二元一次方程组解法(二)加减法(提高)巩固练习
中考数学总复习《二元一次方程组》专项提升练习(附答案)
中考数学总复习《二元一次方程组》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________知识点复习一、二元一次方程组定义1：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，它的一般形式是()00,0ax by c a b ++=≠≠。
定义2：把两个方程合在一起，就组成了方程组。
定义3：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，这样的方程组叫做二元一次方程组。
定义4：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
定义5：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
二、解二元一次方程组的方法（1）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
（2）加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
三、方程(组)与实际问题解有关方程(组)的实际问题的一般步骤：第1步：审题。
认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。
根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程(组)。
根据题中各个量的关系列出方程(组)。
第4步：解方程(组)。
根据方程(组)的类型采用相应的解法。
第5步：答。
专题练习一、单选题1．已知关于x ，y 的二元一次方程组3221ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，则a 的值是（ ） A ．2 B ．6 C ．2- D ．6-2．已知23a b -=，1a b +=则36a b -的值为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．23．某班有x 人，分y 组活动，若每组7人，则余下3人；每组8人，则有一组差5人，根据题意下列方程组正确的是（ ）A ．7385y x y x =+⎧⎨=+⎩B ．7385y x x y =+⎧⎨=-⎩C ．7385y x y x =-⎧⎨=+⎩D ．7385x y x y =-⎧⎨=+⎩ 4．文峰超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下是4天的记录：第1天，卖出13支牙刷和7盒牙膏，收入144元；第2天，卖出18支牙刷和11盒牙膏，收入219元；第3天，卖出23支牙刷和20盒牙膏，收入368元；第4天，卖出17支牙刷和11盒牙膏，收入216元．已知第1天和第2天的记录无误，第3天和第4天有一天的记录有误，则记录有误的一天收入（ ）A ．多记1元B ．多记2元C ．少记1元D ．少记2元5．两位同学在解方程组273ax by cx y +=⎧⎨+=⎩时，甲同学正确地解出11x y =-⎧⎨=-⎩，乙同学因把c 抄错了解得32x y =-⎧⎨=-⎩，则a 、b 、c 正确的值应为（ ）A ．315a b c =-=-=-，，B ．115a b c ==-=-，，C ．2410a b c ==-=-，，D ．315a b c ===-，，6．小华准备购买单价分别为4元和5元的两种瓶装饮料，且每种瓶装饮料的购买数量不为0.若小华将50元恰好用完，则购买方案共有（ ）A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种7．在一个停车场，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共有108个轮子，则该停车场小轿车和摩托车的辆数分别为（ ）A ．21，11B ．22，10C ．23，9D ．24，8 8．已知关于x ，y 的方程2|18|(26)(2)0n m m x n y +--++=是二元一次方程，则m n +的值（若29m =，则3m =±）是（ ）A ．5-B ．3-C ．1D ．3二、填空题9．当方程组2520x ay x y +=⎧⎨-=⎩解是正整数时，整数a 值为 ． 10．如果35x y =⎧⎨=-⎩是方程22mx y +=-的一组解，那么m 的值为 ． 11．若关于x y ，的方程组1235x y c x y c +=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，则方程组()()()()12113151x y c x y c ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩的解为 ．12．A，B两地相距80千米，一船从A出发顺水行驶4小时到达B，而从B出发逆水行驶5小时才能到达A，则船在静水中的航行速度是千米/时．13．若关于x的不等式组20,21xx m-<⎧⎨-≥-⎩恰有三个整数解，关于x的方程组26,3x yx y m+=⎧⎨-=⎩的解是正数，则m的取值范围是．三、解答题14．解方程组：(1)25 328 y xx y=-⎧⎨-=⎩(2)434 2312x yx y⎧+=⎪⎨⎪-=⎩15．已知方程组45321x yx y+=⎧⎨-=⎩和31ax byax by+=⎧⎨-=⎩有相同的解，求222a ab b-+的值．16．用加减法解方程组344328x y x y -=⎧⎨-=⎩①②其解题过程如下： 第一步：-①②，得4248y y --=-，解得23y =． 第二步：把23y =，代入①，得8343x -=，解得209x =． 第三步：所以这个方程组的解为20923x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩上述解题过程是否正确？若不正确，则从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．17．印江河是印江的母亲河，为了确保河道畅通，现需要对一段长为180米的河道进行清淤处理，清淤任务由A 、B 两个工程队先后接力完成，A 工程队每天完成12米，B 工程队每天完成8米，共用时20天． 根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：甲：128x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 乙：128x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩(1)根据甲同学所列的方程组，请你指出未知数x 、y 表示的意义．x 表示______，y 表示______；请你补全乙同学所列的方程组______(2)求A 、B 两工程队分别完成河道清淤多少米？（写出完整的解答过程）18．“一盔一带”安全守护行动在我县开展以来，市场上头盔出现了热销，某商场购进了一批头盔．已知购进6个A型头盔和4个B型头盔需要440元，购进4个A型头盔和6个B型头盔需要510元．(1)购进1个A型头盔和1个B型头盔分别需要多少元？(2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，那么最多可购买B型头盔多少个？(3)在（2）的条件下，若该商场分别以售价为58元/个、98元/个的售价销售完A、B两类型号的头盔共200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由．参考答案：1．D2．A3．C4．C5．C6．A7．B8．B9．1或3-10．83/22311．65 xy⎧=⎨=⎩12．1813．21m-<≤-14．(1)21 xy=⎧⎨=-⎩(2)1083 xy=⎧⎪⎨=⎪⎩15．116．不正确，从第一步开始出现错误；正确的解题过程见解析，原方程组的解为：42 xy=⎧⎨=⎩17．(1)x表示A工程队工作的天数，y表示B工程队工作的天数，18020 128x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩(2)A工程队完成河道清淤60米，B工程队完成河道清淤120米18．(1)购进1个A型头盔30元，1个B型头盔65元；(2)最多可购买B型头盔120个；(3)三种购买方案。
第7课时 二元一次方程组解法复习(加减法)
第7课时 二元一次方程组解法复习1、解方程组：⎩⎨⎧=+=-1424723y x y x 时，要先观察方程组的特点，再确定解方程组的方法。
因为方程①中的 与方程②中的 互为相反数，所以当两个方程相加时，就可以消去单项式中所含的这个未知数。
根据以上思路，在下面解出这个方程组。
解：⎩⎨⎧=+=-1424723y x y x2、解方程组：⎩⎨⎧=+=+622823y x y x 时，先观察它的特点，发现：方程①、方程②中都含有相同的单项式 ，这样的两个方程相减时，就可消去这个单项式所含的未知数。
根据以上思路，在下面解出这个方程组。
解：⎩⎨⎧=+=+622823y x y x3、解方程组：⎩⎨⎧=+=+122573y x y x 时，发现两个方程中既没有相同的单项式，也没有互为相反数的单项式。
因此两个方程不能直接相加或相减。
但可以在其中一个方程两边乘以一个数，从而使得两个方程有相同的单项式。
因为5x 不是3x 倍数，但2y 是y 的2倍，所以，可以用方程①乘以2，得到 ，从而组成新的方程组：⎩⎨⎧=+=+12251426y x y x 以便可以直接使用加减消元法。
根据以上思路，在下面解出这个方程组。
① ②① ②① ②解：⎩⎨⎧=+=+122573y x y x4、解方程组：⎩⎨⎧=+-=+12373y x y x 时，发现两个方程中既没有相同的单项式，也没有互为相反数的单项式。
因此两个方程不能直接 。
但可以在其中一个方程两边乘以一个数，从而使得两个方程有相同的单项式。
因为3y 不是2y 的倍数，但－3x 是x 的3倍，所以，可以用方程①乘以3，得到 ，从而组成新的方程组：⎩⎨⎧=+-=+1232193y x y x 以便可以直接使用加减消元法。
根据以上思路，在下面解出这个方程组。
解：⎩⎨⎧=+-=+12373y x y x5、解方程组：⎩⎨⎧=+=+7231252y x y x 时，发现3x 不是2x 的倍数，5y 也不是2y 的倍数，但我们可以使两个方程都分别乘一个数，都变成它们的公倍数。
二元一次方程组解法练习题精选(含答案)
二元一次方程组解法练习题精选（含答案）一．解答题（共16小题）1．求适合的x，y的值．2．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和．（1）求k，b的值．（2）当x=2时，y的值．（3）当x为何值时，y=3？3．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解．4．二元一次方程组解法练习题精选（含答案）参考答案与试题解析1．求适合的x，y的值．考解二元一次方程组．点：分析：先把两方程变形（去分母），得到一组新的方程，然后在用加减消元法消去未知数x，求y的值，继而求出x的值．解答：解：由题意得：，由（1）×2得：3x﹣2y=2（3），由（2）×3得：6x+y=3（4），（3）×2得：6x﹣4y=4（5），（5）﹣（4）得：y=﹣，把y的值代入（3）得：x=，∴．本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法．点评：2．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和．（1）求k，b的值．（2）当x=2时，y的值．（3）当x为何值时，y=3？解二元一次方程组．考点：专计算题．题：分析：（1）将两组x，y的值代入方程得出关于k、b的二元一次方程组，再运用加减消元法求出k b的值．（2）将（1）中的k、b代入，再把x=2代入化简即可得出y的值．（3）将（1）中的k、b和y=3代入方程化简即可得出x的值．解答：解：（1）依题意得：①﹣②得：2=4k，所以k=，所以b=．（2）由y=x+，把x=2代入，得y=．（3）由y=x+把y=3代入，得x=1．点评：本题考查的是二元一次方程的代入消元法和加减消元法，通过已知条件的代入，可得出要求的数．3．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：（1）把甲乙求得方程组的解分别代入原方程组即可；（2）把甲乙所求的解分别代入方程②和①，求出正确的a、b，然后用适当的方法解方程组．解答：解：（1）把代入方程组，得，解得：．把代入方程组，得，解得：．∴甲把a看成﹣5；乙把b看成6；（2）∵正确的a是﹣2，b是8，∴方程组为，解得：x=15，y=8．则原方程组的解是．点此题难度较大，需同学们仔细阅读，弄清题意再解答．评：4．考解二元一次方程组．点：先将原方程组中的两个方程分别去掉分母，然后用加减消元法求解即可．分析：解：由原方程组，得解答：，由（1）+（2），并解得x=（3），把（3）代入（1），解得y=，∴原方程组的解为．点评：用加减法解二元一次方程组的一般步骤：1．方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；2．把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；3．解这个一元一次方程；4．将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解．。
应用二元一次方程组(提高)巩固练
应用二元一次方程组(提高)巩固练习【巩固练习】一、选择题1．某次知识竞赛共出了25道试题．评分标准如下：答对一道题加4分；答错1道题扣1分；不答记0分，已知李刚不答的题比答错的题多2道，他的总分为74分，则他答对了 ( ).A ．18道B ．19道C ．20道D ．21道2．（2015•宜州市）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（ ）.A ．19B ．18C ．16D ．153．某中心学校现有学生515人，计划一年后女生在校人数增加，男生在校人数增加135，这样在校学生人数将增加，那么该校现有女生和男生人数分别是( ).1902103A ．245和270B ．260和255C ．25.9和256D ．240和2754．某班学生参加运土劳动，一部分学生抬土，另一部分学生挑土，已知全班共用箩筐59个，扁担36根，若设抬土的学生x 人，挑土的学生y 人，则有 ( ).A ．B ．C ．D ．2592362y x x y ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩2592362x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2592236x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩259236x y x y +=⎧⎨+=⎩5.甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数.如果甲数为x ，乙数为y ，则得方程组是（ ）A. ⎩⎨⎧=+++=+x201x y 1001188y x 100y x 100B. ⎩⎨⎧++=+=+1188y x 100x y 100x 201y x 100C. ⎩⎨⎧=+-+=+y201x y 1001188y x 100y x 100D. ⎩⎨⎧-+=+=+1188y x 100x y 100y 201y x 1006. 一辆汽车在公路上匀速行驶，司机在路边看到一个里程碑上是一个两位数，行驶一小时后，他看到的里程碑上的数，恰好是第一个里程碑上数颠倒顺序的两位数，再过一小时，他看到的里程碑上的数，又恰好是第一次看到的两位数中间添上一个零的三位数，那么他第一次看到的两位数是（ ） A ．14B ．15C ．16D ．17二、填空题7.一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果1 m 3木料可制作方桌的桌面50个，或制作桌腿300条，现有5 m 3木料，设用x m 3木料制作桌面，用y m 3木料制作桌腿，恰好配成方桌，则可得方程组为________．8．小张以两种形式储蓄了500元，第一种储蓄的年利率为3.7%，第二种储蓄的年利率为2.25%，一年后得到利息和为15.6元，那么小张以这两种形式储蓄的钱数分别是 元和 元．9．（2015•江西模拟）如图，三个全等的小矩形沿“横一竖一横“排列在一个大的边长分别为12.34，23.45的矩形中，则图中一个小矩形的周长等于 ．10．甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，两人每秒钟各跑的米数是 米/秒和12. 已知甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，1.8小时后相遇.如果甲比乙先走小时，那么在乙出发后小时两人相遇.设甲、乙两人速度分别为每小时x 千米3223和y 千米，则x=________，y=________.三、解答题13.（2015•徐州）某超市为促销，决定对A ，B 两种商品进行打折出售．打折前，买6件A 商品和3件B 商品需要54元，买3件A 商品和4件B 商品需要32元；打折后，买50件A 商品和40件B 商品仅需364元，这比打折前少花多少钱？14.某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出大楼共有4道门，其中2道正门大小相同，2道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启1道正门和2道侧门时，2分钟内可通过560名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，4分钟内可通过800名学生，求平均每分钟1道正门和1道侧门各可通过多少名学生？