导数计算及几何意义学生版
一元函数的导数的几何意义及应用(学生版)
一元函数的导数及其应用(一) ---一元函数的导数的几何意义及应用一、知识要点：（一）一元函数的导数的几何意义:函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．（二）切线方程的计算： 1.在某点处的切线方程的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩． 2.过某点的切线方程的计算：设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-， 又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-，然后解出0x 的值（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． （三）利用导数的几何意义求参数的基本方法：利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．（四）利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：1.函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．2.切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．3.曲线()y f x ＝“在”点00(,)P x y 处的切线与“过”点00(,)P x y 的切线的区别：曲线()y f x ＝在点00(,)P x y 处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为()0k f x '＝，是唯一的一条切线；曲线()y f x ＝过点00(,)P x y 的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．（五）求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点1.注意曲线上横坐标的取值范围；2.谨记切点既在切线上又在曲线上。
1.1.3导数的几何意义
时, 割线 PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
O
P3
T
P4 P
T
x
O
x
3
4
图1.1 2
y
y f (x)
相交
o
P
x
再来一次
此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同?
y
y=f(x)
Pn
割 线
T 切线
P
o
当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δ x→0 x 时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确 定位置的直线PT称为点P处的切线.
x ＝ ｘ
表示“平均变化率”
其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线 的割线）的斜率。
我们知道, 导数 f
'
x0 表示函数 f x
在 x x0 处的瞬时变化率 , 反映了函 么, 导数 f
'
数 f x 在 x x0 附近的变化情况. 那
x0 的几何意义是什么呢 ?
y
观 察 如图 1 .1 2 ,当点 Pn xn , f xn
y f x
y
y f x
P1
P2
T P
O
T
n 1, 2, 3, 4
沿着曲线 P x0 , f x0 f x 趋近于点
x
O
x
1
y
y f x
2
y
y f x
通过逼近的方法，将
割线趋于的确定位置的
l2
直线定义为切线（交点
x
B
可能不惟一）适用于各 种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的 直观本质。
C
导数的概念,计算,几何意义
导数的概念，计算，几何意义（一）知识点 1.平均变化率：函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为 ，若21x x x ∆=-21y y y ∆=-则，平均变化率可表示为 。
2．导数的概念：函数()y f x =的导数'()f x ，就是当0x ∆→时，函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比yx∆∆（平均变化率） 的 ， 即'()f x ＝ ＝ ． 3．导函数：函数()y f x =在区间(,)a b 内 的导数都存在，就说()f x 在区间(,)a b 内 .其导数也是(,)a b 内的函数，叫做()f x 的 ，记作'()f x 或'x y ， 函数()f x 的导函数'()f x 在0x x =时的导函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.4．导数的几何意义：设函数()y f x =在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 。
相应的切线方程为 （点斜式） 。
5．求导数的方法： (1) 八个基本求导公式()c 为常数'c ＝ ； ()'n x ＝ ； (sin )'x ＝ ， (cos )'x ＝ ()'x a ＝ ， ()'x e ＝(log )'a x ＝ ， (ln )'x ＝(2) 导数的四则运算(()())f x g x '±＝ [()]Cf x '＝ (()())f x g x '＝ ， ()()()f xg x '＝ 推论：()c 为常数[()]'cf x = ；21'()[]'()()f x f x f x =-； ()''''fgh f gh fgh fgh =++(3) 复合函数的导数设()u x θ=在点x 处可导，()y f u =在点()u x θ=处可导，则复合函数[()]f x θ在点x 处可导， 且'()f x ＝ ，即'''x u x y y u =. 典型例题：例1．（变化率）求函数y=12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.解 ∵Δy=11)(11)(11)(2202020220+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x.11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x xx x y x x x x x x变式训练1.1.设函数()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x∆→-∆-=∆（ ）A ．0'()f x B.0'()f x - C.0()f x D.0()f x -2.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈，则000()()limh f x h f x h h→+--=A.0'()f xB. 02'()f xC. 02'()f x -D.0例2. 求下列各函数的导数： （1）;sin 5x xx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y （4）.1111xxy ++-=解 (1)∵,sin sin 23232521x x x xx x x x y ++=++=-∴y′.cos sin 2323)sin()()(232252323x x x x x x x x x x-----+-+-='+'+'=（2）y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11.（3）∵y=,sin 212cos 2sin x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='（4）xx x xx x x y -=+--++=++-=12)1)(1(111111， ∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 变式训练2：（1）求y=tanx 的导数.解 y′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x xx x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=（2）求下列各函数的导数：①2(1)(231)y x x x =++- ②y ③()(cos sin )x f x e x x =⋅+利用导数求切线方程 例3：如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程． 分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线()y f x =在给定点00(,())P x f x 处的切线的斜率0()k f x '=，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。
