高考数学二轮复习导数及其应用张(课堂PPT)
合集下载
2021高考数学二轮专题复习7.3导数的简单应用ppt课件
当 a≤1 时，函数单调递增，不成立；
当 a>1 时，函数在0，a－1 1上单调递增，在a－1 1，＋∞上单 调递减；
有且只有两个整数 x1，x2 使得 f(x1)>0，且 f(x2)>0，故 f(2)>0 且 f(3)≤0，
即 ln 2＋2－ 2a＋a>0，∴a<ln 2＋2；ln 3＋3－3a＋a≤0， ∴a≥ln 32＋3，故选 C.
π π
又
gπ6>gπ3，所以cfo6sπ6>cfo3sπ3，即
π f6>
3fπ3，故 C 正确；
π π
又
gπ4>gπ3，所以cfo4sπ4>cfo3sπ3，即
π f4>
2fπ3，故 D 正确；故选
CD. 【答案】 (2)CD
(3)[2020·山东济宁质量检测]已知函数 f(x)＝ln x＋(1－a)x＋
∴切线的方程为：y－31x30－x20＋53＝(x20－2x0)(x－x0)，
又直线过定点－1，13，
∴13－31x30－x02＋53＝(x20－2x0)(－1－x0)， 得 x30－3x0－2＝0，(x30－x0)－2(x0＋1)＝0， 即(x0＋1)(x02－x0－2)＝0，解得：x0＝2 或－1， 故可做两条切线，故选 C.
x <0
在0，π2上恒成立，
因此函数 g(x)＝cfoxsx在0，π2上单调递减，
π π
因此
g6π>g4π，即cfo6sπ6>cfo4sπ4，即
π f6>
26fπ4，故
A
错；
又 f(0)＝0，所以 g(0)＝cfo0s0＝0，所以 g(x)＝cfoxsx≤0 在0，π2上 恒成立，
当 a>1 时，函数在0，a－1 1上单调递增，在a－1 1，＋∞上单 调递减；
有且只有两个整数 x1，x2 使得 f(x1)>0，且 f(x2)>0，故 f(2)>0 且 f(3)≤0，
即 ln 2＋2－ 2a＋a>0，∴a<ln 2＋2；ln 3＋3－3a＋a≤0， ∴a≥ln 32＋3，故选 C.
π π
又
gπ6>gπ3，所以cfo6sπ6>cfo3sπ3，即
π f6>
3fπ3，故 C 正确；
π π
又
gπ4>gπ3，所以cfo4sπ4>cfo3sπ3，即
π f4>
2fπ3，故 D 正确；故选
CD. 【答案】 (2)CD
(3)[2020·山东济宁质量检测]已知函数 f(x)＝ln x＋(1－a)x＋
∴切线的方程为：y－31x30－x20＋53＝(x20－2x0)(x－x0)，
又直线过定点－1，13，
∴13－31x30－x02＋53＝(x20－2x0)(－1－x0)， 得 x30－3x0－2＝0，(x30－x0)－2(x0＋1)＝0， 即(x0＋1)(x02－x0－2)＝0，解得：x0＝2 或－1， 故可做两条切线，故选 C.
x <0
在0，π2上恒成立，
因此函数 g(x)＝cfoxsx在0，π2上单调递减，
π π
因此
g6π>g4π，即cfo6sπ6>cfo4sπ4，即
π f6>
26fπ4，故
A
错；
又 f(0)＝0，所以 g(0)＝cfo0s0＝0，所以 g(x)＝cfoxsx≤0 在0，π2上 恒成立，
高三数学二轮复习 第一篇 专题1 第4课时导数及其应用课件 理
(－∞，k－ x k－1 (k－1，＋∞) 1) 0 f′(x) － ＋ － ek f(x)
• 所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)； 单调递增区间是(k－1，＋∞)． • (2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上 单调递增， • 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k； • 当0<k－1<1，即1<k<2时， • 由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－ 1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最 小值为f(k－1)＝－ek－1； • 当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调 递减， • 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝x；(4)(cos x)′＝－sin x； 1 1 (5)(ln x)′＝x；(logax)′＝xlogae； (6)(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a.
3．导数的运算法则 (1)(u± v)′＝u′± v′ . (2)(uv)′＝u′v＋uv′.
u u′v－uv′ (3)v′＝ (v≠0)． v2
ax 2．(2011· 山东临沂二模)已知函数 f(x)＝ 2 在 x＝1 处 x ＋b 取得极值 2. (1)求函数 f(x)的表达式； (2)当 m 满足什么条件时，函数 f(x)在区间(m,2m＋1)上 单调递增？
解析：
ax2＋b－ax2x (1)因为 f′(x)＝ ， 2 2 x ＋b
只要 解得 a＝e.