15. 一个三位数是一个两位数的5倍．如果把这个三位数放在两位数的左边，得到一个五位数；如果把这个三位数放在两位数的右边，得到另一个五位数，且后面的五位数比前面的五位数大18648，问：两位数、三位数各是多少？【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B ；【解析】设李刚答错的题为道，答对的题道，则他不答的题道，且有x y 2x +，解得.225474x y y x y +++=⎧⎨-=⎩192x y =⎧⎨=⎩2. 【答案】C ；【解析】设一个笑脸气球为x 元，一个爱心气球为y 元，根据图形找出等量关系：3个笑脸+一个爱心=14元，3个爱心+1个笑脸=18元，据此列方程组求出x 和y 的值，继而可求得第三束气球的价格．3. 【答案】A ；4. 【答案】B ；【解析】注意了解生活常识：抬土即两个人需要一根扁担和一个箩筐；挑土即一个人需要一根扁担和两个箩筐．5.【答案】D ；【解析】把甲数放在乙数的左边，得到的四位数是100x+y ； 把乙数放在甲数的左边，得到的四位数是100y+x.根据把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍可得方程100x+y=201y ； 根据把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，可得方程100y+x=100x+y-1188.6. 【答案】C ；【解析】解：设第一次他看到的两位数的个位数为x ，十位数为y ，汽车行驶速度为v ，根据题意得：，解得：x=6y ，∵xy 为1﹣9内的自然数，∴x=6，y=1；即两位数为16．另法：设个位为x ，十位为y ，根据题意得：（10y+x ）﹣（10x+y ）=（100x+y ）﹣（10y+x ），x+y=7，解得：x=1，y=6，即两位数为16．二、填空题7. 【答案】；504300x y⎨⨯=⎩8. 【答案】300，200；【解析】可以设第一种储蓄的钱数为x 元，第二种为y 元，根据本金×利率=利息及两种储蓄共500元，可以列出两个方程，求方程组的解即可．9.【答案】23.86；【解析】由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽=12.34，小矩形的2个宽+一个长=23.45，设出长和宽，列出方程组即可得答案．10．【答案】6， 4；【解析】设甲每秒跑x 米，乙每秒跑y 米，则解此方程组即可.5510442x y x y y -=⎧⎨-=⎩11.【答案】2512.【答案】4.5；5.5【解析】本题属于相遇问题，等量关系：一、甲1.8小时行驶的路程+乙1.8小 时行驶的路程＝18千米；二、甲（+）小时行驶的路程+乙小时行驶的路程＝18千米，可322323列方程组为，解此方程组即可．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+18232332(188.18.1y x y x 三、解答题13.【解析】解：设打折前A 商品的单价为x 元，B 商品的单价为y 元，根据题意得：，解得：，则打折前需要50×8+40×2=480（元），打折后比打折前少花480﹣364=116（元）．答：打折后比打折前少花116元．14.【解析】解：设平均每分钟1道正门可通过x 名学生，1道侧门可通过y 名学生．由题意，得， 2(2)5604()800x y x y +=⎧⎨+=⎩解得．12080x y =⎧⎨=⎩ 答：平均每分钟1道正门可通过120名学生，l 道侧门可通过80名学生．15.【解析】解：设两位数是x ，三位数是y ．根据题意，得1000(100)1864x y y x ⎨+-+=⎩解得：37185x y =⎧⎨=⎩答：两位数、三位数各是37、185．。
专题2.2 二元一次方程组(提高篇)专项练习-2020-2021学年七年级数学下(浙教版)
专题2.2 二元一次方程组（提高篇）专项练习一、单选题1．方程(m－2 016)x|m|－2 015＋(n＋4)y|n|－3＝2 018是关于x、y的二元一次方程，则() A．m＝±2 016；n＝±4B．m＝2 016，n＝4C．m＝－2 016，n＝－4D．m＝－2 016，n＝42．若二元一次方程3x－y＝7,2x＋3y＝1，y＝kx－9有公共解，则k的取值为()．A．3B．－3C．－4D．43．一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完．那么，若在120天里将草吃完，则需要几头牛()A．16B．18C．20D．224．若关于x，y的方程组10,20x aybx y a++=⎧⎨-+=⎩没有实数解，则()A．ab＝－2B．ab＝－2且a≠1C．ab≠－2D．ab＝－2且a≠25．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程正确的是( )A．2753x yy x+=⎧⎨=⎩B．2753x yx y+=⎧⎨=⎩C．2753x yy x+=⎧⎨=⎩D．2753x yx y+=⎧⎨=⎩6．三元一次方程组156x yy zz x+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的解是A．15xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩B．124xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩C．14xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩D．41xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩7．关于x、y的方程组51x ayy x+=⎧⎨-=⎩有正整数解，则正整数为( )．A．2、5B．1、2C．1、5D．1、2、58．根据图中提供的信息，可知每个杯子的价格是()A．51元B．35元C．8元D．7.5元9．一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团15人准备同时租用这三种客房共5间，如果每个房间都住满，租房方案有（）A．4种B．3种C．2种D．1种10．已知实数a、m满足a＞m，若方程组325x y ax y a-=+⎧⎨+=⎩的解x、y满足x＞y时，有a＞－3，则m的取值范围是()A．m＞－3B．m≥－3C．m≤－3D．m＜－3二、填空题11．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、①两种方式摆放，则图①的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a、b的代数式表示）．12．已知x、y满足方程组2524x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x y-的值为___．13．对于实数a，b，定义运算“①”：a①b=a bab a b≥⎪⎩，＜，例如4①3，因为4＞3．所以．若x，y满足方程组48229x yx y-=⎧⎨+=⎩，则x①y=_____________.14．若关于x、y的二元一次方程组316215x myx ny+=⎧⎨+=⎩的解是73xy=⎧⎨=⎩，则关于x、y的二元一次方程组3()()162()()15x y m x yx y n x y++-=⎧⎨++-=⎩的解是__．15．若（2x﹣3y+5）2+|x+y﹣2|=0，则x=_____，y=_____．16．某人步行5小时，先沿平坦道路走，然后上山，再沿来的路线返回，若在平坦道路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米，那么这5小时共走了路程____________千米．17．如图所示的各图表示由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有n(n ＞1)盆花，每个图案花盆的总数为s．按此规律推断，以s，n为未知数的二元一次方程为______.18．当x＝1，－1,2时，y＝ax2＋bx＋c的值分别为1,3,3，则当x＝－2时，y的值为____．19．如果二元一次方程组3{9x y ax y a+=-=的解是二元一次方程2x－3y＋12＝0的一个解，那么a的值是_________．20．对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．（1）计算：F（241）＝_________，F（635）＝___________ ；（2）若s，t都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：()()F skF t=，当F(s)＋F(t)＝18时，则k的最大值是___．三、解答题21．解方程（1）2931x yy x+=⎧⎨-=⎩（代入法）（2）4143314312x yx y+=⎧⎪--⎨-=⎪⎩22．解三元一次方程组2314 2?7 3211 x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩23．若二元一次方程组37231x yx y-=⎧⎨+=⎩的解也适合于二元一次方程y＝kx＋9，求(k＋1)2的值．24．甲、乙两人共同解方程组51542ax yx by+=⎧⎨-=-⎩①②．解题时由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为31xy=-⎧⎨=-⎩；乙看错了方程①中的b，得到方程组的54xy=⎧⎨=⎩，试计算a2017+(110-b)2018的值．25．阅读探索知识累计解方程组()()()()12262126a b a b ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩解：设a ﹣1=x ，b+2=y ，原方程组可变为2626x y x y +=⎧⎨+=⎩解方程组得：22x y =⎧⎨=⎩即1222a b -=⎧⎨+=⎩所以30a b =⎧⎨=⎩此种解方程组的方法叫换元法．（1）拓展提高运用上述方法解下列方程组：122435212535a b a b ⎧⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ （2）能力运用已知关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为53x y =⎧⎨=⎩，直接写出关于m 、n 的方程组()()()()11112253325332a m b n c a m b n c ⎧++-=⎪⎨++-=⎪⎩的解为_____________．26．阅读下列材料：《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只公鸡值五文钱，每一只母鸡值三文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 结合你学过的知识，解决下列问题： （1）若设母鸡有x 只，公鸡有y 只，① 小鸡有__________只，买小鸡一共花费__________文钱；（用含x ，y 的式子表示） ①根据题意，列出一个含有x ，y 的方程：__________________；（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只?（3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组．．符合“百鸡问题”的解．27．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标是（－a，a），点B的坐标是（c，b），满足3+28{24a b ca b c-=--=-．（1）若x=2是3x－a<0的一个解，试判断点A在第几象限，并说明理由；（2）若①AOB的面积是4，求点B的坐标；（3）若两个动点E( e ，2e + 1) 、F( f ，－2f +3) ，请你探索是否存在以两个动点E、F为端点的线段EF①AB，且EF=AB．若存在，求出E、F两点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．D 【解析】【分析】根据二元一次方程的定义可得m -2016≠0，n+4≠0，|m|-2015=1，|n|-3=1，解不等式及方程即可得.【详解】①()()20153201642018m n m xn y---++=是关于x 、y 的二元一次方程，①m -2016≠0，n+4≠0，|m|-2015=1，|n|-3=1， 解得：m=-2016，n=4， 故选D ．【点拨】本题考查了二元一次方程定义的应用，明确含有未知数的项的系数不能为0，次数为1是解题的关键.2．D 【分析】先利用方程3x -y=7和2x+3y=1组成方程组，求出x 、y ，再代入y=kx -9求出k 值. 解：由题意，得：37,23 1.x y x y -=⎧⎨+=⎩解得：2,1.x y =⎧⎨=-⎩将21x y =⎧⎨=-⎩代入y=kx -9中，得：-1=2k -9，解得：k=4. 故选D.【点拨】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单. 3．C 【解析】【分析】设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c ．根据60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完，列方程组，用其中一个未知数表示另一个未知数即可求解． 【详解】设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c .根据题意，得602424306060b c a b c a ⨯⎧⎨⨯⎩＝＋，＝＋，解得10,1200.a b c b =⎧⎨=⎩则若在120天里将草吃完，则需要牛的头数是120120c ab+＝20.故选C.【点拨】考查了二元一次方程组的应用，解题关键是能够把题目中的未知量用一个字母表示．注：牛在吃草的同时，草也在长． 4．A 【解析】 【分析】把①变形，用y 表示出x 的值，再代入①得到关于y 的方程，令y 的系数等于0即可求出ab 的值． 【详解】1020x ay bx y a ＝①＝②++⎧⎨-+⎩, 由①得，x=-1-ay ，代入①得，b （-1-ay ）-2y+a=0， 即（-ab -2）y=b -a ，因为此方程组没有实数根，所以-ab -2=0，ab=-2． 故选：A ． 【点拨】考查的是解二元一次方程组，解答此类问题时要熟知解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法． 5．B 【解析】 【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为x ＋2y ，宽又是75厘米，故x ＋2y ＝75，矩的长可以表示为2x，或x＋3y，故2x＝3y＋x，整理得x＝3y，联立两个方程即可．【详解】解：根据图示可得，2753x yx y+=⎧⎨=⎩故选B．【点拨】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．6．A【详解】观察方程组的特点，可以让三个方程相加，得到x+y+z=6．然后将该方程与方程组中的各方程分别相减，可求得15xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．故选A．7．B【分析】先解含a的二元一次方程组，再根据x,y为正整数求出a的取值.【详解】解x、y的方程组51x ayy x+=⎧⎨-=⎩得61161xaya⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩①x,y，a为正整数①a+1=3或2，解得a=2或1，故选B【点拨】此题主要考查二元一次方程组的求解，解题的关键是熟知加减消元法进行求解.8．C【解析】试题分析：要求一个杯子的价格，就要先设出一个未知数，然后根据题中的等量关系列方程求解．题中的等量关系是：一杯+壶=43元；二杯二壶+一杯=94．解：设一杯为x，一杯一壶为43元，则右图为三杯两壶，即二杯二壶+一杯，即：43×2+x=94解得：x=8（元）故选C．9．C【解析】解：设二人间x间，三人间y间，四人间（5﹣x﹣y）间．根据题意得：2x+3y+4（5﹣x﹣y）=15，整理得：2x+y=5．当y=1时，x=2，5﹣x﹣y=5﹣2﹣1=2；当y=3时，x=1，5﹣x﹣y=5﹣1﹣3=1；当y=5时，x=0，5﹣x﹣y=5﹣0﹣5=0．因为同时租用这三种客房共5间，则x＞0，y＞0，所以有二种租房方案：①租二人间2间、三人间1间、四人间2间；①租二人间1间，三人间3间，四人间1间．故选C．点拨：本题是二元一次方程的应用，此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程，然后根据x，y是整数求解，注意分类讨论思想的应用，另外本题也可以列三元一次方程组．10．C【解析】解：325x y ax y a-=+⎧⎨+=⎩①②，①+①得，3x=6a+3，得到：x=2a+1①，把①代入①得，2a+1－y=a+3，解得y=a﹣2，所以，方程组的解是212x ay a=+⎧⎨=-⎩，①x＞y，①2a+1＞a﹣2，解得a＞﹣3．①a＞－3，a＞m，①m≤－3，故选C．点拨：本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．11．ab【详解】设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和①列出方程组得，12122{2x x a x x b+=-= 解得，122{4a bx a b x +=-= ①的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（2a b +）2-4×（4a b -）2=ab ． 故答案为ab.12．1【分析】首先根据方程组的解的定义正确求出方程组的解，然后计算出x -y 或直接让两个方程相减求解．