5.1 导数的概念及意义学生版
5.1 导数的概念及意义常见考法考点一平均速率【例1】.（2020.江苏张家港.高二期中）函数f （x ） = f-SinX 在［0,扪上的平均变化率为（）A. 1B. 2C. πD. /■【一隅三反】1. （2020.武汉市钢城第四中学高二期中）如果函数/（x ） = αr + b 在区间［1,2］上的平均变化率为3,则。
=（） A. -3B. 2C. 3D. -22. （2020.重庆高二月考）函数），=/+彳在％ = ］到冗= ］ + ©之间的平均变化率为（ ）A. Δx+2B. Δx+3C. 2∆x+（∆x ）^D. 3∆x + （∆x ）^思维导图 平均速率导数的概念及意义导数概念函数.，=/3）从R 到内的平均变化率为9人占工 若Ar=4-XI ，邮=/（"）一曲） Xl -Xl则平均变化率可表示琮.设函数尸人力在区间（G 与上有定义，Λ∈（Λ a,当AX 无限趋近于O 时， 比值"=念±9立期无限趋近于一个常数A ,则称打力在X=X 处可导 AJr AX并称常数/为的敷∕tr ）在k4处的导致，记作f （⅜）. __________________________导数的几何意义函数F =/⑸在点4处的导致的几何意义，就是曲线J =网在点•，曲））处的 切线的斜率％即氏=/* 8）.考点一平均速 考点二导数的概念〉考点三导数的iS ）3.（2020.皇姑•辽宁实验中学高二月考）函数），=,在X = I到χ = 3之间的平均变化率为（）X2 2 1 1A. -B. 一一C. 一一D.-3 3 3 3考点二导数的概念【例2】（1）（2020.利辛县阚噬金石中学高三月考）设/（x）为可导函数，且满足条件叫J也三= 5,则曲线y = ∕（χ）在点（1"⑴）处的切线的斜率为（）A. 10B. 3C. 6D. 8（2）. （2020•广东南海•高二期末）在高台跳水运动中ZS时运动员相对于水面的高度（单位：m）是∕ι（z） = -4.9r2+6.5r + 10,则高台跳水运动中运动员在z = 2s时的瞬时速度是（）A. -3.3B. -13.1C. 13.1D. 3.3【一隅三反】1.（2020•扶风县法门高中高二月考（理））一个物体的位移S关于时间，的运动方程为S=I—l+[2,其中S的单位是：m, I的单位是：s,那么物体在t=3 s时的瞬时速度是A. 5 m / sB. 6 m / sC. 7 m / sD. 8 m / s2.（2020.赣州市赣县第三中学高二月考（文））已知函数段）在X=XO处的导数为12,则Iim /一弋-）=ArTo 3∆X（）A. -4B. 4C. -36D. 363.（2020•赣州市赣县第三中学高二月考（理））已知函数/（x） = ∣x-∙∣lnx,则㈣/⑴-（.AX） =（）4 5A. 1B. -1C. ----D. ------3 34.（2020.广东佛山.高二期末）若/（1） = —1,则Iim/° + AX匕/⑴二（）AXTo Ar考点三导数的计算【例3】(2020.河南)设点P是函数/(x) = "'—r(0)x+∕'(l)图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为。
导数的概念及计算
导数的概念及计算一.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝0lim x ∆→ Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作y ′|x =x 0 ＝f ′(x 0) ＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)值就是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).二.基本初等函数的导数公式三.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0). 四.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.考向一 利用公式及运算法则求导【例2】求下列函数的导数2311(1)()y x x x x =++ （2） （3） ()234(21)x y x =+ (5)sin2xy e x -= 【举一反三】1．下列求导运算正确的是（ ）A ．(3x )′=x •3x−1B ．(2e x )′=2e x （其中e 为自然对数的底数）C ．(x 2+1x )′=2x +1x 2 D ．(x cosx)′=cosx−xsinx cos 2x2．求下列函数的导数： （1）y =√x 5+√x 7+√x 9√x ； （2）y =x ⋅tanx (3)y ＝x n ⋅lg x ；(4)y ＝1x +2x 2+1x 3；考向二 复合函数求导【例3】求下列函数导数（1）y ＝sin(2x ＋1) ()(2)cos2f x x x =⋅ （3）()cos ln y x =【举一反三】求下列函数的导数： （1）y =； （2）2()5log 21y x =+.（3）sin()eax b y +=；（提示：设e uy =，sin u v =，v ax b =+，x u v xy y u v ''''=⋅⋅）（4）2(πsin 2)3y x =+； 考向三 利用导数求值【例4】（1）f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0＝ . 2．若f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)＝ .3. 已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=，则()e f '= 。
高中数学选择性必修二(人教版)《5.1.2 导数的概念及其几何意义》课件
－2＋1 Δx＝－12，
故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为 y＋1＝－12(x＋2)，整理得 x
＋2y＋4＝0.
[方法技巧] 1．过曲线上一点求切线方程的 3 个步骤
2．过曲线外一点 P 求切线方程的 6 个步骤 (1)设切点(x0，f(x0))； (2)利用所设切点求斜率 k＝f′(x0)＝Δlitm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0； (3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率； (4)根据斜率相等求得 x0，然后求得斜率 k； (5)根据点斜式写出切线方程； (6)将切线方程化为一般式．
[学透用活]
[典例 3] 求曲线 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程． [解] 由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等
于函数 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的导数．
而 f′(－2)＝lim Δt→0
f－2＋Δx－f－2 Δx
＝lim Δt→0
－2＋2ΔΔxx＋1＝Δlitm→0
知识点二 导数的几何意义
(一)教材梳理填空
导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k＝__Δlit_m→_0__—__ fx0＋Δx－fx0
————Δx———＝f′(x0)．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同．
解析：设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)，
因为 y′＝lim Δt →0
x＋Δx3－x＋Δx2＋1－x3－x2＋1 Δx
＝3x2－2x，
则 y′| x＝x0＝3x20－2x0＝1，
解得 x0＝1 或 x0＝－13.
