八年级几何证明题

八年级几何证明题 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

几何证明题

1、已知：如图1所示，∆ABC 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。 求证：DE ＝DF

2、已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。求证：∠E ＝∠F

3、如图3所示，设BP 、CQ 是∆ABC 的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。求证：KH ∥BC

4、已知：如图4所示，AB ＝AC ，∠，，A AE BF BD DC =︒==90。求证：FD ⊥ED

5、已知：如图6所示在∆ABC 中，∠=︒B 60，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。 求证：AC ＝AE ＋CD

6、已知：如图7所示，正方形ABCD 中，F 在DC 上，E 在BC 上，∠=︒EAF 45。 求证：EF ＝BE ＋DF

7、如图8所示，已知∆ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。 求证：EC ＝ED

8、例题：已知：如图9所示，∠=∠>12，AB AC 。 求证：BD DC > 作业

1. 已知：如图11所示，∆ABC 中，∠=︒C 90，D 是AB 上一点，DE ⊥CD 于D ，交BC 于E ，且有AC AD CE ==。求证：DE CD =

1

2

2. 已知：如图12所示，在∆ABC 中，∠=∠A B 2，CD 是∠C 的平分线。 求证：BC ＝AC ＋AD

3. 已知：如图13所示，过∆ABC 的顶点A ，在∠A 内任引一射线，过B 、C 作此射线的垂线BP 和CQ 。设M 为BC 的中点。 求证：MP ＝MQ

4. ∆ABC 中，∠=︒⊥BAC AD BC 90，于D ，求证：()AD AB AC BC <

++1

4

【试题答案】

1、 分析：由∆ABC 是等腰直角三角形可知，∠=∠=︒A B 45，由D 是AB 中点，可考虑连结CD ，易得CD AD =，∠=︒DCF 45。从而不难发现∆∆DCF DAE ≅

证明：连结CD

说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到G ，使DG ＝DE ，连结BG ，证∆EFG 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。 2、证明：连结AC 在∆ABC 和∆CDA 中， 在∆BCE 和∆DAF 中，

说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：1制造的全等三角形应分别包括求证中一量；2添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

3、分析：由已知，BH 平分∠ABC ，又BH ⊥AH ，延长AH 交BC 于N ，则BA ＝BN ，AH ＝HN 。同理，延长AK 交BC 于M ，则CA ＝CM ，AK ＝KM 。从而由三角形的中位线定理，知KH ∥BC 。

证明：延长AH 交BC 于N ，延长AK 交BC 于M ∵BH 平分∠ABC ∴=∠∠ABH NBH 又BH ⊥AH ∴==︒∠∠AHB NHB 90 BH ＝BH

同理，CA ＝CM ，AK ＝KM ∴KH 是∆AMN 的中位线 ∴KH MN // 即

KH ∆ADE ∆BDF AE BF B DAE AD BD ADE BDF

FD ED

===∴≅∴∠=∠∴∠+∠=︒∴⊥，∠∠，∆∆31

3290∆∆AEO AFO ≅∴∠=∠12

∠=︒B 60∠+∠=︒∠=︒∠+∠=︒566016023120，，∴∠=∠=∠=∠=︒

123460∆∆FOC DOC FC DC ≅∴=，()

∠=∠=∴≅∴∠=∠BAD CAD AO AO

AEO AFO SAS ，∆∆42

∠=︒

B 60∴∠+∠=︒∴∠=︒

∴∠+∠=︒

∴∠=∠=∠=∠=︒∴≅∴=566016023120123460∆∆FOC DOC AAS FC DC

()AC AE CD =+∠=∠=︒=ABG D AB AD

90，∴≅∴=∠=∠∆∆ABG ADF SAS AG AF ()，13

∠=︒

EAF 45∴∠+∠=︒∴∠+∠=︒23452145∴=∴=+GE EF

EF BE DF

∆ABC

∴∆BFD ∴==∴==AE FD BF BA AF EF AC FD

EAC EFD

EAC DFE SAS EC ED

//()

∴∠=∠∴≅∴=∆∆∆ADE ∆ADB

∆∆ADF ADC ≅∴∠=∠=>∠∠>∠∴∠>∠∴>∴>3434，，DF DC BFD B

BFD B

BD DF BD DC

证明：取CD 的中点F ，连结AF

又∠+∠=︒∠+∠=︒14901390， ∴∠=∠=∴≅∴=∴=431

2

AC CE

ACF CED ASA CF ED

DE CD

∆∆()

2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。

证明：延长CA 至E ，使CE ＝CB ，连结ED

在∆CBD 和∆CED 中，

又∠=∠+∠BAC ADE E

∴∠=∠∴=∴==+=+ADE E AD AE

BC CE AC AE AC AD

，

3. 证明：延长PM 交CQ 于R 又BM CM BMP CMR =∠=∠，

∴≅∴=∆∆BPM CRM

PM RM

∴QM 是Rt QPR ∆斜边上的中线 ∴=MP MQ 4. 取BC 中点E ，连结AE