【详解】方法一：解方程组2524x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：21x y =⎧⎨=⎩， ①x -y=1；方法二：两个方程相减，得.x -y=1，故答案为1.【点拨】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的基本方法是解题的关键，同时注意此题中的整体思想．13．60【解析】分析：根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．详解：由题意可知：48229x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得：512x y =⎧⎨=⎩．①x ＜y ，①原式=5×12=60．故答案为60．点拨：本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．14．52x y =⎧⎨=⎩【解析】分析：令x +y =a ，x -y =b ，根据已知，比较后得出a ，b 的值，从而得出结论．．详解：令x +y =a ，x -y =b ，则关于x 、y 的二元一次方程组316215x y m x y x y n x y ++-=⎧⎨++-=⎩（）（）（）（）变为：316215a mb a nb +=⎧⎨+=⎩．①二元一次方程组316215x my x ny +=⎧⎨+=⎩的解是73x y =⎧⎨=⎩，①73a b =⎧⎨=⎩，①73x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：52x y =⎧⎨=⎩． 点拨：本题主要考查二元一次方程组的解法，关键是熟练掌握二元一次方程组的解法即代入消元法和加减消元法，本题要注意整体思想的运用．15．15 95【解析】分析：本题可根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出x 、y 的值．详解：①(2x −3y +5)2+|x +y −2|=0，①235020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩， 解得19,.55x y ==故答案为19,.55点拨：考查非负数的性质，掌握两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0是解题的关键.16．20【解析】【分析】设平路有x 千米，上坡路有y 千米，根据平路用时+上坡用时+下坡用时+平路用时=5，即可得解．注意求得x+y 的值即为总路程．【详解】设平路有x 千米，上坡路有y 千米，根据题意，得: 4x ＋3y ＋6y ＋4x ＝5，即2x ＋2y ＝5，则x ＋y ＝10(千米)， 这5小时共走的路程＝2×10＝20(千米)．故答案是：20.【点拨】考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．注意可以通过间接方式得解．17．s=3(n -1)【分析】根据图片可知：第一图：有花盆3个，每条边有花盆2个，那么s=3×2-3；第二图：有花盆6个，每条边有花盆3个，那么s=3×3-3；第三图：有花盆9个，每条边有花盆4个，那么s=3×4-3；…由此可知以s ，n 为未知数的二元一次方程为s=3n -3．【详解】根据图案组成的是三角形的形状，则其周长等于边长的3倍，但由于每个顶点重复了一次．所以s=3n -3=3（n ﹣1）．故答案为3（n ﹣1）【点拨】本题要注意给出的图片中所包含的规律，然后根据规律列出方程．18．7【解析】【分析】根据函数图象上的点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式，将x=-2代入函数解析式中即可求出y值．【详解】由已知，得1,3,342,a b ca b ca b c=++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩解得1,1,1,abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩①y＝x2－x＋1.当x＝－2时，y＝(－2)2－(－2)＋1＝7.故答案是：7.【点拨】考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求出二次函数的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用待定系数法求出函数解析式是关键．19．4 7 -【解析】解：39x y ax y a+=⎧⎨-=⎩①②，①+①得：x=6a，把x=6a代入①得：y=－3a．把x=6a，y=－3a代入2x－3y＋12＝0得：12a+9a+12=0，解得：47x=-．故答案为：47-．20．7 14 5 4【解析】分析:（1）根据F（n）的定义式，分别将n=241和n=635代入F（n）中，即可求出结论；（2）由s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s）、F（t）的值，将其代入k=()()F sF t中，找出最大值即可.详解:：（1）F（241）=（421+142+214）÷111=7；F（635）=（365+536+653）÷111=14．（2）①s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，①F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．①F（t）+F（s）=18，①x+5+y+6=x+y+11=18，①x+y=7．①1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，①16xy=⎧⎨=⎩或25xy=⎧⎨=⎩或34xy=⎧⎨=⎩或43xy=⎧⎨=⎩或52xy=⎧⎨=⎩或61xy=⎧⎨=⎩．①s是“相异数”，①x≠2，x≠3．①y≠1，y≠5．①16xy=⎧⎨=⎩或43xy=⎧⎨=⎩或52xy=⎧⎨=⎩，①()()612F sF t⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()99F sF t⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()108F sF t⎧=⎪⎨=⎪⎩，①k＝()()F sF t＝12或k＝()()F sF t＝1或k＝()()F sF t＝54，①k的最大值为54．点拨: 本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据F（n）的定义式，求出F （241）、F（635）的值；（2）根据s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，找出关于x、y的二元一次方程.21．（1）14xy=⎧⎨=⎩（2）3114xy=⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】试题分析：(1)、将①-①×2求出x的值，然后代入①求出y的值，从而得出方程组的解；(2)、首先将①进行化简，然后利用加减消元法求出x的值，代入x的值求出y的值，从而得出方程组的解．试题解析：(1)、29? 31?x y y x ①②+=⎧⎨-=⎩， ①×2可得：2y -6x=2 ①， ①-①可得：7x=7， 解得：x=1， 将x=1代入①可得：1+2y=9，解得：y=4①原方程组的解为：14x y =⎧⎨=⎩． (2)、414? 331 4312x y x y +=⎧⎪⎨---=⎪⎩①②，将①化简可得：3x -4y=-2 ①， ①+①可得：4x=12，解得：x=3，将x=3代入①可得：3+4y=14，解得：y=114，①原方程组的解为：3114x y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 22．123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【解析】分析：根据解三元一次方程组的方法解方程即可,详解：231427?3211x y z x y z x y z ①②③++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①-①×2得：30,x z -+=①-①×2得：58,x z --=-联立方程3058,x z x z -+=⎧⎨--=-⎩解得：13,x z =⎧⎨=⎩把13x z =⎧⎨=⎩代入①得，12914,y ++= 解得：2,y =原方程组的解为：123 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩点拨：考查三元一次方程组的加法，牢记加减消元法是解题的关键.23．16.【解析】【分析】先利用加减消元法解得x，y的值，然后代入方程即可求得k的值，再代入所求式子求解即可.【详解】解：37? 231x yx y①②-=⎧⎨+=⎩，①×3＋①，得11x＝22，解得x＝2.将x＝2代入①，得6－y＝7，解得y＝－1，①方程组37231x yx y-=⎧⎨+=⎩的解为21xy=⎧⎨=-⎩，将21xy=⎧⎨=-⎩代入y＝kx＋9，得k＝－5，则当k＝－5时，(k＋1)2＝16.【点拨】本题主要考查解二元一次方程组，解此题的关键在于正确求得二元一次方程组的解. 24．0【解析】分析: 把甲的结果代入①求出b的值，把乙的结果代入①求出a的值，代入原式计算即可得到结果.详解:根据题意，将31x y =-⎧⎨=-⎩代入①，将54x y =⎧⎨=⎩代入①得： 12252015b a -+=-⎧⎨+=⎩ 解得：110a b =-⎧⎨=⎩， 则原式=（-1）2017+（110-×10）2018=-1+1=0． 点拨: 此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值.25．（1）95a b =⎧⎨=-⎩ （2）23m n =-⎧⎨=⎩ 【分析】（1）利用换元法把13a - ，+25b 分别看成一个整体把原方程组进行变形求出，继而在求出a 和b（2）利用换元法把5（m+3）,3（n -2）分别看成一个整体把原方程组变形，可得一个新的含有m 、n 的二元一次方程组，然后求解即可得所求【详解】解： （1）拓展提高 设3a −1=x ，5b +2=y ， 方程组变形得：24{25x y x y +=+= ，解得：21x y =⎧⎨=⎩ ，即123{215a b -=+= ， 解得：9{5a b ==- ；（2）能力运用设53){3(2)m x n y+=-=（ ， 可得53)5{3(2)3m n +=-=（ ， 解得：2{3m n =-= ， 故答案为2{3m n =-= 【点拨】二元一次方程组解法的拓展是本题的考点，熟练掌握基础知识进行换元是解题的关键. 26．解：（1）①100x y --， 1(100)3x y --；①74100x y +=；（2）母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只.（3）以下三组答案，写出其中任意两组即可：①公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只；①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；①公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只.【解析】试题分析：（1）设母鸡有x 只，公鸡有y 只，根据一百文钱买一百只鸡，表示出小鸡的数量和价钱，然后列出方程；（2）设母鸡有x 只，公鸡有y 只，根据根据一百文钱买一百只鸡，母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，列方程求解即可；（3）解不定方程即可．试题解析：解：（1）①100x y --， 11003x y --（）；①74100x y +=；（2）设母鸡有x 只，公鸡有y 只，根据题意，得： 7410042x y x y +=⎧⎨=+⎩，，解得184x y =⎧⎨=⎩，，10078x y --=（只）， 答：母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只．（3）以下三组答案，写出其中任意两组即可：①公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只；①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；①公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只．27．（1）点A 在第二象限 （2）()()2,26,2B -或（3）35,2,,222E F ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】试题解析：（1）根据题意，求出a 的取值范围，从而确定点A 的位置；（2）先解方程组，得{4b ac a ==-，再利用三角形的面积求出a 的值即可解决问题；（3）根据线段EF 平行于线段AB 且等于线段AB ，得出4f e -=,2123e f +=-+求解即可.（1）点A 在第二象限理由：把x =2代入3x －a<0得a>6①-a<0,a>0①点A 在第二象限（2）由方程组解得{4b ac a ==-()4,B a a ∴-①A(-a ,a ),S △OAB =4①AB =41442a ∴⋅= 2a ∴=±()()2,26,2B ∴-或（3）①EF ①AB ，且EF =AB4{2123f e e f -=∴+=-+ 解得： 32{52e f =-= 35,2,,222E F ⎛⎫⎛⎫∴--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点拨】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式．21。
二元一次方程组解法练习题精选(含答案)
二元一次方程组解法练习题精选(含答案) 二元一次方程组解法练题精选（含答案）一．解答题（共16小题）1.求适合 $3x-2y=2$ 和 $6x+y=3$ 的 $x$，$y$ 的值。
解答：由 $(1)\times2$ 得：$3x-2y=2$（3），由$(2)\times3$ 得：$6x+y=3$（4），$(3)\times2$ 得：$6x-4y=4$（5），$(5)-(4)$ 得：$y=-\frac{1}{2}$，把 $y$ 的值代入 $(3)$ 得：$x=\frac{1}{2}$，故原方程组的解为$(x,y)=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$。
2.解下列方程组：begin{cases} \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1 \\\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=2 \end{cases}$$解答：由题意得：$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1$（1），$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=2$（2），先把两方程变形（去分母），得到一组新的方程，然后在用加减消元法解二元一次方程组。
把 $(1)\times3$ 减去 $(2)\times2$，得到 $x=-1$，把$x=-1$ 代入 $(1)$，得到 $y=6$，故原方程组的解为 $(x,y)=(-1,6)$。
3.解方程组：begin{cases} 3x+2y=7 \\ 2x+3y=8 \end{cases}$$解答：把两方程相加得到 $5x+5y=15$，即 $x+y=3$，把$x+y=3$ 代入其中一个方程，如 $(1)$，得到 $x=-1$，再把$x=-1$ 代入 $(1)$ 或 $(2)$ 中的一个方程，如 $(1)$，得到$y=4$，故原方程组的解为 $(x,y)=(-1,4)$。
4.解方程组：begin{cases} x+y=5 \\ 2x-y=4 \end{cases}$$解答：把两方程相加得到 $3x=9$，即 $x=3$，把$x=3$ 代入其中一个方程，如 $(1)$，得到 $y=2$，再把 $x=3$，$y=2$ 代入原方程组检验，发现符合，故原方程组的解为$(x,y)=(3,2)$。
3.3(2)二元一次方程组的解法(加减消元)及典型例题
m = 1 +2n
1 2 2 5
所以原方程组的解：
m =5 n=2
即m 的值是5，n 的值是4.
7、如果∣y + 3x - 2∣+∣5x + 2y -2∣= 0，求 x 、y 的值. 解：由题意知, y + 3x – 2 = 0 ① 5x + 2y – 2 = 0 ② 由①得：y = 2 – 3x ③ 把③代入② 得： 5x + 2（2 – 3x）- 2 = 0 5x + 4 – 6x – 2 = 0 5x – 6x = 2 - 4 -x = -2 即x 的值是2，y 的值是-4. 把x = 2 代入③，得： y= 2 - 3×2 y= -4 所以原方程组的解： ∴ x=2 y = -4
1 3y 2 3y 6
把（3）代人（2）得
5
解法二：由（1）得：3 y=1-2x (3) 把（3）代人（2）得5x-(1-2x)=6 解法三：(1)+(2)得 : 7x=7 x=1
y 1 3
把x=1代入(1)得 2+3y=1
x 1 1 y 3
试 一 试 ， 有 谁 能 用 三 种 方 法 解 ？
有相
这样可以通过第一个方程组求出x和y的值，再将 这两个值代入第二个方程，求关于a和b的二元 一次方程组。
9、 关于x、y的方程组 解满足3x＋2y＝19，求原方程组的解。
解：
的
分别把m＝1代入到 x＝7m、y＝－m中， 得： x＝7 ，y＝－1 ∴原方程组的解为：
①＋②，得： 2x＝14m x＝7m
6、若方程5x 求m 、n 的值.
