纯滚动刚体的运动分析
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论 ． 文在总结 已有研究 的基 础上 ， 本 从一 个新 的角度 对 纯滚动刚体 的运 动进行较 全面的分析 ．
： ｇｉ＋ 一 ０ ｓ ｎ
一
｝
ｌ
生
ｆ
（） ２
１ 动 力 学分 析
刚体 作纯 滚动 时必 须满 足无 滑滚 动 的条 件 ｎ＝ ｃ
Ｏ＂ 这 里仅 讨论 无 形变 的刚性 平 面或斜 面 ，不考 虑 ｉ ｌ ， 滚 动摩擦力 矩 的影响 ．
力分 析（ 设静摩 擦力 厂 沿斜 面 向上 ） ．
和转 动状 态都不 发生 变化 的纯滚 动 叫 “ 匀速 ”纯滚 动 ，平 动 状 态 和 转 动 状 态 都 发 生 变 化 的纯 滚 动 叫
“ 变速 ” 纯滚 动． 面对 这两 种 隋况 进行讨 论 ． 下 ２１ 刚体作 “ ． 匀速 ” 纯滚 动 令 ａ ＝０ ＝０ 即 ｃ ， ，
静 摩擦 力 刚体 平动 转 动
得 出了刚体在水平面和斜 面上可能 出现这 两种运动的条件 ， 并且通过实例进行验证．
关键 词 ： 滚动 纯
中 图分 类 号 ： ３ １ ０ １． ２ 文 献标 识 码 ： Ａ
刚体纯滚 动可看 成 随质 心 的平动 和绕质 心轴 的 定轴转 动 的合运动 ． 当刚体作 纯滚 动时 必须满 足 ａ＝ ｃ
２ 结果 与讨论
由纯滚 动 的条 件 ｃ ： ｌ知 ， ｔ Ｏ＂ 当 ＝ ｃ ／ ０时 ， ＝ ； ０ 当ａ ｃ≠ ０时 ， ≠ ０ 即平动 状 态 和转 动状 态 要 么 ． 都 发生 变 化 ， 么 都 不发 生 变化 ． 文 将平 动状 态 要 本
如图 １ 所示 ， 径为 ｒ 量 为 ｍ 刚体在 倾角 为 半 质 ０ 糙 斜面 上作 纯 滚动 ， 力 平行 于斜 面 作用 于 粗 外 刚 体 ， 用线 的纵 坐标 为 Ｙ 作 ，建立 坐 标 系并 进 行 受
得刚体的动力学方程为：
能情况： 一是外力和静摩擦力都为零 ， 二是外力和
收 稿 日期 ： ０ ０ ０ — ５ ２ １ — ６ ２
作者简介： 高彩￣（９ ０ ） 女 ，山西五台人 ， ；１ ８一 ， 硕士 ， 助教 ， 研究方 向： 理论物理 的教学与研究
高彩云 ： 纯滚动刚体的运动分析
ｒ［ １ １
．
０ ＝ Ｎ — ｍｇ ｃ ｓ ｏ ０
静摩擦力 对作纯 滚动 的刚体 不作功 ， 能使 刚 不
ｍ ｃ ｍ ｎ －Ｔ 厂｝ ａ ＝一 ｇｓ ０ｔ ＋ ｉ － ／ 一ｒ ａ＝ ｙ 】
解 （） １得
（） １
体 的总能量 发生任 何 变化 ， 它实 现 了转 动动 能 与 但 平动 动能之 间的能 量转换 ［］文献 ｆ—】 ２． － ３ ４ ６ 已对作 纯滚 动刚体 的静摩擦 力方 向及其 影 响因素作 了详 细 的讨
，
１
止≠ ｆ ０
： ，
作有 滑滚 动 ，直到 接触点 的速 度变成 零（ 态 Ｉ） 状 Ｉ．
由０ ＝ ｃ 即
