状态反馈和状态观测器 -自用(13)

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三、状态观测器设计和状态反馈设计的对偶问题： 前提：设计全维状态观测器， 1 , 2 ,,是状态观测器期望的特 n 征值。则目的是确定观测器增益矩阵，使得A-KeC具有期望的特 征值。——等同于状态反馈系统的设计。 原系统为：
Ax Bu, x y Cx
AT x C T u, 则其对偶系统为： x
Bu(t )
t 0
ˆ2 e x2 x e
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ˆ 20 ) e A22 ( t ) ( A21 K e 2C1 )x1 ( ) x ˆ 1 ( )d ( x20 x
t 0
A22 t
ˆ 20 ) e A22 ( t ) ( A21 K e 2C1 )e ( A11 K e 1C1 ) ( x10 x ˆ 10 )d ( x20 x
能观测标准型下，状态观测器的特征多项式：
f ( ) I ( A K e C ) n (a n1 ken )n1 (a1 ke 2 ) (a0 ke1 )
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状态观测器的设计步骤： 1、直接法（维数较小时，n≤ 3） (1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。
x 1 x ˆ ˆ 1 x x 1 1 得：x ˆ x x ˆ ˆ 2 x2 2 x2 x
x1 0 x2
ˆ 1 B1u K e1C1 x1 ( A11 K e1C1 ) x A11 x1 B1u ( A K C ) x ˆ ˆ A x B u K C x A x A x B u e2 1 1 22 2 2 e2 1 1 22 2 2 21 1 21 ˆ1 ) ( A11 K e1C1 )( x1 x ˆ 2 ) ( A21 K e 2C1 )( x1 x ˆ 1 ) A22 ( x 2 x
3.4 状态观测器
1. 状态观测器的原理和构成 2. 状态观测器的存在条件 3. 状态观测器设计和状态反馈设计的对偶 问题： 4. 状态观测器极点配臵条件和算法 5. 构成状态观测器的原则 6. 降维状态观测器
1
状态重构： 不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要从系统的 可量测参量，如输入u和输出y来估计系统状态 。
二、状态观测器的存在条件：
状态观测器能否起作用的关键： 观测器在任何初始条件下，都能够无误差地重构原状态。
ˆ) 0 Lim ( x x
t
存在条件
存在性定理：线性定常系统不能观测的部分是渐近稳定的。
Ax Bu, 证：将原系统 x
1 A11 0 x x x A A 22 2 21 x1 y c1 0 x2
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令：
ˆ x
x K e1 ˆ 1 K e K ˆ x e2 2
A ˆ 1 B1 x x 0 K e1 ˆ K e1 11 1 则：x ˆ C1 0 ˆ u C1 ˆ2 Ke2 x2 B2 x A21 A22 K e 2 ˆ 1 B1u K e1C1 x1 ( A11 K e1C1 ) x ˆ ˆ ( A K C ) x A x B u K C x e2 1 1 22 2 2 e2 1 1 21
ˆ 1 ) Lim e ( A11 K e 1C1 ) t ( x10 x ˆ 10 ) 0 Lim( x1 x
t t
2、不能观测部分：
x Ax
A22 t
非齐次状态方程的解 ˆ 2 A22 ( x2 x ˆ 2 ) ( A21 Ke 2C1 )( x1 x ˆ1 ) 2 x x
观测器的系统矩阵为 A K eC K e 是观测器中的反馈矩阵 ，为n m维；
由此可以得到全维渐近状态观测器的等价结构图：维数2n。
u

0
B

x


x
C
y
A
ˆ x
Ke

g
B




ˆ x
C
ˆ y
A KeC
状态观测器的特征方程为： I ( A KeC ) ＝0
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y BT x
1、针对对偶系统来设计状态反馈阵K：
线性反馈规律仍然为： u v Kx 则希望 AT C T K 取得一组期望的特征值，将特征值选择为 原系统的观测器的期望特征值。
sI (A T CT K ) ( s 1 )( s 2 ) ( s n )
状态观测器：
状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态 变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。
一、状态观测器的原理和构成
Ax Bu, y Cx 是状态完全能观测的，那么根据输出y的测 如果 x 量，可以唯一地确定系统的初始状态 x0 ，系统任意时刻的状态：
x(t ) (t ) x0 (t )Bu( )d
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ˆ 2 ) Lim e A22 t ( x20 x ˆ 20 ) Lim( x2 x
t t t

