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若c=2，求△ABC 面积的最大值．20.某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1 盒该产品获利润 30元，未售出的产品，每盒亏损 10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品,以 x （单位：盒100表示这个开学季内的市场的需求量，以y （单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量 x 的众数和平均数；（2）将y 表示为 x 函数；（3）根据直方图估计利润y 不少于4000元的概率。

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(十一)文科数学

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷（十一）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}3xA y y ==，{}0,1,2,3B =，则AB =A ．{}1,2,3B ．()0,∞+C ．{}0,1,2D ．[)0,+∞2．复数2iz 2i-=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知命题，则为 A ．B ．C ．D ．4．对于,a b 是任意非零实数，且a b >，又R c ∈，则有 A ．lg()0a b ->B ．22ac bc >C ．11a b<D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．已知数列{}n a 为等差数列，且55a =，则9S 的值为 A ．25B ．45C ．50D ．906．若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为 A ．2B ．823C ．3D ．8337．函数32,0(),0x e x x f x x x x ⎧+->=⎨-≤⎩，的零点个数有A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个8．．设m n 、是不同的直线，是不同的平面,下列四个命题中，正确的是A ．若//,//m n αα,则//m nB ．若,,m n ββ⊥⊥则//m nC ．若,,m αβα⊥⊂则m β⊥D ．若,,//,//,m n m n ααββ⊂⊂则//αβ9．已知函数2()sin(2)3f x x π=+，则下列结论错误的是 A ．()f x 的一个周期为π-B ．()f x 的图像关于点5(,0)6π-对称 C ．()f x 的图像关于直线12x π=-对称D ．()f x 在区间(,)33ππ-的值域为3[ 10.在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11,BC CD 的中点，则A ．11//MN C DB ．1MN BC ⊥ C. MN ⊥平面1ACD D ．MN ⊥平面1ACC11．已知定义在R 上的函数()f x ，若()f x 是奇函数，()1f x +是偶函数，当01x ≤≤时，2()f x x =，则(2019)f =A ．1-B ．1C ．0D ．22015 12．过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作斜率为43的直线l 与C 及其准线分别相交于A ，B ，D 三点，则||||AD BD 的值为 A ．2或12 B ．3或13C ．1D ．4或14第II 卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(十八)文科数学

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷（十八）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第一部分选择题一、选择题1.若集合{}2,1,2,3A =-，{}*|2,B x x n n N ==∈，则AB =（）A. {}2-B. {}2C. {}2,2-D. ∅【答案】B 【解析】【分析】考虑A 中哪些元素为正偶数即可.【详解】B 为正偶数的集合，而2为A 中仅有的正偶数，故{}2A B ⋂=.故选B.【点睛】集合的表示方法有列举法和描述法，其中描述法为(){}|x p x ，()p x 为元素的属性条件，凡是满足这个性质且只有满足这个性质，才是集合中的元素，因此考虑集合间的运算时，应弄清楚集合中元素的属性. 2.复数13ii-+等于（） A .931010i - B.131010i + C.931010i + D.931010i + 【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法运算可得正确的计算结果. 【详解】()313939311131010101010i i i i i i i -+--=-=-==-+，故选A.【点睛】本题考查复数的除法运算，注意分母实数化时是分子、分母同时乘以分母的共轭复数. 3.设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b •=（）A. 1B. 2C. 3D. 5【答案】A 【解析】【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【详解】∵|a b +|=，|a b -|=∴分别平方得2a +2a •2b b +=10，2a -2a •2b b +=6，两式相减得4a •b =10﹣6＝4，即a •b =1，故选：A ．【点睛】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础． 4.下列说法错误的是( )A. “若2x ≠，则2560x x -+≠”的逆否命题是“若2560x x -+=，则2x =”B. “3x >”是“2560x x -+>”的充分不必要条件C. “2x R,560x x ∀∈-+≠”的否定是“2000,560x R x x ∃∈-+=”D. 命题：“在锐角ABC 中，sin cos A B <”为真命题【答案】D 【解析】依题意，根据逆否命题的定义可知选项A 正确；由2560x x -+>得3x >或2,x <∴“3x >”是“2560x x -+>”的充分不必要条件，故B 正确；因为全称命题命题的否是特称命题，所以C 正确；锐角ABC ∆中，0222A B A B πππ+>⇒>>->，sin cos 2A sin B B π⎛⎫∴>-= ⎪⎝⎭，D ∴错误，故选D.5.设直线1l ：3250x ay +-=，2l ：()3120a x ay ---=，若1l 与2l 平行，则a 的值为（） A. 16-B. 0或16-C. 0D. 6【答案】B 【解析】【分析】通过两条直线平行的关系，可建立关于a 的方程，解方程求得结果。

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(二十九)理科数学

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷（二十九）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}260A x x x =--<，集合{}2|log 1B x x =<，则AB =（）A. ()2,3-B. (),3-∞C. ()2,2-D. ()0,2【答案】A 【解析】【分析】先由二次不等式的解法得{}|23A x x =-<<，由对数不等式的解法得{}|02B x x =<<，再结合集合并集的运算即可得解.【详解】解不等式260x x --<,解得23x -<<,则{}|23A x x =-<<, 解不等式2log 1x <,解得02x <<,即{}|02B x x =<<, 即AB =()2,3-,故选:A.【点睛】本题考查了二次不等式的解法及对数不等式的解法，重点考查了集合并集的运算，属基础题.2.己知i 是虚数单位，复数z 满足1zi z=-，则z 的模是( ) A. 1 B.12C.2【答案】C 【解析】【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．【详解】1zz=-i ， ∴z ＝i -zi ， ∴z 1(1)11222i i i i i ===++-， ∴|z|==，故选：C ．【点睛】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．3.若2,a ln =125b -=，21cos 2c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（）A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D.b c a <<【答案】D 【解析】【分析】利用对数函数的性质，以及微积分定理与12比较即可.【详解】12,2a ln =>=121,25b -=<== ()02111cos sin 22220c xdx x ππ=⎰=⨯=，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的性质，微积分定理，考查利用中间量比较大小，属于常考题型. 4.若2sin cos 12x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则cos2x =（） A. 89-B. 79-C.79D. -1【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式化简得到sin x ，再结合二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】2sin sin 1x x +=，即1sin 3x = 所以22cos 212sin 1799x x =-=-= 故选C【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，属于基础题.5.(,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示图形为双曲线的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】方程表示双曲线，可得()()()5320m m m --+<，解得m 范围即可判断出结论，解得m 范围即可判断出结论．【详解】由方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线，可得()()2560m m m ---<，即()()()5320m m m --+<即2m <-，或35m <<，∴ (,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.点P 是ABC 所在平面上一点，若2355A APB AC =+，则ABP △与ACP △的面积之比是（） A.35B.52C.32D.23【答案】C 【解析】【分析】由向量的线性运算可得32=BP PC ，即点P 在线段AB 上，且32=BP PC ,由三角形面积公式可得:ABP S ∆APC S ∆:3:2BP PC ==，得解.【详解】解：因为点P 是ABC 所在平面上一点，又2355AP AB AC =+，所以2233-=-5555AP AB AC AP ,即23=55BP PC ,即32=BP PC ，则点P 在线段BC 上，且32=BP PC ,又1sin 2APC S AP PC APC ∆=∠，1sin 2ABP S AP BP APB ∆=∠,又APB APC π∠+∠=，即sin sin APC APB ∠=∠，所以点P 在线段BC 上，且32=BP PC , :ABP S ∆APCS ∆1sin :2AP BP APB =∠1sin 2AP PC APC ∠:3:2BP PC ==，故选：C.【点睛】本题考查了向量的线性运算及三角形的面积公式，重点考查了运算能力，属中档题.7.已知()121sin 221xx f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则函数()y f x =的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】由函数解析式可得()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，再取特殊变量4π得04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得在()0,∞+存在变量使得()0f x <，再观察图像即可. 【详解】解：因为()121sin 221xx f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则()121sin 221x x f x x x ---⎛⎫-=-+⋅ ⎪+⎝⎭=121sin 221xx x x -⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭，即()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，不妨取4x π=，则 ()44221(08221f x πππ-=-<+，即在()0,∞+存在变量使得()0f x <，故选D.【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断及函数的图像，重点考查了函数的思想，属中档题.8.某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A. 24 B. 16 C. 8 D. 12【答案】B 【解析】【分析】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解．【详解】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有222A =种情况；（2）将这个整体与英语全排列，有222A =中顺序，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2中情况，则数学、物理的安排方法有224⨯=种，所以不同的排课方法的种数是22416⨯⨯=种，故选B ．【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻问题的处理方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．9.已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（） A. 3(0,]5B. 13[,]25C. 13[,]24D. 15[,)22【答案】B 【解析】【分析】先化简()f x ，再根据正弦函数性质列方程与不等式，解得结果. 【详解】222()2sin cos ()sin sin (1cos())sin 422x f x x x x x x ωππωωωωω=--=+--2sin (1sin )sin sin x x x xωωωω=+-=因为()f x 在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，所以255,,236222ππωπωπππωπ-≤-≤≤<，即13[,]25ω∈故选B【点睛】本题考查二倍角余弦公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.10.设变量y 满足约束条件342y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则z ＝|x －3y |的最大值为( )A. 8B. 4C. 2D.455【答案】A 【解析】由题意作出满足条件的可行域如图中阴影部分，则对于目标函数z=|x ﹣3y|，平移直线y=13x 可知，当直线经过点A （﹣2，2）时，z=|x ﹣3y|取得最大值，代值计算可得z max =|﹣2﹣3×2|=8．故选A ．11.AOB 中，OA a OB b ==，，满足||2a b a b ⋅=-=，则AOB ∆的面积的最大值为（） 3 B. 2C. 23D. 22【答案】A 【解析】【分析】利用数量积公式以及平方关系计算得到sin AOB ∠，利用模长公式以及基本不等式得到||||4a b ≤，结合三角形面积公式化简即可求解.【详解】||||cos 2a b a b AOB ⋅=∠=,即2cos ||||AOB a b ∠=2(||||)4sin ||||||||a b AOB a b a b -∴∠==⎪⎭22||||2||2a b a a b b -=-⋅+= ，即228||||2||||a b a b =+≥所以||||4a b ≤ 所以22(||||)41111||||sin ||||=(||||)4164=32222||||AOBa b S a b AOB a b a b a b ∆-=∠=-≤-故选A【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.12.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点P ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点Q在线段2PF 的延长线上，且1,QF QP ⊥15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是（）A.26⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B. 1,53⎛ ⎝⎭C. 15⎛ ⎝⎭D.,262⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】首先满足QF 1⊥QP ，点Q 在椭圆的内部，故点Q 轨迹在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上，且圆在椭圆的内部,得到2e <；根据Q 在线段2PF 的延长线上，考虑极端情况，得到15e >，得到答案.【详解】∵QF 1⊥QP ，∴点Q 在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上， ∵点Q 在椭圆的内部，∴以F 1F 2为直径的圆在椭圆内，∴c ＜b ；∴c 2＜a 2﹣c 2，∴212e ＜，故0＜e 22＜；当Q 点与2F 重合时，此时不妨设113PF =，则125F F =，故212PF =. 即252a =，52c =，此时15e =. Q 在线段2PF 的延长线上，故212PF F π>∠，故15e >. 综上可得：12,5e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C ．【点睛】本题考查了椭圆的性质、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数()3ln 2f x x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________．【答案】750x y --= 【解析】【分析】先求函数()f x 的导函数()'fx ，再由导数的几何意义，求()'17f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】解：因为()3ln 2f x x x x =+，所以()'2ln 16fx x x =++，则()'21ln11617f =++⨯=，即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-，即750x y --=，故答案为750x y --=.【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能力，属基础题.14.()422x x --的展开式中，3x 的系数为．（用数字填写答案）【答案】40- 【解析】试题分析：()422x x --()422x x ⎡⎤=-+⎣⎦展开后只有()42x +与()33242C x x -+中含3x 项其系数和为133124432240C C C ⨯-⨯⨯=-，故答案为40-.考点：二项展开式定理. 15.己知函数sin ()xx af x e-=有极值，则实数a 的取值范围为_____________【答案】( 【解析】【分析】求出函数的导函数，则cos sin ()xx x af x e-+'=有可变零点，求三角函数的值域得到结果. 【详解】由sin ()x x a f x e -=可得：cos sin ()xx x af x e -+'=，∵函数sin ()xx af x e -=有极值，∴cos sin ()xx x af x e-+'=有可变零点，∴cos sin 0x x a -+=，即sin cos 4a x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴(a ∈故答案为：(2,2)-【点睛】本题考查函数存在极值的条件，考查三角函数的值域问题，考查转化思想，属于中档题.16.点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，5,AC =4,BC =将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使B DC '∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后AB '的最小值是_______．【答案】21 【解析】【分析】过点B ′作B ′E ⊥CD 于E ，连结BE ，AE ，设∠BCD ＝∠B ′CD ＝α，则有B ′E ＝4sin α，CE ＝4cos α，2ACE πα∠=-，由此利用余弦定理、勾股定理能求出当4πα=时，AB ′取得最小值7．【详解】解：过点B ′作B ′E ⊥CD 于E ，连结BE ，AE ，设∠BCD ＝∠B ′CD ＝α，则有B ′E ＝4sin α，CE ＝4cos α，2ACE πα∠=-，在△AEC 中，由余弦定理得：222516402AE cos cos cos πααα⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭＝25+16cos 2α﹣40sin αcos α，在Rt △AEB ′中，由勾股定理得： AB '2＝AE 2+B ′E 2＝25+16cos 2α﹣40sin αcos α+16sin 2α＝41﹣20sin2α，∴当4πα=时，AB ′取得最小值21．故答案为：21．【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查余弦定理、勾股定理、直二面角等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比是正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知．1122331,3,8,15a b a b T S ==+=-= (Ⅰ)求{}{},n n a b 的通项公式； (Ⅱ)若数列{}n c 满足11211222n n n n a c a c a c n +--+++=--对任意*n N ∈都成立；求证：数列{}n c 是等比数列．【答案】（1）1,32n n n a n b -==⋅；（2）证明见解析．【解析】(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为(0)q q >2375d q q q d +=+-=由题意得 (2)分2375d q q q d +=+-=解得………………………………………………………5分(Ⅱ)由知两式相减：………………………………8分…………………………………………………………………10分当时，，适合上式即是等比数列…………………………18.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.(1)求证：AD⊥平面BFED；(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）θ最小值为60°【解析】【分析】（1）在梯形ABCD中，利用勾股定理，得到AD⊥BD，再结合面面垂直的判定，证得DE⊥平面ABCD，即可证得AD⊥平面BFED；（2）以D为原点，直线DA，DB，DE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PAB与平面ADE法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。