导数的概念及运算、几何意义
导数的概念及运算、几何意义1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝＝.y′|x＝x(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．2．导数公式及运算法则(1)基本初等函数的导数公式(2)导数的运算法则①[f (x )±g (x )]′＝)(x f '±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝)(x f 'g (x )＋f (x )g ′(x )； ③])()(['x g x f ＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2(g (x )≠0)． 特殊情况[c ·f (x )]′＝c ·)(x f '．(3)复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1))(0x f '与[f (x 0)]′表示的意义相同．(×)(2))(0x f '是导函数)(x f '在x ＝x 0处的函数值．(√)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√) (4))3sin('π＝cos π3.(×)(5)若(ln x )′＝1x ，则)1('x ＝ln x ．(×)(6)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．(×)(7)函数f (x )＝，由于f ′(0)无意义，则说明f (x )＝在x ＝0处无切线．(×)(8)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(9)若f (a )＝－x 2＋2ax ＋a 3，则f ′(a )＝2x ＋3a 2.(√)(10)过点P 作y ＝f (x )的切线，且P 在y ＝f (x )上，则P 一定为切点．(×)考点一 导数的运算[例1] (1)函数y ＝(1－x ))1(x +，则y ′＝________.解析：∵y ＝(1－x ))11(x +＝1x －x ＝2121x x --，='y 21232121----x x答案：21232121----x x (2)函数y ＝ln x x ，则y ′＝________.解析：y ′＝)ln ('xx ＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. 答案：1－ln x x 2(3)y ＝ln(2x ＋5)，则y ′＝________.解析：设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，因此y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. 答案：22x ＋5 (4)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝________.解析：f ′(x )＝2f ′(1)＋1x令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋1，∴f ′(1)＝－1.答案：－1 [方法引航] (1)总原则：先化简解析式，再求导.(2)具体方法：①连乘积的形式：先展开化为多项式形式，再求导.②根式形式：先化为分数指数幂，再求导.③复杂分式：化为简单分式的和、差，再求导.(3)区分f ′(x )与f ′(x 0)f ′(x )表示导函数，f ′(x 0)是导函数值.1．若函数y ＝tan x ，则y ′＝________.解析：y ′＝)cos sin ('xx ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x . 答案：1cos 2x2．设f (x )＝x ln x ，若)(0x f '＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．e C.ln 22 D ．ln 2 解析：选B.由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.考点二 导数的几何意义[例2] (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.[方法引航] 导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f(x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.1．在本例中，若f (x )在P 点处的切线平行x 轴，求P 点坐标．解：∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，令3x 2－8x ＋5＝0得x ＝1或x ＝53，∴f (1)＝1－4＋5－4＝－2，f (53)＝－5827，∴P (1，－2)或P )2758,35(-. 2．在本例中，若f (x )不变，求f (x )过点(1，－2)的切线方程．解：设过点P (1，－2)的直线与y ＝f (x )切于点M (x 0，y 0)，∴其切线斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，y 0＝x 30－4x 20＋5x 0－4，其切线方程为y －(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －x 0)过点(1，－2)，即－2－(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)(1－x 0)，即(x 0－1)2(2x 0－3)＝0∴x 0＝1或x 0＝32.∴切点为(1，－2)或)817,23(-，∴k 1＝0或k 2＝－14. ∴所求切线方程分别为y ＝－2.或y ＋178＝－14)23(-x ，即y ＝－14x －74.[易错警示]借问“切点”何处有——求曲线的切线方程时切点易错[典例] (2017·浙江杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[正解] 设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又点(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x－9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.[答案] A[易误] (1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系．[警示] ①“曲线y ＝f (x )在P 点处的切线”与“曲线过P 点的切线”不同，前者P 为切点，后者P 不一定为切点．②此类题首先确定点是否为曲线的切点．当不是切点时．应先设出切点．[高考真题体验]1．(2016·高考全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，x e x f x -=--1)(，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．解析：当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x ，而f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝e x －1＋x (x ＞0)，点(1,2)在曲线y ＝f (x )上，易知f ′(1)＝2， 故曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是y －2＝f ′(1)·(x －1)，即y ＝2x .答案：y ＝2x2．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2，∴f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又此切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝(3a ＋1)(2－1)，解得a ＝1.答案：13．(2012·高考课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析：y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x ＝3ln x ＋4，k ＝y ′|x ＝1＝4，切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.答案：y ＝4x －34．(2016·高考天津卷)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则)0(f '的值为________．解析：∵f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)·e x ，∴f ′(0)＝3.答案：35．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，)(x f '为f (x )的导函数．若)1(f '＝3，则a 的值为________．解析：∵f ′(x )＝a ln x ＋a ，∴f ′(1)＝a ln 1＋a ＝3，解得a ＝3.答案：36．(2016·高考山东卷)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析：选A.对于A ，y ′＝cos x ，存在x 1，x 2，若cos x 1cos x 2＝－1，如x 1＝π，x 2＝2π，可满足，对于B ，其导数为f ′(x )＝1x ，f ′(x 1)·f ′(x 2)＝1x 1x 2＞0，故B 不满足；y ＝f (x )＝e x 的导函数为f ′(x )＝e x ，f ′(x 1)·f ′(x 2)＝e x 1＋x 2＞0，故C 不满足；y ＝f (x )＝x 3的导函数为f ′(x )＝3x 2，f ′(x 1)·f ′(x 2)＝9x 21x 22≥0，故D 不满足．