手征微扰论和共振态手征微扰论的介绍

iφ·λ F
(25)
(26)
赝标介子场 U 在 SU (3)L × SU (3)R 群变换 (VL , VR ) 下的变换行为是线性 的， + U −→ U = VR U VL (27) 可见单独的这些赝标场的变换行为都是比较复杂的非线性的，这也是用 U 来描述的原因。并且 U = 1 对应着这里的真空。这里我们也就找到了构造 有效拉氏量的基本的一个元素。 4
5
可以验证 Dµ U 的变换方式同 U 的变换方式是一样的。并且注意到矢量和 轴失的外场都是通过协变微商而进入到有效拉氏量。此外还需要定义相应 的场强张量， R fµν = ∂µ rν − ∂ν rµ − i[rµ , rν ] (36)
L fµν = ∂µ lν − ∂ν lµ − i[lµ , lν ]
a a Vµ = La ¯γµ µ + Rµ = q
(7) (8)
λa q 2
(9)
λa q (10) 2 对于单态的矢量流 Vµ 在量子化以后其仍然是守恒的，这对应着重子数守 恒；单态的轴失流 Aµ , 即使是在手征极限下，在量子化之后仍然有一个反 常出现，破坏轴失流守恒。对于八重态的流，对应的守恒荷为
式中，M是夸克的质量矩阵， mu 0 0 Mq = 0 m d 0 0 0 ms

(24)
这些质量项是明显破缺 SU (3)L × SU (3)R 对称性的，也这是由于轻夸克的 质量项使得八个 Goldstone 玻色子获得了较小的质量。
1.2
有效拉氏量的构造
从上面的讨论可以看到，QCD 在低能区域 (Λ < mρ 700M ev ) 的行为就 是这些由于 QCD 真空自发破缺而产生的赝标 Goldstone 场之间的作用， 其他大质量粒子的自由度被冻结了。所以在低能区域，我们完全可以将这 些赝标介子场视为独立的自由度写入拉氏量进行讨论，那些大动量自由度 对低能区域的影响可以通过若干参数反映在低能有效拉氏量中。这也正是 有效场论之精神所在。由于物理的结果应该是不依赖与以如何的方式来引 入这些赝标介子场，所以可以取一种非线性的实现方式。在本文的介绍中 将用 U 来代表这些赝标场， U =e 式中 F 是待定常数， φ·λ= √ + √ + 1 π0 + √ η 2 π 2K 3 √ 0 √ − 1 0 √ 2π −π + 3 η 2K φa λa = √ − √ 2 ¯0 2K 2K −√ η 3
+ vµ − aµ → vµ − aµ = VL (x)[vµ − aµ + i∂µ ]VL + s + ip → s + ip = VR (x)[s + ip]VL + −s + ip → −s + ip = VL (x)[−s + ip]VR
(32) (33) (34)
与之对应的有效拉氏量，也应该是满足定域 SU (3)L × SU (3)R 对称性的， 同时也应该满足 C，P 对称性。在引入局域对称性后，在有效拉氏量的 水平上我们也引入在定域 SU (3)L × SU (3)R 变换下的协变微商 Dµ , 这里 的 Dµ 不同于 QCD 中的协变微商，这里的 Dµ 是作用于味道空间的，外 源在这里充当了联络的角色， Dµ U = ∂µ U − i(vµ + aµ )U + iU (vµ − aµ ) (35)
其中协变微商 Dµ 是作用于色空间的；f 是味道的指标，QCD 的六味 夸克可以以 1Gev 为界分成两部分，其中 u，d，s 夸克我们称为轻夸 克，c，b，t 夸克称为重夸克。这里我们只讨论轻夸克部分。我们可以看 到 QCD 除了在色空间的 SU(3) 规范对称性外，当我们取轻夸克的质量为 1
零时，QCD 在味道空间还具有整体的对称性。在取轻夸克的质量为零以 后，轻夸克部分的拉氏量为 L0 = q ¯l iγ µ Dµ ql (2)
前一小节都是在讨论味道空间的整体 (Global) 变换，对于更一般的 情形，我们希望讨论味道空间的定域 (Local) 变换。这就需要我们引入 一些外源，这是因为味道对称性不同于色对称性，它不是一种规范对称 性，没有与之对应的规范玻色子。然而为了讨论定域变换，我们需要引 入外源来构造协变微商，同时也可以很自然地引入夸克的质量项且保 持 SU (3)L × SU (3)R 对称性。此外引入这些外源也使得我们构造的有效拉 氏量可以讨论包含赝标介子之外一些粒子的反应过程。引入外源之后地拉 氏量 (这里不讨论胶子场部分) 为 L = LQCD +q ¯γ µ (vµ + aµ γ5 )q − q ¯(s − iγ5 p)q 0 (28)