2021届全国百师联盟新高考原创预测试卷(十九)文科数学

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一.选择题1.复数21i-(i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i 【答案】B【解析】分析：化简已知复数z，由共轭复数定义可得．详解：化简可得z=21i-()()()21+=111iii i=+-+∴z的共轭复数为1﹣i.故选B．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．2.若集合}{12A x x =-≤≤，{}10B x x =-<，则A B =( ).A. }{1x x <B. }{11x x -≤<C. {}2x x ≤D.{}21x x -≤<【答案】C 【解析】【分析】直接根据并集的定义求解即可.【详解】因为}{12A x x =-≤≤，{}{}101B x x x x =-<=<，所以，根据并集的定义：A B ⋃是属于A 或属于B 的元素所组成的集合，可得{}2A B x x ⋃=≤，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合.3.已知(2,3)a =，(,1)b m m =-，(,3)c m =，若//a b ，则b c ⋅=（） A. -5 B. 5C. 1D. -1 【答案】A 【解析】【分析】通过平行可得m 得值，再通过数量积运算可得结果.【详解】由于//a b ，故()21=3m m -，解得2m =-，于是(2,3)b =--，(2,3)c =-，所以495b c ⋅=-=-.故选A.【点睛】本题主要考查共线与数量积的坐标运算，考查计算能力.4.已知等差数列{}n a ,若210a =,51a =,则{}n a 的前7项的和是( ) A. 112 B. 51 C. 28D. 18【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列通项公式可得21511041a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩,解出1a 和d ,再由等差数列的求和公式求解即可【详解】由题,21511041a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩,解得1133a d =⎧⎨=-⎩,则71767282S a d ⨯=+=, 故选：C【点睛】本题考查等差数列通项公式的应用,考查等差数列求和公式的应用5.已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b 等于( ) A. 10 B. 9 C. 8 D. 5【答案】D 【解析】【详解】由题意知,23cos 2A+2cos 2A-1=0, 即cos 2A=125, 又因△ABC 为锐角三角形, 所以cosA=15. △ABC 中由余弦定理知72=b 2+62-2b×6×15, 即b 2-125b-13=0, 即b=5或b=-135(舍去),故选D.6.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（） A. 若m α⊂，则m β⊥B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C. 若m α⊄，m β⊥，则//m αD. 若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥【答案】C 【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误. 故选C.7.运行下图所示的程序框图，若输出结果为，则判断框中应该填的条件是A .k ＞5B. k ＞6C. k ＞7D. k ＞8【答案】B 【解析】试题分析：第一次执行完循环体得到：S ＝1＋＝，k ＝2；第二次执行完循环体得到：S ＝＋＝，k ＝3；第三次执行完循环体得到：S ＝＋＝，k ＝4；第四次执行完循环体得到：S ＝＋＝，k ＝5；第五次执行完循环体得到：S ＝＋＝，k ＝6；第六次执行完循环体得到：S ＝＋＝，k ＝7；输出结果为，因此判断框中应该填的条件是k ＞6.考点：程序框图．8.函数y =2x sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()xxx R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 9.α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（） A. αβ> B. 0αβ+>C. αβ<D. 22αβ>【答案】D 【解析】【分析】构造函数()sin f x x x =，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项. 【详解】构造()sin f x x x =形式，则()sin cos f x x x x +'=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又 ()f x 为偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D.【点睛】本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题.10.已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，根据圆的性质可知最小值为CP r -；根据抛物线方程和圆的方程可求得CP ，从而得到所求的最值.【详解】如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF =当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=- 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C415CP ∴=+= ()min 514MA MF ∴+=-=本题正确选项：B【点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，P 是双曲线C 右支上一点，且212PF F F =．若直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（） A.43B.53C. 2D. 3【答案】B 【解析】取线段PF 1的中点为A ，连接AF 2，又|PF 2|＝|F 1F 2|，则AF 2⊥PF 1，∵直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，且12OF OF =,由中位线的性质可知|AF 2|＝2a ，∵|PA |＝12|PF 1|＝a ＋c ，∴4c 2＝(a ＋c )2＋4a 2，化简得223250c ac a --=，即()()23250,3510e e e e --=∴-+=，则双曲线的离心率为53. 本题选择B 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意实数x 均有(1)()'()0x f x xf x -+>成立，且(1)y f x e =+-是奇函数，不等式()0x xf x e ->的解集是（） A. ()1,+∞ B. (),e +∞C. (),1-∞D. (),e -∞【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()xxf x g x e=，利用导数和已知条件判断出()g x 在R 上递增，由此求解出不等式的解集.【详解】要求解的不等式等价于()1xxf x e >，令()()xxf x g x e =，()()()()''10xx f x xf x g x e-+=>，所以()g x 在R 上为增函数，又因为(1)y f x e =+-是奇函数，故()1f e =，所以()11g =，所以所求不等式等价于()()1g x g >，所以解集为1,，故选A.【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查导数的运算，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 二.填空题13.已知()()ln 24f x x =-,则()f x 的定义域为______. 【答案】()2,+∞ 【解析】【分析】若函数有意义,则240x ,求解即可【详解】由题,240x ,解得2x >, 故答案为：()2,+∞【点睛】本题考查对数型函数的定义域,属于基础题14.某校从高二年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如下图所示的频率分布直方图.已知高二年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为_________.【答案】480.【解析】【分析】根据频率分布直方图计算模块测试成绩不少于60分的学生所占频率，再计算频数.【详解】由频率分布直方图得模块测试成绩不少于60分的学生所占频率为10(0.030.0250.0150.010)0.8⨯+++=，所以该模块测试成绩不少于60分的学生人数为6000.8480.⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图以及频数，考查基本分析运算能力，属基础题.15.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的内切球的半径为______．【答案】413-【解析】【分析】根据几何体的三视图还原其直观图，由三视图以及边长可得出三棱锥的结构特征，底面是正三角形.边长为23BC BD CD===,一个侧面垂直底面，再由棱锥的体积公式采用等体法即可求解.【详解】几何体是三棱锥,如图：底面是正三角形.边长为23BC BD CD===一个侧面垂直底面,高为1AO=,2AB AC==,10AD=,3cos42223ABD∠==⨯⨯,13sin4ABD∠=,21122122+⨯⨯⨯+⨯=几何体的体积为：21134⨯⨯=,内切球的半径为r,所以(13r⨯=解得4r=．故答案为：4-．【点睛】本题主要考查几何体的三视图以及棱锥的体积公式，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，此题也考查了学生的计算能力，综合性比较强.16.已知椭圆2221yxb+=(01b<<)的左焦点为F,左､右顶点分别为A,C,上顶点为B.过F,B,C作圆P,其中圆心P的坐标为(),m n.当0m n+>时,椭圆离心率的取值范围为______.【答案】0,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】分别求得BC的中垂线与FC的中垂线,交点即为圆心P,进而利用0m n+>求解即可【详解】由题,()()(),0,0,,1,0F c B b C-,设BC的中点为1,22bM⎛⎫⎪⎝⎭,且BCk b=-,则BC的中垂线为1122by xb⎛⎫--⎪⎝⎭=,FC的中垂线为12cx-=,联立112212by xbcx⎧⎛⎫-=-⎪⎪⎪⎝⎭⎨-⎪=⎪⎩可得2122cxb cyb-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,因为0m n+>,即2122c b cb--+>,所以20b bc b c-+->,即()()10b b c+->,所以b c>,即22b c>,所以22222a b c c=+>,所以22212c e a =<,则0e <<故答案为：0,2⎛ ⎝⎭【点睛】本题考查椭圆离心率的范围,考查运算能力三､解答题17.【选修4-4：坐标系与参数方程】平面直角坐标系中，直线1的参数方程是x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 2sin 30ρθρθρθ+--=（1）求直线l 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求AB . 【答案】(Ⅰ)()3R πθρ=∈【解析】【详解】分析：（1）利用消参得到直线l 的普通方程，利用极坐标公式得到曲线C 的直角坐标方程. （2）利用解三角形求弦长|AB|. 详解：（1）直线l的普通方程为y =；cos xsin yρθρθ=⎧⎨=⎩，sin cos ρθθ∴= 故直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，（2）曲线C 的直角坐标方程为22230x y y +--=；即曲线:C ()2214x y +-= 圆心()0,1到直线y =的距离12d ==；圆的半径2r；2221154244AB r d ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭， ∴ 15AB =点睛：本题主要考查参数方程、极坐标和直角坐标的互化，考查圆的弦长的计算，属于基础题.18.某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示.（1）根据茎叶图中的数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，求这2人都是年龄大于40岁的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.()20P K k ≥ 0.1000.0500.0100.0010k2.7063.841 6.635 10.828【答案】(1)详见解析;(2) 310. 【解析】试题分析：（1）由茎叶图能完成22⨯ 列联表，由列联表求出2 3.46 3.841K ≈＜，从而得到没有95% 的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关．（2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为51204=，所以年龄在20~40岁的抽取了2人，记为,a b ，年龄大于40岁的抽取了3人，记为,,A B C ，列出所有可能的情况，由古典概型可求其概率．试题解析：（1）由茎叶图可得：由列联表可得：()22502012108 3.46 3.84130202822K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.所以，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关. （2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为51204=，所以年龄在20~40岁的抽取了2人，记为,a b 年龄大于40岁的抽取了3人，记为,,A B C ，从这5人中随机抽取2人，所有可能的情况为(),a b ，(),a A ，(),a B ，(),a C ，(),b A ，(),b B ，(),b C ，(),A B ，(),A C ，(),B C ，共10种，其中2人都是年龄大于40岁的有(),A B ，(),A C ，(),B C 3种，所以概率为310. 【点睛】本题考查茎叶图、独立性检验的应用，以及古典概型等知识，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19.已知{}n a 是等比数列，12a =，且1a ，31a +，4a 成等差数列（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，求数列{}n n a b 前n 项的和n S ．【答案】(1)()*2n n a n N =∈ (2) 12(1)2n n S n +=+-【解析】【分析】（1）根据1a ，31a +，4a 成等差数列，得到公比q 的方程，求出q 后代入等比数列的通项公式；（2）求出2nn n a b n =，再利用错位相减法求n S .【详解】（1）设数列{}n a 公比为q ，则2231·2a a q q ==，3341·2a a q q ==，因为1a ，31a +，4a 成等差数列，所以()14321a a a +=+，即()3222221q q +=+，整理得()220qq -=，因为0q ≠，所以2q ，所以()1*222n n n a n -=⨯=∈N ．（2）因为22log log 2n n n b a n ===，2nn n a b n ∴=.1231222322n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，234121222322n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅，两式相减得：123122222n n n S n +-=++++-⋅=12(1)2n n +-+-，12(1)2n n S n +∴=+-.【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解、错位相减法求和，考查基本运算求解能力，在利用错位相减法求和时，注意最后运算得到的常数为2，否则算出的答案就是错的. 20.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ,//CD AB ,AD AB ⊥,3AD =,11122CD PD AB PA ====,点E 、F 分别为AB 、AP 的中点.﹙1﹚求证:平面//PBC 平面EFD ； ﹙2﹚求三棱锥P EFD -的体积. 【答案】（1）证明见解析；﹙23【解析】【分析】（1）先证明//DE 平面PBC ，//EF 平面PBC ，再利用面面平行的判定定理，即可证明；（2）利用等体积法，可得P EFD E PFD V V --=，利用3sin 2AD APD PA ∠==，即可求得1=3P EFD E PFD PFD V V S AE --∆=⨯⨯【详解】﹙1﹚由题意知: 点E 是AB 的中点,//CD AB 且12CD AB =, 所以 CD BE =,所以四边形BCDE 是平行四边形,则//DE BC .DE ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC ,所以//DE 平面PBC .又因为E 、F 分别为AB 、AP 的中点,所以//EF PB .EF ⊄平面PBC ,PB ⊂平面PBC ,所以, //EF 平面PBC .EF DE E ⋂=,所以平面//PBC 平面EFD .（2）解法一：利用P EFD E PFD V V --=因为平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD平面ABCD AD =，EA ⊂平面ABCD,EA AD ⊥,所以，EA ⊥平面ABCD .所以，EA 的长即是点E 到平面PFD 的距离.在Rt ADP ∆中，sin 2AD APD PA ∠==,所以，11sin 112224PFD S PF PD APD ∆=⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=,所以1=3P EFD E PFD PFD V V S AE --∆=⨯⨯=. 解法二：利用P EFD P ADE F ADE V V V ---=-.11122ADE S AD AE ∆=⨯⨯==. P EFD P ADE F ADE V V V ---=- 1133ADE ADE S PD S FH ∆∆=⨯⨯-⨯⨯1111332=-=【点睛】本题考查面面平行的证明和等体积法的应用，难点在于利用P EFD E PFD V V --=进行求解体积，属于中档题21.已知椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，过F 1的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且△MNF 2的周长为8．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y ＝kx ＋b 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，试问点O 到直线AB 的距离是否为定值，证明你的结论．【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析.【解析】【分析】(1)根据三角形周长为8，结合椭圆的定义可知，48a =，利用12c e a ===，即可求得a 和b 的值,求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线斜率斜存在时,联立22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得m 和k 的关系，利用点到直线的距离公式即可求得点O 到直线AB 的距离是否为定值. 【详解】（1）由题意知，4a=8，则a=2，由椭圆离心率12c e a ===，则b 2=3． ∴椭圆C 的方程22143x y +=；（2）由题意，当直线AB 的斜率不存在，此时可设A （x 0，x 0），B （x 0，-x 0）．又A ，B 两点在椭圆C 上，∴222000121,437x x x +==，∴点O 到直线AB的距离d ==，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+b ．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立方程22143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得（3+4k 2）x 2+8kbx+4b 2-12=0．由已知△＞0，x 1+x 2=2834kb k -+，x 1x 2=2241234b k-+，由OA⊥OB，则x 1x 2+y 1y 2=0，即x 1x 2+（kx 1+b ）（kx 2+b ）=0，整理得：（k 2+1）x 1x 2+kb （x 1+x 2）+b 2=0，∴()222224128103434b kbk b k k-+-+=++ ． ∴7b 2=12（k 2+1），满足△＞0． ∴点O 到直线AB的距离77d ===为定值．综上可知：点O 到直线AB 的距离为定值．【点睛】本题主要考查椭圆的定义及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点到直线的距离公式，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 22.已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----. （1）讨论()f x 的单调性.（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2) 存在；a 的取值范围为(]2,e . 【解析】【分析】（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞，所以()0f x '=得12,x a x e ==，所以通过对a 与0,e 的大小关系进行分类讨论得()f x 的单调性；(2)假设存在满足题意的a 的值，由题意需()min13sin 44a f x π>+，所以由(1)的单调性求()min f x 即可；又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，所以可以考虑从区间[)1,+∞内任取一个x 值代入，解出a 的取值范围，从而将(],a e ∈-∞的范围缩小减少讨论.【详解】解：（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞. 当a e =时，()()()ln 10f x x e x '=--≥，()f x 在()0,∞+上单调递增当0a ≤时，0x a ->，()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增当0a e <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在()0,a ，(),e +∞上单调递增；当a e >时，()f x 在(),e a 上单调递减，在()0,e ，(),a +∞上单调递增.（2）假设存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立. 则()31123sin 444a f a π=->+，即8sin1504a a π-->，设()8sin 154xg x x π=--，则存在(],x e ∈-∞，使得()0g x >，因为()8cos044xg x ππ='->，所以()g x 在(],x e ∈-∞上单调递增，因为()20g =，所以()0g x >时2x >即2a >. 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立时，需()min 13sin 44a f x π>+，所以由（1）得：当a e =时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 331=2=244f x f a e =--，且3123sin 444e e π->+成立，从而a e =满足题意. 当2e a <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在[)1,a ，(),e +∞上单调递增，所以()()2113sin ,4413sin ,444a f e a f e ea ππ⎧>+⎪⎪⎨⎪=->+⎪⎩所以22,4sin 1204a a ea e π>⎧⎪⎨--->⎪⎩（*）设()()24sin 1242xh x ex e x e π=---<<，()4cos044xh x e ππ=-'>，则()h x 在()2,e 上单调递增，因为()228130h e e =-->，所以()h x 的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为()2,+∞，所以2x e <<即2e a <<.综上，存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，且a 取值范围为(]2,e .【点睛】求可导函数()f x 的单调区间的一般步骤是：（1）求定义域；（2）求()f x '；（3）讨论()f x '的零点是否存在；若()f x '的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断()f x '在每个区间内的正负号，得()f x 的单调区间. 当()f x a >在区间D 上恒成立时，需()min f x a >.- 21 -。