m-2n+4y 3n-m =
二元一次方程组解法复习讲解练习
第二讲 二元一次方程组的解法知识要点：（一）二元一次方程(组)的定义1．二元一次方程：含有两个未知数，并且含有两个未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的一个解:适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解．3．二元一次方程组: 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．注意体会二元一次方程组的两个特征：（1）方程组中共含有两个未知数，而每个方程所含未知数的个数可能是2个，也可能是1个；（2）方程组中至少含有两个方程. 每个方程中所含未知数的项的次数是1次．对所给出的二元一次方程，要能熟练的整理成一般形式：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 4．二元一次方程组的解 :二元一次方程组中各个方程的的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.即:满足方程组中每个方程的一对未知数的值称为该二元一次方程组的解．（二）二元一次方程组的解法1．代入法：用代入法解二元一次方程组的一般步骤：（1）在方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程变形成用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数的关系式．（2）将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值．（4）将这个求得的未知数的值，再代入关系式求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用符号“{”联立起来． （5）注意检验．2．加减法：用加减法解二元一次方程组的步骤．（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等．（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值．（4）将这个求得的两个未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“{”联立起来． (5)注意检验．典型例题例1 判断下列方程中，哪些是二元一次方程？哪些不是？为什么？（1）123-=-y x ； （2）13121=+y x ； （3）7532=-x ； （4）01=+xy ； （5）x 1+2y=4；例2 判断下列说法是否正确：（1）二元一次方程734=-y x 的解是⎩⎨⎧-==11y x ； （2）⎩⎨⎧=-=01y x 是二元一次方程44-=-y x 的一个解； （3）方程组⎩⎨⎧+==-3203x y y x 是二元一次方程组； （4）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02113y x yx 是二元一次方程组；（5）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-==+0333231y x y x y x 是二元一次方程组；（6）方程组⎩⎨⎧=+=+154432z y y x 是二元一次方程组. 例3 已知方程132212=+-+n m y x 是一个二元一次方程，求m 和n 的值．例4 已知方程632=-y x ．（1）用含x 的代数式表示y ；（2）当x 取何值时，y 的值为2？例5 试求方程1323=+y x 的正整数解．例6 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+ ② 02141 ① 13y x y x 例7 解方程组：⎩⎨⎧==+② 42-3① 1223y x y x例８ 解方程 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+② 2557① 5531x y y x x 例9 解方程组 ⎩⎨⎧-=+--=+-- ② 1)(5)(2① 21)(7)(6y x y x y x y x例10 解方程组：0.1x －2＝y ＋7＝0.7x ＋y 例11 解方程组⎩⎨⎧=+=② 102① 3:2:y x y x例12 已知代数式q px x ++2，当x ＝－1时，它的值是－5；当x ＝－2时，它的值是4，求p 、q 的值．例13 解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+ ③ ②①325232 0z y x z y x z y x 例14 解方程组26553423 =-+=+=+z y x z y z x ．例15 已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+53ny mx y x 与⎩⎨⎧=-=-512y x my nx 的解相同，求m 、n 的值．经典练习：一．选择题：1．已知x ＝－2是方程2x ＋m －4＝0的一个解，则m 的值是（） （A ）8 （B ）－8（C ）0 （D ）2 2．如果2（x ＋3）的值与3（1－x ）的值互为相反数，那么x 等于（ ） （A ）－8 （B ）8 （C ）－9（D ） 3．下列是二元一次方程组的是（ ）（A ）⎩⎨⎧=+=81y x xy （B ）⎪⎩⎪⎨⎧=-=+13571y x y x （C ）⎩⎨⎧-==142z x x y （D ）⎩⎨⎧=+=-55343y x y x 4．下列各对数中，是方程2131=+y x 的解是（ ） （A ）⎩⎨⎧=-=32y x （B ）⎩⎨⎧-==23y x （C ）⎩⎨⎧-=-=32y x （D ）以上都不对 5．从方程组⎩⎨⎧=-=+my m x 54中，求出x 与y 的关系式是（ ）（A ）1-=+y x （B ）1=+y x （C ）9=+y x （D ）9-=+y x二．填空题：1．下列各式：①31=+yx ，②3x ＝5y ，③164=-y x ，④ 5x ＋xy ＝2，⑤ x ＋4y 2＝3，⑥ 7x ＋3y 属于二元一次方程的有 ．2．方程x ＋2y ＝7的解有 个，其中正整数解（x 、y 均为正整数的解）有 个，它们是 ．3．若52133=-+-n m y x 是二元一次方程，则m ＝ ，n ＝ ．4．已知方程组⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=+214y x a y x y b x 的解是，那么a ＋b ＝ ． 5．若x －y ＝5，则15－x ＋y ＝ ． 6．若0625=+++-x y x ，则3x ＋y ＋1＝ ．7．对于方程24131=+y x ，用含有x 的代数式表示y 为 ，用含有y 的代数式表示x 为 ． 8．二元一次方程组⎩⎨⎧=-+=+3)1(134y k kx y x 的解中，x 、y 的值相等，则k ＝ ． 9．已知053)422=+++--y x y x （，则x ＝ ，y ＝ ．10．若12-x ab 与b a y x 22-+-是同类项，则22y x -＝ ．三．计算题1 ⎩⎨⎧=+-=24352y x x y 2．⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-)2(34742a b a b 3．⎩⎨⎧=--=+3231954b a b a 4． ⎩⎨⎧=-+--=-5)1()2(2)1(22y x y x四、解方程组：1． ② 823① 02⎩⎨⎧=+=-y x y x 2． ⎩⎨⎧=+=+② 82 ① 5y x y x 3. ⎩⎨⎧=+-=- 16214y x y x4. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-10231312y x y x5. ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+11)1(2231y x y x 6．⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-++2)(5)(4632y x y x y x y x五、解答题：1．若方程组⎩⎨⎧-=-+=+122323m y x m y x 的解互为相反数，求m 的值.2.在解方程组⎩⎨⎧bx+ay=10x-cy=14时，甲正确地解得⎩⎨⎧x=4y=-2，乙把c 写错而得到⎩⎨⎧x=2y=4，若两人的运算过程均无错误，求a 、b 、c 的值3．小明和小华同时解方程组⎩⎨⎧=-=+1325ny x y mx ，小明看错了m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==227y x ，小华看错了n ，解得⎩⎨⎧-==73y x ，你能知道原方程组正确的解吗？。
解二元一次方程组(第二课时 加减消元法)(练习)七年级数学下册同步课堂(人教版)(解析版)
第八章二元一次方程组8.2解二元一次方程组（第二课时加减消元法）精选练习答案基础篇一、单选题（共10小题)1．已知a ，b 满足方程组51234a b a b +=⎧⎨-=⎩则a+b 的值为（）A ．﹣4B ．4C ．﹣2D ．2【答案】B 【详解】试题解析：512{34a b a b +=-=①②，①+②：4a+4b=16则a+b=4，故选B ．2．若|321|20x y x y --++-=，则x ，y 的值为（）A ．14x y =⎧⎨=⎩B ．20x y =⎧⎨=⎩C ．02x y =⎧⎨=⎩D ．11x y =⎧⎨=⎩【答案】D 【详解】详解：∵32120x y x y --++-，∴321020x y x y --⎧⎨+-⎩＝＝将方程组变形为32=1=2x y x y -⎧⎨+⎩①②，①+②×2得，5x=5，解得x=1，把x=1代入①得，3-2y=1，解得y=1，∴方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩．故选D ．3．以方程组21x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为坐标的点（x ，y ）在平面直角坐标系中的位置是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【详解】解：解方程组21x yx y+=⎧⎨-=⎩，得1.50.5xy=⎧⎨=⎩，∴点（1.5，0.5）在第一象限．故选：A．4．用加减消元法解二元一次方程组3421x yx y+=⎧⎨-=⎩①②时，下列方法中无法消元的是（）A．①×2﹣②B．②×（﹣3）﹣①C．①×（﹣2）+②D．①﹣②×3【答案】D【详解】方程组利用加减消元法变形即可．解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；D、①﹣②×3无法消元，符合题意．故选：D．5．方程组3276211x yx y+=⎧⎨-=⎩，的解是（）A．15xy=-⎧⎨=⎩，B．12xy=⎧⎨=⎩，C．31xy，=⎧⎨=-⎩D．212xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，【答案】D 【详解】解：327 6211x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①＋②得：9x=18，即x=2，把x=2代入②得：y=1 2，则方程组的解为：212 xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，故选D．6．若二元一次方程组3,354x yx y+=⎧⎨-=⎩的解为,,x ay b=⎧⎨=⎩则-a b的值为（）A ．1B ．3C ．14-D ．74【答案】D 【详解】解：3,354,x y x y +=⎧⎨-=⎩①②+①②，得447x y -=，所以74x y -=，因为,,x a y b =⎧⎨=⎩所以74x y a b -=-=.故选D.7．若方程组31331x y ax y a+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x +y ＝0，则a 的值为（）A ．﹣1B ．1C ．0D ．无法确定【答案】A 【详解】方程组两方程相加得：4（x+y ）=2+2a ，即x+y=12（1+a ），由x+y=0，得到12（1+a ）=0，解得：a=-1．故选A ．8．用加减法解方程组2333211x y x y +=⎧⎨-=⎩时，有下列四种变形，其中正确的是（）A ．4669633x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．6396222x y x y +=⎧⎨-=⎩C ．6936411x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．4639611x y x y +=⎧⎨-=⎩【答案】A 【详解】解：若消去x ，则有：6996422x y x y +=⎧⎨-=⎩；若消去y ，则有：4669633x y x y +=⎧⎨-=⎩；∴用加减消元法正确的是A ；9．关于x ，y 的方程组2318517ax y x by +=⎧⎨-+=⎩（其中a ，b 是常数）的解为34x y =⎧⎨=⎩，则方程组2()3()18()5()17a x y x y x y b x y ++-=⎧⎨+--=-⎩的解为（）A ．34x y =⎧⎨=⎩B ．71x y =⎧⎨=-⎩C ． 3.50.5x y =⎧⎨=-⎩D ． 3.50.5x y =⎧⎨=⎩【答案】C 【详解】详解：由题意知：3{4x y x y +=-=①②，①+②，得：2x =7，x =3.5，①﹣②，得：2y =﹣1，y =﹣0.5，所以方程组的解为 3.50.5x y =⎧⎨=-⎩．故选C ．10．“若方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，则方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是（）A ．48x y =⎧⎨=⎩B ．912x y =⎧⎨=⎩C ．1520x y =⎧⎨=⎩D ．9585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【答案】D 【详解】∵方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，∴111222985985a b c a b c +=⎧⎨+=⎩，两边都除以5得：11122298559855a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，对照方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩可得，方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为9585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，提升篇二、填空题（共5小题)11．已知x 、y 满足方程组3123x y x y +=-⎧⎨+=⎩，则x y +的值为__________．【答案】1【详解】解：3123x y x y +=-⎧⎨+=⎩①②①2⨯得：262x y +=-③③－②得：55,y =-1,y ∴=-把1y =-代入①：31,x ∴-=-2,x ∴=所以方程组的解是：2,1x y =⎧⎨=-⎩1.x y ∴+=故答案为：1.12．已知x 2{y 1==是二元一次方程组mx ny 7{nx my 1+=-=的解，则m+3n 的立方根为．【答案】2【详解】把x 2{y 1==代入方程组mx ny 7{nx my 1+=-=，得：2m n 7{2n m 1+=-=，解得13m 5{9n 5==，∴139m 3n 3855+=+⨯=33m 3n 82+，故答案为2.13．若单项式﹣5x 4y 2m+n 与2017x m ﹣n y 2是同类项，则m-7n 的算术平方根是_________.【答案】4【详解】根据同类项定义由单项式﹣5x 4y 2m+n 与2017x m ﹣n y 2是同类项，可以得到关于m 、n 的二元一次方程4=m ﹣n ，2m+n=2，解得：m=2，n=﹣2，因此可求得m ﹣7n=16，即m ﹣7n 的算术平方根==4，故答案为4．14．二元一次方程组627x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为_____．【答案】15x y =⎧⎨=⎩【详解】627x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，②﹣①得1x =③将③代入①得5y =∴15x y =⎧⎨=⎩故答案为15x y =⎧⎨=⎩15．已知32x y =⎧⎨=-⎩是方程组37ax by bx ay +=⎧⎨+=-⎩的解，则代数式(a+b)(a-b)的值为_________【答案】−8【详解】解：把32x y =⎧⎨=-⎩代入方程组得：323 327a b b a -=⎧⎨-=-⎩①②，①×3＋②×2得：5a ＝−5，即a ＝−1，把a ＝−1代入①得：b ＝−3，则(a+b)(a-b)＝a 2−b 2＝1−9＝−8，故答案为−8.三、解答题（共2小题）16．解二元一次方程组（1）31529x y x y +=⎧⎨-=⎩（2）3523153232x y x y x+=⎧⎪-+⎨-=-⎪⎩【答案】（1）12x y =⎧⎨=-⎩（2）2345x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【详解】（1）31529x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，将①式×2+②得6529x x +=+，1111x =，解得1x =，将1x =代入①得：2y =-，故解为：12x y =⎧⎨=-⎩（2）3523153232x y x y x +=⎧⎪-+⎨-=-⎪⎩，将方程组整理得：()()35223135312x y x y x +=⎧⎪⎨--+=-⎪⎩即35231510x y x y +=⎧⎨--=-⎩①②，①+②得：108y -=-，解得：45y =，将45y =代入①得：23x =-，∴解为2345x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩17．用消元法解方程组35432x y x y -=⎧⎨-=⎩①②时,两位同学的解法如下:解法一:解法二:由②，得3(3)2x x y +-=,③由①-②,得33x =.把①代入③，得352x +=.（1）反思:上述两个解题过程中有无计算错误?若有误,请在错误处打“⨯”.（2）请选择一种你喜欢的方法,完成解答.【答案】（1）解法一中的计算有误；（2）原方程组的解是12x y =-⎧⎨=-⎩【详解】（1）解法一中的计算有误（标记略）（2）由①-②，得：33x -=，解得：1x =-，把1x =-代入①，得：135y --=，解得：2y =-，所以原方程组的解是12x y =-⎧⎨=-⎩．。
人教版初一数学下册：《二元一次方程组》全章复习与巩固(提高)知识讲解