• 利用导数证明不等式的基本思路是：依据 要证明的不等式的特点，构造函数，利用 导数求函数的单调区间，利用函数的单调 性得出不等关系．
x 4．设函数 f(x)＝1－e .证明当 x>－1 时，f(x)≥ . x＋1 x 证明： 当 x>－1 时，f(x)≥ ，当且仅当 ex≥1＋x. x＋1
• 所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)； 单调递增区间是(k－1，＋∞)． • (2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上 单调递增， • 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k； • 当0<k－1<1，即1<k<2时， • 由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－ 1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最 小值为f(k－1)＝－ek－1； • 当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调 递减， • 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝x；(4)(cos x)′＝－sin x； 1 1 (5)(ln x)′＝x；(logax)′＝xlogae； (6)(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a.
3．导数的运算法则 (1)(u± v)′＝u′± v′ . (2)(uv)′＝u′v＋uv′.
u u′v－uv′ (3)v′＝ (v≠0)． v2
ax 2．(2011· 山东临沂二模)已知函数 f(x)＝ 2 在 x＝1 处 x ＋b 取得极值 2. (1)求函数 f(x)的表达式； (2)当 m 满足什么条件时，函数 f(x)在区间(m,2m＋1)上 单调递增？
解析：
ax2＋b－ax2x (1)因为 f′(x)＝ ， 2 2 x ＋b
只要 解得 a＝e.
• 利用导数证明不等式的基本思路是：依据 要证明的不等式的特点，构造函数，利用 导数求函数的单调区间，利用函数的单调 性得出不等关系．
x 4．设函数 f(x)＝1－e .证明当 x>－1 时，f(x)≥ . x＋1 x 证明： 当 x>－1 时，f(x)≥ ，当且仅当 ex≥1＋x. x＋1
29版高考数学文科二轮专题复习课件第二部分导数的综合应用共50张PPT[可修改版ppt]
![29版高考数学文科二轮专题复习课件第二部分导数的综合应用共50张PPT[可修改版ppt]](https://img.taocdn.com/s3/m/67f5f490f61fb7360b4c659d.png)
取 x0＝ 5－24a－1，则 x0∈(0，1)， (1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故 f(x0)＞ax0＋1. 当 a≤0 时，取 x0＝ 52－1， 则 x0∈(0，1)，f(x0)＞(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1. 综上，a 的取值范围是[1，＋∞)．
函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含 指数函数、对数函数的情形为载体考查函数的零点(方程 的根)、比较大小、不值(或范围)．主要以解答题的形式呈现， 能力要求高．
【例 1】 (2018·惠州调研)函数 f(x)＝ax＋xln x 在 x ＝1 处取得极值．
(1)求 f(x)的单调区间； (2)若 y＝f(x)－m－1 在定义域内有两个不同的零点， 求实数 m 的取值范围． 解：(1)f′(x)＝a＋ln x＋1，x＞0， 由 f′(1)＝a＋1＝0，得 a＝－1. 因此 f(x)＝－x＋xln x，f′(x)＝ln x. 令 f′(x)＞0，得 x＞1；令 f′(x)＜0，解得 0＜x＜1.
所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值，f(x)的单调递增区间 为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．
(2)y＝f(x)－m－1 在(0，＋∞)内有两个不同的零点， 可转化为 f(x)＝m＋1 在(0，＋∞)内有两个不同的根，
则函数 y＝f(x)的图象与直线 y＝m＋1 有两个不同交 点，
由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单 调递增，
(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)ex. 当 a≥1 时，设函数 h(x)＝(1－x)ex，h′(x)＝－xex ＜0(x＞0)，因此 h(x)在[0，＋∞)上单调递减，而 h(0)＝1， 故 h(x)≤1，所以 f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1. 当 0＜a＜1 时，设函数 g(x)＝ex－x－1，g′(x)＝ex －1＞0(x＞0)，所以 g(x)在[0，＋∞)上单调递增，而 g(0) ＝0，故 ex≥x＋1. 当 0＜x＜1 时，f(x)＞(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2 －ax－1＝x(1－a－x－x2)，
高中数学第2轮总复习 专题6 第2课时 导数及其应用课件 理 新人教B版
f x lim x 0
fx
x x
f x
lim x 0
f x
fx x. x
3．易错点：
1 f x 0( 0)不是函数f x为增(减)函数的 充要条件，只是必要条件，因而对f x 0
求出的值还需讨论．
2用导数求切线斜率时，往往容易忽视这点 是否在f x的图象上．
考点1 导数的几何意义的应用
即 x 1 ln 2 x 2aln x 0， 故 当 x 1 时 ， 恒 有 x ln 2 x 2 a ln x 1.