时，上述拉氏量 L 就回到了原始的 QCD 拉氏量。 如果我们要求上述拉氏量 L 满足定域的 SU (3)L × SU (3)R 对称性，则 我们可以得到这些外源在定域 SU (3)L × SU (3)R 变换 (VL (x), VR (x)) 下的 性质, + vµ + aµ → vµ + aµ = VR (x)[vµ + aµ + i∂µ ]VR (31)
手征微扰论和共振态手征微扰论的介绍
郭志辉，导师：郑汉青 September 3, 2008
Abstract 本报告主要分两大部分来介绍部分低能强子的有效场论。第一部 分对赝标介子的有效场论即 Chiral Perturbation Theory 做一个回顾 性的介绍, 从 QCD 出发，考虑各种对称性，从而引入有效拉氏量。 由于 Chiral 的有效拉氏量是通过非线性实现的，所以这是一个不可重 整的理论。但是我们可以对此拉氏量按照粒子外动量（或者赝标介子 的质量) 进行系统展开，从而有效的控制系统误差，这也是 Chiral 成 功的基石。这里将以 SU(2) 的 One Loop 为例对 Chiral Perturbation Theory 的一圈重整化给以详细地介绍。第二部分简单介绍一下共振 态手征理论(Resonance Chiral Perturbation Theory).
b ab 0|Aa µ |π (p) = ipµ F δ
(14)
即 Qa A |0 = 0，等价于 F = 0. 下面介绍一下在理论上 QCD 是通过何种方法实现这种自发破缺的。首先 定义标量和赝标量夸克对的密度 Sa (x) = q ¯λa q, a = 0, 1, ..., 8 Pa (x) = iq ¯γ5 λa q, a = 0, 1, ..., 8 在 SU (3)V 变换下，我们可以得到 [Qa V (t), S0 (x)] = 0, a = 1, ...8 [Qa V (t), Sb (x)] = ifabc Sc (x), a = 1, ...8 在手征极限下 Qa V |0 = 0, 我们对上两式取真空期望值可得 0|Sa (x)|0 = 0|Sa (0)|0 = 0 当我们取 a=3,8 以后可以发现 ¯ = s u ¯u = dd ¯s 对于赝标夸克对密度我们有 0|i[Qa A (t), Pa (x)]|0 = 这里定义 2 q ¯q 3 (21) (20) (19) (17) (18) (15) (16)
式中 vµ , aµ , s, p 是引入的外场，分别是矢量，轴矢量，标量和赝标外场。 这些外场都是定义在味道空间的 3 × 3 的厄米矩阵，
a vµ = vµ a a λa λa aλ aλ , aµ = aa , s = s , p = p µ 2 2 2 2
(29)
夸克的质量项就包含于 −q ¯sq 之中。当我们取这些外源 vµ → 0, aµ → 0, p → 0, s → Mq (30)
式中 L0 表示手征极限，下标 l 取 u,d,s. 定义 1 1 qL = (1 − γ5 ), qR = (1 + γ5 ) 2 2 所以 L0 可以改写成 L0 = q ¯l,L iγ µ Dµ ql,L + q ¯l,R iγ µ Dµ ql,R (4) (3)
即 L0 具有 U (3)L × U (3)R 的整体对称性，根据 N¨ oether 定理，这样的对称 性对应有 18 个守恒流， λa a (5) Lµ = q ¯L γµ qL 2 λa a Rµ (6) =q ¯R γµ qR 2 这两个守恒流在 SU (3)L × SU (3)R 变换下，分别按照 (8,1) 和 (1,8) 变换， a 即 La µ 是左手场的八重态，Rµ 是右手场的八重态。此外还有两个单态流， Vµ = q ¯R γµ qR + q ¯L γµ qL = q ¯γµ q Aµ = q ¯R γµ qR − q ¯L γµ qL = q ¯γµ γ5 q 在实际讨论中我们经常用矢量流和轴失流的形式进行讨论
a a Aa ¯γµ γ5 µ = Rµ − Lµ = q