一
ｇ ｓｎ ＋ ｉ０
文章 编 ＂ １７ — ８ ４２ １）５ ０ ３ — ２ ￣：６ ４ ０ ７（０ ００ — ０ ２ ０
纯 滚 动 刚体 的运 动分 析
高彩 云
（ 山西 大同大 学物 理与 电子科 学 学院 ，山西 大 同 ０７０） ３０９
摘 要： 通过对粗糙 斜面上作 纯滚动刚体的动力学分析 ，分平动状态和转 动状 态是 否变化 两种情形进行讨论
向上 的速 度 ｏ取沿 斜面 向上 为正） （ ．
由ｆ） 可知 ， ４式 当 Ｔ＞ｍ ｎ ｇｓ ０时 ， ｉ ｆ＜０ Ｙ＜０ ，
当 Ｔ＜ｍ ｎ ， ｇｓ ０时 ｆ＞０ Ｙ＞０ ｉ ， 表 明如果 有外 力作 用 ， 体可 能在 粗糙 斜 面上 刚 作“ 速” 匀 纯滚 动 ，但外 力 作 用线 必 须在 特 殊值 Ｙ＝ （ｇｓ ０一Ｔ） 此 时摩 擦 力 的 大小 和方 向都 取决 ｍ ｉ ｎ ｒ ／ 于 和 ｍ ｎ ｇｓ ０的大小 ． ｉ
第２ ６卷第 ５期
２１ ０ ０年 ｌ ０月
山西大同大学学报（ 自然科学版）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｈｎ ｉ ａｏ ｇＵ ｉ ｒｔ（ａｕａ Ｓｉｎｅ ｏｒａ ａｘ ｔｎ ｎｖ ｓ ｙＮ ｔｒｌ ｃ ｃ） ｏＳ Ｄ ｅｉ ｅ
Ｖ０ ．６ Ｎｏ５ １Biblioteka Baidu ． ．
Ｏｃ ．Ｏ１ ｔ ２ Ｏ
２２ 刚体作 “ ． 变速 ” 纯滚 动 令。 ｃ≠ ０ ≠ ０即 ，
图 ２ 圆 柱体 在 斜 面上 纯 滚 动
： ｇｉ ＋ 一 ０ ｓ ｎ
：
≠０ Ｉ
Ｊ
第 一 阶段 ： 始 时 刻（ 起 即状 态 Ｉ） 圆柱 体 具 有 平
动动 能 ＝ ｍ ２ 由 于滑 动 摩 擦力 作 用 而 开始 １ 。
：
定． 具体到某一 刚体时， 只需代人它 的转动惯量及 所施 加外 力 的大小 和作 用线 位 置 等相 应物 理量 ， 进 行求 解 即可 ．
３ 实 例 分析
圆 柱体 质量 为 ｍ半 径 为 ｒ 某 时刻 获得 沿 斜 面 ，
１
（
二 ！｝ ）
’ ｛
（ ４ ）
一
ｇ ｓｎ０＋ ｉ
：０
Ｉ
：
０
解 之。 得
ｆ＝ｍ ｎ ｇｓ ０一Ｔ１ ｉ
＝
Ｔ ｙ
Ｊ
图 １ 刚体 在 斜 面 上 纯 滚动 受 力 分 析
讨 论：
１ 当 ０＝０时 ， ／＝一 Ｙ＝一 或 ｆ＿Ｔ：０ ） 有 ｒ － ． 由质 心运 动定 理和相对 于质 心 的动量矩 定理 ， 表 明刚体 在水 平面 上作 “ 速 ” 匀 纯滚动 有两种 可
静摩 擦力是 一对 共点 平衡力 ．
２ 当 ０≠ ０ Ｔ＝０时 ，方程组 （） ． ） ， ３无解 可知 ， 体在 粗糙 斜 面上 只受 重 力 和支 持力 的 刚 情 况下 不可 能作 “ 速” 滚动 ． 匀 纯
３ ）当 ０≠ ０ Ｔ ≠ ０时 ， ， ｆ＝ｍ ｎ ｇｓ ０一Ｔ ｉ
： ｇｉ＋ 一 ０ ｓ ｎ
一