【评析】研究函数的性质时，导数是最好的工 具之一，它可以使得复杂问题简单化，具体
问题程序化．一般步骤是：先对函数f x求 导，解方程f x 0，研究其根的左右的导函
解析:1根据求导法则得f x 12lnx 2a，x 0，
xx
故Fx xf x x2lnx2a，x 0. 于是Fx 12 x2，x 0，
xx
当x变化时，Fx、Fx的变化情况如下表：
解 析 :故 知 Fx在 0,2内 是 减 函 数 ，
在 (2， )内 是 增 函 数 ，
所 以 在 x2处 取 得 极 小 值 F222ln22a.
R
，
且
a
b，
比 较 af a bf b 与 a b f ( a b )的 大 小 ．
2
解 析 ：1 f x 2 x 2 e x 2 2x 2 ， f 0 0 . 又 [ f x ] 2 e x2 2x 2 x 2 2 e x2 2x＞ 0， 所 以 f x为 R上 的 增 函 数 ． 所 以 x ( ，0 )时 ， f x ＜ 0； x ( 0， )时 ， f x ＞ 0 . 所 以 f x有 最 小 值 f 0 1， 无 最 大 值 ． 2 因 为 h x g x f x xf x ， 所 以 h x f x f x x[ f x ].
高考数学新课标全国二轮复习课件2.函数与导数2
第二讲
导数
导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义
①了解导数概念的实际背景. ②理解导数的几何意义.
(2)导数的运算
①能根据导数定义求函数y=C(C为常数),
y=x,y=x2,y=x3,y=������ ,y= ������的导数.
②能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单
������ ������
过点 P(2,-5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是 . 解析:由曲线 y=ax2+������ 过点 P(2,-5), 得 4a+2 =-5. 又 y'=2ax-������ 2 ,
������ ������ ������
①
调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、
极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值
(其中多项式函数一般不超过三次). (4)生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题.
1.导数的几何意义 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)等于曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率, 即k= f'(x0). (2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)= f'(x0)(x-x0). (3)导数的物理意义:s'(t)=v(t),v'(t)=a(t).
在点
π 2
,2 处的切线与直线 x+ay+1=0 垂直,则
(2-cos ������ )'sin ������ -(2-cos ������ )(sin ������ )' 1-2cos ������ si n 2 ������ π 2
导数
导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义
①了解导数概念的实际背景. ②理解导数的几何意义.
(2)导数的运算
①能根据导数定义求函数y=C(C为常数),
y=x,y=x2,y=x3,y=������ ,y= ������的导数.
②能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单
������ ������
过点 P(2,-5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是 . 解析:由曲线 y=ax2+������ 过点 P(2,-5), 得 4a+2 =-5. 又 y'=2ax-������ 2 ,
������ ������ ������
①
调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、
极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值
(其中多项式函数一般不超过三次). (4)生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题.
1.导数的几何意义 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)等于曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率, 即k= f'(x0). (2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)= f'(x0)(x-x0). (3)导数的物理意义:s'(t)=v(t),v'(t)=a(t).
在点
π 2
,2 处的切线与直线 x+ay+1=0 垂直,则
(2-cos ������ )'sin ������ -(2-cos ������ )(sin ������ )' 1-2cos ������ si n 2 ������ π 2
专题二第2讲导数及其应用课件(共92张PPT)山东省高考数学大二轮专题复习讲义(新高考)
|1－1－2| 2 ＝ 2，故选 B．
解析 答案
3．(2020·湖南省雅礼中学高三 5 月质检)已知奇函数 f(x)的定义域为 R， 且当 x<0 时，f(x)＝ln (1－3x)，则曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为 ________.
答案 －34 解析 由题意得，奇函数 f(x)的图象关于原点对称，∴f′(1)＝f′(－ 1)．当 x<0 时，f′(－1)＝－34，则 f′(1)＝－34.即曲线 y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线斜率为－34.
解析
3．设 f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax.若 f(x)在23，＋∞上存在单调递增区间，
则 a 的取值范围为________.
答案 解析
a＞－19 由 f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－x－122＋14＋2a，当 x∈23，＋∞时，
f′(x)的最大值为 f′23＝29＋2a；令29＋2a＞0，得 a＞－19，所以，当 a＞－19
exx－1 (0<x≤1)，可得 g′(x)＝ x2 ，
解析
在 x∈(0,1]，g′(x)≤0，可得 g(x)在(0,1]上单调递减，可得 g(x)有最小 值 g(1)＝e，故 C 正确；x1x2＝x1ex1，设 h(x)＝xex(0<x≤1)，可得 h′(x)＝(x ＋1)ex>0，即 h(x)在(0,1]上单调递增，可得 h(x)有最大值 e，故 D 正确．故 选 CD．
第二编 讲专题
专题二 函数与导数 第2讲 导数及其应用
「考情研析」 1.导数的几何意义和运算是导数应用的基础，是高考的 一个热点． 2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见 题型.