《二元一次方程组》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.了解二元一次方程组及其解的有关概念；2.掌握消元法（代入或加减消元法）解二元一次方程组的方法；3.理解和掌握方程组与实际问题的联系以及方程组的解；4.掌握二元一次方程组在解决实际问题中的简单应用；5.通过对二元一次方程组的应用，培养应用数学的理念. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（一般用x 和y ），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 要点诠释：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 要点诠释：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为⎩⎨⎧b a＝＝y x 的形式.3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组3452x y x +=⎧⎨=⎩. 要点诠释：（1）它的一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（其中1a ，2a ，1b ，2b 不同时为零）．（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．（3）符号“{”表示同时满足，相当于“且”的意思．4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点诠释：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.（2）方程组的解要用大括号联立；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组⎩⎨⎧=+=+6252y x y x 无解，而方程组⎩⎨⎧-=+-=+2221y x y x 的解有无数个.要点二、二元一次方程组的解法1.解二元一次方程组的思想转化消元一元一次方程二元一次方程组2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式； ②将b ax y +=（或b ay x +=）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；④把x （或y ）的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x ）的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解.要点诠释：(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“{”联立在一起即可.要点诠释：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.要点三、实际问题与二元一次方程组要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 要点四、三元一次方程组1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的求知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.412,325,51,x y z x y z x y z +-=⎧⎪++=-⎨⎪-+=⎩ 273,31,34a b a c b c +=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩等都是三元一次方程组. 要点诠释：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 要点诠释： （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x ，y ，z )表示题目中的两个(或三个)未知数；（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 【典型例题】类型一、二元一次方程组的相关概念1.在下列方程中，只有一个解的是（ ）A . 1330x y x y +=⎧⎨+=⎩ B . 1332x y x y +=⎧⎨+=-⎩ C . 1334x y x y +=⎧⎨-=⎩ D . 1333x y x y +=⎧⎨+=⎩【思路点拨】逐一求每个选项中方程组的解，便得出正确答案 【答案】C .【解析】选项A 、B 、D 中，将方程1x y +=，两边同乘以3得333x y +=，从而可以判断A 、B 选项中的两个二元一次方程矛盾，所以无解；而D 中两个方程实际是一个二元一次方程，所以有无数组解，排除法得正确答案为C. 【总结升华】在111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（其中1a ，2a ，1b ，2b 均不为零），（1）当121222a a c a b c =≠时，方程组无解；（2）当121222a a c a b c ==，方程组有无数组解； （3）当1222a a ab ≠，方程组有唯一解． 举一反三：【高清课堂：二元一次方程组章节复习409413 例1（3）】 【变式1】若关于x 、y 的方程()12mm x y ++=是二元一次方程，则m = ．【答案】1．【变式2】已知方程组531x y ax y b -=⎧⎨+=-⎩有无数多个解，则a 、b 的值等于 ．【答案】a ＝﹣3，b ＝﹣14．类型二、二元一次方程组的解法2. (黄冈调考)解方程组2()5335()322x y y x y y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩①②【思路点拨】本题结构比较复杂，一般应先化简，再消元．仔细观察题目，不难发现，方程组中的每一个方程都含有(x -y )，因此可以把(x -y )看作一个整体，消去(x -y )可得到一个关于y 的一元一次方程．【答案与解析】解：由①×9得：6(x -y )+9y ＝45 ③ ②×4得：6(x -y )-10y ＝-12 ④ ③-④得：19y ＝57， 解得y ＝3．把y ＝3代入①，得x ＝6．所以原方程组的解是63x y =⎧⎨=⎩．【总结升华】本题巧妙运用整体法求解方程组，显然比加减法或代入法要简单，在平时求方程组的解时，要善于发现方程组的特点，运用整体法求解会收到事半功倍的效果． 举一反三：【变式】(换元思想)解方程组16105610x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=⎪⎩【答案】 解：设6x y m +=，10x yn -=． 则原方程组可化为15m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得32m n =⎧⎨=-⎩．所以36210x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 即1820x y x y +=⎧⎨-=-⎩．∴ 119x y =-⎧⎨=⎩．3.（2015•江都市模拟）小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c ，解得已知小文除抄错了c 外没有发生其他错误，求a+b+c的值． 【思路点拨】把代入方程组第一个方程求出c 的值，将x 与y 的两对值代入第二个方程求出a 与b 的值，即可求出a+b+c 的值．【答案与解析】 解：把代入cx ﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，解得：c=﹣5， 把与分别代入ax+by=2，得，解得：，则a+b+c=2+﹣5=3﹣5=﹣2．【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．举一反三：【变式】已知二元一次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+175194y x y x 的解为a x =，b y =，则=-b a .【答案】11.类型三、实际问题与二元一次方程组4.用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽.60cm【思路点拨】初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x ，宽为y ，就可以列出一个关于x 、y 的二元一次方程组. 【答案与解析】解：设每块地砖的长为xc m 与宽为ycm ，根据题意得：6023x y x x y +=⎧⎨=+⎩，解得：4515x y =⎧⎨=⎩ 答：每块地砖长为45cm ，宽为15cm【总结升华】有些题目的相等关系不是直接给我们的，这就需要我们仔细阅读题目，设法提炼出题目中隐含的相等关系.举一反三：【变式】如图，长方形ABCD 中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积.【答案】解：设每个小长方形的长为x ，宽为y ，根据题意得：422(2)37x y x y y +=⎧⎨+-=⎩，解得103x y =⎧⎨=⎩所以阴影部分的面积为：22(73)922(79)910382y xy +-=+-⨯⨯=. 答：图中阴影部分的面积为82.5.（龙岩）已知：用2辆A 型车和1辆B 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A 型车和2辆B 型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A 型车和1辆车B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案与解析】【总结升华】本题实际上是求二元一次方程组的正整数． 举一反三：【变式1】甲、乙两班学生到集市上购买苹果，价格如下：甲班分两次共购买苹果70千克(第二次多于第一次)，共付出189元，而乙班则一次购买苹果70千克。
1.2二元一次方程组的解法(2)加减消元法同步练习含答案
1.2 二元一次方程组的解法第2课时加减消元法核心笔记:加减消元法:两个二元一次方程中同一未知数的系数相同或相反时,把这两个方程相减或相加,就能消去这个未知数,从而得到一个一元一次方程,这种解方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.基础训练1.方程组由②-①,得正确的方程是( )A.3x=10B.x=5C.3x=-5D.x=-52.二元一次方程组的解为( )A. B. C. D.3.若方程mx+ny=6的两个解是和则m,n的值分别为( )A.4,2B.2,4C.-4,-2D.-2,-44.用加减消元法解方程组的具体步骤如下:第一步:①-②,得x=1;第二步:把x=1代入①,得y=-;第三步:所以其中开始出现错误的是( )A.第一步B.第二步C.第三步D.没有出错5.已知方程组:①②其中方程组①采用消元法解简单,方程组②采用消元法解简单.6.若a+b=3,a-b=7,则ab=______________.7.用加减法解方程组:(1)(2)8.已知-2x m-1y3与x n y m+n是同类项,求m,n的值.培优提升1.利用加减消元法解方程组下列做法正确的是( )A.要消去y,可以将①×5+②×2B.要消去x,可以将①×3+②×(-5)C.要消去y,可以将①×5+②×3D.要消去x,可以将①×(-5)+②×22.已知x,y满足方程组则x+y的值为( )A.9B.7C.5D.33.已知5|x+y-3|+2(x-y)2=0,则( )A. B. C. D.4.二元一次方程组的解是______________.5.对于X,Y定义一种新运算“@”:X@Y=aX+bY,其中a,b为常数,等式右边是通常的加法和乘法的运算.已知:3@5=15,4@7=28,那么2@3=_____________.6.已知是二元一次方程组的解,则m+3n=_____________.7.用加减消元法解方程组:(1)(2)8.在解方程组时,哥哥正确地解得弟弟因把c写错而解得求a+b+c的值.9.阅读理解题特殊的题有特殊的解法,阅读下面的解题过程,我们从中可以得到启发:解方程组解:由①+②得:500x+500y=1 500,即x+y=3, ③由①-②得:6x-6y=54,即x-y=9, ④由③+④得:2x=12,解得:x=6,又由③-④得:2y=-6,解得:y=-3,所以原方程组的解为【归纳】对于大系数的二元一次方程组,当用代入法和加减法解非常麻烦时,可以通过观察各项系数的特点,寻求特殊解法.根据上述例题的解题方法解下面的方程组:参考答案【基础训练】1.【答案】B解：注意符号问题.2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】A5.【答案】加减;代入6.【答案】-10解：两个方程相加,解得a=5,将a=5代入a+b=3,解得b=-2, 故ab=-10.7.解:(1)①+②得3x=15,所以x=5.将x=5代入①,得5+y=6,所以y=1,所以方程组的解为(2)②×3,得3x+9y=21,③③-①,得11y=22.所以y=2.把y=2代入②,得x+6=7,所以x=1,所以原方程组的解为8.解:因为-2x m-1y3与x n y m+n是同类项,所以经变形可得所以【培优提升】1.【答案】D2.【答案】C解：①+②得4x+4y=20,则x+y=5.故选C.3.【答案】D解：由绝对值和数的平方的性质可以得到解得故选D.4.【答案】5.【答案】2解：因为3@5=15,4@7=28,所以3a+5b=15①,4a+7b=28②,由②-①,得a+2b=13③,由①-③,得2a+3b=2,所以2@3=2a+3b=2.6.【答案】8解：本题运用整体思想解题更简便.把代入方程组得两式相加得m+3n=8.7.解:(1)②×2-①,得n=20,把n=20代入②,得2m+3×20=240,解得m=90.所以原方程组的解为(2)①×4-②×3得:7y=-7,解得y=-1,将y=-1代入①得:3x-4=5,解得x=3,所以原方程组的解为8.解:把x=3,y=-2代入得把x=-2,y=2代入ax+by=2.得-2a+2b=2.因为弟弟把c写错了,所以弟弟的解不满足cx-7y=8.联立方程组:解得由3c+14=8得c=-2.故a+b+c=4+5-2=7.9.解:由①+②得:4 025x+4 025y=16 100, 即x+y=4,③由②-①得:x-y=100,④由③+④得:2x=104,解得x=52, 由③-④得:2y=-96,解得y=-48, 则原方程组的解为。
二元一次方程组(例题、解方程组、练习及答案)
的x. y 的值.s+y=l 2x+y=3⑵2K -3y=-52y —12弩=4Cx-1)-2(2y+l)=43.解方程组：举-4y=24.解方程组： x+1.y~1 ~2'玄-11-L 2-2(x+2y)=3⑵L L1K +4(x+2y)=45解二元一次方程组练习及答案专题一：二元一次方程组解法精练一.解答题（共16小题）2.解下列方程组(s _t)-2(s+t)=10 5.解方程组上(日一t)+2Cs+t)=266.已知关于x,y 的二元一次方程y 二kx+b 的解有 （1）求k,b 的值. ⑵当x=2时，y 的值. ⑶当x 为何值时，y=3?7.解方程组：2y=3“至_y_7⑴［电文-10；=13_X "12,乙看错了方程组中的b.蓋二- £时，由于粗心，甲看错了方程组中的a,而得解为 （沪5而得解为尸°.（1）甲把a 看成了什么，乙把b 看成了什么？ （2）求出原方程组的正确解.亠一空二5 14.I X0.315.解下列方程组：8.解方程组:卩（旳）(K -3y)=159.解方程组：10.解下列方程组: fs-y=4 ⑴4贵 11.解方程组： "T⑵［4(葢十7)-5(K-y)=212.解二元一次方程组： f 9s+2y=20（1）.办十4尸10；乜(K -1)-4(y-4)=0⑵占〔厂"二3匕+5)鮎曲+5尸1013.在解方程组(1) 匹站3y=15 “x+1_y+4 ⑵f2x+y=4 16.解下列方程组：（1）时戈产5 p+y=l(2)■20^1+30^25^X2专题二：方程组解法强化训练 ■>二1+尸j3^-2/=6 2(右十为*175x+y+z=145 15 3.x+y —2z-5 仝％+4®二1124.5. 17 r0.25x+3ty+3)=156.匚(工十1)—1.5(^十刀二35 r 3(x-y 十E 二0'mJ4耳+2了+£=3i4 l 税25t+5v+z=6O 盲8.9.—2 4 J2 3 XH -/=60 J y +z =40 x+i=50 10. H 十JJ-H-Z=11<3A +J 二25z=4^11.L》+z -了工二号 5-3^+4-7y=1121」心+5我彳z +z-3j=5 13.乐十》）-4&p ）二4土+二=118.21. fi-2j=7y x+1—二36y-1=3fx+|)16.y—1x二y-I2_y+2.2x=+13T" 33(x-0=4(卩一4)17.+500,[60%^+80%-7=500x72%.19.宝”一1)=3(兀+5)20.卜223A-3J-9=^±13r2(z+^+3(x-y)=1322.j-2z+3y=1123.尸（*）亠4决2刃=8724. 25. 弘+»=198jc-3y=6727. =-1=4IZ尹-1=128.30. SI兰工_气2十3-5巧P=〔23-_答案专题一1.x=6"X=1 「K=3、「K=3「⑵•卄8•解万程组：9•解方程组：1歼-1(y=0\y=0工二3114V——3⑷•y=-3•解方程组fl4•解方程组：鳥I尸4,尸亍6••(1)求k,b的值.k二言,b二号•7⑵当x=2时，y的值•把x=2代入，得y=p•(3)当x为何值时，y=3?把y=3代入，得x=1 7•解方程组：10•解下列方程组：17 \=60:'尸-2411•解方程组:⑴12⑵¥二广1712•解二元一次方程组：13.(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？fa=-2 [b=6(2)求出原方程组的正确解.P=152•解下列方程组专题二：=50rz=4rz=5K=5[75rz=-70rA=61.2.3.4.5.6.g1715•解下列方程组:⑴16•解下列方程组:⑴rx=-2cm =49.严=35L=2510.厂=30 12.J=_10 严=-17/4K=_19/413r=_5厂=17/15 厂1=714."11⑴15.J=-316.=1厂=20017.J=300 18. J -A =-1/4丫尹=3/819.29/6 -7/422. 23.CI ；rz =2324.f A =-11/2 25.f A =826.5=-127.rz=428.J -A =4.5 29.rz=6.530.。
《解二元一次方程组》教案(例题+练习+答案)
二元一次方程组的解法1。
二元一次方程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程。
例1.下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________判断一个方程是为二元一次方程的三个要素:①含有两个未知数②未知数的次数为1③整式方程想一想:二元一次方程的解与一元一次方程的解有什么区别？①二元一次方程的解是成对出现的；②二元一次方程的解有无数个;③一元一次方程的解只有一个。
例2若方程是二元一次方程，求m、n的值．分析：变式:方程是二元一次方程，试求a的值．注意：①含未知项的次数为1；②含有未知项的系数不能为02.二元一次方程组的解二元一次方程组的解法，即解二元一次方程的方法;今天我们就一起探究一下有什么方法能解二元一次方程组。
练一练：1、若是关于x、y 的方程5x +ay = 1 的解,则a=（）.2、方程组的解是.3、若关于x、y 的二元一次方程组的解x 与y 的值相等，则k =（）。
3、用一个未知数表示另一个未知数想一想：（1），所以；（2),所以，；（3) ,所以= ,．总结出用一个未知数表示另一个未知数的方法步骤：①被表示的未知数放在等式的左边，其他的放在等式的右边．②把被表示的未知数的系数化为1．4。
二元一次方程的解法（1)用代入法解二元一次方程组将方程组中的一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.代入消元法解方程组的步骤是：①用一个未知数表示另一个未知数；②把新的方程代入另一个方程,得到一元一次方程（代入消元）；③解一元一次方程，求出一个未知数的值；④把这个未知数的值代入一次式，求出另一个未知数的值；⑤检验,并写出方程组的解。
例3：方程组解:把②代入①得，把x=3代入②，得所以，原方程组的解是总结：解方程组的方法的图解:练一练:1、如果，那么x=________;2、解方程组3、解方程组3、以为解的方程组是（）A. B. C。
7.2《二元一次方程组的解法》(加减法2)
原方程组可化为
④- ③,得 -16y-(-21y) = 20-30, 5y = -10 y = -2. 把y=-2代入①,得 2x-7× ( -2 ) = 10, 2x+14=10, x = -2, 所以 y = -2. 2x =10-14, 2x = -4, 即 x = -2.
解二元一次方程组的基本思想是
解方程组: (4)
2x - 3y = 8,
5y -7x = 5. 解 2x - 3y = 8, ① 原方程组可化为 -7x+5y = 5. ② ① ×5,得 10x - 15y = 40, ③ ② ×3,得 -21x+15y = 15. ④ ③+④,得 -11x = 55, x = -5. 即 把x=-5代入②,得 5y-7×(-5) = 5, 5y+35 = 5, 5y = 5-35, 5y = -30, 即 y = -6. 所以
想一想
x y 25, 2 x y 8.
x 11, 解得 y 14.
作业
消去y
x = -5, y = -6.
5y-7x = 5. 解 2x - 3y = 8, ① 原方程组可化为 -7x+5y = 5. ② ① ×7,得 14x - 21y = 56, ③ ② ×2,得 -14x+10y = 10. ④ ③+④,得 -11y = 66, y = -6. 即 把y= - 6代入①,得 2x - 3×(-6) = 8, 2x+18 = 8, 2x = 8-18,
解
3x - 4y =10 ① 5x+6y = 42. ②
③
消去y
① ×3,得 9x - 12y = 30,
② ×2,得 10x+12y = 84. ④ 19x = 114, ③+ ④,得 即 x = 6. 把x=6代入②,得 5×6+6y = 42, 30+6y = 42, 6y = 42-30, 6y = 12, 即 y= 2. x= 6, 所以 y= 2.