2021届全国百师联盟新高考原创预测试卷(五)文科数学

2021届全国百师联盟新高考原创预测试卷（五）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

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3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题（每小题5分，共60分）1.已知集合{1,1}A =-，2{|20,}B x x x x Z =+-<∈，则A B =（）A. {}1-B. {1,1}-C. {1,0,1}-D.{1,0,1,2}-【答案】C 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求出{-1,0}B =，则可求A B={-1,01}，⋃．【详解】由题意知{-2<x<1,x Z}B x =∈，所以{-1,0}B =，所以A B={-1,01}，⋃，故选C 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法及集合的并集运算，属基础题．2.命题“020,log 0x R x ∃∈≤”的否定为（） A. 020,log 0x R x ∃∈> B. 020,log 0x R x ∃∈≥ C. 2,log 0x R x ∀∈≥ D. 2,log 0x R x ∀∈> 【答案】D 【解析】试题分析：本题考查的是含有存在量词的命题的否定，其否定形式应该改存在量词为全称量词，同时否定结论，故应选D ；考点：命题的否定；3.设a ，b ，R c ∈，且0b a <<，则（） A. ac bc > B. 22ac bc >C.11a b< D.1ab> 【答案】C 【解析】若0c，则ac bc >不成立，故答案A 错误；若0c ，则22ac bc >不成立，故答案B 错误；因为0b a <<，所以0ab >，则由不等式的性质对不等式0b a <<两边同乘以1ab可得 b a ab ab <，即11a b <，故答案C 正确；若2,31a a b b=-=-⇒<，则答案D 不正确，应选答案C ．4.为了得到函数2y sin x =的图象，可以将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（） A. 向左平移6π个单位长度 B. 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移12π个单位长度D. 向右平移12π个单位长度【答案】C 【解析】因0()6212ππ--= ,所以向左平移12π个单位长度,选C.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率． 5.已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的体积为（）A. 1B.23C.12D.32【答案】B 【解析】∵四棱锥P −ABCD 的三视图俯视图为正方形且边长为1，正视图和侧视图的高为2，故四棱锥P −ABCD 的底面面积S=1，高h=2 故四棱锥P −ABCD 的121233V =⋅⋅=. 本题选择B 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．6.已知直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l 1平行于l 2”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用两直线平行的等价条件求得m ，再结合充分必要条件进行判断即可.【详解】由直线l 1平行于l 2得－m (m －1)＝1×(－2)，得m ＝2或m ＝－1，经验证，当m ＝－1时，直线l 1与l 2重合，舍去，所以“m ＝2”是“l 1平行于l 2”的充要条件，故选C.【点睛】本题考查两直线平行的条件，准确计算是关键，注意充分必要条件的判断是基础题7.设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=-，且()11f x ⎧=⎨-⎩2002x x -<≤<≤，则下列函数值为-1的是（） A. ()()5.5ffB. ()()4.5ffC. ()3.5fD. ()6f【答案】D 【解析】【分析】由()()2f x f x -=-，得到函数的周期是4，根据分段函数的表达式结合函数的周期性进行求解即可．【详解】由()()2,f x f x -=-得f （x -4）＝﹣f （x -2）＝f （x ），则函数的周期是4，则()()()()()5.5? 1.5?11,ff f f f ==-=()()4.5f f =()()() 0.511,f f f =-=()()3.50.51f f =-=， ()6f = ()2f =-1即函数值为-1的为()6f ，故选D ．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用代入法和转化法是解决本题的关键．8.函数()()21sin f x x x=-的图像大致是( )A. B.C.D.【答案】A 【解析】试题分析：因为()()22(()1)sin()(1)sin f x x x x x f x -=---=--=-，所以()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，当()()21sin 0f x x x =-=时，解得1x =或1x =-或,x k k Z π=∈，所以函数的零点有无数个，故选A ．考点：函数的图象；函数的零点．9.《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织420尺布，则第2天织的布的尺数为（） A.16329B.16129C.8115D.8015【答案】A 【解析】设公差为d ,由题意可得：前30项和30S =420=30×5+30292⨯d ,解得d =1829. ∴第2天织的布的尺数=5+d =16329. 故选A.10.已知正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n ＝4a 22，则212m n+的最小值等于（） A.34B.12C.13D.16【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的性质求出m +n ＝6，由乘“1”法求出代数式的最小值即可．【详解】正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n ＝4a 22，故a m •a n ＝a 2•a 2⋅2n ﹣2⋅2m ﹣2=422a ,故m +n ＝6，166m n+=, 故212m n +215n 5=2661231212m n m m n m n ⎛⎫⎛⎫++=++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3=.4 当且仅当312n mm n=即m ＝2n 时“＝”成立，故选A ．【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查基本不等式的性质以及乘“1”法的应用，是一道中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.11.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为030的直线与y轴和双曲线右支分别交于,A B 两点，若点A 平分1F B ，则该双曲线的离心率是（）C. 2【答案】A 【解析】由题意可知：112,AF AB OF OF ==，其中O 为坐标原点，则2OA BF ，结合通径公式可得：22b BF a =，则：221212tan 2b BF a BF F F F c ∠===，即：222c a ac -=，整理可得：22220,20ac e --=--=，故)(10e +=，结合1e >可知：e =.本题选择A 选项.点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a ，b ，c 的齐次关系式，将b 用a ，e 表示，令两边同除以a 或a 2化为e 的关系式，进而求解．12.已知函数2()ln(1)f x m x x mx =++-在(1,)+∞上不单调，则m 的取值范围是（） A. (4,)+∞ B. (,4]-∞C. (,0)-∞D. (0,)+∞【答案】A 【解析】【分析】求导22()2()1m x x f x x '--=+，函数不单调，212m ->解得答案. 【详解】222()2(2)2()2111m x x m x m x f x x m x x x '--+-=+-==+++. 因为()f x 在(1,)+∞上不单调，所以212m ->，故4m >. 故答案为A【点睛】本题考查了函数的单调性，意在考查学生的计算能力. 二、填空题（每小题5分，共20分）13.若,x y 满足约束条件360020x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最大值为_______．【答案】2. 【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，结合图形，变形目标函数，平移直线12y x =可得最优解．【详解】解：作出约束条件360020x y x y x y --⎧⎪-⎨⎪+-⎩所对应的可行域（如图ABC ∆及内部），变形目标函数可得1122y x z =-，平移直线12y x =可知，当直线经过点(2,0)A 时，截距取最小值，z 取最大值，即max 2202z =-⨯= 故答案为：2．【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属于基础题题． 14.向量,a b 满足31,2a ab =-=，a 与b 的夹角为60°，则b =__________．【答案】12【解析】分析：由31,2a ab =-=，得22324a a b b -⋅+=，代入1a =，可得2(21)0b -=，即可求解b .详解：由31,2a ab =-=，可得23()4a b -=，即22324a a b b -⋅+=，代入1a =，可得21312124b b -⨯⋅⨯+=，整理得2(21)0b -=，解得12b =.点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算与应用，熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15.若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式()()cos2sin sin 0f x x f x a ++-≤恒成立，则a 的最大值是_____．【答案】3-.【解析】不等式()()cos2sin 0f x x f sinx a ++-≤恒成立，等价于()()cos2sin f x x f sinx a +≤--恒成立，又()f x 是奇函数，()()sin ,f sinx a f x a --=+∴原不等式转为()()cos2sin f x x f sinx a +≤-+在R上恒成立，函数()f x 在其定义域R 上是减函数，cos2sin sin x x x a ∴+≥-+，即cos22sin x x a +≥，2cos 212sin x x =-，cos22sin x x ∴+22sin 21x sin =-++，当sin 1x =-时，cos22sin x x +有最小值3-，因此3,a a ≤-的最大值是3-，故答案为3-.【方法点晴】本题主要考查三角函数的最值、二倍角的余弦公式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得a 的最大值.16.麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆．制作时以糯米粉团炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等馅料，有些没有．一个长方体形状的纸盒中恰好放入4个球形的麻团，它们彼此相切，同时与长方体纸盒上下底和侧面均相切，其俯视图如图所示，若长方体纸盒的表面积为576 ，则一个麻团的体积为_______．【答案】36π 【解析】分析：根据麻团与长方体纸盒上下底和侧面均相切，可知长方体纸盒的长宽相等：设球形半径r ，可得长方体长宽a=4r ，高为h=2r ，长方体纸盒的表面积为576cm 2，即32r 2+32r 2=576，即可求解r ，可得一个麻团的体积．详解：根据麻团与长方体纸盒上下底和侧面均相切，可知长方体纸盒的长宽相等.设麻团球形半径r ，可得长方体长宽a=4r ，高为h=2r ，长方体纸盒的表面积为576cm 2，即32r 2+32r 2=576，解得：r 2=9，即r=3，可得一个麻团的体积V=343r π=36π．故答案为36π点睛：本题主要考查球的体积，考查几何体的内切球问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间观察想象能力. 三、解答题17.在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为5,(3x t t y t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩为参数），在以原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos()14πθ+=-. （1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，点P 是圆C 上任一点，求PAB ∆面积的最小值.【答案】（1）22(5)(3)2x y ++-=，20x y -+=；（2）4. 【解析】【分析】（1）运用同角的平方关系可得圆C 的普通方程；运用两角和的余弦公式和直角坐标和极坐标的关系，即可得到所求直线l 的直角坐标方程；（2）求得直线l 与x ，y 轴的交点，利用两点间距离公式求得AB ；设P点的坐标为(5,3)t t -++，运用点到直线的距离公式，以及两角和的余弦公式，运用余弦函数的值域，即可得到所求面积的最小值．【详解】解：（1）由52cos 32sin x t y t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩消去参数t ，得()()22532x y ++-=，所以圆C 的普通方程为()()22532x y ++-=. 由2cos 14πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得cos sin 2ρθρθ-=-，所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=.（2）由（1）可得直线l 与x 轴，y 轴的交点为()()2,0,0,2A B -，则()()22200222AB =--+-=，设P 点的坐标为()52cos ,32sin t t -++，则P 点到直线l 的距离为 62cos 52cos 32sin 2422t t t d π⎛⎫-++ ⎪-+--+⎝⎭==，当cos 14t π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时d 取最小值， ∴min 222d ==，所以PAB ∆面积的最小值是min 1222242S =⋅⋅=. 【点睛】本题考查参数方程和普通方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用参数方程，考查运算能力，属于中档题．18.已知数列{n a }是等差数列，且满足：1236a a a ++=，55a =．数列{n b }满足：n b －1n b －＝1n a －，11b = （Ⅰ）求n a 和n b ；（Ⅱ）记数列n c ＝12n b n＋()n N *∈，若{n c }的前n 项和为n T ，求n T . 【答案】（1）22,2n n n n a n b -+==（2）2n n T n =+ 【解析】试题分析：（1）由条件已知{n a }是等差数列，可运用等差数列的定义，建立关于基本量1,a d 的方程求出通项，另由n b －1n b －＝1n a －可通过累加法求出数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）已知{}n b 的通项公式，可先求出{}n c 的通项公式，观察变形可发现通过裂项法求和进而求出n T ．试题解析：（Ⅰ）∵，， ∴，∴；，∴当时，∴,又适合上式，∴．（Ⅱ）∵，∴【考点】（1）等差数列的性质及累加法求数列通项．（2）裂项法求和．19.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知()22a b c ab -=-.（1）求角C ；（2）若4cos sin 02c A b C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，1a =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3π（2【解析】【分析】（1）利用余弦定理可求cos C ，从而得到C 的值.（2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得4b a =，得到b 值后利用面积公式可求ABC S ∆.【详解】（1）由()22a b c ab -=-，得222a b c ab +-=. 所以由余弦定理，得222cos 122a b c C ab +-==. 又因为()0,C π∈，所以3C π=. （2）由4cos sin 02c A b C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，得4sin sin 0c A b C -+=. 由正弦定理，得4ca bc =，因为0c ≠，所以4b a =.又因1a =，所以4b =.所以ABC ∆的面积11sin 14222S ab C ==⨯⨯⨯=. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点为(1,0)F，点23P ⎛ ⎝⎭在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ：y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，问y 轴上是否存在点M ，使得ABM ∆是以M 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】【分析】()1先求出c 的值，再根据2248193a b+=，又22221a b c b =+=+，即可得到椭圆的方程;()2假设y 轴上存在点()0,M t ，ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,N x y ，根据韦达定理求出点N 的坐标，再根据AM BM ⊥，MN l ⊥，即可求出m 的值，可得点M 的坐标【详解】()1由题意可得1c =，点23P ⎛ ⎝⎭在C 上， 2248193a b ∴+=，又22221a b c b =+=+，解得24a =，23b =，∴椭圆C 的方程为22143x y +=， ()2假设y 轴上存在点()0,M t ，ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,N x y ，由22143x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得22784120x mx m ++-=， ()()2226428412162130m m m =--=->，解得27m <，1287m x x ∴+=-，2124127m x x -=， 120427x x m x +∴=-=-，0037m y x m =+=， 43,77m m N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，依题意有AM BM ⊥，MN l ⊥，由MN l ⊥，可得3711407mt m -⨯=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可得7m t =-，由AM BM ⊥可得12121y t y t x x --⋅=-， 11y x m =+，22y x m =+，代入上式化简可得()()2121222()0x x m t x x m t +-++-=，则()222241288()()0777m m m --+=，解得m =当m =0,M ⎛ ⎝⎭满足题意，当m =M ⎛ ⎝⎭满足题意【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21.已知函数2()e ()x f x x m =-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0m >，证明：当(0,)x ∈+∞时，21()20ex f x --+>. 【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】（1）求导后，可知当1m ≤-时，导函数恒大于等于零，此时函数单调递增；当1m >-时，求得导函数等于零的两根，然后根据导函数的符号确定函数的单调性；（2）将问题转化为证明()22()0x g x e e m x =+->，通过导数求得()g x 的最小值()00g >，从而证得结论. 【详解】（1）依题意，函数()f x 的定义域为R ，()()22x f x e x x m '=+-若1m ≤-，则220x x m +-≥，()0f x '≥，故函数()f x 在R 上单调递增若1m >-，令220x x m +-=，则1x ==-±当(,1x ∈-∞-时，()0f x '>当(11x ∈--时，()0f x '<当()1x ∈-++∞时，()0f x '> 故函数()f x在(,1-∞-和()1-+∞上单调递增，在(11--+上单调递减（2）要证当()0,x ∈+∞时，()2120x f x e --+> 即证当()0,x ∈+∞时，2120x x em --+> 即证当()0,x ∈+∞时，220x e m ex -+> 即证当()0,x ∈+∞时，22()0x e e m x +-> 设()22()x g x e e m x =+-，其中0x ≥，所以()22xg x e ex '=- 设()()h x g x '=，则()22xh x e e '=-，令()0h x '=，得1x = x ，()h x '，()h x 的变化情况如下表：所以()h x 在1x =处取得极小值，而()1220h e e =-=，所以()0h x ≥所以0x ≥时，()0g x '≥所以()g x 在[)0,+∞上单调递增，得()()0g x g ≥而()020g em =+>，所以当0x >时，()0g x >即当()0,x ∈+∞时，()2120x f x e--+> 【点睛】本题考查讨论含参数的函数的单调性、利用导数解决恒成立的问题.解决恒成立问题的关键是能够将问题转化为函数最值求解问题，考查学生对导数与函数单调性、极值、最值的关系的掌握情况.。