1
PART ONE
高考数学二轮复习专题二函数与导数2.3导数的简单应用课件理65(1).ppt
1．(2017·山西临汾五校三联)已知函数 f(x)是奇函数，当 x<0 时， f(x)＝xln(－x)＋x＋2，则曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线方程为( )
A．y＝2x＋3 B．y＝2x－3 C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－3
解析：设 x>0，则－x<0， ∵f(x)为奇函数，当 x<0 时，f(x)＝xln(－x)＋x＋2， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(－xlnx－x＋2)＝xlnx＋x－2. ∴f(1)＝－1，f′(x)＝lnx＋2. ∴f′(1)＝2， ∴曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线方程是 y＝2x－3.故选 B. 答案：B
考点 1 导数运算及几何意义
1．导数公式 (1)(sinx)′＝cosx； (2)(cosx)′＝－sinx； (3)(ax)′＝axlna(a>0)； (4)(logax)′＝xl1na(a>0，且 a≠1)． 2．导数的几何意义 函数 f(x)在 x0 处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的 斜率，曲线 f(x)在点 P 处的切线的斜率 k＝f′(x0)，相应的切线方程 为 y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
解析：(1)由题意知 f(π)＝π2－2. 又 f′(x)＝2x－2sin x，所以 f′(π)＝2π， 因此曲线 y＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程为 y－(π2－2)＝2π(x－π)，即 y＝2πx－π2－2. (2)由题意得 h(x)＝ex(cos x－sin x＋2x－2)－a(x2＋2cos x)． 因为 h′(x)＝ex(cos x－sin x＋2x－2)＋ex(－sin x－cos x＋2)－ a(2x－2sin x)＝2ex(x－sin x)－2a(x－sin x)＝2(ex－a)(x－sin x)， 令 m(x)＝x－sin x，则 m′(x)＝1－cos x≥0， 所以 m(x)在 R 上单调递增．
高考理科数学二轮复习新课标通用课件专题六导数的简单应用
边际利润
导数还可以表示当销售量增加一个 单位时，利润的变化率，即边际利 润。通过求导可以找到最大利润的 销售量。
物理问题中速度加速度计算
01
02
03
速度
位移关于时间的导数就是 速度。通过求导可以求得 物体在任意时刻的瞬时速 度。
加速度
速度关于时间的导数就是 加速度。通过求导可以求 得物体在任意时刻的瞬时 加速度。
利用单调性证明不等式
导数与函数单调性的关系
通过求导判断函数的单调性，从而确定不等式的方向。
典型例题解析
结合具体例题，展示如何利用导数判断函数单调性，进而证明不等 式。
注意事项
在证明过程中，要注意导数的计算、函数单调性的判断以及不等式 的变形等技巧。
利用凹凸性证明不等式
导数与函数凹凸性的关系
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，从而确定不等式的形状。
注意事项
在构造函数时，要注意函数的定义域、值域以及导数的计算等细节问 题。同时，还要善于运用已知的不等式和数学归纳法等数学方法。
06 实际生活中导数 应用举例
经济领域中边际分析
边际成本
导数可以表示当生产量增加一个 单位时，成本的变化率，即边际 成本。通过求导可以找到最低成
本的生产量。
边际收益
导数也可以表示当销售量增加一个 单位时，收益的变化率，即边际收 益。通过求导可以找到最大收益的 销售量。
判断拐点和凹凸性的方法
通过求解二阶导数等于0的点，并结合三阶导数测试来判 断拐点的类型（上凹、下凹或不是拐点）。然后分析二阶 导数的正负来判断函数的凹凸性。
03 曲线形态与导数 关系
曲线切线方程求解
1 2
确定切点
在曲线上选择一点作为切点，记其坐标为$(x_0, y_0)$。
导数还可以表示当销售量增加一个 单位时，利润的变化率，即边际利 润。通过求导可以找到最大利润的 销售量。
物理问题中速度加速度计算
01
02
03
速度
位移关于时间的导数就是 速度。通过求导可以求得 物体在任意时刻的瞬时速 度。
加速度
速度关于时间的导数就是 加速度。通过求导可以求 得物体在任意时刻的瞬时 加速度。
利用单调性证明不等式
导数与函数单调性的关系
通过求导判断函数的单调性，从而确定不等式的方向。
典型例题解析
结合具体例题，展示如何利用导数判断函数单调性，进而证明不等 式。
注意事项
在证明过程中，要注意导数的计算、函数单调性的判断以及不等式 的变形等技巧。
利用凹凸性证明不等式
导数与函数凹凸性的关系
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，从而确定不等式的形状。
注意事项
在构造函数时，要注意函数的定义域、值域以及导数的计算等细节问 题。同时，还要善于运用已知的不等式和数学归纳法等数学方法。
06 实际生活中导数 应用举例
经济领域中边际分析
边际成本
导数可以表示当生产量增加一个 单位时，成本的变化率，即边际 成本。通过求导可以找到最低成
本的生产量。
边际收益
导数也可以表示当销售量增加一个 单位时，收益的变化率，即边际收 益。通过求导可以找到最大收益的 销售量。
判断拐点和凹凸性的方法
通过求解二阶导数等于0的点，并结合三阶导数测试来判 断拐点的类型（上凹、下凹或不是拐点）。然后分析二阶 导数的正负来判断函数的凹凸性。
03 曲线形态与导数 关系
曲线切线方程求解
1 2
确定切点
在曲线上选择一点作为切点，记其坐标为$(x_0, y_0)$。
高考数学二轮复习函数与导数的综合应用ppt课件
当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
所以 f(x)max=f(1)=-1.