二元一次方程组及应用题练习
二元一次方程组及应用题练习二元一次方程组解法练题精选一、解答题（共16小题）1.求适合下列方程组的x，y的值：1）x - 3y = 5.2x + y = 52）y - 2x = 5.x + y = 13）3m - 2n = 5.4n + m = -14）2p - 3q = 13.p + 5 = 4q5）3x - 5y = 7.4x + 2y = 56）6x - 5y = 11.11x - 9y = 127）x - 2y = 12.4x + 2y = 30 8）3x + 4y = 3a。
3n - 4m = 6 9）5x + 2y = 5a。
4m - 2n = -5 10）x - y = 1.0.5x - 0.3y = 0.2 11）x - y = 1.0.4x + 0.3y = 0.7 12）2x + 2y = 7.x - y + 1 = 2 13）11x - 10y = 1.x - y = -1 14）x - y = 2.2x + 2y = 7 15）3x + 4y = 3.5x - 3y = 2 16）x - y = 1.2x + 3y = 5解：1）代入法：由第一个方程可得：x = 3y + 5将x = 3y + 5代入第二个方程中得：2(3y + 5) + y = 5 化简得：7y + 10 = 5解得：y = -5/7将y = -5/7代入x = 3y + 5中得：x = -10/7因此，方程组的解为：x = -10/7，y = -5/7.2）加减法：将两个方程相加得：-x + y = 6将第一个方程乘以2得：-4x + 2y = 10将第二个方程乘以3得：3x + 3y = 3将上面两个式子相加得：-x + y + 3x + 3y = 13化简得：2x + 4y = 13将-2x + 2y = 6乘以2得：-4x + 4y = 12将上面两个式子相加得：-2x + 6y = 25化简得：x = (25 - 6y)/2将x = (25 - 6y)/2代入-2x + 2y = 6中得：-25 + 6y + 2y = 12 化XXX：y = 9/4将y = 9/4代入x = (25 - 6y)/2中得：x = 7/4因此，方程组的解为：x = 7/4，y = 9/4.3）加减法：将第一个方程乘以2得：6m - 4n = 10将第二个方程乘以3得：9m - 6n = 15将上面两个式子相加得：15m - 10n = 25化简得：3m - 2n = 5将4n + m = -1代入3m - 2n = 5中得：3(-4n - 1) - 2n = 5 化XXX：n = -7/11将n = -7/11代入4n + m = -1中得：m = 25/11因此，方程组的解为：m = 25/11，n = -7/11.4）加减法：将第一个方程乘以3得：6p - 9q = 39将第二个方程乘以4得：8p - 12q = 52将上面两个式子相加得：14p - 21q = 91化简得：2p - 3q = 13将p + 5 = 4q代入2p - 3q = 13中得：2(p + 5) - 3q = 13 化简得：p = -3将p = -3代入p + 5 = 4q中得：q = 2因此，方程组的解为：p = -3，q = 2.5）加减法：将第一个方程乘以4得：12x - 20y = 28将第二个方程乘以2得：8x + 4y = 10将上面两个式子相加得：20x - 16y = 38化简得：5x - 4y = 19/5将3x - 5y = 7代入5x - 4y = 19/5中得：5(3x - 5y) - 4y = 19/5化简得：x = 12/5将x = 12/5代入3x - 5y = 7中得：y = 1/5因此，方程组的解为：x = 12/5，y = 1/5.6）加减法：将第一个方程乘以2得：12x - 10y = 22将第二个方程乘以3得：33x - 27y = 36将上面两个式子相加得：45x - 37y = 58化简得：x = (58 + 37y)/45将11x - 9y = 12代入x = (58 + 37y)/45中得：11((58 + 37y)/45) - 9y = 12化XXX：y = -41/34将y = -41/34代入x = (58 + 37y)/45中得：x = 43/34因此，方程组的解为：x = 43/34，y = -41/34.7）代入法：由第一个方程可得：x = 2y + 12将x = 2y + 12代入第二个方程中得：4(2y + 12) + 2y = 30化简得：10y = 2解得：y = 1/5将y = 1/5代入x = 2y + 12中得：x = 22/5因此，方程组的解为：x = 22/5，y = 1/5.8）代入法：由第一个方程可得：m = (3a - 4y)/9将m = (3a - 4y)/9代入第二个方程中得：8(3a - 4y)/9 - 2n = 6化简得：24a - 32y - 18n = 54将第三个方程乘以4得：12m - 8n = 20将第四个方程乘以3得：9x - 15y = 21将上面两个式子相加得：12m - 8n + 9x - 15y = 41将24a - 32y - 18n = 54代入12m - 8n + 9x - 15y = 41中得：12(3a - 2y)/9 - 8n + 9x - 15y = 41化简得：27a - 18y - 16n + 15x = 123将上面两个式子相加得：11x - 14n + 27a - 20y = 164将x = (3a - 4y)/9代入11x - 14n + 27a - 20y = 164中得：11(3a - 4y)/9 - 14n + 27a - 20y = 164化简得：29a - 36y - 28n = 468解得：a = (468 + 36y + 28n)/29将a = (468 + 36y + 28n)/29代入m = (3a - 4y)/9中得：m = (156 + 12y + 28n)/29将m = (156 + 12y + 28n)/29代入第二个方程中得：8(3a -4y)/9 - 2n = 6化简得：24a - 32y - 18n = 54将a = (468 + 36y + 28n)/29代入24a - 32y - 18n = 54中得：(3744 + 288y + 224n)/29 - 32y - 18n = 54化简得：288y + 206n = 1170因此，方程组的解为：a = (468 + 36y + 28n)/29，m = (156 + 12y + 28n)/29，n为任意实数，且满足288y + 206n = 1170.9）代入法：由第一个方程可得：x = (5a - 2y)/5将x = (5a - 2y)/5代入第二个方程中得：4(4m - 2n + 5) - 2(5a - 2y)/5 = -5化简得：16m - 8n + 20 - 2a + 4y/5 = -5将第三个方程乘以2得：6m - 4n = 10将第四个方程乘以3得：9x - 15y = 3将上面两个式子相加得：6m - 4n + 9x - 15y = 13将x = (5a - 2y)/5代入6m - 4n + 9x - 15y = 13中得：6m - 4n + 9(5a - 2y)/5 - 15y = 13化简得：54a - 52y - 20n = 118将上面两个式子相加得：54a - 52y - 20n + 16m - 8n + 20 - 2a + 4y/5 = 6化简得：52a - 260/5y - 32n + 16m = -94/5化简得：13a - 13y - 2n + 4m = -47/5将第五个方程乘以5得：3x - 5y = 7将第六个方程乘以11得：11x - 9y = 12将上面两个式子相加得：14x - 14y = 19将x = (5a - 2y)/5代6.已知甲、乙两种商品的原价和为200元。
二元一次方程与提高及答案(绝对经典)
二元一次方程提高一．选择题（共14小题）1．（2013•漳州）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．2．（2012•临沂）关于x、y的方程组的解是，则|m﹣n|的值是（）A．5B．3C．2D．13．若x4﹣3|m|+y|n|﹣2=2009是关于x，y的二元一次方程，且mn＜0，0＜m+n≤3，则m﹣n的值是（）A．﹣4 B．2C．4D．﹣24．甲、乙两人同求方程ax﹣by=7的整数解，甲正确地求出一个解为，乙把ax﹣by=7看成ax﹣by=1，求得一个解为，则a，b的值分别为（）A．B．C．D．5．x，y是正整数，且有2x×4y=1024，则x，y的取值不可能是下列哪一组结果（）A．B．C．D．6．（2009•东营）关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=﹣6的解，则k的值是（）A．﹣B．C．D．﹣7．若方程组的解为x，y，且﹣4＜m＜4，则x﹣y的取值范围是（）A．﹣1＜x﹣y＜1 B．﹣2＜x﹣y＜2 C．﹣3＜x﹣y＜0 D．﹣3＜x﹣y＜18．若方程组的解满足x+y=0，则a的取值是（）A．a=﹣1 B．a=1 C．a=0 D．a不能确定9．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（）A．x+y=1 B．x+y=﹣1 C．x+y=9 D．x+y=910．关于x，y的方程组有无数组解，则a，b的值为（）A．a=0，b=0 B．a=﹣2，b=1 C．a=2，b=﹣1 D．a=2，b=111．若方程组有无穷多组解，（x，y为未知数），则（）A．k≠2 B．k=﹣2 C．k＜﹣2 D．k＞﹣212．解方程组时，一学生把a看错后得到，而正确的解是，则a、c、d的值为（）A．不能确定B．a=3、c=1、d=1 C．a=3c、d不能确定D．a=3、c=2、d=﹣213．若二元一次方程3x﹣y=7，2x+3y=1，y=kx﹣9有公共解，则k的取值为（）A．3B．﹣3 C．﹣4 D．414．三个二元一次方程2x+5y﹣6=0，3x﹣2y﹣9=0，y=kx﹣9有公共解的条件是k=（）A．4B．3C．2D．1二．填空题（共7小题）15．已知关于x、y的方程是（a2﹣1）x2﹣（a+1）x+y=﹣5．则当a=_________时，该方程是二元一次方程．16．若方程3x2（m+n）﹣3（m﹣n）﹣3﹣2y5（m+n）﹣7（m﹣n）﹣1=1是二元一次方程，则m=_________，n=_________．17．方程x+2y=7的所有自然数解是_________．18．设：a、b、c均为非零实数，并且ab=2（a+b），bc=3（b+c），ca=4（c+a），则=_________．19．若x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z的值是_________．20．已知方程2x﹣3y=z与方程x+3y﹣14z=0（z≠0）有相同的解．则x：y：z=_________．21．已知x+2y﹣3z=0，2x+3y+5z=0，则=_________．三．解答题（共9小题）22．方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y=k+8是关于x、y的方程，试问当k为何值时，（1）方程为一元一次方程？（2）方程为二元一次方程？23．（开放题）是否存在整数m，使关于x的方程2x+9=2﹣（m﹣2）x在整数范围内有解，你能找到几个m的值？你能求出相应的x的解吗？24．求方程2x+9y=40的正整数解．25．求出二元一次方程5x+y=20的所有自然数解．26．若整系数方程ax+by=c（ab≠0）有整数解，则（a，b）|c，反之，若（a，b）|c，则整系数方程ax+by=c（ab≠0）有整数解．其中（a，b）表示a，b的最大公约数，（a，b）|c表示（a，b）能整除c．根据这种方法判定下列二元一次方程有无整数解．（1）3x+4y=33；（2）2x+6y=15．27．若方程组与方程组有相同的解，求a，b的值．28．若关于x，y的二元一次方程组的解满足3x+y=6，求k的值．29．（2012•上海模拟）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．运用上述知识，解决下列问题：（1）如果，其中a、b为有理数，那么a=_________，b=_________；（2）如果，其中a、b为有理数，求a+2b的值．30．先阅读下面的解法：解方程组解：①+②得：80x+80y=240化简得：x+y=3 ③②一①得：34x﹣34y=34化简得：x﹣y=1④③+④得：x=2③一④得：y=1原方程组的解为然后请你仿照上面的解法解方程组参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2013•漳州）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．专题：几何图形问题．分析：根据图示可得：长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y，联立两个方程即可．解答：解：根据图示可得，故选：B．点评：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．2．（2012•临沂）关于x、y的方程组的解是，则|m﹣n|的值是（）A．5B．3C．2D．1考点：二元一次方程组的解．专题：常规题型．分析：根据二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组，求解得到m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．解答：解：∵方程组的解是，∴，解得，所以，|m﹣n|=|2﹣3|=1．故选D．点评：本题考查了二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组求出m、n的值是解题的关键．3．若x4﹣3|m|+y|n|﹣2=2009是关于x，y的二元一次方程，且mn＜0，0＜m+n≤3，则m﹣n的值是（）A．﹣4 B．2C．4D．﹣2考点：二元一次方程的定义．专题：方程思想．分析：二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．解答：解：根据题意，得，∴∵mn＜0，0＜m+n≤3∴m=﹣1，n=3．∴m﹣n=﹣1﹣3=﹣4．故选A．点评：主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．4．甲、乙两人同求方程ax﹣by=7的整数解，甲正确地求出一个解为，乙把ax﹣by=7看成ax﹣by=1，求得一个解为，则a，b的值分别为（）A．B．C．D．考点：二元一次方程的解．分析：首先根据题意把代入ax﹣by=7中得a+b=7，把代入ax﹣by=1中得：a﹣2b=1，组成方程组可解得a，b的值．解答：解：把代入ax﹣by=7中得：a+b=7 ①，把代入ax﹣by=1中得：a﹣2b=1 ②，把①②组成方程组得：，解得：，故选：B．点评：此题主要考查了二元一次方程组的解，关键是正确把握二元一次方程的解的定义．5．x，y是正整数，且有2x×4y=1024，则x，y的取值不可能是下列哪一组结果（）A．B．C．D．考点：二元一次方程的解；同底数幂的乘法．专题：计算题．分析：已知等式左边化为底数为2的幂，再利用同底数幂的乘法法则计算，右边化为以2为底数的幂，根据幂相等底数相等得到关于x与y的方程，即可做出判断．解答：解：∵2x×4y=2x+2y，1024=210，2x×4y=1024，∴x+2y=10，则x=5，y=5不是方程的解．故选D．点评：此题考查了二元一次方程的解，以及同底数幂的乘法，列出关于x与y的方程是解本题的关键．6．（2009•东营）关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=﹣6的解，则k的值是（）A．