2021届全国百师联盟新高三原创预测试卷(二十九)文科数学

2021届全国百师联盟新高三原创预测试卷（二十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{0,1,2,3}A =，集合{|2}B xx =≤‖，则A B =（）A. {3}B. {0,1,2}C. {1,2}D.{0,1,2,3}【答案】B 【解析】【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可．【详解】解：{0,1,2,3},{|22}A B x x ==-≤≤，{0,1,2}A B ∴⋂=．故选：B ．【点睛】本题考查集合交集的运算，属于基础题．2.下列函数()f x 中，满足“对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”的是（）A. ()f x =B. ()2xf x -=C. ()ln f x x =D.3()f x x =【答案】B 【解析】【分析】对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”，可知函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，结合选项即可判断．【详解】解：“对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”， ∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，结合选项可知，()f x =(0,)+∞单调递增，不符合题意，1()22xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭在(0,)+∞单调递减，符合题意， ()ln f x x =在(0,)+∞单调递增，不符合题意，3()f x x =在(0,)+∞单调递增，不符合题意，故选：B ．【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题． 3.“sin 0α=”是“sin 20α=”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由sin 0α=可得α，由sin 20α=也可得α，观察两个α的范围之间的关系即可得结果.【详解】解：由sin 0α=可得,k k Z απ=∈，由sin 20α=可得,2kk Z απ=∈，所以“sin 0α=”是“sin 20α=”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查条件的充分性和必要性，关键是求出α的取值，本题是基础题. 4.已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】∵()y f x x =+是偶函数 ∴()()f x x f x x +=--当2x =时，()()2222f f +=--，又()21f = ∴()25f -= 故选D5.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( ) A. 异面 B. 平行C. 相交D. 不确定【答案】B 【解析】【详解】如图所示，直线a∥α，a∥β，α∩β=b，求证a∥b．只需考虑线面平行的性质定理及平行公理即可．解：由a∥α得，经过a 的平面与α相交于直线c ，则a∥c，同理，设经过a 的平面与β相交于直线d ，则a∥d，由平行公理得：c∥d，则c∥β，又c 在α内，α∩β=b，所以c∥b，又a∥c，所以a∥b．故答案为B ．6.函数()()1ln f x x x =-的图象可能为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数定义域以及函数值正负识别函数图象，并进行选择. 【详解】当1x >时()()()1ln 1ln 0f x x x x x =-=->，所以舍去B,C; 当0x =时()()1ln f x x x =-无意义，所以舍去D; 故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，考查基本分析判断能力，属基础题.7.已知:0,2p πα⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin αα<，0:q x ∃∈N ，200210x x --=，则下列选项中是假命题的为（） A. p q ∨B. ()p q ∧-C. p q ∧D.()p q ∨-【答案】C 【解析】【分析】命题p ：由三角函数定义，即可判断出真假；命题q ：由求根公式，即可判断出真假，根据复合命题真值表判断结果即可．【详解】解：命题p ：由三角函数的定义，角α终边与单位圆交于点P ，过P 作PM x ⊥轴，垂足是M ，单位圆交x 轴于点A ，则sin MP α=，弧长PA 即为角α；显然MP <弧长PA ；∴:0,2p πα⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin αα<是真命题；命题q ：解方程200210x x --=，则12x =±因此0:q x ∃∈N ，200210x x --=，是假命题．则下列选项中是假命题的为p q ∧．而A ，B ，D 都是真命题．故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数的定义，方程的求根公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后关于y 轴对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A. B. 12-C.12【答案】B 【解析】【分析】利用平移后的图像关于y 轴对称求出ϕ，再利用三角函数的性质可求其在给定范围上的最小值.【详解】平移得到的图像对应的解析式为()sin 23g x x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，因为()g x 为偶函数，所以()0sin 13g πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，其中k Z ∈.因为2πϕ<，所以6π=ϕ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72666x πππ≤+≤，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2x π=时，()min 12f x =-，故选B. 【点睛】本题考查三角函数的图像变换及正弦型函数的最值的求法，属于中档题. 9.我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如在+中，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程x =确定x +的值为（）A. 3B.12C. 6D. 【答案】A 【解析】【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．(0)m m =>，则两边平方得，则23m +=，即232m m +=，解得，3,1m m ==-舍去．故选：A ．【点睛】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道中档题． 10.若将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，则x min 后甲桶中剩余的水量符合衰减函数()nx f x ae =（其中e 是自然对数的底数）.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min后，甲桶中的水只有L 4a，则m 的值为（） A. 9 B. 7C. 5D. 3【答案】C 【解析】【分析】由题意，函数()nxy f x ae ==满足1(5)2f a =，解出11ln 52n =．再根据1()4f k a =，建立关于k 的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k 的值，由5m k =-即可得到．【详解】解：∵5min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数()nty f t ae ==，满足51(5)2nf aea ==可得11ln 52n =，因此，当k min 后甲桶中的水只有4a升，即1()4f k a =，即111ln k ln 524⋅=，即为111ln 2ln 522k ⋅=，解之得10k =，经过了55k -=分钟，即5m =．故选：C ．【点睛】本题给出实际应用问题，求经过几分钟后桶内的水量剩余四分之一．着重考查了指数函数的性质、指数恒等式化简，指数方程和对数的运算性质等知识，属于中档题． 11.在四棱锥P ABCD -中，PA ABC ⊥平面，且ABC ∆为等边三角形，3AB =，2PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A. 4πB. 16πC. 8πD. 32π【答案】B 【解析】【分析】先确定三棱锥P ABC -的外接球球心位置，再列方程求解球半径，最后根据球表面积公式得结果.【详解】由题意得三棱锥P ABC -的外接球球心在过ABC ∆中心1O 且垂直平面ABC 的直线上，设为点O ，球半径设为R ,则111,31322PAOO AO R ====+=,从而外接球的表面积为2416R ππ=, 故选：B【点睛】本题考查锥体外接球及其表面积，考查空间想象能力以及基本分析求解能力，属中档题.12.已知函数3()log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()()1h x g x =-，若函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，则实数k 的取值范围是（） A. ()71,2log 3B. ()52,2log 3--C. ()52log 3,1--D.71log 3,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】把函数()()y k f x h x=⋅+有3个零点，转化为3log()k x h x=-有3个不同根，画出函数3logy k x=与()y h x=-的图象，转化为关于k的不等式组求解．【详解】解：由函数3()logf x x=的图象与函数()g x的图象关于直线y x=对称，得()3xg x=，函数()h x是最小正周期为2的偶函数，当[0,1]x∈时，()()131xh x g x=-=-，函数()()y k f x h x=⋅+有3个零点，即3log()k x h x=-有3个不同根，画出函数3logy k x=与()y h x=-的图象如图：要使函数3logy k x=与()y h x=-的图象有3个交点，则k0<，且33log32log52kk>-⎧⎨<-⎩，即522log3k-<<-．∴实数k的取值范围是()52,2log3--．故选：B．【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.（2）本部分共10个小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.函数()f x =的定义域为_________．【答案】(]0,1 【解析】【分析】根据偶次根式被开方数非负列不等式，解对数不等式得结果. 【详解】由题意得22log 0log 001x x x -≥∴≤∴<≤ 故答案为：(]0,1【点睛】本题考查函数定义域以及对数不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.14.设函数2,05()(5),5x x f x f x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，那么(18)f 的值为________.【答案】9 【解析】【分析】推导出(18)(353)(3)f f f =⨯+=，由此能求出结果．【详解】解：∵函数2,05()(5),5x x f x f x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，∴2(18)(353)(3)39f f f =⨯+===．故答案为：9．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 15.函数()cos22sin x x f x =+的最小值为______. 【答案】3- 【解析】【分析】先根据二倍角余弦公式将函数转化为二次函数，再根据二次函数性质求最值. 【详解】()2cos22sin 12sin 2sin x x x f x x =+=-+所以令sin t x =，则()22132212(),[1,1]22y t t t t f x ==-++=--+∈- 因此当1t =-时，()f x 取最小值3-，故答案：3-【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及二次函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 16.已知正方体有8个不同顶点，现任意选择其中4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成平面图形成空间几何体.在组成的空间几何体中，可以是下列空间几何体中的________.（写出所有正确结论的编号）①每个面都是直角三角形的四面体； ②每个面都是等边三角形的四面体； ③每个面都是全等的直角三角形的四面体；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体. 【答案】①②④ 【解析】【分析】画出正方体的图形，在几何体中找出满足结论的图形即可．【详解】解：①每个面都是直角三角形的四面体；如：E −ABC ，所以①正确； ②每个面都是等边三角形的四面体；如E −BGD ，所以②正确； ③每个面都是全等的直角三角形的四面体：这是不可能的，③错误；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．如：A −BDE ，所以④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查命题的真假的判断，空间几何体的与三棱锥的关系，是基本知识的考查，易错题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.已知函数321()3f x x x ax =-+（其中a 为实数）. （1）若1x =-是()f x 的极值点，求函数()f x 的减区间；（2）若()f x 在(2,)-+∞上是增函数，求a 的取值范围. 【答案】（1）(1,3)- （2）[1,)+∞ 【解析】【分析】（1）对()f x 求导，代入1x =-使导函数为零，求出a 的值，进而利用导数可求出()f x 的减区间.（2）()f x 在(2,)-+∞上是增函数转化为'()f x 在(2,)-+∞上大于等于零恒成立，进而转化为最值问题，即可求得a 的取值范围. 【详解】解：（1）因为321()3f x x x ax =-+，所以2()2f x x x a '=-+，因1x =-是()f x 的极值点，所以(1)0f '-=，即120a ++=，所以3a =-，故2()23f x x x '=--，当1x <-或3x >时，()0f x '>，当13x 时，()0f x '<，所以3a =-符合题意，且()f x 的减区间为(1,3)-；（2）因为()f x 在(2,)-+∞上为增函数，所以2()20f x x x a '=-+≥在(2,)-+∞上恒成立，所以22a x x ≥-+在(2,)-+∞上恒成立，因为2()2g x x x =-+在(2,1)-上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，所以()(1)1g x g ≤=，所以1a ≥，即a 的取值范围为[1,)+∞，【点睛】本题考查函数的极值及单调性，其中关键是将单调性问题转化为最值问题，是中档题.18.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos sin c a B B =-. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）已知c =BC 边上的高1AD =，求b 的值.【答案】（Ⅰ）34A π=（Ⅱ）b =【解析】【分析】（Ⅰ）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，再根据两角和正弦公式化简求结果，（Ⅱ）先根据三角形面积公式得到a =，再利用余弦定理求b 的值. 【详解】解：（Ⅰ）由()cos sin c a B B =-，及正弦定理得()sin sin cos sin C A B B =-，即()sin sin cos sin sin A B A B A B π-+=-⎡⎤⎣⎦，所以sin cos cos sin sin cos sin sin A B A B A B A B +=-，即cos sin sin sin 0A B A B +=，由于B 为ABC ∆的内角，所以sin 0B ≠，所以tan 1A =-，又()0,A π∈，所以34A π=；（Ⅱ）因为11sin 22S bc A AD a ==⋅，代入c =，1AD =，sin A =a =，由余弦定理得22222cos 10a b c bc A b =+-=++，代入a =，得24100b --=，解得b =2b =-（舍去），所以b =【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.19.已知函数()()2cos sin cos 1f x x x x =+-()x R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小值及取最小值时x 取值的集合；（Ⅱ）若将函数()f x 的图象上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，且()15g a =，3,22a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求2g a π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（Ⅰ）最小值是，此时x 的集合为3|,8x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）5【解析】【分析】（Ⅰ）先根据二倍角正余弦公式以及辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质求最值，（Ⅱ）先根据三角函数图象变换得()g x 解析式，再根据两角差正弦公式求结果. 【详解】解：（Ⅰ）()22cos sin 2cos 1f x x x x =+-，sin 2cos2x x =+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2242x k πππ+=-+，即38x k ππ=-()k Z ∈时，sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最小值是1-，所以函数()f x 的最小值是此时x 的集合为3|,8x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）()f x 的图像上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()g x ，所以()g x 的最小正周期为4π，故()124g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为()112sin 245g a a π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以12sin 2410a π⎛⎫+=⎪⎝⎭. 又3,22a ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以1,242a πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以172cos 2410a π⎛⎫+=-⎪⎝⎭， 112sin 2sin 22244g a a a πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-==+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦112sin cos cos sin 244244a a ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦227222102102⎡⎤⎛⎫=⨯--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎣⎦ 425=. 【点睛】本题考查两角差正弦公式、二倍角正余弦公式、辅助角公式、三角函数图象变换以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.20.如图，已知BD 为圆锥AO 底面的直径，点C 是圆锥底面的圆周上，2AB BD ==，6BDC π∠=，AE ED =，F 是AC 上一点，且平面BFE ⊥平面ABD .（Ⅰ）求证AD BF ⊥；（Ⅱ）求多面体BCDEF 的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）310【解析】【分析】（Ⅰ）先根据等腰三角形性质得AD BE ⊥，再根据面面垂直性质定理得AD BEF ⊥平面，即可证得结果，（Ⅱ）先求A BEF V -，根据等体积法或求高可得A BEF V -，再根据A BEF V -与多面体BCDEF 的体积关系得结果.【详解】解：（Ⅰ）因为ABD ∆是等边三角形，AE ED =，所以AD BE ⊥，因为平面BFE ABD ⊥平面，且交线为BE ，所以AD BEF ⊥平面，因为BF BEF ⊂平面，所以AD BF ⊥；（Ⅱ）解法一：因为30BDC ∠=︒，90BCD ∠=︒，2BD =，所以3CD =， 4435cos 2228CAD +-∠==⨯⨯，在Rt AEF ∆中，5cos 8AE CAD AF ∠==，又1AE =，所以85AF =，25CF =，所以点F 到平面ABE 的距离为点C 到平面ABE 的距离的45，所以三棱锥F ABE -的体积142255F ABE C ABD A BCD V V V ---=⨯=，所以多面体BCDEF 的体积为35BCDEFA BCD V V -=3153BCD S AO ∆=⨯⋅ 13335210=⨯=. 解法二：39EF =，3BE =在ABC ∆中，7cos 8BAC ∠=，BF =，在BEF ∆中，cos BFE ∠=，所以sin BFE ∠=，从而13226555BEF S ∆=⨯=，由（Ⅰ）可知AD BEF ⊥平面，所以113113355A BEF BEF V S -∆=⨯⨯=⨯=，又因为1132A BCD BCD V S AO -∆=⨯⨯=，所以多面体BCDEF 的体积为1132510BCDEF A BCD A BEF V V V --=-=-=. 【点睛】本题考查面面垂直性质定理、线面垂直性质定理以及锥体体积公式，考查综合分析求解能力，属中档题.21.已知函数()ln f x x =，()1g x a x=+（其中a 是常数）. （Ⅰ）求过点()0,1P -与曲线()f x 相切的直线方程；（Ⅱ）是否存在1k ≠的实数，使得只有唯一的正数a ，当1x a >时不等式()1f x g x kxa ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，若这样的实数k 存在，试求k ，a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）1y x =-（Ⅱ）存实数2k e =，a ，【解析】【分析】（Ⅰ）先求导数，根据导数几何意义用切点坐标表示切线斜率，再根据点斜式得切线方程，最后根据切线过点求切点坐标，即得结果, （Ⅱ）先化简不等式，构造函数()21ln k k m x x x x a a a ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，利用导数研究新函数单调性，确定最小值取法，再根据最小值不大于零，结合解得唯一性确定k ，a 的值. 【详解】解：（Ⅰ）设过点()0,1P -的直线与曲线()f x 相切于点()00,ln x x ，因()ln f x x =，则()1f x x'=，所以在()00,ln x x 处切线斜率为()001fx x '=，则在()00,ln x x 处切线方程为()0001ln y x x x x -=-，将()0,1P -代入切线方程，得0ln 0x =，所以01x =，所以切线方程为1y x =-；（Ⅱ）假设存在1k ≠的正实数，使得只有唯一的正数a ，当1x a>时不等式()1f x g x kx a ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，即2ln 1a x x kx ax ≤-恒成立，因1x a >，所以()21ln k ax x a -≤，即()21ln 0k ax x a --≤，令()()2211ln ln k ax k k m x x x x x a a a a -⎛⎫=-=-+> ⎪⎝⎭则()1k m x x a '=-，由于()00m x '=，即0ax k =，（1°）当1a k a>即20k a <<时，01,x x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()00m x '>，则()m x 在01,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，()0,x x ∈+∞时，()00m x '<，则()m x 在()0,x +∞上为减函数，则()()02min 1ln 0k am x m x a k==-++≤，即2ln 1k a a k +≤，令()(2lnk ah a a a k=+>，则()233122k a k h a a a a-'=-=，由()00h a '=，得0a a =>，)0a a ∈时，()0h a '<，则()h a在区间)0a 上为减函数，()0,a a ∈+∞时，()0h a '>，则()h a 在区间()0,a +∞上为增函数，因此存在唯一的正数a k >，使得()1h a ≤，故只能()min 1h a =.所以()()0min 12ln 12h a h a k==+=，所以2k e =，此时a 只有唯一值2e. （2°）当1a k a ≤即2k a ≥时，()0m x '>，所以()m x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，所以()11lim ln0x am x a→=≤，即1a ≥，故1k >. 所以满足1a k ≤≤的a 不唯一，综上，存在实数2k e =，a 只有唯一值2ee，当1x a >时，恒有原式成立. 【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.如图，在极坐标系Ox 中，过极点的直线l 与以点(2,0)A 为圆心、半径为2的圆的一个交点为2,3B π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线1M 是劣弧OB ，曲线2M 是优弧OB .（1）求曲线1M 的极坐标方程；（2）设点()1,P ρθ为曲线1M 上任意一点，点2,3Q πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线2M 上，若||||6OP OQ +=，求θ的值.【答案】（1）4cos 32ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭（2）3πθ=【解析】【分析】（1）利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，求出结果．（2）利用极径和三角函数关系式的变换的应用求出结果．【详解】解：（1）设以点(2,0)A 为圆心、半径为2的圆上任意一点(,)ρθ，所以该圆的极坐标方程为4cos ρθ=，则1M 的方程为4cos 32ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭；（2）由点()1,P ρθ为曲线1M 上任意一点，则114cos 32ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，点2,3Q πρθ⎛⎫-⎪⎝⎭在曲线2M 上，则24cos 3233ππππρθθ⎛⎫⎛⎫=--≤-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即224cos 363πππρθθ⎛⎫⎛⎫=--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为12||,||OP OQ ρρ==，所以12||||OP OQ ρρ+=+，即||||4cos 4cos 3OP OQ πθθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭3πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为32ππθ≤≤，且263ππθ-≤≤，所以32ππθ≤≤，因为||||6OP OQ +=，所以63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以3πθ=.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．23.设()|-3||4|f x x x =+-.（1）解不等式()2f x ≤；（2）已知x ，y 实数满足2223(0)x y a a +=>，且x y +的最大值为1，求a 的值. 【答案】（1）[2.5,4.5]（2）65a =【解析】【分析】（1）讨论x 的取值范围，去掉绝对值求出不等式()2f x ≤的解集；（2）结合题意，利用柯西不等式求得2()x y +的最大值，列方程求出a 的值．【详解】解：（1）当3x <时，不等式化为342x x -+-+≤，此时2.53x ≤<，当34x ≤≤时，不等式化为342x x --+≤，成立，当4x >时，不等式化为342x x -+-≤，此时4 4.5x <≤，综上所述，原不等式的解集为[2.5,4.5]；（2）柯西不等式得22222))()x y ⎡⎤⎡⎤++≥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，因为2223(0)x y a a +=>，所以25()6x y a +≤，（当23x y =时，取等号），又因为x y +的最大值为1，所以65a =. 【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了柯西不等式的应用问题，是中档题．。