故选A.课时规范训练A 组 基础演练1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足2)1(='f ，则)1(-'f 等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0解析：选B.f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且2)1(='f ，∴)1(-'f ＝－2.2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选A.切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝4x 30＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)，即y －1＝4(x －1)，整理得l 的方程为4x －y －3＝0.3．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( ) A ．2 B ．ln 2＋1 C ．ln 2－1 D ．ln 2解析：选C.∵y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，∴1x ＝12，解得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.4．曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(1，－1)C ．(1,3)D ．(1,0)解析：选C.y ′＝3x＋1，令y ′＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1,3)．5．直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ax 2＋2＋ln x 相切于点P (1,4)，则b 的值为( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3解析：选C.由点P (1,4)在曲线上可得a ×12＋2＋ln 1＝4，解得a ＝2，故y ＝2x 2＋2＋ln x ，所以y ′＝4x ＋1x ，所以曲线在点P 处切线的斜率1|='=x y k ＝4×1＋11＝5.所以直线的方程为y ＝5x ＋b .由点P 在直线上得4＝5×1＋b ，解得b ＝－1，故选C.6．曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1解析：选C.y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为2|1='==x y k7．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，b ＝0，m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.8．在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A.依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y '＜1得3≤x 2＜103，显然满足该不等式的整数x不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.9．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选C.依题意，记g (x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f (x )＝xg (x )，)(x f '＝g (x )＋xg ′(x )，f ′(0)＝g (0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝212，故选C.10．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝)(1x f '，f 3(x )＝)(2x f '，…，f n ＋1(x )＝)(x f n '，n ∈N *，则f 2 019(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选A.∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A.B 组 能力突破1．已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，则曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3解析：选C.法一：令x ＝1得f (1)＝1，令2－x ＝t ，可得x ＝2－t ，代入f (2－x )＝2x 2－7x ＋6得f (t )＝2(2－t )2－7(2－t )＋6，化简整理得f (t )＝2t 2－t ，即f (x )＝2x 2－x ，∴f ′(x )＝4x －1，∴f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2.法二：令x ＝1得f (1)＝1, 由f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，两边求导可得f ′(2－x )·(2－x )′＝4x －7，令x ＝1可得－f ′(1)＝－3，即f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.2．已知函数f(x)＝a sin x＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，)(xf'为f(x)的导函数，则f(2 017)＋f(－2 017)＋)2018(f'－)2018(-'f＝()A．0 B．2 017 C．2 018 D．8解析：选D.设g(x)＝a sin x＋bx3，∴f(x)＝g(x)＋4，且g(－x)＝－g(x)，所以f(2 017)＋f(－2 017)＝g(2 017)＋4＋g(－2 017)＋4＝8，又因为f′(x)＝a cos x＋3bx2，所以f′(x)为R上的偶函数，则f′(2 018)－f′(－2 018)＝0，所以f(2 017)＋f(－2 017)＋f′(2 018)－f′(－2 018)＝8，故选D.3．已知函数y＝f(x)及其导函数y＝)(xf'的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.答案：x－y－2＝04．已知函数f(x)的导函数为)(xf'，且满足f(x)＝3x2＋2x·)2(f'，则)5(f'＝________.解析：对f(x)＝3x2＋2x)2(f'求导，得f′(x)＝6x＋2)2(f'．令x＝2，得)2(f'＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2)2(f'＝6.答案：65．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x＋e x，则f′(1)＝________.解析：设e x＝t，则x＝ln t(t＞0)，∴f(t)＝ln t＋t，∴f′(t)＝1t＋1，∴f′(1)＝2.答案：26．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x.∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，x＋1x－a＝0，∴a＝x＋1x≥2.答案：[2，＋∞)。
第五章5.1.2第2课时 导数的几何意义课件(人教版)
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
则
y
|x＝x0
＝ lim Δx→0
x0＋Δx3－2x0＋Δx－x30－2x0 Δx
＝3x20－2＝tan π4＝1，
所以x0＝±1， 当x0＝1时，y0＝－1. 当x0＝－1时，y0＝1.
当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0，这时，在t ＝t1附近曲线降落，即函数在t＝t1附近单调递减. 当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0，这时，在t ＝t2附近曲线降落，即函数在t＝t2附近单调递减. 通过研究t＝t1和t＝t2发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这 说明函数在t＝t1附近比在t＝t2附近降落的缓慢.
内容索引
一、导数的几何意义 二、函数的单调性与导数的关系 三、导函数(导数)
随堂演练
课时对点练
一、导数的几何意义
问题1 导数f′(x0)的几何意义是什么？ 提示 我们知道导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率， 反应了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况，如下图.
容易发现，平均变化率ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0表示的是割线 P0P 的斜率，当
跟踪训练 3 已知函数 f(x)＝x2－12x.求 f′(x).
解 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝(Δx)2＋2x·Δx－12Δx，
∴ΔΔyx＝2x＋Δx－12.
∴f′(x)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝2x－12.
课堂小结
1.知识清单： (1)导数的几何意义. (2)函数的单调性与导数的关系. (3)导函数的概念. 2.方法归纳：方程思想、数形结合. 3.常见误区：切线过某点，这点不一定是切点.