﹣B．C．D．﹣考点：二元一次方程组的解．专题：计算题．分析：先用含k的代数式表示x、y，即解关于x，y的方程组，再代入2x+3y=﹣6中可得．解答：解：解方程组得：x=7k，y=﹣2k，把x，y代入二元一次方程2x+3y=﹣6，得：2×7k+3×（﹣2k）=﹣6，解得：k=﹣，故选A．点评：此题考查的知识点是二元一次方程组的解，先用含k的代数式表示x，y，即解关于x，y的方程组，再代入2x+3y=6中可得．其实质是解三元一次方程组．7．若方程组的解为x，y，且﹣4＜m＜4，则x﹣y的取值范围是（）A．﹣1＜x﹣y＜1 B．﹣2＜x﹣y＜2 C．﹣3＜x﹣y＜0 D．﹣3＜x﹣y＜1考点：二元一次方程组的解．分析：本题需先根据二元一次方程组的解把x与y值解出来，再根据﹣4＜m＜4的范围，即可求出x﹣y的取值范围．解答：解：把②×3得：3x+9y=9，③把①﹣③得：，再把①×3得：9x+3y=3m+3 ④，把④﹣②解得：x=，∴x﹣y=﹣=，∵﹣4＜m＜4，∴﹣3＜x﹣y＜1，故选D点评：本题主要考查了二元一次方程组的解，在解题时要注意二元一次方程组的解法和运算顺序是本题的关键．8．若方程组的解满足x+y=0，则a的取值是（）A．a=﹣1 B．a=1 C．a=0 D．a不能确定考点：二元一次方程组的解；二元一次方程的解．专题：计算题．分析：方程组中两方程相加表示出x+y，根据x+y=0求出a的值即可．解答：解：方程组两方程相加得：4（x+y）=2+2a，将x+y=0代入得：2+2a=0，解得：a=﹣1．故选A点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．9．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（）A．x+y=1 B．x+y=﹣1 C．x+y=9 D．x+y=9考点：二元一次方程组的解．分析：由方程组消去m，得到一个关于x，y的方程，化简这个方程即可．解答：解：由方程组，有y﹣5=m∴将上式代入x+m=4，得到x+（y﹣5）=4，∴x+y=9．故选C．点评：解二元一次方程组的基本思想是“消元”，基本方法是代入法和加减法，此题实际是消元法的考核．10．关于x，y的方程组有无数组解，则a，b的值为（）A．a=0，b=0 B．a=﹣2，b=1 C．a=2，b=﹣1 D．a=2，b=1考点：二元一次方程组的解．专题：计算题．分析：由关于x，y的方程组有无数组解，两式相减求出关于a，b的等式，再根据题意判断即可．解答：解：由关于x，y的方程组，两式相减得：（1﹣b）x+（a+2）y=0，∵方程组有无数组解，∴1﹣b=0，a+2=0，解得：a=﹣2，b=1．故选B．点评：本题考查了二元一次方程组的解，属于基础题，关键是要理解方程组有无数组解的含义．11．若方程组有无穷多组解，（x，y为未知数），则（）A．k≠2 B．k=﹣2 C．k＜﹣2 D．k＞﹣2考点：二元一次方程组的解．分析：先将二元一次方程组消元，转化为关于一元一次方程的问题，再根据方程组有无穷多组解，可求k值．解答：解：将方程组中的两个方程相加，得3kx+6x+1=1，整理得（3k+6）x=0，由于关于x、y的方程组有无数组解，即对①来说，无论x取何值，等式恒成立，所以3k+6=0，解得k=﹣2．故选B．点评：先将二元一次方程组消元，转化为关于一元一次方程的问题，即可迎刃而解．12．解方程组时，一学生把a看错后得到，而正确的解是，则a、c、d的值为（）A．不能确定B．a=3、c=1、d=1 C．a=3c、d不能确定D．a=3、c=2、d=﹣2考点：二元一次方程组的解．专题：计算题．分析：将x=5，y=1代入第二个方程，将x=3，y=﹣1代入第二个方程，求出c与d的值，将正确解代入第一个方程求出a即可．解答：解：将x=5，y=1；x=3，y=﹣1分别代入cx﹣dy=4得：，解得：，将x=3，y=﹣1代入ax+2y=7中得：3a﹣2=7，解得：a=3，则a=3，c=1，d=1．故选B点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．13．若二元一次方程3x﹣y=7，2x+3y=1，y=kx﹣9有公共解，则k的取值为（）A．3B．﹣3 C．﹣4 D．4考点：解三元一次方程组．分析：由题意建立关于x，y的方程组，求得x，y的值，再代入y=kx﹣9中，求得k的值．解答：解：解得：，代入y=kx﹣9得：﹣1=2k﹣9，解得：k=4．故选D．点评：本题先通过解二元一次方程组，求得后再代入关于k的方程而求解的．14．三个二元一次方程2x+5y﹣6=0，3x﹣2y﹣9=0，y=kx﹣9有公共解的条件是k=（）A．4B．3C．2D．1考点：解三元一次方程组．分析：理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，把三个方程组成方程组再求解．解答：解：由题意得：，①×3﹣②×2得y=0，代入①得x=3，把x，y代入③，得：3k﹣9=0，解得k=3．故选B．点评：本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．二．填空题（共7小题）15．已知关于x、y的方程是（a2﹣1）x2﹣（a+1）x+y=﹣5．则当a=1时，该方程是二元一次方程．考点：二元一次方程的定义．分析：根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得a的值．解答：解：根据题意，得a2﹣1=0且a+1≠0，解，得a=1．点评：二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．16．若方程3x2（m+n）﹣3（m﹣n）﹣3﹣2y5（m+n）﹣7（m﹣n）﹣1=1是二元一次方程，则m=﹣19，n=﹣3．考点：二元一次方程的定义．分析：根据二元一次方程的定义，列方程组，求得m、n的值．解答：解：因为方程3x2（m+n）﹣3（m﹣n）﹣3﹣2y5（m+n）﹣7（m﹣n）﹣1=1是二元一次方程，则，即，利用代入法求出m=﹣19，n=﹣3．点评：二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据条件，列方程组，求得m、n的值17．方程x+2y=7的所有自然数解是、、、．考点：二元一次方程的解．分析：首先用x表示y，再进一步根据x等于0、1、2、3、4、5，对应求出y的值，只要y值为自然数即可．解答：解：由原方程，得y=；∵x、y都是自然数，7﹣x＞0，且x＞0，解得，0＜x＜7，且x是奇数；①当x=1时，y=3；②当x=3时，y=2；③当x=5时，y=1；④当x=7时，y=0；所以二元一次方程5x+y=20的所有自然数解为、、、．故答案是：、、、．点评：本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是设x的值为定值，然后求出y的值，看y值是否为自然数即可．18．设：a、b、c均为非零实数，并且ab=2（a+b），bc=3（b+c），ca=4（c+a），则=．考点：解三元一次方程组．专题：计算题．分析：求出+、+、+，求出++的值，求出a b c后代入求出即可．解答：解：∵ab=2（a+b），bc=3（b+c），ca=4（c+a），∴=，∴+=，①同理+=②，+=，③相加的：++=，④④﹣②得：a=，④﹣①：c=24，④﹣③：b=，∴==，故答案为：．点评：本题主要考查对解三元一次方程组的理解和掌握，能巧妙地运用适当的方法求出a b c的值是解此题的关键．19．若x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z的值是5．考点：解三元一次方程组．分析：把两个方程相加得到与x+y+z有关的等式而整体求解．解答：解：将x+2y+3z=10与4x+3y+2z=15相加得5x+5y+5z=25，即x+y+z=5．故本题答案为：5．点评：根据系数特点，将两数相加，整体求出x+y+z的值．20．已知方程2x﹣3y=z与方程x+3y﹣14z=0（z≠0）有相同的解．则x：y：z=5：3：1．考点：解三元一次方程组．分析：解此题的关键是要把其中的一个未知数看做常数，利用二元一次方程的求解方法解得另外两个未知数即可求得．解答：解：据题意得，解得，∴x：y：z=5：3：1．故本题答案为：5：3：1．点评：此题考撤了学生的计算能力，解题的关键是把字母看做常数．21．已知x+2y﹣3z=0，2x+3y+5z=0，则=．考点：解三元一次方程组．分析：将x、y写成用z表示的代数式进行计算．解答：解：由题意得：，①×2﹣②得y=11z，代入①得x=﹣19z，原式===．故本题答案为：．点评：此题需将三元一次方程组中的一个未知数当做已知数来处理，转化为二元一次方程组来解．三．解答题（共9小题）22．方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y=k+8是关于x、y的方程，试问当k为何值时，（1）方程为一元一次方程？（2）方程为二元一次方程？考点：二元一次方程的定义；一元一次方程的定义．分析：（1）若方程为关于x、y的一元一次方程，则二次项系数应为0，然后x或y的系数中有一个为0，另一个不为0即可．（2）若方程为关于x、y的二元一次方程，则二次项系数应为0且x或y的系数不为0．解答：解：（1）因为方程为关于x、y的一元一次方程，所以：①，解得k=﹣2；②，无解，所以k=﹣2时，方程为一元一次方程．（2）根据二元一次方程的定义可知，解得k=2，所以k=2时，方程为二元一次方程．点评：此题比较简单，解答此题的关键是熟知一元一次方程与二元一次方程的定义．23．（开放题）是否存在整数m，使关于x的方程2x+9=2﹣（m﹣2）x在整数范围内有解，你能找到几个m的值？你能求出相应的x的解吗？考点：解二元一次方程．专题：开放型．分析：要求关于x的方程2x+9=2﹣（m﹣2）x在整数范围内有解，首先要解这个方程，其解x=，根据题意的要求让其为整数，故m的值只能为±1，±7．解答：解：存在，四组．∵原方程可变形为﹣mx=7，∴当m=1时，x=﹣7；m=﹣1时，x=7；m=7时，x=﹣1；m=﹣7时x=1．点评：此题只需把m当成字母已知数求解，然后根据条件的限制进行分析求解．24．求方程2x+9y=40的正整数解．考点：解二元一次方程．分析：首先由2x+9y=40，求得x=，然后由x与y是正整数，可得1≤y≤4，然后分别从y为1，2，3，4去分析，即可求得答案．解答：解：∵2x+9y=40，∴x=，∵x与y是正整数，∴≥1，解得：1≤y≤4，∴y的值可能为1，2，3，4，当y=1时，x=（舍去）；当y=2时，x=11；当y=3时，x=（舍去）；当y=4时，x=2；∴方程2x+9y=40的正整数解为：或．点评：此题考查了二元一次方程的求解方法．此题难度不大，解题的关键是根据题意求得y的值可能为1，2，3，4，然后利用分类讨论思想求解．25．求出二元一次方程5x+y=20的所有自然数解．考点：解二元一次方程．分析：首先用x表示y，再进一步根据x等于0、1、2、3、4、5，对应求出y的值，只要y值为自然数即可．解答：解：①当x=0时，y=20；②当x=1时，y=20﹣5=15；③当x=2时，y=20﹣10=10；④当x=3时，y=20﹣15=5；⑤x=4时，y=20﹣20=0；⑥当x=5时，y=20﹣25=﹣5，不符合条件，所以二元一次方程5x+y=20的所有自然数解为，．点评：本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是设x的值为定值，然后求出y的值，看y值是否为自然数即可．26．若整系数方程ax+by=c（ab≠0）有整数解，则（a，b）|c，反之，若（a，b）|c，则整系数方程ax+by=c（ab≠0）有整数解．其中（a，b）表示a，b的最大公约数，（a，b）|c表示（a，b）能整除c．根据这种方法判定下列二元一次方程有无整数解．（1）3x+4y=33；（2）2x+6y=15．考点：解二元一次方程．专题：阅读型．分析：阅读题目，依据题中给出的判断方法进行判断，先找出最大公约数，然后再看能否整除c，从而来判断是否有整数解．解答：解：（1）3，4的最大公约数是1，1能整除33，所以3x+4y=33有整数解；（2）2，6的最大公约数是2，2不能整除15，所以2x+6y=15无整数解．点评：此题主要考查阅读理解能力，必须能读懂题意才能做出准确的判断，用到的知识点是最大公约数及简单的除法运算，难点在于理解题意，读懂题是解题的关键．27．若方程组与方程组有相同的解，求a，b的值．考点：二元一次方程组的解．分析：将方程3x﹣y=2和x+2y=1组成二元一次方程组后求得其解，然后代入剩余两个方程组成的方程组即可求得a、b的值．解答：解：方程组与方程组有相同的解，∴方程组的解也是它们的解，解之得：，代入其他两个方程得，解之得：，点评：此题主要考查了二元一次方程的解及二元一次方程组的解法，解题时首先正确理解题意，然后根据题意得到关于待定系数的方程组，解方程组即可求解．28．若关于x，y的二元一次方程组的解满足3x+y=6，求k的值．考点：二元一次方程组的解．分析：首先解方程组求得x，y的值，然后代入3x+y=6即可得到一个关于k的方程，解得k的值．解答：解：，①+②得：x=，①﹣②得：y=，则3×+=6，解得：k=．点评：考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道三个方程之间解的关系．29．（2012•上海模拟）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．运用上述知识，解决下列问题：（1）如果，其中a、b为有理数，那么a=2，b=﹣3；（2）如果，其中a、b为有理数，求a+2b的值．考点：实数的运算；解二元一次方程组．专题：阅读型．分析：（1）a，b是有理数，则a﹣2，b+3都是有理数，根据如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．即可确定；（2）首先把已知的式子化成ax+b=0，（其中a、b为有理数，x为无理数）的形式，根据a=0，b=0即可求解．解答：解：（1）2，﹣3；（2）整理，得（a+b）+（2a﹣b﹣5）=0．∵a、b为有理数，∴解得∴a+2b=﹣．点评：本题考查了实数的运算，正确理解题意是关键．30．先阅读下面的解法：解方程组解：①+②得：80x+80y=240化简得：x+y=3 ③②一①得：34x﹣34y=34化简得：x﹣y=1④③+④得：x=2③一④得：y=1原方程组的解为然后请你仿照上面的解法解方程组考点：解二元一次方程组．专题：阅读型．分析：先把两方程相加并整理得到x+y=5，然后再两方程相减得3x+y=11，再用加减消元法消去未知数y，从而求出x的值，把x的值代入方程即可求出y的值．解答：解：（1）+（2）得：4009x+4009y=20045，化简得：x+y=5（3），（2）﹣（1）得：3x+y=11（4）（4）﹣（3）得：x=3，把x=3代入（3）得：y=2，∴原方程组的解为．点评：本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法．。
8.2消元——二元一次方程组的解法(加减消元法2)
3 x+y
3
+
xy 2
xy 2
1, 7;
3(x+y) 2(x y)பைடு நூலகம் 8,
⑶
x+y
6
x 3
y
4; 3
解二元一次方程组：
解：法1.整理，得
⑴
x
3
x
3
y 2 y 2
3, 1;
2x 3y 18,
解 2, 得xyx＝ ＝36y,
2.
6;
x
法2.令
3 y
设元 2
a, b
2x－ y＝8 ④
所以原方程组 的解是
由③－④得: y＝ －1
练习2.下列方程组各选择哪种消元法来解比
较简便?并用相应的方法求解。
(1) Y＝2x
(2) x－2y＝y－1
3x－4y＝5
代入法
x y
1, 2.