3.[函数的零点问题](2022·全国乙卷,T20)已知函数 f(x)=ax--(a+1)ln x.
(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.
解:(2)f(x)=ax--(a+1)ln x,x>0,
时,f(x)= · -a(x+2)>e
ln(2a)
·(+2)-a(x+2)=2a>0,故 f(x)在(ln a,+∞)上
存在唯一零点,从而 f(x)在(-∞,+∞)上有两个零点.
综上,a 的取值范围是(,+∞).
法二
+
令 f(x)=0,得 ex=a(x+2),即=
3
解:(2)当 x≥0 时,f(x)≥x +1 恒成立,
①当 x=0 时,不等式恒成立,可得 a∈R;
②当 x>0 时,可得 a≥
则 h′(x)=
=
++-
恒成立,设 h(x)=
++-
,
(-) +( --) (-) +( - )+( --) (-) + (-)+(-)(+)
因为f′(0)=0,所以当x>0时,f′(x)>0;当x<0时,f′(x)<0,
所以 f(x)max=f(1)=-1.
3.[函数的零点问题](2022·全国乙卷,T20)已知函数 f(x)=ax--(a+1)ln x.
(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.
解:(2)f(x)=ax--(a+1)ln x,x>0,
时,f(x)= · -a(x+2)>e
ln(2a)
·(+2)-a(x+2)=2a>0,故 f(x)在(ln a,+∞)上
存在唯一零点,从而 f(x)在(-∞,+∞)上有两个零点.
综上,a 的取值范围是(,+∞).
法二
+
令 f(x)=0,得 ex=a(x+2),即=
3
解:(2)当 x≥0 时,f(x)≥x +1 恒成立,
①当 x=0 时,不等式恒成立,可得 a∈R;
②当 x>0 时,可得 a≥
则 h′(x)=
=
++-
恒成立,设 h(x)=
++-
,
(-) +( --) (-) +( - )+( --) (-) + (-)+(-)(+)
因为f′(0)=0,所以当x>0时,f′(x)>0;当x<0时,f′(x)<0,
高考数学大二轮复习2.3导数的简单应用课件文3
又 f(0)＝0，fπ2＝1－ln1＋π2>0，所以当 x∈0，2π时，f(x)>0. 从而，f(x)在0，2π没有零点．
(ⅲ)当 x∈π2，π时，f′(x)<0，所以 f(x)在π2，π单调递减．而 fπ2>0，f(π)<0，所以 f(x)在π2，π有唯一零点．
(ⅳ)当 x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)>1，所以 f(x)<0，从而 f(x)在(π， ＋∞)没有零点．
『对接训练』
4．[2019·福建福州质量检测]已知函数 f(x)＝1＋x x－aln(1＋ x)(a∈R)，g(x)＝x2emx＋1－e2.
(1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若 a<0，∀x1，x2∈[0，e]，不等式 f(x1)≥g(x2)恒成立，求实 数 m 的取值范围．
解析：(1)因为 f(x)＝1＋x x－aln(1＋x)(x>－1)， 所以 f′(x)＝x＋112－x＋a 1＝－axx＋－1a＋2 1. 当 a≤0 时，f′(x)>0，所以函数 f(x)的单调递增区间为(－1， ＋∞)，无单调递减区间． 当 a>0 时，由fx′>－x1>，0， 得－1<x<－1＋1a；
由fx′>－x1<，0， 得 x>－1＋1a.
所以函数 f(x)的单调递增区间是－1，－1＋1a，单调递减区间 是－1＋1a，＋∞.
综上所述，当 a≤0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)， 无单调递减区间．
当 a>0 时，函数 f(x)的单调递增区间是－1，－1＋1a，单调递 减区间是－1＋1a，＋∞.