Qa V = Qa A =
百度文库d3 xq +
λa q, a = 1, ....8 2 λa q, a = 1, ...8 2
(11) (12)
d3 xq + γ5 2
¯ 0, η, 根据实验上发现粒子一些特性, 如 0− 的赝标介子八重态: π ± , π 0 , K ± ,K 0 , K 他们的质量都比较轻，且自选宇称都相同。我们猜测实际的 QCD 整体 对称性发生了自发破缺，且其自法破缺的方式为 SU (3)L × SU (3)R → SU (3)V . 表明 SU (3)A 对称性自发破缺了，但 SU (3)V 的对称性保留下来 了，即 a Qa (13) A |0 = 0, QV |0 = 0 根据 Goldstone 定理，自发破缺后会产生八个与破缺生成元 Qa A 对应 a a 的 Goldstone 玻色子，记为 |π , a = 1, ...8。由于 QA |0 = 0, 意味着轴失 流算符在真空态和这些 Goldstone 粒子间的矩阵元不为零
1
1.1
赝标介子的有效理论 - 手征微扰论
QCD 味道 的整 体 对称 性分 析
QCD是强相互作用的基本理论，由于它的渐进自由性质，在大动量的时候 我们可以运用微扰论对问题进行讨论。但是在低能区域的时候，QCD 的 耦合常数将变得非常大，微扰论在低能区域不能在应用，我们必须进行非 微扰的讨论。QCD 的基本拉氏量形式为： LQCD = 1 a aµν q ¯f (iγ µ Dµ − mf )qf − Fµν F 4 (1)
(39) (40)
在 P 变换下， v µ → vµ , aµ → −aµ , s → s, p → −p 为此我们就有了构造有效拉氏量的所有元素，所以我们只要写出满足在 手征变换，C,P 变换下保持不变的那些项就可以了。然而这些项可以有无 穷多个，这就需要一种系统的方法来处理它们。对于赝标介子系统我们将 进行低能展开，正如在摘要中所提到的那样，我们按照粒子的的外动量和 赝标介子的质量 (用一个 Q 来代表) 幂次来展开拉氏量。这就需要我们来 考虑一下上述各种元素的幂次。由于在拉氏量中，外动量就体现为微商算 符，所以对外动量的展开也就相当于对微商的幂次展开，即 ∂µ 是 Q 的幂 次，在协变微商中 vµ , aµ 和 ∂µ 是一起出现的，所以它们也应当是 Q 的幂 次。此外我们知道这些赝标介子的质量 m2 p 是正比于流夸克质量 Mq 的， 2 所以流夸克质量 Mq 也就是 Q 的幂次。另一方面我们看到外场 s 是提供 流夸克质量的，所以 s 也应当是 Q2 的幂次。而 p 场同 s 是同一个地位 的，所以 p 场也应当是 Q2 的幂次。而剩下的 U 场，我们将其定义为 Q0 . 在定义完各种元素的 Q 幂次之后，我们就可以构造各个 Q 幂次的有效 拉氏量了。在 Q0 阶，我们能用来构造拉氏量的元素只有 U 场，构造不变 的拉氏量必须是以 U U + 为变量的函数，由于 U 是一个么正矩阵，所以这 个函数就是一个常数。而由于带奇数阶动量幂次的元素都是带有 Lorentz 脚标的，为保证 Lorentz 不变性，它们必须配对出现。所以在有效拉氏量 中不会出现动量幂次奇数阶的情况。在 Q2 阶，我们可以构造如下两个满 足上面所要求的对称性的项， Tr[Dµ U (Dµ U )+ ], Tr(χU + + U χ+ ) 式中 χ = 2B (s + ip) 6 (42) (41)
(37) (38)
式中， r µ = v µ + aµ , l = v µ − aµ 并且在 QCD 中我们要求引入外源以后的拉氏量保持 C，P 变换不变， 可以定出这些外场的 C，P 变换下的行为。在 C 变换下，
T T T vµ → − vµ , a µ → aT µ, s → s , p → p
¯ + s q ¯q = u ¯u + dd ¯s 3
(22)
b 可见当 q ¯q = 0 可以得到必然有 Qa A |0 = 0 和 0|Pa (x)|π (p) = 0, 即我们 可以通过 q ¯q = 0, 来实现 QCD 的对称性自发破缺。 目前为止我们只是讨论了在手征极限下的情况，实际上 QCD 是有夸克 质量项的， LM = −q ¯l Mq ql (l = u, d, s). (23)