(3) 2x＋3y＝9
4x－5y＝7
2x－3y＝10
代入或 x 11, 加减法 y 4. (4) 9x－5y＝19
8.2.2 加减消元法(2)
1、解二元一次方程组的方法有哪些？ 代入法和加减法
２、解二元一次方程组：
（１）32xx+2yy
1, 3;
(代入法）
（２）５2xx63yy170,（; 加减法）
x １， y 1 x 2， y 1
（３）53xx
2y 4y
1, 13.
(任意方法）
x y
１， 2.
解，得： m ＝ 1
(3)
2(x 5
3(x 5
y) y)
3(x 2
(x y
y ) ＝8, )＝ 1.
2022年上海六年级数学下学期同步教材满分攻略第09讲二元一次方程(组)及解法(练习版)
第09讲二元一次方程（组）及解法（核心考点讲与练）一．二元一次方程的定义（1）二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．二．二元一次方程的解（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．三．解二元一次方程二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．四．二元一次方程组的定义（1）二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．（2）二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．五．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．六．解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．一．二元一次方程的定义（共2小题）1．（2021春•浦东新区期末）在下列方程中，属于二元一次方程的是（）A．x2+y＝3B．2x＝y C．xy＝2D．2x+y＝z﹣1 2．（2021春•奉贤区期末）观察下列方程其中是二元一次方程是（）A．5x﹣y＝35B．xy＝16C．2x2﹣1＝0D．3z﹣2（z+1）＝6二．二元一次方程的解（共2小题）3．（2021春•萧山区校级期中）下列四组数值是二元一次方程2x﹣y＝6的解的是（）A．B．C．D．4．（2021春•浦东新区校级期末）已知是方程2x﹣ky＝5的解，那么k＝．三．解二元一次方程（共2小题）5．（2021春•闵行区期末）将方程4x﹣3y＝5变形为用含y的式子表示x，那么x＝．6．（2021春•普陀区期末）将方程x+2y＝11变形为用含x的式子表示y，下列变形中正确的是（）A．y＝B．y＝C．x＝2y﹣11D．x＝11﹣2y四．二元一次方程组的定义（共2小题）7．（2021春•浦东新区期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）A．B．C．D．8．（2021春•松江区期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）A．B．C．D．五．二元一次方程组的解（共3小题）9．（2020春•恩平市期末）以为解的二元一次方程组是（）A．B．C．D．10．（2021春•杨浦区期末）方程组的解的情况是（）A．B．C．无解D．无数组解11．（2018春•宝山区期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，求a的取值范围．六．解二元一次方程组（共7小题）12．（2021秋•普陀区校级月考）对于两个一元多项式（含字母x）来说，当未知数x任取同一个数值时，如果它们所得的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式（含字母x）恒等．如：如果两个一元多项式x+2与ax+b（a、b是常数）是恒等的，那么a＝1，b＝2．请完成下列练习：（1）多项式ax4﹣1与bx2+cx+1具备什么条件时，这两个多项式恒等？（2）如果多项式（a+b）x3+3x2+1与1+x2+10x3恒等，试求a、b的值．13．（2021春•浦东新区校级期末）解方程组：．14．（2021春•浦东新区期末）定义一种新运算“⊕”，规定：x⊕y＝ax+by，其中a，b为常数，已知1⊕2＝7，2⊕（﹣1）＝4，则a⊕b＝．15．（2021春•闵行区期末）解方程组：．16．（2021春•闵行区期中）（1）解方程组：；（2）解方程组：．17．（2016春•浦东新区期末）已知m、n满足＝＝2，求m、n的值．18．（2014春•闵行区期中）解方程组：．七．二元一次方程组的应用（共1小题）19．（2021秋•福田区校级期末）目前节能灯在城市已基本普及，某商场计划购进甲、乙两种型号的节能灯共600只，这两种型号的节能灯的进价、售价如表：进价（元/只）售价（元/只）甲型2530乙型4560（1）要使进货款恰好为23000元，甲、乙两种节能灯应各进多少只？（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利恰好是进货价的30%，此时利润为多少元？题组A 基础过关练一．选择题（共3小题）1．（2020春•普陀区期末）下列方程中，二元一次方程是（ ） A ．2x +1＝0B ．x 2+y ＝2C ．2x ﹣y ＝1D ．x ﹣y +z ＝12．（2020春•营山县期末）二元一次方程3x +2y ＝12的解可以是（ ） A ．B ．C ．D ．3．（2021春•金山区期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A ．B ．C ．D ．二．填空题（共10小题）4．（2021春•杨浦区期末）二元一次方程3x +y ＝8的正整数解是 ．5．（2021春•上海期中）将方程2x +5y ＝7变形为用含y 的式子表示x ，那么x ＝ ． 6．（2020•奉贤区二模）二元一次方程x +2y ＝3的正整数解是 ． 7．（2021•闵行区二模）二元一次方程组的解是 ．8．（2021春•浦东新区期末）将x +2y ＝4变形成用含x 的式子表示y ，那么y ＝ ．9．（2021春•普陀区期末）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．如果一个二元一次方程的解中两个未知数的绝对值相等，那么我们把这个解称做这个二元一次方程的等模解．二元一次方程2x ﹣5y ＝7的等模解是 ．10．（2021春•松江区期末）在二元一次方程3x +y ＝12的解中，x 和y 是相反数的解是 ． 11．（2021春•松江区期末）已知是方程2x +ay ＝7的一个解，那么a ＝ ．12．（2018春•杨浦区校级月考）已知关于x 、y 的二元一次方程（m +1）x +（m +2）y +3﹣2m ＝0，当m 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为 ．分层提分13．（2021春•黄浦区校级月考）方程组的解是．三．解答题（共5小题）14．（2020春•普陀区期末）解方程组：．15．（2020春•浦东新区期末）解方程组：．16．（2018春•杨浦区校级月考）试求方程组的解．17．（2021春•浦东新区期末）解方程组：．18．（2021春•嘉定区期末）解方程组：．题组B 能力提升练一．选择题（共2小题）1．（2021春•萧山区期中）已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（）A．B．C．D．2．（2015•下城区一模）已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①﹣3＜a≤1；②当时，x＝y；③当a＝﹣2时，方程组的解也是方程x+y＝5+a的解；④若x≤1，则y≥2．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．②③④二．填空题（共7小题）3．（2020春•普陀区期末）方程2x+y＝3的正整数解是．4．（2019春•奉贤区期末）已知是方程2x+ky＝1的一个解，那么k的值是．5．（2018春•普陀区期末）把方程x2+4xy﹣5y2＝0化为两个二元一次方程，它们是和．6．（2017春•浦东新区期中）如果将方程4x﹣5y＝15变形为用含有x的式子表示y，那么y ＝．7．（2017春•浦东新区校级月考）已知关于x、y的方程2x2m+y n﹣1＝1是二元一次方程，那么mn ＝．8．（2016•浦东新区二模）定义运算“*”：规定x*y＝ax+by（其中a、b为常数），若1*1＝3，1*（﹣1）＝1，则1*2＝．9．（2021春•海淀区校级期末）已知方程组的解是，则方程组的解是．三．解答题（共5小题）10．（2019春•浦东新区期末）解方程组：．11．（2018春•浦东新区期末）解方程组：12．（2021春•金乡县期末）阅读材料并回答下列问题：当m，n都是实数，且满足2m＝8+n，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”．（1）判断点A（5，3），B（4，6）哪个点为“爱心点”，并说明理由；（2）若点C（a，﹣8）也是“爱心点”，请求出a的值；（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点B（x，y）是“爱心点”，求p，q的值．13．（2021春•姑苏区期末）阅读以下内容：已知实数m，n满足m+n＝5，且求k的值，三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值、乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值丙同学：先解方程组，再求k的值（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题（2）试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，x+y的值始终不变．14．（2018春•石阡县期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1把y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为．请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2与xy的值．。
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【巩固练习】
一、选择题
1．如果x:y ＝3:2，并且x+3y ＝27，则x 与y 中较小的值是（ ）.
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
2．（2016•闸北区二模）方程组327413x y x y +=⎧⎨-=⎩
的解是（ ） A ．13x y =-⎧⎨=⎩ B ．31x y =⎧⎨=-⎩ C ．31x y =-⎧⎨=-⎩ D ．13
x y =-⎧⎨=-⎩ 3．已知方程组54358x y m x y -=⎧⎨+=⎩
中，x 、y 的值相等，则m 等于（ ）. A ．1或-1 B ．1 C ．5 D ．-5
4.如果324x y a x y -=⎧⎨+=⎩
的解都是正数，那么a 的取值范围是（ ）. A ．a<2； B.43a >-； C. 423a -<< ； D. 43
a <- 5．小明在解关于x 、y 的二元一次方程组331
x y x y +⊗=⎧⎨-⊗=⎩时得到了正确结果1x y =⊕⎧⎨=⎩．后来发
现⊗、⊕处被墨水污损了，请你帮他计算出⊗、⊕处的值分别是（ ）.
A ．1、1
B ．2、1
C ．1、2
D ．2、2
6. 已知方程组有无数多个解，则a 、b 的值等于（ ）.
A ．a=-3,b=-14 B. a=3,b=-7 C. a=-1,b=9 D.a=-3,b=14
二、填空题
7．若32225a b a b x y --+-=是二元一次方程，则a ＝________，b ＝________．
8．已知等腰三角形的周长是18，腰长比底边大3，则这个三角形的腰长_____，底边长___．
9．已知3222341m n m n x y -++-+=是关于x 、y 的二元一次方程，则m ＝_______，n ＝_______；在自然数范围内，该方程的解是________．
10．若|x-y-5|与|2x+3y-15|互为相反数，则x+y ＝________．
11．（2016•薛城区模拟）定义运算“※”，规定x ※y =2
ax by +，其中a ，b 为常数，且1※2=5，2※1=6，则2※3= ．
12. （2015春•沛县期末）已知方程组
的解满足x+y=3，则k 的值为 ．
三、解答题
13．解下列方程组：
（1）
2()
1
34
6()4(2)16
x y x y
x y x y
-+
⎧
=-
⎪
⎨
⎪+=-+
⎩
（2）
1
3
36
23
218
y x
y y
x x
+
⎧
-=
⎪⎪
⎨
⎛⎫⎛⎫
⎪-=+
⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎩
14.（2015春•建昌县期末）解关于x、y的二元一次方程组时，小虎同学把c看错而得到，而正确的解是，试求a+b+c的值．
15．阅读下列解方程组的方法，然后解决有关问题．
解方程组
191817
171615
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
时，我们如果直接考虑消元，那将是非常麻烦的，而采
用下面的解法则是轻而易举的.①－②，得2x+2y＝2，所以x+y＝1．③
③×16，得16x+16y＝16 ④，
②－④，得x＝-1，从而y＝2．所以原方程组的解是
1
2
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
．
请你用上述方法解方程组
200820072006 200620052004
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
并猜测关于x、y的方程组
(2)(1)
()
(2)(1)
a x a y a
a b
b x b y b
+++=
⎧
≠
⎨
+++=
⎩
的解是什么？并加以验证．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B；
【解析】
x:y=3:2
x+3y=27
⎧
⎨
⎩
，解得
9
6
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，所以较小的数为6.
2. 【答案】B．
3. 【答案】B；
【解析】解方程组得解为
325
37
403
37
m
x
m
y
+
⎧
=
⎪⎪
⎨
-
⎪=
⎪⎩
，因为x、y的值相等，所以
325403
3737
m m
+-
=，
解得1
m=.
4. 【答案】C；
5. 【答案】B；
【解析】将1x y =⊕⎧⎨=⎩代入331x y x y +⊗=⎧⎨-⊗=⎩得331
⊕+⊗=⎧⎨⊕-⊗=⎩，解之得12⊕=⎧⎨⊗=⎩.
6. 【答案】A ；
【解析】方程组有无穷多解，说明方程组中的方程对应项的系数成比例.
二、填空题
7. 【答案】1， 0；
【解析】 由二元一次方程的定义得32211a b a b --=⎧⎨
+=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩. 8. 【答案】7，4；
【解析】设等腰三角形的底边长为x ，则腰长为3x +，所以2(3)18x x ++=，解得4x =.
9. 【答案】1， 2， 10
x y =⎧⎨
=⎩； 10．【答案】7；
11.【答案】10； 【解析】根据新运算的定义可得，根据题意得：2546a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩
， 则2※3=4+6=10．
12.【答案】8． 【解析】解方程组，
①﹣②得：x=﹣2，
把x=﹣2代入②得：﹣2+y=3，解得：y=5 则方程组的解是：，
代入x+2y=k 得：﹣2+10=k ，则k=8.
三、解答题
13.【解析】
解：（1）将“x y +”看作整体:2()1346()4(2)16x y x y x y x y -+⎧=-⎪⎨⎪+=-+⎩①②
由①得3()8()12x y x y +=-+， ③
将③代入②得 8()122(2)8x y x y -+=-+，即312
x y =-， ④
将④代入③，化简得15115122y y =-+，即2y =， 将2y =代入④得2x =，
所以原方程组的解为22x y =⎧⎨=⎩
. （2）133623218y x y y x x +⎧-=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪-=+ ⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎩①② 由①得219x y =-， ③
将③代入②，整理得72196
y y -=-
，解得6y =， 将6y =代入③得7x =-， 所以原方程组的解为76x y =-⎧⎨=⎩
. 14.【解析】
解：∵方程组的正确解为，
∴把代入方程cx ﹣7y=8，可得3c+14=8，解得c=﹣2；
把小虎求得的解和正确解分别代入方程ax+by=2，可得，
解得，
∴a+b+c=10+11﹣2=19．
15.【解析】
解：200820072006200620052004x y x y +=⎧⎨+=⎩①
②，①－②，得2x+2y ＝2，即x+y ＝1 ③．
③×2005，得2005x+2005y ＝2005 ④．
②－④，得x ＝-1，把x ＝-1代入③得y ＝2．
所以原方程组的解是12x y =-⎧⎨=⎩，可以猜测关于x ，y 的方程组(2)(1)()(2)(1)a x a y a a b b x b y b
+++=⎧≠⎨+++=⎩
的解是
1
2
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
．
验证如下：将x＝-1，y＝2，代入方程(a+2)x+(a+1)y＝a中满足方程左、右两边的值相等，将x＝-1，y＝2，代入方程(b+2)x+(b+1)y＝b中满足方程左、右两边的值相等，
所以
1
2
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
是方程组
(2)(1)
()
(2)(1)
a x a y a
a b
b x b y b
+++=
⎧
≠
⎨
+++=
⎩
的解．。