(2)若 a<0，则∀x1，x2∈[0，e]，不等式 f(x1)≥g(x2)恒成立， 等价于“对任意 x∈[0，e]，f(x)min≥g(x)max 恒成立”． 当 a<0 时，由(1)知，函数 f(x)在[0，e]上单调递增， 所以 f(x)min＝f(0)＝0. g′(x)＝2xemx＋1＋mx2emx＋1＝x(mx＋2)emx＋1， (ⅰ)当 m≥0 时，若 0≤x≤e，则 g′(x)≥0，函数 g(x)在[0，e] 上单调递增，
高考数学二轮复习专题二函数与导数2.3导数的简单应用课件理65(1).ppt
设 g(x)＝lnx－x＋1，则 g′(x)＝1x－1. 当 x∈(0,1)时，g′(x)>0；当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.所以 g(x) 在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减．故当 x＝1 时，g(x)取得最 大值，最大值为 g(1)＝0.所以当 x>0 时，g(x)≤0.从而当 a<0 时，
ln－21a＋21a＋1≤0，即 f(x)≤－43a－2.
[技法领悟] 求解或讨论函数单调性问题的解题策略 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数 情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解 集的讨论： (1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的 大小进行分类讨论． (2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程 的判别式进行分类讨论． [注意] 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万 不要忽视了定义域的限制．
a．当 0＜a＜1 时，ln a＜0， 当 x∈(－∞，ln a)时，ex－eln a＜0，h′(x)＞0，h(x)单调递增； 当 x∈(ln a,0)时，ex－eln a＞0，h′(x)＜0，h(x)单调递减； 当 x∈(0，＋∞)时，ex－eln a＞0，h′(x)＞0，h(x)单调递增． 所以当 x＝ln a 时 h(x)取到极大值， 极大值为 h(ln a)＝－a[ln2a－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]； 当 x＝0 时 h(x)取到极小值，极小值是 h(0)＝－2a－1. b．当 a＝1 时，ln a＝0，
【解析】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x＋2ax＋2a＋ 1＝x＋1x2ax＋1.
若 a≥0，则当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故 f(x)在(0，＋∞) 单调递增．
ln－21a＋21a＋1≤0，即 f(x)≤－43a－2.
[技法领悟] 求解或讨论函数单调性问题的解题策略 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数 情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解 集的讨论： (1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的 大小进行分类讨论． (2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程 的判别式进行分类讨论． [注意] 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万 不要忽视了定义域的限制．
a．当 0＜a＜1 时，ln a＜0， 当 x∈(－∞，ln a)时，ex－eln a＜0，h′(x)＞0，h(x)单调递增； 当 x∈(ln a,0)时，ex－eln a＞0，h′(x)＜0，h(x)单调递减； 当 x∈(0，＋∞)时，ex－eln a＞0，h′(x)＞0，h(x)单调递增． 所以当 x＝ln a 时 h(x)取到极大值， 极大值为 h(ln a)＝－a[ln2a－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]； 当 x＝0 时 h(x)取到极小值，极小值是 h(0)＝－2a－1. b．当 a＝1 时，ln a＝0，
【解析】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x＋2ax＋2a＋ 1＝x＋1x2ax＋1.
若 a≥0，则当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故 f(x)在(0，＋∞) 单调递增．
高三数学二轮复习 导数的应用 课件(全国通用)
故 0<x0<1.又 g(0)=g(1)=0, 故当 0<x<1 时,g(x)>0. x 所以当 x∈(0,1)时,1+(c-1)x>c .
热点突破
剖典例·促迁移
热点一 利用导数解决不等式问题 考向1 利用导数证明不等式 【例1】 (2016· 河北邯郸模拟)设函数f(x)=(x+a)ln x+b,曲线y=f(x)在 点(1,f(1))处的切线方程为x+y-2=0. (1)求y=f(x)的解析式; (1)解:因为f′(x)=ln x+ x a , 所以f′(1)=1+a=-1,所以a=-2,
2 a
所以a=1.
(2)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点. (2)证明:由(1)知f(x)=x3-3x2+x+2. 设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4, 由题设知1-k>0, 当x≤0时,g′(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增, g(-1)=k-1<0,g(0)=4, 所以g(x)=0在(-≦,0]有唯一实根. 当x>0时,令h(x)=x3-3x2+4, 则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x). h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+≦)上单 调递增, 所以g(x)>h(x)≥h(2)=0. 所以g(x)=0在(0,+≦)没有实根. 综上,g(x)=0在R有唯一实根, 即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.
x
又点(1,f(1))在切线x+y-2=0上,
高考数学二轮复习专题二函数与导数2.3导数的简单应用课件理65.ppt
例 3(1)(2017·课标全国Ⅱ)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex －1 的极值点，则 f(x)的极小值为( A )
A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1 (2)(2017·唐山二模)已知函数 f(x)＝lnx－nx(n>0)的最大值为 g(n)，则使 g(n)－n＋2>0 成立的 n 的取值范围为( A ) A．(0,1) B．(0，＋∞)
故 f(x)在0，－21a单调递增，在－21a，＋∞单调递减．
(2)由(1)知，当 a<0 时，f(x)在 x＝－21a取得最大值，最大值为 f－21a＝ln－21a－1－41a.