导数的几何意义及导数公式
导数的几何意义及导数公式导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在特定点的变化率。
导数的几何意义是描述函数曲线在其中一点的切线的斜率。
本文将详细介绍导数的几何意义以及导数的计算公式。
一、导数的几何意义在几何中，我们知道曲线上每一点的切线可以用斜率来描述。
而导数就是函数在其中一点的切线的斜率，它告诉我们函数在该点的变化情况。
导数的几何意义可以通过以下两个方面来理解：1.切线的斜率导数是切线的斜率，它表示函数在特定点上的变化速率。
如果导数是正数，那么函数在该点上是递增的；如果导数是负数，那么函数在该点上是递减的。
导数的绝对值越大，曲线在该点附近的变化速率越大；导数的绝对值越小，曲线在该点附近的变化速率越小。
2.切线的方向导数不仅告诉我们切线的斜率，还告诉我们切线的方向。
如果导数是正数，那么切线是向上倾斜的；如果导数是负数，那么切线是向下倾斜的。
导数等于零表示切线是水平的，也就是曲线上的极值点。
通过以上两个方面，我们可以通过导数来近似描述函数在任意点的行为，从而更好地理解函数的性质。
二、导数的计算公式导数的计算公式是一系列可以计算导数的规则。
下面是一些常见的导数计算公式：1.常数规则如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。
这是因为常数的导数为零，表示该常数没有变化。
2.幂规则如果f(x) = x^n，其中n是整数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
这是指数函数的导数公式。
3.常见函数的导数公式- 如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) = cos(x)。
- 如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。
- 如果f(x) = tan(x)，那么f'(x) = sec^2(x)。
-如果f(x)=e^x，那么f'(x)=e^x。
- 如果f(x) = ln(x)，那么f'(x) = 1/x。
4.和、差的导数规则如果f(x)和g(x)是可导函数，那么(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
导数的几何意义与计算
导数的几何意义与计算导数是微积分中的重要概念，它既有几何意义，也有计算方法。
在几何上，导数表示了函数图像在其中一点的切线斜率，而在计算上，导数代表了函数的变化率。
一、导数的几何意义：在几何上，导数表示了函数图像在其中一点的切线斜率。
具体而言，设函数f(x)在点x=a处可导。
则函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)表示了函数图像在点(x=a,f(a))处的切线的斜率。
这也可以理解为函数f(x)在点x=a处的瞬时变化率。
对于曲线上的任意一点，导数给出了曲线在该点处的瞬时变化情况。
以函数y=x^2为例，我们可以计算出其在点(1,1)处的导数。
首先，我们求得函数在该点的切线方程，即y-1=2(x-1)，然后求出斜率为2，表示函数在该点附近变化的速率。
在图像上，可以看到切线的斜率为正，说明函数在该点的右侧局部增加。
二、导数的计算：导数的计算方法有很多种，下面介绍两种常见的计算方法：导数定义和导数的基本公式。
1.导数定义：导数的定义是通过函数的极限来计算的。
设函数f(x)在点x=a处连续，则f(x)在点x=a处的导数f'(a)定义为：f'(a) = lim(x->a) [f(x)-f(a)] / (x-a)也就是说，导数f'(a)是函数f(x)在x=a处的极限值。
以函数y=x^2为例，我们来计算其在点x=1处的导数。
根据导数定义，我们有：f'(1) = lim(x->1) [x^2-1] / (x-1)= lim(x->1) (x+1)=2所以函数y=x^2在点x=1处的导数为22.导数的基本公式：导数的基本公式可以通过一些公式和规则直接计算导数，而不需要通过极限的定义。
下面是几个常用的导数公式：(1)常数规则：若c是一个常数，则导数f(x)=c的结果为0。
(2)幂规则：若f(x)=x^n，其中n是一个非零常数，则导数f'(x)=n*x^(n-1)。
第4讲 导数的四则运算及导数的几何意义
第4讲 导数的四则运算及导数的几何意义一．基础知识回顾1.两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f(x)＋g(x)]′＝2.一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则[f(x)g(x)]′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝ .特别地，当g(x)＝k 时，有[kf(x)]′＝ 1．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作2．曲线的切线如图，曲线y ＝f (x )的一条割线AB ，其中A (x 0，f (x 0))，B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))．当Δx 趋于零时，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l ，称直线l 为曲线y ＝f (x )在点A 处的切线．3．函数的平均变化率的几何意义是曲线y ＝f (x )割线的斜率；函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)表示二．问题探究探究点一：导数的加法与减法法则例1：求下列函数的导数．(1)y ＝x 3＋x 2＋x ；(2)y ＝2x ＋x.跟踪训练1：已知f(x)＝tan x ＋sin x ，求f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.探究点二：导数加减法的应用例2：已知函数f(x)＝x 3＋x ，求函数在点(2,10)处的切线方程．跟踪训练2：已知函数f(x)＝sin x ＋cos x ，求曲线y ＝f(x)在x ＝π4处的切线方程．探究点三：导数乘除法的运算法则例3：求下列函数的导数：(1) y ＝x 5＋x ＋sin x x 2； (2)y ＝ln x ＋2xx 2；(3)y ＝1－12sin 2x 2.跟踪训练3：求下列函数的导数： (1)y ＝x·tan x；(2)y ＝x ＋3x ＋3；(3)y ＝xsin x －2cos x.探究点四：导数的应用 例4： 曲线f(x)＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为 (B) A ．－12 B ．12 C ．－22 D ．22 跟踪训练4：设函数f(x)＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a>0，曲线y ＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．探究点五：求切线的方程例5：已知曲线f (x )＝x 2，(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P (3,5)的切线方程．跟踪训练5：已知曲线y ＝2x 2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0?(2)曲线过点P (3,9)的切线方程．课后练习作业一．选择题1． 下列结论不正确的是 ( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 2． 函数y ＝x －(2x －1)2的导数是 ( )A ．3－4xB ．3＋4xC ．5＋8xD ．5－8x3． 曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为 ( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(－1，－4)D ．(2,8)和(－1，－4)4． 曲线f (x )＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是 ( ) A.24 B.22 C.322D. 2 5． 已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能是 ( )A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －16． 