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（） ２
１ 动 力 学分 析
刚体 作纯 滚动 时必 须满 足无 滑滚 动 的条 件 ｎ＝ ｃ
Ｏ＂ 这 里仅 讨论 无 形变 的刚性 平 面或斜 面 ，不考 虑 ｉ ｌ ， 滚 动摩擦力 矩 的影响 ．
力分 析（ 设静摩 擦力 厂 沿斜 面 向上 ） ．
和转 动状 态都不 发生 变化 的纯滚 动 叫 “ 匀速 ”纯滚 动 ，平 动 状 态 和 转 动 状 态 都 发 生 变 化 的纯 滚 动 叫
“ 变速 ” 纯滚 动． 面对 这两 种 隋况 进行讨 论 ． 下 ２１ 刚体作 “ ． 匀速 ” 纯滚 动 令 ａ ＝０ ＝０ 即 ｃ ， ，
静 摩擦 力 刚体 平动 转 动
得 出了刚体在水平面和斜 面上可能 出现这 两种运动的条件 ， 并且通过实例进行验证．
关键 词 ： 滚动 纯
中 图分 类 号 ： ３ １ ０ １． ２ 文 献标 识 码 ： Ａ
刚体纯滚 动可看 成 随质 心 的平动 和绕质 心轴 的 定轴转 动 的合运动 ． 当刚体作 纯滚 动时 必须满 足 ａ＝ ｃ
２ 结果 与讨论
由纯滚 动 的条 件 ｃ ： ｌ知 ， ｔ Ｏ＂ 当 ＝ ｃ ／ ０时 ， ＝ ； ０ 当ａ ｃ≠ ０时 ， ≠ ０ 即平动 状 态 和转 动状 态 要 么 ． 都 发生 变 化 ， 么 都 不发 生 变化 ． 文 将平 动状 态 要 本
如图 １ 所示 ， 径为 ｒ 量 为 ｍ 刚体在 倾角 为 半 质 ０ 糙 斜面 上作 纯 滚动 ， 力 平行 于斜 面 作用 于 粗 外 刚 体 ， 用线 的纵 坐标 为 Ｙ 作 ，建立 坐 标 系并 进 行 受
得刚体的动力学方程为：
能情况： 一是外力和静摩擦力都为零 ， 二是外力和
收 稿 日期 ： ０ ０ ０ — ５ ２ １ — ６ ２
作者简介： 高彩￣（９ ０ ） 女 ，山西五台人 ， ；１ ８一 ， 硕士 ， 助教 ， 研究方 向： 理论物理 的教学与研究
高彩云 ： 纯滚动刚体的运动分析
ｒ［ １ １
．
０ ＝ Ｎ — ｍｇ ｃ ｓ ｏ ０
静摩擦力 对作纯 滚动 的刚体 不作功 ， 能使 刚 不
ｍ ｃ ｍ ｎ －Ｔ 厂｝ ａ ＝一 ｇｓ ０ｔ ＋ ｉ － ／ 一ｒ ａ＝ ｙ 】
解 （） １得
（） １
体 的总能量 发生任 何 变化 ， 它实 现 了转 动动 能 与 但 平动 动能之 间的能 量转换 ［］文献 ｆ—】 ２． － ３ ４ ６ 已对作 纯滚 动刚体 的静摩擦 力方 向及其 影 响因素作 了详 细 的讨
，
１
止≠ ｆ ０
： ，
作有 滑滚 动 ，直到 接触点 的速 度变成 零（ 态 Ｉ） 状 Ｉ．
由０ ＝ ｃ 即
一
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文章 编 ＂ １７ — ８ ４２ １）５ ０ ３ — ２ ￣：６ ４ ０ ７（０ ００ — ０ ２ ０