所以 f(x)≤－43a－2 等价于 ln－21a－1－41a≤－43a－2，即 ln－21a＋21a＋1≤0.
2．经过原点(0,0)作函数 f(x)＝x3＋3x2 的图象的切线，则切线方 程为________________．
解析：当(0,0)为切点时，f′(0)＝0，故切线方程为 y＝0； 当(0,0)不为切点时，设切点为 P(x0，x03＋3x02)(x0≠0)， 则切线方程为 y－(x30＋3x20)＝(x－x0)(3x20＋6x0)． 因为切线过原点， 所以 x30＋3x20＝3x30＋6x20， 所以 x0＝－32，此时切线方程为 9x＋4y＝0.
(2)易知 f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为 f′(x)＝1x－n(x>0，n>0)， 当 x∈0，n1时，f′(x)>0，当 x∈1n，＋∞时，f′(x)<0，所以 f(x) 在0，n1上单调递增，在1n，＋∞上单调递减，所以 f(x)的最大值 g(n)＝f1n＝－lnn－1.设 h(n)＝g(n)－n＋2＝－lnn－n＋1.因为 h′(n) ＝－1n－1<0，所以 h(n)在(0，＋∞)上单调递减．又 h(1)＝0，所以 当 0<n<1 时，h(n)>h(1)＝0，故使 g(n)－n＋2>0 成立的 n 的取值范 围为(0,1)，选 A.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4．函数的性质与导数 在区间(a，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a， b)上单调递增． 在区间(a，b)内，如果f ′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a， b)上单调递减．
5．导数的应用 (1)求可导函数f(x)极值的步骤 ①求导数f ′(x)； ②求方程f ′(x)＝0的根； ③检验f ′(x)在方程f ′(x)＝0的根的左右的符号，如果在 根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这 个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近 为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值．
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y ＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
[评析] (1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切 线”，还是“过某点的切线”．
(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标 解决．
(文)(2011·宁波模拟)已知曲线y＝1x. (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程； (3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．
y－ 33＝－13(x－ 3)或y＋ 33＝－13(x＋ 3)． 即切线方程为x＋3y－2 3＝0或x＋3y＋2 3＝0.
[评析] (1)在点P处的切线即是以P为切点的切线，P 一定在曲线上．
(2)过点Q的切线即切线过点Q，Q不一定是切点，所以 本题的易错点是把点Q作为切点．求过点P的切线方程时， 首先是检验点P是否在已知曲线上．
①当f(x)>0时，S＝bf(x)dx；
a
②当f(x)<0时，S＝－bf(x)dx；
a
③当x∈[a，c]时，f(x)>0；当x∈[c，b]时，f(x)<0，
则S＝cf(x)dx－bf(x)dx.
a
c
[例1]
设函数f(x)＝ax－
b x
，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处
的切线方程为7x－4y－12＝0.
(2)当k>0时，因为f(k＋1)＝ek＋k 1>1e， 所以不会有∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e. 当k<0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是 f(－k)＝4ek2.
所以∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e等价于 f(－k)＝4ek2≤1e. 解得－12≤k<0.
故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e时， k 的取值范围 是[－12，0)．
y－y0＝(1＋x320)(x－x0)，
即y－(x0－x30)＝(1＋x320)(x－x0)．
令x＝0得y＝－
6 x0
，从而得切线与直线x＝0的交点坐
标为(0，－x60)．
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交 点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围 成的三角形面积为12|－x60||2x0|＝6.
(理)(2011·北京理，18)已知函数f(x)＝(x－k)2exk.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤
1 e
，求k
的取值范围．
[分析] 本题主要考查利用函数的导数研究函数的单 调性．
(1)问，利用导函数大于(小于)零，解不等式求得函数 的单调区间(注意参数k的取值对单调区间的影响)．(2)问把 不等式恒成立求参数的范围问题，转化为求函数f(x)的区间 (0，＋∞)上的最值，注意对k分k>0，k<0两种情况进行分类 讨论．
则切线方程为y－1a＝－a12(x－a)．①
将Q(1,0)代入方程①得0－1a＝－a12(1－a)，
解得a＝12，
故所求切线方程为y＝－4x＋4.