函数y ＝2x 2－x x ＋3x －2x的导数为 ( ) A.x ⎝⎛⎭⎫3＋1x 2＋1 B.x ⎝⎛⎭⎫3－1x 2－1 C.x ⎝⎛⎭⎫3－1x 2＋1 D .x ⎝⎛⎭⎫3＋1x 2－1 7．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为 ( )A ．4B ．－14C ．2D ．－128． 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于 ( )A ．－1B ．－2C ．2D ．09． 已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，π4 B.⎣⎡⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4 D.⎣⎡⎭⎫3π4，π 10． 设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是 ( ) A ．[－2,2] B ．[2，3] C ．[3，2] D ．[2，2]二．填空题11． 过点P (－1,2)且与曲线f (x )＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是12． 某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t (t 的单位是s ，s 的单位是m)，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为13．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝ 14． 设f (x )＝a e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，则a ＋b ＝ 15．若函数f (x )＝e x x在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值为 ． 三．解答题16．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．17．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．18．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.求直线l 2的方程．19．已知偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图像过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y＝x －2，求y ＝f (x )的解析式．20．已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l 的方程．。
导数的概念及几何意义
利用导数求切线的方程
已知曲线 C：y＝1x3＋4. 33
(1)求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程． (2)在第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？
[解] (1)将 x＝2 代入曲线 C 的方程得 y＝4. ∴切点 P(2,4)． ∵Δy＝13(2＋Δx)3＋43－13×23－43 ＝4Δx＋2(Δx)2＋13(Δx)3， ∴ΔΔxy ＝4＋2Δx＋13(Δx)2， 当 Δx 趋于 0 时，4＋2Δx＋13(Δx)2 趋于 4，所以曲线在 x＝2 处 的导数等于 4. 即切线的斜率为 4，故所求切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x －y－4＝0.
也称为 y＝f(x)在 x0 点的__导__数____．
(2)记法：函数 y＝f(x)在 x0 点的导数，通常用符号 f′(x0)表示， 记作 f′(x0)＝_xl_1i→m_x_0 _f_x_x1_1_－ －__fx_0x_0__＝_Δl_ixm→_0__f_x_0_＋__Δ_Δx_x_－__f_x_0___.
2．导数的几何意义 函数y＝fx在x0处的导数;是曲线y＝fx在点_______x_0_;f_x_0__处的 切线的______斜__率．函数y＝fx在点x0;fx0处切线的斜率反映了 导数的几何意义． 注意：导数的物理意义：函数S＝St在点t0处的导数S′t0;就是 当物体的运动方程为S＝St时;物体在时刻t＝t0时的瞬时速度v; 即v＝S′t0；函数v＝vt在点t0处的导数v′t0;就是当物体的运动 速度方程为v＝vt时;物体在时刻t＝t0时的瞬时加速度a;即a＝ v′t0．
方法归纳 求函数y＝fx在点x0处的导数的三个步骤
1．求函数fx＝x2＋3在x＝2处的导数．
解：因为Δy＝f a＋Δx －f a
3.1.3导数的概念和几何意义_课件-湘教版数学选修1-1
即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)，(3,9)． 所以切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)． 化简得y＝4x－4，y＝6x－9， 此即是所求的切线方程． 点评 在求曲线过某点的切线方程时，第一要判断该点是否在曲线上，再根 据不同情况求解．
课堂总结 1．函数在某一点处的瞬时变化率即为函数在该点处的导 数． 2．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切 线的斜率，即当d→0时，k＝fx0＋dd－fx0＝f′(x0)． 3．求曲线的切线方程应充分利用导数的几何意义，抓住两 点： (1)切点在曲线上，则在切点处的导数值即为切线的斜率； (2)若已知点不在曲线上时，要设出切点再利用导数几何意义和已 知条件去求.
C．f′(x0)＝2x0
D．f′(x0)＝d＋2x0
答案 C
3．已知函数y＝f(x)图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系 是( )．
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
答案 A
4．在曲线f(x)＝x2＋x上取一点P(1,2)，则在区间[1,1＋d]上的 平均变化率为________，在点P(1,2)处的导数f′(1)＝________.
当 d→0 时 1－xx＋1 d→1－x12， ∴f′(x)＝1－x12， ∴f′(1)＝1－112＝0.
题型四 利用导数求切线方程 【例4】 已知曲线C：y＝x2. (1)求曲线C在点(1,1)处的切线方程； (2)求过点(1,0)且与曲线C相切的直线的方程；
解 (1)fx＋dd－fx＝x＋dd2－x2＝2x＋d. 当d→0时，2x＋d→2x， ∴f′(x)＝2x，f′(1)＝2 ∴曲线y＝x2在(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
导数的几何意义及 基本初等函数的导数(上课用)
解： y f (x x) f (x) C C 0
所以 y 0 x
所以f '(x) C' lim y 0 x 0 x
思考与探究： 求下列函数的导数 (1) y x (2) y x2 (3) y x3 (4) y 1
x (5) y x
问题：通过以上五个幂函数的求导过程，你有没
基本初等函数的导数 导数的几何意义
一、基本初等函数的导数
回顾
①导数的概念
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
或
,即
f
( x0
)
lim
x0
f (x0 Δx) f (x0 ) x
lim x x0
f (x) f (x0 ) x x0
k e
例7．如图，设有圆C和定点O， 当l 从l0 开始在平面上绕O点匀速 旋转(旋转角度不超过90°)时， 它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t的函数，它的图象大致是 下列四种情况中的哪一种？
(2) f (x) 1 x
(3) f (x) x
(4) f (x) 5 x3
1 (5) f (x)
x2 x
(6) f (x) 3x
(7) f (x) 3x
(8)
f
( x)
1 2x
(9) f (x) log3 x
(10) f (x) lg x
(11) f (x) (1 x )(1 1 ) x
回答
如图直线 l1 是曲线C的 切线吗? l2 呢?