纯 滚 动 刚体 的运 动分 析
高彩 云
（ 山西 大同大 学物 理与 电子科 学 学院 ，山西 大 同 ０７０） ３０９
摘 要： 通过对粗糙 斜面上作 纯滚动刚体的动力学分析 ，分平动状态和转 动状 态是 否变化 两种情形进行讨论
向上 的速 度 ｏ取沿 斜面 向上 为正） （ ．
由ｆ） 可知 ， ４式 当 Ｔ＞ｍ ｎ ｇｓ ０时 ， ｉ ｆ＜０ Ｙ＜０ ，
当 Ｔ＜ｍ ｎ ， ｇｓ ０时 ｆ＞０ Ｙ＞０ ｉ ， 表 明如果 有外 力作 用 ， 体可 能在 粗糙 斜 面上 刚 作“ 速” 匀 纯滚 动 ，但外 力 作 用线 必 须在 特 殊值 Ｙ＝ （ｇｓ ０一Ｔ） 此 时摩 擦 力 的 大小 和方 向都 取决 ｍ ｉ ｎ ｒ ／ 于 和 ｍ ｎ ｇｓ ０的大小 ． ｉ
第２ ６卷第 ５期
２１ ０ ０年 ｌ ０月
山西大同大学学报（ 自然科学版）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｈｎ ｉ ａｏ ｇＵ ｉ ｒｔ（ａｕａ Ｓｉｎｅ ｏｒａ ａｘ ｔｎ ｎｖ ｓ ｙＮ ｔｒｌ ｃ ｃ） ｏＳ Ｄ ｅｉ ｅ
Ｖ０ ．６ Ｎｏ５ １Biblioteka Baidu ． ．
Ｏｃ ．Ｏ１ ｔ ２ Ｏ
２２ 刚体作 “ ． 变速 ” 纯滚 动 令。 ｃ≠ ０ ≠ ０即 ，
图 ２ 圆 柱体 在 斜 面上 纯 滚 动
： ｇｉ ＋ 一 ０ ｓ ｎ
：
≠０ Ｉ
Ｊ
第 一 阶段 ： 始 时 刻（ 起 即状 态 Ｉ） 圆柱 体 具 有 平
动动 能 ＝ ｍ ２ 由 于滑 动 摩 擦力 作 用 而 开始 １ 。
：
定． 具体到某一 刚体时， 只需代人它 的转动惯量及 所施 加外 力 的大小 和作 用线 位 置 等相 应物 理量 ， 进 行求 解 即可 ．
３ 实 例 分析
圆 柱体 质量 为 ｍ半 径 为 ｒ 某 时刻 获得 沿 斜 面 ，
１
（
二 ！｝ ）
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（ ４ ）
一
ｇ ｓｎ０＋ ｉ
：０
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解 之。 得
ｆ＝ｍ ｎ ｇｓ ０一Ｔ１ ｉ
＝
Ｔ ｙ
Ｊ
图 １ 刚体 在 斜 面 上 纯 滚动 受 力 分 析
讨 论：
１ 当 ０＝０时 ， ／＝一 Ｙ＝一 或 ｆ＿Ｔ：０ ） 有 ｒ － ． 由质 心运 动定 理和相对 于质 心 的动量矩 定理 ， 表 明刚体 在水 平面 上作 “ 速 ” 匀 纯滚动 有两种 可
静摩 擦力是 一对 共点 平衡力 ．
２ 当 ０≠ ０ Ｔ＝０时 ，方程组 （） ． ） ， ３无解 可知 ， 体在 粗糙 斜 面上 只受 重 力 和支 持力 的 刚 情 况下 不可 能作 “ 速” 滚动 ． 匀 纯
３ ）当 ０≠ ０ Ｔ ≠ ０时 ， ， ｆ＝ｍ ｎ ｇｓ ０一Ｔ ｉ