(3)设切点坐标为A(a，
1 a
)，则切线的斜率为k2＝－
1 a2
＝－13，解得a＝± 3，
∴A( 3， 33)或A′(Βιβλιοθήκη 3，－ 33)． 代入点斜式方程得
(理)已知点P在曲线y＝
4 ex＋1
上，α为曲线在点P处的
切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A.0，π4 C.π2，34π
B.π4，π2 D.34π，π
[答案] D
[解析] y＝ex＋4 1， ∴y′＝e－x＋4·1ex2＝－e2x＋42eexx＋1＝－ex＋4e1x＋2， ∵ex＋e1x≥2，∴－1≤y′<0， 由导数的几何意义知34π≤α<π，故选D.
[解析] (1)∵y′＝－x12. 又P(1,1)是曲线上的点， ∴P是切点，所求切线的斜率为k＝f′(1)＝－1. 所以曲线在P点处的切线方程为y－1＝－(x－1)． 即y＝－x＋2.
(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝
1 x
上，则可设过该点的切线
的切点为A(a，1a)，则该切线斜率为k1＝f′(a)＝－a12.
[评析] 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解 集的情况，大多数情况下是归结为一个含有参数的一元二 次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式 对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过 因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进 行分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行 的，千万不要忽视了定义域的限制．
(3)应用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问 题．这类问题往往通过对函数求导转化为解不等式问 题．此处大多以考查含参二次不等式(组)为主.
(4)应用导数求函数的极值、最值和值域问题．这类问 题与函数单调性有着必然联系，解决这类问题可借助单调 性列表(或画函数示意图)求解．
(5) 不 等 式 恒 成 立 问 题 ． 这 类 问 题 是 近 几 年 高 考 的 热 点．一类是求参数取值范围，它是函数、导数与不等式的 综合问题．另一类是证明不等式．它对综合分析和运用的 能力要求较高．
(2011·南京二模)已知函数f(x)＝x3－ax－1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存 在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由； (3)证明f(x)＝x3－ax－1的图像不可能总在直线y＝a的 上方．
[解析] (1)由已知f ′(x)＝3x2－a， ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数， ∴f ′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2时，对x∈R恒成立． ∵3x2≥0，∴只需a≤0， 又a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数， ∴a≤0.
(2)由f ′(x)＝3x2－a≤0，在(－1,1)上恒成立， 得a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立． ∵－1<x<1，∴3x2<3，∴只需a≥3. 当a＝3时，f ′(x)＝3(x2－1)． 在x∈(－1,1)上，f ′(x)<0， 即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3. 故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减． (3)∵f(－1)＝a－2<a， ∴f(x)的图像不可能总在直线y＝a上方．
(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f ′(x)； ②求方程f ′(x)＝0的根(注意取舍)； ③求出各极值各区间端点处的函数值； ④比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就 是最小值)．
(3)利用导数解决优化问题的步骤 ①审题设未知数；②结合题意列出函数关系式；③确 定函数的定义域；④在定义域内求极值、最值；⑤下结 论． (4)定积分在几何中的应用(理) 被 积 函 数 为 y ＝ f(x) ， 由 曲 线 y ＝ f(x) 与 直 线 x ＝ a ， x ＝ b(a<b)和y＝0所围成的曲边梯形的面积为S.
(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0)．
3．导数的计算
(1)基本初等函数的导数公式
①c′＝0(c为常数)；
②(xm)′＝mxm－1；
③(sinx)′＝cosx; ④(cosx)′＝－sinx；
⑤(ex)′＝ex; ⑥(ax)′＝axlna；
⑦(lnx)′＝1x； ⑧(logax)′＝－xl1na.
(2)导数的四则运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； ②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ③[gfxx]′＝f′xgxg－ 2xfxg′x. ④(理)(f(u))′＝f′(u)·φ′(x)＝af′(ax＋b)
1．导数的概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景． (2)理解导数的几何意义． 2．导数的运算 (1)能根据导数的定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x3，y ＝1x，y＝x2，y＝ x的导数. (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运 算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于 形如f(ax＋b)的导数)．
当0<k－1<1，即1<k<2时， 由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1]上单调 递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1； 当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所 以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e. [评析] 本题主要考查导数的应用以及综合运用有关 知识解决问题的能力．
本部分内容在高考中所占分数大约在10%左右．导数 及其应用在高考中的题型分布大致是一个选择或填空，一 个解答题，分值约17～19分，属于高考重点考查内容．具 体考查体现在：
(1)简单函数求导，它是解决导数问题的第一步，应熟 记导数基本公式，导数四则运算法则和复合函数求导法 则．
(2)求曲线的切线方程，切线斜率的一类问题，包括曲 线的切点问题．这类问题是导数几何意义的运用，拓宽了 解析几何的解题思路，凸显了数形结合的数学思想方法．