y
l1
l2
A
0
B x
1.曲线的割线
如图,曲线C是函数y=f(x) y 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy) 为P邻近一点,PQ为C的割线,
导数的概念几何意义与运算
导数的概念几何意义与运算一、导数的概念导数是微积分的重要概念之一，是描述函数变化速度的衡量工具。
对于一条曲线上的任意一点，其导数值表示了该点处的切线斜率。
导数的定义为：若函数f(x)在点x0处有定义，那么函数在该点的导数为：f'(x0) = lim(h→0) [f(x0+h) - f(x0)] / h其中 lim 表示极限，h 表示的是 x 的增加量。
导数的概念可以推广到函数的各种高阶导数，分别表示函数变化的速率、加速度、变化的变化率等。
二、导数的几何意义1.切线斜率：导数可以看作是函数曲线在其中一点处切线的斜率。
特定点处的切线斜率表示了函数在该点的变化速度。
2.函数的增减性：若函数在其中一区间内的导数恒大于0，则函数在该区间上是递增的；若导数恒小于0，则函数在该区间上是递减的。
导数的正负性能够直观地反映函数的增减趋势。
3.极值点：若函数在其中一点的导数为0，那么这个点称为函数的极值点。
导数为0相当于切线水平，函数在这一点上由增转为减或由减转为增。
三、导数的运算法则1.常数乘法：对于常数k，(k*f(x))'=k*f'(x)。
2.求和与差：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
3.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
4.商法则：(f(x)/g(x))'=[f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/[g(x)]^25.复合函数求导：对于复合函数y=f(g(x))，若g(x)在点x处可导，而f在g(x)处可导，则y也在点x处可导，且y'=f'(g(x))*g'(x)。
四、应用举例1.速度和加速度：对于一个物体的位移函数s(t)，其导数s'(t)表示在时间t的瞬时速度。
二次导数s''(t)则表示在时间t的瞬时加速度。
导数的几何意义及四则运算
f
f (x)
( x)
在对应区间I
1.
x
( y)
证
任取
由y
x
f(
Ix
x)
, 给 x 一个增量 x，且
的单调性可知，y 0,
(x 0, x x Ix
于是有
y x
1 x
)
,
f (x) 连续，y 0 (x 0),
y
又知 (
即
y)
f
(
0， f ( x)
x) 1
( y)
也可简写为
(1u1 2u2 nun ) 1u1 2u2 nun
证明 （略）
15
定理3 设函数 y u(x)及y v(x) 都在点 x 处可导，则 f (x) u(x)v(x)也在 x 处可导，且其导数为
f ( x) u( x)v( x) u( x)v( x) u( x)v( x)
( x) ( x ) (sin x) (ln π)
1 1 cos x. 2x
13
例2已知 y 2x3 5x2 3x 7，求 y.
解 y (2x3 5x2 3x 7) 2( x3 ) 5( x2 ) 3( x) (7) 2 3x2 5 2x 3 0 6x2 10x 3.
不连续,一定不可导.
4. 判断可导性
直接用定义;
连续 看左右导数是否存在且相等.
11
§2-4 求导法则
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 设函数 u(x)及 v( x) 都在点x处可导，则 f ( x) u( x) v( x)也在x 处可导，且其导数为
f ( x) u( x) v( x) 其中、 为常数.
5.1 导数的概念及其意义(导数的几何意义)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
)
(5)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × )
)
合作探究 释疑解惑
探究一
导数的几何意义与函数图象
【例1】 若函数y=f(x)的导函数在区
间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)在区
间[a,b]上的大致图象可能是(
)
解析:已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)
(2)由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.
y
(+Δ)2 +(+Δ)-2-( 2 +-2)
解:(1)y'= lim =
=2x+1.
Δ
Δ→0 x x→0
因为直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,
所以直线l1的斜率k1=y'|x=1=3,可得直线l1的方程为y=3x-3.
Δ
x→0
= lim (4x+2Δx)=4x.
Δ→0
(1)∵切线的倾斜角为45°,
∴切线的斜率为tan 45°=1.
设切点的坐标为(x0,y0),则 y'|= =4x0=1,解得
0
∴该切点的坐标为
1 9
,
4 8
.
1
x0= ,
4
(2)∵切线平行于直线4x-y-2=0,
∴切线的斜率为4.
则切线的斜率 k=2x0.
切线方程为 y-x02 =2x0(x-x0),将点(-1,0)的坐标代入,
得-x02 =2x0(-1-x0),解得 x0=0 或 x0=-2.