2021届全国百师联盟新高考原创预测试卷(六)文科数学

2021届全国百师联盟新高考原创预测试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|22P x x =-≤≤，{}|lg 0Q x x =>，那么P Q =（）A. ()2,0-B. [)1,2C. (]1,2D. (]0,2 【答案】C 【解析】【分析】首先解出集合Q 所含的元素，再由集合的交集运算的定义求解．详解】{}|lg 0Q x x =>{}|1Q x x ∴=>，又{}|22P x x =-≤≤{}|12P Q x x ∴=<≤即(]1,2P Q =，故选C.【点睛】本题考查交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解答本题的关键，属于基础题． 2.已知复数Z 满足()12Z i i +=+（i 为虚数单位），则复数Z 的虚部为（）. A. 12-B.12C. 12i -D.12i 【答案】A 【解析】【分析】首先21iZ i+=+，然后化简求虚部. 【详解】231122i i i Z +=-+=，虚部为12-. 故选A.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数的相关概念，属于简单题型. 3.已知向上满足||2,a = ||1b = ,()a b b -⊥，则向量a 与b 的夹角为（） A.6πB.3π C.2π D.23π 【答案】B 【解析】【分析】先由题意求出a b ⋅，再由向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】因为||2,a =||1b =，()a b b -⊥，所以()0-⋅=a b b，因此21⋅==a b b ，所以1cos ,2⋅==a b a b a b，因此向量a 与b 的夹角为3π 【点睛】本题主要考查向量夹角的计算，熟记向量数量积的运算即可，属于常考题型.4.已知()01110ba a a ab >≠>->且，则是的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】结合指数的运算性质，可知()110ba ab >->与是等价的.【详解】由110ba ab >⎧>⇔⎨>⎩或01;0a b <<⎧⎨<⎩10(1)00a a b b ->⎧->⇔⎨>⎩或10a b -<⎧⎨<⎩,所以1b a >是(1)0a b ->的充要条件. 故选C【点睛】判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系． 5.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()lg f x x =，则满足()0f x >的x 的取值范围是（） A. (1,)+∞B. (0,1)C. (1,0)(1,)D.(0,1)(,1)⋃-∞-【答案】C 【解析】【分析】先由(0,)x ∈+∞时，()lg f x x =，得到在 (0,1)和(1,)+∞上函数值的正负，再由奇函数的性质判断出(,0)-∞上的函数值为正的部分即可．【详解】解：由题意及对数函数的性质得函数在(0,1)上函数值小于0，在(1,)+∞函数值大于0，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴函数()f x 在(1,0)-函数值大于0∴满足()0f x >的x 的取值范围是(1,0)(1,)．故选C ．【点睛】本题考查对数函数的单调性与特殊点，以及函数的奇函数的性质，求解本题的关键是熟练对数函数的图象以及奇函数的对称性．6.在新一轮的高考改革中,一名高二学生在确定选修地理的情况下,想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科学习,则所选的两科中一定有生物的概率是() A.310B.710C.25D.35【答案】C 【解析】【分析】先计算出从历史、政治、化学、生物、物理5科中选2科的数量，然后计算出按照两科里有生物，再选另一科的数量.根据古典概型的计算公式，得到答案.【详解】从历史、政治、化学、生物、物理5科中选2科，数量有2510C =，所选的2科中一定有生物，则需在从历史、政治、化学、物理4科中选1科，数量有14C 4=，所以其概率为142542105C P C ===. 故答案为C 项.【点睛】本题考查组合问题，古典概型的计算，属于简单题.7.设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，有下列命题： ①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥； ②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥； ③如果//αβ，m α⊂，那么//m β；④如果平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，那么//αβ；其中正确的命题是（） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ②③④【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直与线面平行的性质可判断①;由直线与平面垂直的性质可判断②;由直线与平面平行的性质可判断③;根据平面与平面平行或相交的性质,可判断④.【详解】对于①如果m n ⊥,m α⊥,//n β,根据线面垂直与线面平行性质可知αβ⊥或//αβ或αβ⋂,所以①错误对于②如果m α⊥,//n α,根据直线与平面垂直的性质可知m n ⊥,所以②正确; 对于③如果//αβ,m α⊂,根据直线与平面平行的判定可知//m β,所以③正确;对于④如果平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,当两个平面相交时,若三个点分布在平面β的两侧,也可以满足条件,所以//αβ错误,所以④错误; 综上可知,正确的为②③ 故选:B【点睛】本题考查了直线与平面平行、直线与平面垂直的性质,平面与平面平行的性质,属于中档题.8.若数列{}n a 各项不相等的等差数列，15a =-，且3a ，4a ，8a 成等比数列，则7S =（） A. 18 B. 28 C. 44 D. 49【答案】B 【解析】【分析】根据等比中项列方程，将方程转换为只含1,a d 的表达式后求得d ，由此求得7S 的值.【详解】由于3a ，4a ，8a 成等比数列，所以2438a a a =⋅，所以()()()2111327a d a d a d +=++，即21350a d d +=，依题意“数列{}n a 各项不相等的等差数列”，所以0d ≠，故由21350a d d +=得1350a d +=，而15a =-，所以3d =.所以71721356328S a d =+=-+=.故选B.【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项的基本量的计算，考查等差数列前n 项和的求法，属于基础题.9.函数3sin 2xy x =的图象可能是（）.A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊区间,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x <判断选项. 【详解】3xy =是偶函数，sin 2y x =是奇函数，()3sin 2xf x x =是奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A,B02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π ，当(,)2x ππ∈时，30x y =>，sin 20y x =<3sin 20xy x ∴=<，排除C.故选D .【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图象，一般从函数的定义域确定函数的位置，从函数的值域确定图象的上下位置，也可判断函数的奇偶性，排除图象，或是根据函数的单调性，特征值，以及函数值的正负，是否有极值点等函数性质判断选项.10.在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若4A π=，a =b =∆ABC的面积等于（）A.12或32B.12C.2D.32【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理得到3c =，代入面积公式计算得到答案.【详解】利用余弦定理得到：22222cos 5223a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=或1c =-（舍去）13sin 22ABC S bc A ∆==故选D【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，意在考查学生的计算能力.11.已知三棱锥D ABC -四个顶点均在半径为R 的球面上，且AB BC ==2AC =，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（） A.50081π B.1009πC.259πD. 4π【答案】B 【解析】【分析】根据勾股定理可知AB BC ⊥，从而求得1ABC S ∆=；根据棱锥体积公式可知，若三棱锥体积最大,则可得点D 到平面ABC 的最大距离3DO '=，在Rt OAO '∆中利用勾股定理构造关于球的半径的方程，解方程求得半径R ，代入球的表面积公式可求得结果.【详解】AB BC ==，2AC =222AB BC AC ∴+= AB BC ∴⊥112ABC S AB BC ∆∴=⋅= 如下图所示：若三棱锥D ABC -体积最大值为1，则点D 到平面ABC 的最大距离：3d = 即：3DO '=设球的半径为R ，则在Rt OAO '∆中：()22213R R =+-，解得：53R =∴球的表面积：210049S R ππ==故选B【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够通过体积的最值确定顶点到底面的距离，根据外接球的性质可确定球心的大致位置，通过勾股定理构造关于半径的方程求得外接球半径.12.已知函数()ln e xf x x x a =+有两个极值点，则实数a 的取值范围是（）A. 1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据题意转化为方程()0f x '=有两个不同的实数根，整理得到1ln xxa e+-=有两个不同的实根，转化为y a =-和1ln e x x y +=在()0,+∞上有两个交点，根据导数求出1ln e xxy +=的单调性、极值和最值，从而得到a 的取值范围.【详解】要使函数()ln e xf x x x a =+有两个极值点，求导得()1ln e xf x x a =+'+，则转化为()1ln e 0xf x x a =++='有两个不同的实根，即y a =-和1ln e xxy +=在()0,+∞上有两个交点，令()1ln ex x g x +=，∴()1ln 1e x x x g x -='-．记()1ln 1h x x x=--，()2110h x x x '=--<()h x 在()0,+∞上单调递减，且()10h =，所以当(]0,1x ∈时，()0h x ≥，()0g x '≥，所以()g x 在(]0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，所以()g x ()1,+∞上单调递减，故()()max 11eg x g ==．当0x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →，所以，当10e a <-<，即10ea -<<时，y a =- 和1ln exxy +=在()0,+∞上有两个交点，故选D ．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性、极值和最值，函数与方程，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知曲线3y x x =-在点()00,x y 处的切线平行于直线220x y --=，则0x =______.【答案】－1 【解析】【分析】求出函数的导数，代入x 0求得切线的斜率，再由两直线平行的条件可得到关于x 0的方程，解方程即可得到所求值，注意检验.【详解】3y x x =-的导数为231y x '=-，即在点()00,x y 处的切线斜率为2031k x =-，由切线平行于直线220x y --=，则2k =，即20312x -=，解得01x =或1-.若01x =，则切点为(1,0)，满足直线220x y --=，不合题意. 若01x =-，则切点为(1,0)-，不满足直线220x y --=，符合题意. 故答案为1-.【点睛】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查两直线平行的问题，属基础题.14.已知x ，y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若2z x y =-，则z 的最大值为____.【答案】2 【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合图形，确定目标函数的最优解，代入即可求解目标函数的最大值，得到答案.【详解】由题意，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，目标函数2z x y =-，可化为直线122z y x =-，当直线122zy x =-过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，此时目标2z x y =-取得最大值，又由20x y y +=⎧⎨=⎩，解得(2,0)B ，所以目标函数的最大值为max 2202z =-⨯=. 故答案为2.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则sin 2θ=______．【答案】45- 【解析】【分析】利用辅助角公式得到()5)f x x ϕ=-，化简得到22k πθϕπ=++，代入式子得到答案.【详解】()sin 2cos 5)f x x x x ϕ=-=-，其中255sin ϕϕ==当22x k πϕπ-=+时，有最大值，即22k πθϕπ=++4sin 2sin 2(2)sin 22sin cos 25k πθϕπϕϕϕ=++=-=-=- 故答案为45-【点睛】本题考查了三角函数求值，意在考查学生的计算能力.16.定义在R 上的偶函数()f x 对于任意的x ∈R 有()()11f x f x +=-，且当[]2,3x ∈时，()269f x x x =-+-，若函数()log a y f x x =-在()0,∞+上只有四个零点，则实数a =______【答案】14【解析】【分析】根据已知关系式可确定()f x 关于1x =对称，结合奇偶性可知函数()f x 周期2T =，将问题转化为()f x 与log a y x =在()0,∞+上有且仅有四个交点，可排除1a >的情况，当01a <<时，由()f x 与log a y x =的图象可知若有四个交点，则()4log 4a f =，由此解方程求得结果. 