ˆ 10 )d ＋ Lim e A22 ( t ) ( A21 K e 2C1 )e ( A11 K e 1C1 ) ( x10 x
0


t

ˆ 1 ) Lim e ( A11 K e 1C1 ) t ( x10 x ˆ 10 ) 0 由能观测部分得 Lim( x1 x
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ˆ Cx Cx ˆ C( x x ˆ) y y
ˆ) 0 如果 Lim ( y y
t
ˆ) 0 Lim ( x x
t
ˆ )进行反馈，使 ˆ )尽快逼近到 所以，将输出误差 (y y (y y 0， ˆ )尽快趋近于 从而使 (x x 0，从而达到状态准确重 构的目的。
t t
ˆ 2 ) 0， 必 须Lim e A22 t 0 要 使 Lim( x2 x
t t
要求A22的特征值均具有负实部，即不能观部分是渐近稳定的
ˆ 1 ) 0且 Lim ( x 2 x ˆ 2 ) 0，即 Lim ( x x ˆ) 0 ( x1 x 此时：Lim t t t
CA
n 1 T

rankQ o n 原系统状态能观
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能观测 标准型：
0 0 1 0 1 A Po 2 APo 2 0 1 0
0 0 1 2 , 0 0 1 n 1 0 0
全维渐近状态观测器结构图：维数2n。
u

0
B

x


x
C

y
A
Ke

g
B



ˆ x

ˆ x

C
ˆ y
A
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状态观测器

g
( A K eC , B, C ) 方程：
Ax ˆ ˆ Ke ( y y ˆ ) Bu Ax ˆ Ke ( y Cx ˆ ) Bu ( A KeC ) x ˆ Ke y Bu x
Ke ke1 ke 2 ken
T
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2、能观标准型法（维数较大时，n>3，适合计算机求解）
(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。
1 P (2)确定将原系统化为能观测标准型 ( A, B , C ) 的变换阵 o 2 。
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1、能观测部分：
齐次状态方程的解：
ˆ1 e( A1 1Ke 1C1 ) t ( x10 x ˆ10 ) x1 x
( A K C )( x x ˆ ˆ1 ) 1 x x 1 11 e1 1 1
通过Ke1的配置，可以使 ( A11 Ke1C1 )的极点都具有负实部， ˆ1＝0 按指数规律使 x1 x
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四、状态观测器极点配臵条件和算法： 由状态观测器存在性定理，可以得到以下定理：
定理：线性定常系统的状态观测器极点任意配臵，即具有任意
逼近速度的充要条件是原系统为状态完全能观测。 证明：根据以上的对偶关系，原系统为状态完全能观测等价于 其对偶系统状态能控。其对偶系统的状态反馈系统极点
C CPo 2 [0 0 1]
能观测标准型 下状态观测器 的系统矩阵：
0 0 1 0 A －K e C 0 1 0
( 0 ke 1 ) 0 (1 ke 2 ) ( 2 ke 3 ) 0 0 1 ( n1 ken )
能任意配臵等价于原系统的观测器极点能任意配臵。
原系统为：
Ax Bu, x y Cx
AT x C T u, 则其对偶系统为： x
y BT x
则要求： rankQc rankC T
AT C T
( AT )n1 C T n

即： rank C CA
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~ ~ ，即： A( x x Ax ˆ ˆ )或x x 有：x ˆ e At ( x0 x ˆ0 ) x x
x0 ——原系统初始状态 ˆ 0 ——状态观测器的初始状态 x
ˆ0 ˆ 如果 x0 x ，必有 x ，即两者完全等价，实际很难满足。 x 也就是说原状态和状态观测器的估计状态之间必存在误差， 从而导致原系统和状态观测器的输出也必存在误差。渐近状 态观测器。
2Fra Baidu bibliotek15-7-6 10
观察上式可以发现：
sI (A C K ) sI (A C K )
T T T T


T
sI (A K T C )
与原系统状态观测器的特征方程相比：sI ( A KeC )＝0 则有： K e＝K T 其中，K是其对偶系统的状态反馈阵。
结论：原系统的状态观测器增益矩阵Ke的设计，等同于其对 偶系统状态反馈中反馈阵K的设计，两者互为转臵。其中原系 统的观测器特征值等于其对偶系统状态反馈的特征值。
(2)求观测器的特征多项式： f ( ) I ( A KeC )
(3)写出状态观测器的期望特征多项式：
n1 f * ( ) （ 1（ ) 2 ) （ n ) n an a a 1 1 0
(4)由 f ( ) f * ( ) 确定状态观测器的反馈矩阵：
y Cx 按照能观测性分解：
A11 x1 B1u x1 B1 x B u A x A x B u 22 2 2 2 2 21 1
( A K C )x 设状态观测器方程：x ˆ ˆ Bu KeCx e
0
t
t0
所以只要满足一定的条件，可从可测量y和u中把x间接重构出来。
2
原受控系统 0 ( A, B, C ) ： 状态观测器 g ( A, B, C ) ：
Ax Bu, x
y Cx
ˆ Ax ˆ Bu, x
ˆ Cx ˆ y
~ x x ˆ 原系统和状态观测器之间状态的误差： x