当x0=0时,切线的斜率k=0,过点(-1,0)的切线方程为y=0;
高二数学导数的定义及其几何意义的应用例题+方法总结+课后作业
导数的概念及几何意义知识点一、导数的概念1． 导数的概念设函数=()y f x ，当自变量x 从0x 变1x 时，函数值从()0f x 变到()1f x ，函数值关于x 的平均变化率为()()()()100010=f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆=∆-∆， 当1x 趋于0x ，即x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数=()y f x 在0x 点的导数，通常用符号()0'f x ‘表示，记作 ()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000lim lim＝注意：（1）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（2）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间1t 到2t 的平均变化率即为1t 到2t 这段时间的平均速度．（3）增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数． （4）0x ∆→时，Δy 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数．即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近． （5）函数=()y f x 在0x 点的导数还可以用符号0'|x x y =表示．知识点二、导数的几何意义已知点00(,)P x y 是曲线=()y f x 上一定点，点00(,)Q x x y y +∆+∆是曲线=()y f x 上的()0'f x ‘表示曲线=()y f x 在0x x =处的切线的斜率，即()0'=tan f x α‘（α为切线的倾斜角）动点，我们知道平均变化率yx∆∆表示割线PQ 的斜率．如图所示：当点Q 无限接近于点P ，即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线．也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率．即：0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆．注意：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：①曲线在点P 处的切线：点P 在曲线上，在点P 处作曲线的切线（P 是切点），此时数量唯一．②曲线经过点P 处的切线：点P 位置不确定（在曲线上或曲线外），过点P 作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点P 即可），数量不唯一．（3）直线与曲线相切⎫直线和曲线有1个公共点；有别于直线和圆，如图，直线l 2与曲线C 有唯一公共点M ，但我们不能说直线l 2与曲线C 相切；而直线l 1尽管与曲线C 相切，却有不止一个公共点．这也是我们用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”的原因．知识点三、导数的物理意义在物理学中，如图物体运动的规律是()=s s t ，那么该物体在时刻0t 的瞬时速度v 就是()=s s t 在0=t t 时的导数，即()0='v s t ；如果物体运动的速度随时间变化的规律是()v v t =，那么物体在时刻0t 的瞬时加速度a 就是()v v t =在0=t t 时的导数，即()0'a v t =．题型一、导数定义的应用例1． 用导数的定义，求函数()y f x==x =1处的导数．【总结升华】利用定义求函数的导数值，有三步，即三步求导法，具体步骤如下： （1）求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； （2）求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； （3）求极限，得导数：00000()()'()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆．【变式1】已知函数()2=f x x x -+的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy，()'1=f - ．【变式2】求函数 2()3f x x =在x =1处的导数．【变式3】求函数()2f x x x =-+在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例2． 已知函数()24f x x=，求()f x '．【变式1】求函数y =在(0,)+∞内的导函数． 【变式2】已知()f x =，求'()f x ，'(2)f ．例3（1）若0'()2f x =，则000()()lim2k f x k f x k→--=________．()2若(3)2f '=，则1(3)(12)lim 1x f f x x →-+=-【变式1】函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+xf x f 2)1()1( ；（2）=-+xf x f )1()21( ．【变式2】若0'()f x a = （1）求()()xx f x x f x ∆-∆-→∆000lim的值；（2）求000()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆的值．【变式3】设函数()f x 在点x 0处可导，则000()()lim2h f x h f x h h→+--=________．题型二、求曲线的切线方程方法总结：1.求曲线()y f x =在0x x =处切线的步骤：（1）先求()0'f x ，即曲线()y f x =在))((00x f x P ，处切线的斜率． （2）再求()0f x ，则切线过点()()00x f x ，；（2）最后由点斜式写出直线方程：()000=()()y f x f x x x '--．特别的，如果()y f x =在点00(())x f x ，处的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：0x x =． 2.求曲线()f x 经过点()00P x y ，的切线方程的一般步骤： （1）求导函数()'f x ；（2）验证点P 是否在曲线上：计算()0f x ，观察()00=f x y 是否成立； （3）分类讨论：①若()00=f x y ，则P 是切点，切线唯一，方程为()000=()()y f x f x x x '--： ②若()00f x y ≠，则P 不是切点，求切点：设切点坐标为()()a f a ，，则切线方程()=()()y f a f a x a '--，代入点()00P x y ，坐标，求出a 的值（注意0a x ≠），可得切线方程．例4．求曲线21y x =+在点()12P ，处的切线方程．【变式】求曲线215y x x=++上一点2x =处的切线方程．例5．求曲线()3f x x =经过点(1,1)P 的切线方程．例6.过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程为( )A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0B ．x －y －2＝0C ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0D ．x －y ＋2＝0【变式1】 已知函数3()3f x x x =-，过点(2,2)作函数图象的切线． 求切线方程．【变式2】已知曲线1y x=． （1）求曲线过点()10A ，的切线方程； （2）求满足斜率为13-的曲线的切线方程．【变式3】设函数32()2f x x ax bx a =+++，2()32g x x x =-+（其中x ∈R ，,a b 为常数）．已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2，0）处有相同的切线l ．求,a b 的值，并写出切线l 的方程．题型三、导数的实际应用例6．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为()120155T t t =++，其中()T t 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．计算()2T '，并解释它的实际意义．【变式1】设一个物体的运动方程是：2021)(at t v t s +=，其中0v 是初速度（单位：m ），t 是时间（单位：s ）．求：2s t =时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）．课后作业1.若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 的值为( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或72.已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是3.设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a=A. 0B.1C.2D.34.若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=5.若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是6.在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b=7.设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2(1+ln2) 8.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 9.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 110.已知点P 在曲线y=14x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是。