【详解】()()11f x f x +=- ()f x ∴关于直线1x =对称又()f x 为偶函数，即()f x 关于0x =对称 ()f x ∴为周期函数且2T =()log a y f x x =-在()0,∞+有且仅有四个零点，即()f x 与log a y x =在()0,∞+上有且仅有四个交点当1a >时，log ay x =在()0,∞+上单调递增，又1x =时，()log 110a f ==∴()f x 与log a y x =在()0,∞+不存在四个交点 01a ∴<<()f x ∴与log a y x =有且仅有四个交点，图象如下图所示：()4log 4a f ∴=，又()()421f f ==- log 41a ∴=-，解得：14a =故答案为14【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数值的问题，关键是能够将零点个数转化为两个函数的交点个数问题，通过数形结合的方式，确定临界状态，从而构造方程求得结果. 三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知bsinA=acos(B –π6)．（1）求角B 的大小；（2）若3b =，△ABC 的面积为23，求△ABC 的周长．【答案】（1）3π；（2）333+ 【解析】【分析】（1）由正弦定理得sin sin b A a B =，又由bsinA=acos(B –π6)得B=π3.（2）利用面积公式和余弦定理得出33a c +=，即周长可求.【详解】（1）解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得πsin cos 6a B a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即πsin cos 6B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得tan 3B =．又因为()0πB ∈，，可得B=π3．（2）因为△ABC 的面积为23，所以1sin 2323ac π=，所以8ac =，又因为()22292cos33a c ac a c ac π=+-=+-，所以33a c +=，所以△ABC 的周长为333+【点睛】本题考查的知识点：正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题．18.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD DC ==，点E ，F 分别为AD ，PC 的中点．（Ⅰ）证明：//DF 平面PBE ；（Ⅱ）求点F 到平面PBE 的距离．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）63.【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点G ，连接EG 、FG ，由已知结合三角形中位线定理可得//DE FG 且DE FG =，得四边形DEGF 为平行四边形，从而可得//DF EG ，再由线面平行的判定可得//DF 平面PBE ；（Ⅱ）利用等积法可得：D PBE P BDE V V =﹣﹣，代入棱锥体积公式可得点F 到平面PBE 的距离．试题解析：（Ⅰ）证明：取点G 是PB 的中点，连接EG ，FG ，则//FG BC ，且12FG BC =， ∵//DE BC 且12DE BC =， ∴//DE FG 且DE FG =， ∴四边形DEGF 为平行四边形， ∴//DF EG ，∴//DF 平面PBE ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知//DF 平面PBE ，所以点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d ．利用等体积法：D PBE P BDE V V --=，即1133PBE BDE S d S PD ∆∆⋅=⋅，112BDE S DE AB ∆=⨯⨯=， ∵5PE BE ==，23PB =，∴6PBE S ∆=，∴6d =．点睛：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题；在证明线面平行的过程中，常见的方法有：1、构造三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行；在该题中利用的是构造平行四边形.求点到面的距离主要是利用等体积法.19.随着自媒体直播平台的迅猛发展，直播平台上涌现了许多知名三农领域创作者，通过直播或视频播放，帮助当地农民在直播平台上销售了大量的农产品，促进了农村的经济发展，当地农业与农村管理部门对近几年的某农产品年产量进行了调查，形成统计表如下：（1）根据表中数据，建立y 关于t 的线性回归方程y bt a =+；（2）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量；（3）从2013年到2018年的6年年产量中随机选出2年的产量进行具体调查，求选出的2年中恰有一年的产量小于7万吨的概率. 附：对于一组数据()11,t y 、()22,t y 、、(),n n t y ，其回归直线y bt a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121nii i nii tt y yb tt==--=-∑∑，a y bt =-．（参考数据：()()612.8iii tty y =--=∑）【答案】（1）0.16 6.44y t =+；（2）预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨；（3）815. 【解析】【分析】（1）计算出t 和y ，然后将表格中数据代入最小二乘法公式求出b 和a 的值，即可得出回归直线的方程；（2）将7t =代入回归直线方程，计算出y 的值，即可预测出2019年该地区该农产品的年产量；（3）记事件A =“2年的产量中恰有一年的产量低于7万吨”，列举出所有的基本事件，并确定事件A 所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式即可计算出事件A 的概率. 【详解】（1）由题意可知：1234563.56t +++++==， 6.6 6.777.17.27.476y +++++==，()()()()6222222212.5 1.50.50.5 1.5 2.517.5i i t t =-=-+-+-+++=∑，()()()1212.80.1617.5nii i nii tt y yb tt====--=-∑∑，70.16 3.5 6.44a y bt ∴=-=-⨯=， y ∴关于t 的线性回归方程为0.16 6.44y t =+；（2）由（1）可得，当年份为2019年时，年份代码7t =，此时0.167 6.447.56y =⨯+=，所以可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨；（3）由题知，所有的基本事件有：()6.6,6.7、()6.6,7、()6.6,7.1、()6.6,7.2、()6.6,7.4、()6.7,7、()6.7,7.1、()6.7,7.2、()6.7,7.4、()7,7.1、()7,7.2、()7,7.4、()7.1,7.2、()7.1,7.4、()7.2,7.4，共15个，设事件A =“2年的产量中恰有一年的产量低于7万吨”，则A 中有8个基本事件，故()815P A =. 【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程以及利用回归直线预测结果，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，考查数据处理能力与计算能力，属于中等题. 20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式（2）若数列{}n n b a -是等差数列，且12b =，314b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）13-=n n a ；（2）2312n n -+【解析】【分析】（1）当1n =时，求得11a =，当2n ≥时，递推作差得13n n a a -=，即13nn a a -=，得到数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）求得21n c n =-，得到1213n n n n b c a n -=+=-+，利用分组求和，即可求解．【详解】（1）当1n =时，1112231S a a ==-，所以11a =，当2n ≥时，因231n n S a =-，所以11231n n S a --=-，两式作差得13n n a a -=，即13nn a a -=，因为11a =，所以数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，故13n n a -=；（2）令n n n c b a =-，则1111c b a =-=，3331495c b a =-=-=，所以数列{}n c 的公差3151222c cd --===，故21n c n =-，所以1213n n n n b c a n -=+=-+，所以()212113312132n n n n n T n +---=+=+-. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列的“分组求和”的应用，其中解答中根据数列的通项和前n 项和之间的关系，求得数列的通项公式，再利用等差、等比数列的前n 项和公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 21.已知函数()()21ln0f x ax x a x=-+> （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在定义域内有两个极值点12x x ，，求证：()()1232ln 2f x f x +>-. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】【分析】（1）求导后，将问题转变为研究()()2210g x ax x a =-+->在0x >时的正负；当0∆≤，可知()0g x ≤恒成立，从而可知()0f x '≤，得到函数单调递减；当>0∆时，解方程求出两根，根据()g x 在不同区间内的符号确定原函数的单调性即可；（2）由（1）可知108a <<且12,x x 是方程2210ax x -+-=的两个不等实根，从而可得韦达定理的形式；将()()12f x f x +整理为韦达定理的形式，代入可得()()()121ln 214f x f x a a+=++，设()()1ln 214v a a a =++，利用导数求得()132ln 28v a v ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭，从而可证得结论. 【详解】（1）由题意得：()f x 的定义域为()0,∞+，()()2121210ax x f x ax x x x-+-'=--+=>令()()2210g x ax x a =-+->，18a ∆=-①当180a ∆=-≤，即18a ≥时，()0g x ≤恒成立即：()0f x '≤ ()f x ∴在()0,∞+上单调递减 ②当180a ∆=->，即108a <<时令()0g x =，解得：1x ==，2x = 当()()120,,x x x ∈⋃+∞时，()0g x <，即()0f x '<；当()12,x x x ∈时，()0g x >，即()0f x '>()f x ∴在10,4a ⎛- ⎪⎝⎭，14a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；在11,44a a ⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭上单调递增（2）()f x 在定义域上有两个极值点12,x x由（1）知108a <<且12,x x 是方程2210ax x -+-=的两个不等实根则1212x x a +=，1212x x a⋅=()()221211221211lnln f x f x ax x ax x x x +=-++-+()()2121212121ln2a x x x x x x x x ⎡⎤=-+-++⎣⎦()()21111ln 2ln 21424a a a aa a a ⎛⎫=--+=++ ⎪⎝⎭设()()1ln 214v a a a=++，则241()4a v a a '-=108a << 410a ∴-< ()0v a '∴<则()v a 在10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数()11ln 2132ln 284v a v ⎛⎫∴>=++=- ⎪⎝⎭则()()1232ln 2f x f x +>-成立【点睛】本题考查讨论含参数函数的单调性问题、利用导数证明不等式的问题.与两个极值点有关的不等式证明问题，通常采用构造韦达定理的形式，将问题转化为新的函数的最值求解的问题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4 坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程122x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 极坐标方程为22312cos ρθ=+.（1）求直线l 的普通方程以及曲线C 的参数方程；（2）当1a =时，P 为曲线C 上动点，求点P 到直线l 距离的最大值.【答案】(1) 直线l 的普通方程为)y x a -，曲线C 的参数方程cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数【解析】【分析】(1)由题意，对直线的参数方程以及曲线的极坐标方程进行化简得出直线l 的普通方程以及曲线C 的参数方程；（2）设点P的坐标为()cos P θθ，根据点到直线的距离公式求得距离d 14πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，然后求得最大值.【详解】（1）直线l的普通方程为)y x a =-，曲线C 的极坐标方程可化为2222cos 3ρρθ+=，化简可得2213y x +=.故曲线C的参数方程x cos y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)（2）当1a =时，直线l0y --=.有点P 的直角坐标方程2213y x +=，可设点P的坐标为()cos P θθ，因此点P 到直线l 的距离可表示为sin 1d θθ==--14πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.当cos 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d取最大值为2. 【点睛】本题主要考查了极坐标参数方程的综合知识，化简极其重要，属于基础题. 23.已知函数()3f x x =-.（Ⅰ）求不等式()32f x x ≥--的解集；（Ⅱ）若()24f x m x ≤--的解集非空，求m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）(][),14,x ∈-∞⋂+∞；（Ⅱ）12m ≥．【解析】【分析】（Ⅰ）通过讨论x范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为()243minm x x ≥-+-，求出m 的范围即可．【详解】（Ⅰ）因为()32f x x ≥--，即为323x x -+-≥，当2x ≤时，得253x -+≥，则1x ≤，当23x ＜＜时，无解,当3x ≥时，得253x -≥，则4x ≥，综上][()14x ∞∞∈-⋃+，，；（Ⅱ）因为()24f x m x ≤--的解集非空即432x x m -+-≤有解，等价于()243min m x x ≥-+-，而()()43431x x x x -+-≥-+-=．∴21m ≥，12m ≥．【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及绝对值不等式的性质，是一道综合题．。

