导数的应用：极值和最值
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导数的应用：函数的极值、最值的求法
1.若函数f (x )＝13x 3＋x 2－2
3在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )
A ．[－5,0)
B ．(－5,0)
C ．[－3,0)
D ．(－3,0)
解析：选C 由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其大致图象如图所示，
令13x 3＋x 2－23＝－2
3，得x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩
⎪⎨⎪⎧
－3≤a <0，a ＋5>0，
解得a ∈[－3,0)． 2．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝⎛⎭⎫a >1
2，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝( ) A.1
4 B.13 C.12
D ．1
解析：选D 因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(0,2)上的最大值为－1.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝
1
x －a ，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ，又a >12，所以0<1a <2.当x <1
a 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增；当x >1a 时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，2上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a ·1
a ＝－1，解得a ＝1.故选D.
3．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， 由f ′(x )＝0得x ＝±a ，
当－a
∴f (x )的极大值为f (－a )，极小值为f (a )． ∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0. 解得a >
22
. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫22，＋∞. 答案：⎝⎛
⎭
⎫22，＋∞
4．已知函数f (x )＝a ln x ＋1
x (a >0)．
(1)求函数f (x )的单调区间和极值；
(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．
解：由题意，知函数的定义域为{x |x >0}， f ′(x )＝a x －1
x 2(a >0)．
(1)由f ′(x )>0解得x >1
a
，
所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1
a ，＋∞； 由f ′(x )<0解得x <1
a
，
所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭
⎫0，1a . 所以当x ＝1a 时，函数f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1
a ＋a ＝a －a ln a . (2)由(1)可知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1
a 时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭
⎫1
a ，＋∞时，函数f (x )单调递增． ①若0<1
a
≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数，
故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件；
②若1<1a e a ＋a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，而1 e ③若1a ≥e ，即0 e 时，函数 f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ln e ＋