2021届全国百校联考新高三原创预测试卷(二十一)文科数学

2021届全国百校联考新高三原创预测试卷（二十一）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分 1.已知集合{}2|6730A x x x =--≤，B Z =，则A B =（）A. {}1,0-B. {}1,0,1-C. {}0,1D. {}0,1,2【答案】C 【解析】【分析】求出集合A 中x 的范围，然后直接求A B 即可【详解】由26730x x --≤得1332x -≤≤，即13,32A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，所以{}0,1A B =. 故选：C.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，是基础题..2.已知复数z 满足31z i =-，则zz=（） A. 12iB. 12i -C. iD. i -【答案】D 【解析】【分析】化简得1i z =--，然后直接求zz即可. 【详解】因为31z i =-，所以1i z =--，所以()()()()11111111i i i i i i i i z z i ---+=-===---++-. 故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，是基础题.. 3.执行如图所示的程序框图，则输出的b =（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】D 【解析】【分析】列举出循环的每一步，可得出该程序的输出结果.【详解】该程序的运行过程为：1a =，10b =，a b <，继续循环；8b =，2a =，a b <，继续循环；6b =，3a =，a b <，继续循环；4b =，4a =，a b =，继续循环；2b =，5a =，a b >，跳出循环，输出2b =.故选：D.【点睛】本题考查利用程序框图输出结果，解题的关键就是利用程序框图，列出循环的每一步，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.4.已知等差数列{}n a 的公差不为0，72a =，且4a 是2a 与5a 的等比中项，则{}n a 的前10项和为（） A. 10 B. 0C. 10-D. 18-【答案】C 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，可知0d ≠，由题意得出()()()2232522d d d -=--，求出d的值，可求出1a 和10a 的值，然后利用等差数列的求和公式可计算出数列{}n a 的前10项和.【详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由已知得()()()2232522d d d -=--，解得2d =.所以12610a d =-=-，10238a d =+=，所以{}n a 的前10项和()1010810102S -+⨯==-.故选：C.【点睛】本题考查等差数列和的计算，涉及了等差数列求和公式以及等差数列中基本量的计算，考查运算求解能力，属于中等题. 5.已知3sin 34πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则2021cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.18 B. 18-D. 【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式得出20212cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用二倍角的余弦公式可计算出2021cos 23πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值.【详解】因为3sin 34πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，所以20212cos 2cos 673233ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222231cos 2cos 22sin 12133348ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=--=--=⨯--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A.【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于中等题.6.若方程23sin cos 0x x a +-=有实根，则实数a 的取值范围为（） A. []1,12B. [)1,-+∞C. (],1-∞D.371,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】利用参变量分离法得出221373cos cos 33cos 612a x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，令()21373cos 612x f x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得出实数a 的取值范围即为函数()y f x =的值域，利用二次函数的基本性质求解即可.【详解】方程23sin cos 0x x a +-=即23cos cos 30x x a -+-=，则221373cos cos 33cos 612a x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，设()21373cos 612x f x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.[]cos 1,1x ∈-，()21373cos 612x x f ⎛⎫=--∴+ ⎪⎝⎭的值域为371,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 原方程有实根，∴实数a 的取值范围为371,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：D.【点睛】本题考查三角方程根的问题，利用换元法转化为二次方程在区间[]1,1-上有根是解题的关键，考查化归与转化思想，属于中等题. 7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 18B. 182C. 36D. 48【答案】C 【解析】【分析】由三视图将几何体的实物图还原，可知该几何体为一个三棱锥，计算出该三棱锥的底面积和高，然后利用锥体的体积公式可计算出该三棱锥的体积.【详解】由三视图知，该几何体是正方体中的一个三棱锥A BCD -，且正方体的棱长为6. 如图，底面三角形BCD 的面积为166182⨯⨯=，高（点A 到平面BCD 的距离）为6，所以该几何体的体积1186363A BCD V -=⨯⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解题的关键就是利用三视图将几何体的实物图还原，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.8.已知数列{}n a 是递增的等比数列，6240a a -=，4210a a +=，则1a =（）C.53D.52【答案】A 【解析】【分析】设等比数列公比为0q >，由题意列出关于1a 和q 的方程组，解出即可.【详解】设{}n a 的公比为q ，则0q >，由题意得624240410a a a a -==+，所以42141q q -=+，得214q -=，解得q =因为{}n a是递增的等比数列，所以q =因为2422210a a a q a +=+=，所以253a =，所以21a a q ==. 故选：A.【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，解题的关键就是列出有关于首项和公比的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.9.如图所示，ABC ∆是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在ABC ∆的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A.949π B.3349πC.233πD.9π 【答案】B 【解析】【分析】设圆的半径为r ，利用几何关系得出正三角形ABC 的高为7r ，然后利用锐角三角函数计算出AD ，可得出该正三角形的边长，从而可计算出该正三角形的面积，然后将三个圆的面积之和除以正三角形的面积，可计算出所求事件的概率.【详解】如图所示，取AB 边的中线CD ，则三个圆心都在线段CD 上，设最上面的圆的圆心为O ，圆O 与BC 的切点为E ，易知30OCE ∠=，所以2OC OE =.设圆的半径OE r =，2OC r ∴=，则7CD r =，所以22tan 303AB AD CD ===.所以217233ABCS r ∆⨯==，而阴影部分的面积为23r π，所以所求概率22333493r P ππ==故选：B.【点睛】本题考查平面区域型几何概型概率的计算，解题的关键就是计算出相应区域的面积，考查计算能力，属于中等题.10.已知三棱锥A BCD -内接于球O ，4AB BC BD ===，60CBD ∠=︒，AB ⊥平面BCD ，则球O 的表面积为（）A. 283π B. 254πC.1123πD. 60π【答案】C 【解析】【分析】先得出BCD ∆为等边三角形，设其中心为G ，可得知12OG AB =，由正弦定理求出BG ，利用公式22R BG OG =+可计算出球O 的半径R ，然后利用球体的表面积公式可计算出球O 的表面积.【详解】如图，因为4BC BD ==，60CBD ∠=，所以BCD ∆是等边三角形，设其中心为G ，则OG ⊥平面BCD ，因为AB ⊥平面BCD ，所以122OG AB ==. 由正弦定理得832sin 60BC BG ==43BG =，所以外接球O 的半径22283R BG OG =+=O 的表面积为211243R ππ=.故选：C.【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了多面体的外接球问题，解题的关键就是要利用几何关系计算出外接球的半径，考查计算能力，属于中等题. 11.设()()322623x mx R x m f x =-++∈的导函数为()'f x ，若对任意x ∈R ，总有()()''13f x f x -=+，则()f x 在[]1,4-上的最小值为（）A.143B. 2C. 203-D. 263-【答案】D 【解析】【分析】求出()'fx ，再利用()()''13f x f x -=+求出m ，将m 代入()f x ，()'f x ，利用导数直接求最值即可. 【详解】由题意知()2'226x f x x m -+=，因为()()''13f x fx -=+，所以()'f x 的图象关于直线2x =对称，所以224m=，解得4m =，所以()3224623f x x x x =-++，()2'286f x x x =-+.令()2'2860x f x x =-+=，得11x =，23x =. 令()'0fx >得1x <或3x >，令()'0f x <得13x <<，所以()f x 在()1,3上单调递减，在(),1-∞，()3,+∞上单调递增. 所以()f x 的极小值为()32f =，又因为()2613f -=-，所以()f x 在[]1,4-上的最小值为263-. 故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，最值既可能在极值处取到，也可能在区间端点取到，考查学生计算能力，是基础题.12.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作一条渐近线的垂线，垂足为1,0,3A B b ⎛⎫-⎪⎝⎭.若向量1F A 与2F B 共线，则双曲线C 的离心率为（）B.32+ C.2【答案】B 【解析】【分析】由已知求出2AF 的方程，与渐近线方程联立求得A ，再由向量1F A 与2F B 共线列式求解双曲线C 的离心率．【详解】由题可知，取双曲线的渐近线by x a =，因为2AF 与直线by x a=垂直，所以2AF a k b=-，所以2AF 的方程为()a y x c b =--，联立()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a x c aby c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为()1,0F c -，所以21,a ab c F c A c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=. 由已知得21,3F c b B ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()213a ab c b c c c⎛⎫⎛⎫+⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2230a ac c -+=，所以2310e e -+=，解得32e =，因为312<，故舍去，所以e =故选：B.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，训练了向量共线的坐标运算，考查计算能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量()3,4a =-，1b =，532a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角θ=______. 【答案】6π【解析】【分析】计算出a 的值，利用平面向量数量积的定义计算出cos θ的值，结合角θ的取值范围可求出θ的值.【详解】因为()3,4a =-，所以5a =，因为1b =，532a b ⋅=，所以532cos 51a b a bθ⋅===⨯.因为[]0,θπ∈，所以6πθ=. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查利用平面向量数量积计算平面向量的夹角，同时也考查了向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题. 14.已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象的一条对称轴为直线6x π=，将()f x 的图象向左平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象，则4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】12【解析】【分析】根据三角函数的对称轴，先求出ϕ的值，结合三角函数的平移关系求出()g x 的解析式即可．【详解】由条件得()26k k Z πϕπ⨯+=∈，又2πϕ<，所以3πϕ=-，即()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 将()f x 的图象向左平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象，则()cos 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以1cos 432g ππ⎛⎫==⎪⎝⎭. 故答案为：12. 【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的性质求出ϕ的值以及利用三角函数的平移关系求出函数()g x 的解析式是解决本题的关键，比较基础．15.过椭圆的三个顶点作圆，另一个顶点恰好为圆心，则该椭圆的离心率为______.【解析】【分析】利用已知条件列出方程，转化求解椭圆的离心率即可．【详解】由已知可得圆的圆心为一个短轴端点，且圆的半径2r b ==，得223a b ，22222c a b b =-=，所以椭圆的离心率e ===【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题． 16.设函数()321x x f x -=+，()xg x xe =，若对任意()1,1x ∈-∞-，()2,0x ∈-∞，不等式()()2122m f x eg x ≤恒成立，则实数m 的取值范围是______.【答案】(][),11,-∞-+∞【解析】【分析】求出()2f x <-，再利用函数求导法，得到()g x 的最小值，代入即可【详解】()()2155211x x x f x -++==-+++，当(),1x ∈-∞-时，有()2f x <-.因为()xg x xe =，所以()()'1xxxe xe g x e x =+=+分析可知()g x 在(),1-∞-单调递减，在()1,0-单调递增，又()11g e-=-，所以当(),0x ∈-∞时，()1,0g x e⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.因为对任意()1,1x ∈-∞-，()2,0x ∈-∞，不等式()()2122m f x eg x ≤恒成立，所以2122m e e ⎛⎫-⨯- ⎝≤⎪⎭，整理得210m -≥，解得m 1≥或1m ≤-. 故答案为：(][),11,-∞-+∞.【点睛】本题考查函数恒成立问题，转化为最值问题，考查求导法的应用，是中档题．三、解答题：共70分.17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，410S =，()112n n n S a S n +--=≥. （1）求n S ；（2）数列{}n b 满足124n n n b S -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）32n S n =-；（2）24133n n T n n -=-+.【解析】【分析】（1）由题意得出()112n n n n a S S a n +-=-=≥，可得出当2n ≥时，23n a a ==，再由410S =求出1a 的值，即可求出n S 的表达式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，然后利用分组求和法结合等差数列、等比数列的求和公式求出n T .【详解】（1）由题意得2n ≥时，11n n n n a S S a +-=-=，所以23n a a ==. 又4123413310S a a a a a =+++=+⨯=，得11a =，所以()1211332n n S a a a n n =+++=+-⨯=-；（2）由（1）知()12324n n b n -=-+，所以()()0111421473244413214nn n T n n n --=⨯+++⋅⋅⋅+-++++=+-+-24133n n n -=-+. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了分组求和法对数列进行求和，考查计算能力，属于中等题.18.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()cos 2cos a B c b A =-，3a =，2c =.（1）求角A ；（2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）3A π=；（2）2. 【解析】【分析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及两角和的正弦公式可求出cos A 的值，结合角A 的取值范围，可得出角A 的值；（2）由正弦定理可计算出sin C 的值，利用两角和的正弦定理计算出()sin sin B A C =+的值，然后利用三角形的面积公式可计算出ABC ∆的面积.【详解】（1）由正弦定理可得sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-，所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，即()sin 2sin cos A B C A +=. 因为()C A B π=-+，所以()sin sin 2sin cos A B C C A +==，()0,C π∈，则sin 0C >，故1cos 2A =. 因为()0,A π∈，所以3A π=；（2）根据正弦定理有sin sin a c A C =，所以csin sin 3A C a ==.因为a c >，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以26cos 1sin C C =-=，所以()323sin sin sin cos cos sin 6B AC A C A C +=+=+=. 所以ABC ∆的面积11323sin 32226ABC S ac B ∆+==⨯⨯⨯3232+=. 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求三角形中的角，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.19.某校高三有600名学生，某次模拟考试的数学成绩（均为整数，且都在[]90,150内）经过统计，按照[)90,100，[)100,110，…，[]140,150分组后得到如下的频率分布直方图.（1）求本次模拟考试数学成绩不小于120分的学生人数；（2）估计这600名学生数学成绩的中位数（四舍五入保留整数）；（3）用分层抽样的方法从[)90,120分数段的学生中抽取一个容量为8的样本，再从这8人中任选2人，求在分数段[)100,110、[)110,120内各有1人的概率. 【答案】（1）360；（2）123；（3）928【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中小长方形的面积表示频率，用总人数600乘以不小于120分的频率可以得到所求；（2）根据中位数处于中间位置，则分数小于中位数的频率为0.5，计算即可；（3）由题意，[90，100），[100，110），[110，120）三个分数段抽取人数分别为2，3，3，列出所有的基本事件的个数，以及“选取的2人，分数段[100，110）、[110，120）内各有1人”包含的基本事件的个数，即可得到所求．【详解】（1）本次模拟考试数学成绩不小于120分的学生人数为()6000.0350.0200.00510360⨯++⨯=.（2）设这600名学生数学成绩的中位数为x ，由频率分布直方图知120130x <<. 所以()()100.0100.0150.0150.0351200.5x +++-=，解得123x ≈.（3）由题意，[)90,100，[)100,110，[)110,120三个分数段的频率比为2:3:3，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为8的样本，则需在[)90,100分数段内抽取2人，分别记为m ，n ，在[)100,110分数段内抽取3人，分别记为a ，b ，c ，在[)110,120分数段内抽取3人，分别记为x ，y ，z .从这8人中任选2人，基本事件共有28个，即mn ，ma ，mb ，mc ，mx ，my ，mz ，na ，nb ，nc ，nx ，ny ，nz ，ab ，ac ，ax ，ay ，az ，bc ，bx ，by ，bz ，cx ，cy ，cz ，xy ，xz ，yz .设“选取的2人在分数段[)100,110，[)110,120内各有1人”为事件A ，则A 包含有9个基本事件，即ax ，ay ，az ，bx ，by ，bz ，cx ，cy ，cz ，由古典概型计算公式得()928P A =. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，考查古典概型的概率，主要考查分析和解决问题的能力，属于中档题．20.如图所示，三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，D 为棱BC 的中点，1BC AC ⊥.（1）求1BCC ∠的大小；（2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，求点C 到平面1ABC 的距离. 【答案】（1）160BCC ∠=︒；（2215【解析】【分析】（1）在1Rt CDC ∆中，求出1cos BCC ∠，即可得1BCC ∠；（2）点C 到平面1ABC 的距离为h ，利用等体积法11C ABC C ABC V V --=，求出对应的底面积和高代入计算即可.【详解】（1）由题意可知ABC ∆是正三角形，因为D 为BC 的中点，所以BC AD ⊥. 又因为1BC AC ⊥，而1AC AD A =，所以BC ⊥平面1ADC .所以1BC DC ⊥.在1Rt CDC ∆中，111cos 2CD BCC CC ∠==，所以160BCC ∠=︒. （2）由（1）知1BC DC ⊥，因为平面ABC ⊥平面11BCC B ，交线为BC ，所以1DC ⊥平面ABC ，所以1DC AD ⊥.由（1）可知1BCC ∆是正三角形，计算可得1AD DC ==，1AC 12BC =.所以1122ABCS ∆==. 设点C 到平面1ABC 的距离为h ，因为11C ABC C ABC V V --=，即111133ABC ABC S h DC S ∆∆⨯⨯=⨯⨯，所以211233=，则5h =. 本题考查空间几何体的特征，线面垂直的判定与性质应用，距离的计算方法. 【点睛】本题考查点到面的距离问题，通过等体积法转化为几何体的高，是基础题. 21.已知抛物线()2:20T x py p =>，焦点为F ，点P 在抛物线T 上，且P 到F 的距离比P 到直线2y =-的距离小1. （1）求抛物线T 的方程；（2）若点N 为直线:5l y =-上的任意一点，过点N 作抛物线T 的切线NA 与NB ，切点分别为,A B ，求证:直线AB 恒过某一定点.【答案】（1）24x y =（2）0,5【解析】试题分析：（1）根据抛物线定义可得直线1y =-为抛物线的准线，即得12p=，（2）关键求出直线AB 方程，先设切点,A B 的坐标，利用导数几何意义可得切线斜率，进而根据点斜式可得切线方程，求两切线方程交点可得点N 坐标，由于点N 在直线:5l y =-上，所以可得1220x x =-.最后联立AB 方程y kx m =+与抛物线方程，利用韦达定理得5m =，即得直线AB 恒过定点()0,5.试题解析：（1）因为P 到F 的距离与P 到直线1y =-的距离相等，由拋物线定义知，直线1y =-为抛物线的准线，所以12p=，得2p =,所以抛物线T 的方程为24x y =. （2）设切点,A B 的坐标分别为221212,,,44x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由(1)知，12y x '=.则切线NA NB 、的斜率分别为1111|2x x k y x =='=,2221|2x x k y x =='=, 故切线NA NB 、的方程分别为()21111142y x x x x -=-,()22221142y x x x x -=-,联立以上两个方程，得1212,2{1,4x x x y x x +==故N 的坐标为12121,24x x x x +⎛⎫⎪⎝⎭. 因点N 在直线5y =-上，所以12154x x =-，即1220x x =-. 设直线AB 的方程为y kx m =+，代入抛物线方程24x y =，得2440x kx m --=，所以124x x m =-，即420m -=-，所以5m =.故AB 的方程为5y kx =+,故直线AB 恒过定点()0,5. 22.已知函数()2ln f x x x=+.（1）求()f x 的极值；（2）已知函数()()2322x x a g x f x x+=--，其中a 为常数且0a ≠，若函数()g x 在区间[]1,2上为单调函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的极小值为()2ln 21f =+，没有极大值；（2）()[)2,00,1,5⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）先对函数()f x 求导，然后结合导数与函数的单调性的关系可判断函数的单调性，进而可求极值，（2）由()g x 在区间[1，2]上为单调函数，可得()'0g x ≥或()'0g x ≤在区间[1，2]上恒成立，转化求解函数最值即可．【详解】（1）因为()()2ln 0f x x x x =+>，所以()'212f x x x=-. 令()2'120x fx x=-=，得2x =.令()'0f x <，则02x <<，令()'0f x >，则2x >，所以函数()f x 的单调增区间为()2,+∞，单调减区间为()0,2. 所以函数()f x 的极小值为()2ln 21f =+，没有极大值. （2）由题意得()()2232322ln g x x f x x x x x a x a+--=-+=，所以()()'3140x x g a xx =-+>. 因为()g x 在[]1,2上是单调函数，所以在区间[]1,2上()'0g x ≥或()'0g x ≤恒成立，即3140x a x -+≥或3140x a x -+≤在[]1,2上恒成立，即314x a x ≥-或314x a x≤-在[]1,2上恒成立，即max 314x a x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭或min314x a x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，其中12x ≤≤. 令()()1412h x x x x=-≤≤，易知函数()h x 在[]1,2上单调递增，故()()()12h h x h ≤≤，所以()311524222h a ≥=⨯-=或()3114131h a ≤=⨯-=，解得0a <或205a <≤或1a ≥，故a 的取值范围是()[)2,00,1,5⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查了导数的应用，利用导数判断函数的单调性及函数的极值及由函数的单调性求解参数，体现了转化思想的应用．- 21 -。

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第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则AB =A ．{0,1}B ．{0,1,2}C ．{1,0,1}-D ．{1,0,1,2}- 2．复数12z i =-的虚部为 A ．2iB ．2i -C ．2D ．-23．已知向量()()1,2,,4a b x ==，且a b ⊥，那么x 的值为 A ．2-B ．4-C ．8-D ．16-4．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是A ．6B ．10C ．91D ．925．把函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，得到函数()y g x =，那么3g π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为 A ．12-B ．12C ．3 D ．3-6．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．7．已知定义在R 上的函数()2x f x x =⋅，3(log 5)a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>8．0.70.60.7log 6,6,0.7a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>9．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=，13CE AB AC μ=+，则λμ+= A ．13B ．13-C ．76D ．76-10．设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 的最小正周期为π；③()f x 的最小值为0；④()f x 在[]0,2π上有3个零点其中所有正确结论的编号是 A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．②③④11．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB BCD ⊥平面，BCD 是边长为3的等边三角形，若2AB =，则球O 的表面积为 A ．16πB ．323π C ．12π D ．32π12．已知抛物线21:8C y x =，圆222:(2)1C x y -+=，若点,P Q 分别在12,C C 上运动，且设点(4,0)M ，则||||PM PQ 的最小值为 A ．35 B ．45C ．4D ．4第II 卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知实数,x y 满足约束条件402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为_______.14．已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是____．15.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.16．已知数列{}n a 满足*123...2(n n a a a a n a n N ++++=-∈)， ()222n n nb a -=-,则数列{}n b 中最大项的值是__________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x （万人）与餐厅所用原材料数量y （袋），到如下统计表：第一次第二次第三次第四次第五次参会人数x （万人）13981012原材料y （袋）3223182428（I ）根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程a x by ˆˆ+=；（II ）已知购买原材料的费用C （元）与数量t （袋）关系为()()40020,036380,36t t t N C t t t N ⎧-<<∈⎪=⎨≤∈⎪⎩，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L =销售收入-原材料费用）..参考公式：()()()^1111212nniii ii i nnii i ix x yy x yb x x xnxy nx====--==---∑∑∑∑，x b y aˆˆ-=.参考数据：511343i ii x y==∑，521558ii x==∑，5213237i i y ==∑.18．(12分)如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E ，124AA AD AB ===．（I ）证明：AE ⊥平面ECD ．（II ）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值．19．（12分）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2)cos 2BA C +=. （Ⅰ）求sinB ；（Ⅱ）若ABC 的周长为8，求ABC 的面积的取值范围.20．（12分）已知ABC ∆的两个顶点,A B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，且,CA CB 所在直线的斜率之积等于34-，记顶点C 的轨迹为Γ. （Ⅰ）求顶点C 的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与曲线Γ交于,M N 两点，点P 在曲线Γ上，且O 为PMN ∆的重心（O 为坐标原点），求证：PMN ∆的面积为定值，并求出该定值.21．（12分）已知a 为常数，a R ∈，函数2()ln f x x ax x =+-，()x g x e =（其中e 是自然对数的底数）.（Ⅰ）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，设切点为00(,)P x y ，求证：01x =；（Ⅱ）令()()()f x F xg x =，若函数()F x 在区间(0,1]上是单调函数，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=.（Ⅰ）写出曲线1C 的极坐标方程，并求出曲线1C 与2C 公共弦所在直线的极坐标方程；（Ⅱ）若射线02πθφφ=<<（）与曲线1C 交于,O A 两点，与曲线2C 交于,O B 点，且||2AB =，求tan φ的值.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()2f x x =.（Ⅰ）求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若正数a ，b ，c 满足14923a b c f ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，求149a b c++的最小值.文科数学参考答案1．C 2．D3．C4．B5．B6．D7．D8．D9.B 10．B 11．A12．B13．614．(,3]-∞15．-316．81 17．解：(1)由所给数据可得：1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==， 515222151343510.425 2.5558510.45ˆi i i i i x y xy b x x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，25 2.510.41ˆˆa y bx =-=-⨯=-，则y 关于x 的线性回归方程为 2.51ˆˆyx =-. (2)由(1)中求出的线性回归方程知，当15x =时，36.5y =，即预计需要原材料36.5袋，因为40020,036,380,36,t t t NC t t t N -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，所以当36t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+，当35t =时，max 300352010480L =⨯-=；当36t ≥时，利润70036.5380L t =⨯+，当36t =时，max 70036.53803611870L =⨯-⨯=. 综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11870元. 18.（1）证明：因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD ，则1AA CD ⊥ .又CD AD ⊥，1AA AD A =，所以CD ⊥平面11AA D D ，所以CD AE ⊥.因为1AA AD ⊥，1AA AD =，所以11AA D D 是正方形，所以AE ED ⊥. 又CDED D =，所以AE ⊥平面ECD .（2）由等体积法求解点1A 到平面AEC 的距离最后求解得直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值为9. 19．（1）23sin()cos 2B AC +=且sin()sin A C B +=22sin cos cos 222B B B B ==，又022B π<<，sin0cos 222B B B ∴>=tan sin 2263B B B B ππ∴==∴=∴=（2）由题意知：8()b a c =-+2226416()21cos 222a c b a c ac B ac ac +--++-∴===36416()64ac a c ∴=-++≥-+，36408)0ac ∴-≥∴≥83≤8≥（舍）649ac ∴≤1sin 2ABC S ac B ∆∴==≤a c =时取“=”）综上，ABC 的面积的取值范围为0,9⎛ ⎝⎦20．解：（Ⅰ）设(),C x y ，因为点A 的坐标为()2,0-，所以直线AC 的斜率为()22AC yk x x =≠-+ 同理，直线BC 的斜率为()22BC y k x x =≠-由题设条件可得，()32224y y x x x ⋅=-≠±+-. 化简整理得，顶点C 的轨迹Γ的方程为：()221243x y x +=≠±.（Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，因为O 为PMN ∆的重心，所以0OP MO NO ++=，所以1230x x x ++=，1230y y y ++=，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2224384120k x kmx m +++-=，()()()2222264443412484320k m k m k m ∆=-+-=+-> 122843kmx x k -+=+，()121226243m y y k x x m k +=++=+，32843km x k =+，32643m y k =-+，∴2286,4343km m P k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，又点P 在椭圆上，所以()()2222222161214343k m m k k +=++，∴22443m k =+，因为O 为PMN ∆的重心，所以PMN ∆是OMN ∆的3倍，21MN x =-=，原点O 到直线MN的距离为d =12OMNS MN d ∆=⋅=32==.所以932PMN OMNS S ∆∆==，所以，PMN ∆的面积为定值，该定值为92. 21解：（1）()1'2f x x a x=+-（0x >），所以切线的斜率2000000ln 12x ax x k x a x x +-=+-=，整理得200ln 10x x +-=，显然，01x =是这个方程的解，又因为2ln 1y x x =+-在()0,+∞上是增函数，所以方程2ln 10x x +-=有唯一实数解，故01x =．（2）()()()2ln xf x x ax x F xg x e +-==，()()212ln 'xx a x a x x F x e -+-+-+=，设()()212ln h x x a x a x x =-+-+-+，则()211'22h x x a x x=-+++-，易知()'h x 在(]0,1上是减函数，从而()()''12h x h a ≥=-．①当20a -≥，即2a ≤时， ()'0h x ≥，()h x 在区间()0,1上是增函数， ∵()10h =，∴()0h x ≤在(]0,1上恒成立，即()'0F x ≤在(]0,1上恒成立． ∴()F x 在区间(]0,1上是减函数，所以2a ≤满足题意．②当20a -<，即2a >时，设函数()'h x 的唯一零点为0x ，则()h x 在()00,x 上递增，在()0,1x 上递减，又∵()10h =，∴()00h x >，又∵()()22ln 0aaa a a h eea e a e e ----=-+-+-+<，∴()h x 在()0,1内有唯一一个零点'x ，当()0,'x x ∈时，()0h x <，当()',1x x ∈时，()0h x >. 从而()F x 在()0,'x 递减，在()',1x 递增，与在区间(]0,1上是单调函数矛盾. ∴2a >不合题意．综上①②得，2a ≤．22．解：（1）曲线1C 的直角坐标方程为2211x y -+=（），将极坐标与直角坐标的互化公式：cos ,sin x y ρθρθ==代入2211x y -+=（），可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=.联立ρθ=与2cos ρθ=，得tan θ= ∴曲线1C 与2C 公共弦所在直线的极坐标方程6R πθρ=∈（）,（或6πθ=和76θπ=）（2）把0θφφπ=<<（），代入ρθ=，2cos ρθ=，得||2cos OA φ=；||OB φ=又||2AB =，则2cos φφ-=2，可得1sin62663ππππφφ-=-∈-（），（，）所以3πφ=，tan φ=23．解：（1）化简得()221f x x x =-->.①当0x ≤时，()()222f x x x x =---=+，由()1f x >，即21x +>，解得1x >-，又0x ≤，所以10x -<≤；②当02x <<时，()23f x x =-，由()1f x >，即231x ->，解得13x <，又02x <<，所以103x <<；③当2x ≥时，()2f x x =--不满足()1f x >，此时不等式无解；综上，不等式()1f x >的解集为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）由于111221333f ⎛⎫=--⨯= ⎪⎝⎭，故149233a b c f ⎛⎫++=+= ⎪⎝⎭，- 11 - ∴()1491149493a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭， ∵,,0a b c >，∴由柯西不等式：上式((22222213⎡⎤⎛⎛⎡⎤⎢⎥=++⋅++ ⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎝⎣⎦((213⎡≥⨯⨯⎢⎣()2119614933=++=. 当且仅当314a b c ===时，等号成立. 所以149a b c ++的最小值为1963.。