流体力学第4章
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r
r k r 1 ∂ = ∇ ×V ∂z 2 w
旋度
无旋流动
ω=0
流体力学
角变形
OA、OB（x、y轴） 间的角变形率 δγ δα + δβ γ& = lim = lim δt → 0 δ t δt → 0 δt
∂u ∂ v + ∂y ∂x
(
B
δβ
B’
∂u δy)δt ∂y
∂v δx)δt ∂x
δy
某人坐在匀速运动的飞机上测量和记录周 围各点空气的速度和压强，请问它采用的 研究方法是 A、拉格朗日方法 B、欧拉方法 C、两者都不是
流体力学
小结1
描述流体运动的两种方法
拉格朗日方法 欧拉方法
物质导数
采用欧拉变量描述流体质点某物理 量对时间的变化率
流体力学
小结2
迹线、流线、染色线
三种线的特点、区别与联系 迹线方程、流线方程
流体力学
欧拉方法1
着眼于空间点
描述空间某点流体运动物理量随时间的变 化规律及由一点转向另一点时该量的变化 空间点的位置为(x , y , z)，则物理量 η 的 空间分布
η = η ( x, y, z, t )
流体力学
x, y , z , t 为 欧拉变数
欧拉方法2
空间中的速度分布
r r V = V ( x, y, z, t )
x
一维流动
y
z
r
r
二维流动
流体力学
z
3.2 物质导数
欧拉方法描述流体质点的加速度
r ∂V ( x , y , z , t ) =? ∂t
t 时刻 t + δ 时刻
r V ( x, y, z, t )
r V ( x + δx , y + δy , z + δz , t + δt )
流体力学
欧拉法描述流体质点的加速度1
DN Dt
流体质点的物理量 N 随时间的 变化率
物质导数（质点导数或随体导数）
流体力学
物质导数2
∂N ∂tHale Waihona Puke Baidu
空间点上的 N 随时间的变化率， 由物理量场的非定常性引起
局部导数或当地导数
∂N ∂N ∂N +v +w u ∂z ∂x ∂y
由物理量场的非 均匀性引起的N的 变化率
位变导数或对流导数
流体力学
xy = 1
x
t = 2时 ( x + 2)(− y + 2) = 3
定常流动条件下，流线、迹线、染色线重合
流体力学
流管
在流场中做一封闭且不自相交的曲线 C，在 某瞬时通过该曲线上的流线构成的管状表面 称为流管 有限流管 流管元
C
定常流动时，流管形状不变，类似于固定 管道
流体力学
总流、过流断面
微小流束 总流 过流断面
流体质点在空间运动 时所描绘出来的轨迹
t 是自变量，x，y，z 都是 t 的函数
流体力学
迹线2
迹线的特点 流场中实际存在的线 同一质点，不同时刻空间位置的连线 和时间过程有关的曲线，随时间的增长迹 线不断延长 拉格朗日方法下的概念
流体力学
迹线3
流体力学
流线1
流线
某瞬时流场中一条假想曲线 该曲线上各点速度方向和曲 线在该点切线方向重合
(
A’ O
δx
δα
A
y、z 轴及 z、x轴间的角变形率
∂u ∂w ∂w ∂v , + + ∂z ∂x ∂y ∂z
流体力学
描述流体运动的方法思考题1
下列流动适合用那一种方法描述 A、研究一污染物粒子在水中运动的轨迹 B、研究无数质点组成的质点群的运动 C、研究一流动空间的速度分布
流体力学
描述流体运动的方法思考题2
r r r V ( x + δx , y + δy , z + δz , t + δt ) − V ( x , y , z , t ) a = lim δt → 0 δt
r r r r r ∂V ∂V ∂V ∂V a= +u +v +w ∂z ∂t ∂x ∂y
流体质点的加速度 流体质点的速度对时间的变化率
其中 a, b , c , t 为拉格朗日变数
流体力学
拉格朗日方法
任意时刻流体质点的位置矢量
r r r = r (a , b, c , t )
任意时刻流体质点的速度和加速度
r r ∂r ( a , b, c , t ) V= ∂t
r 2r r ∂V ∂ r (a , b, c , t ) a= = ∂t ∂t 2
物质导数3－例题
例：已知速度场 2yt 求流体质点 例：已知速度场u u= =2 2xt xt， ，v v= = --2 yt， ，求流体质点 的 的a axx， ，a ayy 。 。
∂u ∂u ∂u ∂u +w +u +v ax = = 2 x + 4 xt 2 ∂y ∂z ∂t ∂x ∂v ∂v ∂v ∂v = −2 y + 4 yt 2 +u +v +w ay = ∂y ∂z ∂t ∂x
解：1、迹线
dx = x+t dt dy = −y+ t dt
y x
⎧ x = C 1e t − t − 1 ⎨ −t y C e = + t −1 2 ⎩ x + y = −2
流体力学
流线、迹线－例题1
2、流线
dx dy = u v
dx dy = x+t − y+t
y
ln( x + t ) + ln(− y + t ) = C
迹线方程
dx dy dz = = = dt u v w
流体力学
小结5
流线方程
dx dy dz = = u v w
质量流量和体积流量
& = ∫ ρVdA m
A
Q = ∫ VdA
A
相对体积膨胀率
r 1 d (δV ) ∂u ∂v ∂w = + = ∇ ⋅V + δV dt ∂x ∂y ∂z
流体力学
小结6
δα
O
δx
A
O
δx
A
OA边旋转角速度 OB边旋转角速度
流体力学
δα ∂v ωOA = lim = δt → 0 δ t ∂x δβ ∂u ωOB = lim = δt → 0 δ t ∂y
旋转2
规定相互垂直的流体线OA和OB的角速度 ωOA和ωOB的平均值为流体团绕 z 轴的旋转 角速度，且逆时针方向为正
r 1 d (δV ) ∂u ∂v ∂w + = + = ∇ ⋅V ∂x ∂y ∂z δV dt
不可压缩流体
r ∇ ⋅V = 0
流体力学
速度散度为零
旋转1
存在交叉导数
B
∂u u + δy ∂y ( ∂u δy)δt ∂y ∂v δx)δt ∂x
C
B
B’
δβ δy
v ∂v δx ∂x
δy
v+ u
(
A’
概述
描述流体运动的两种方法
拉格朗日方法、欧拉方法
物质导数 迹线、流线、染色线 流体微团的运动和变形
流体力学
3.1 描述流体运动的两种方法
拉格朗日方法－跟踪流体质点
描述每个流体质点自始至终的运动规律 设初始时刻某质点标记为（a, b , c），则 该质点的物理量 η 可表示为
η = η (a , b, c , t )
V
流管元内所有流线的总和 流管内所有流线的总和 与总流所有流线 相垂直的截面
V
流体力学
质量流量
质量流量
单位时间通过流管过 流断面的流体质量
& = ∫ ρVdA m
A
V dA
速度、密度在过流断面上均布
& = ρVA m
流体力学
体积流量
体积流量
单位时间通过流管过 流断面的流体体积
Q = ∫ VdA
A
几种场2
流体力学
几种场3
均匀场与非均匀场
流场中各空间点上的物理量都一样，称 为均匀场；否则，为非均匀场 均匀场数学描述
∂η ∂ η ∂ η = = =0 ∂ x ∂ y ∂z
流体力学
或
η = η (t )
几种场4
流体力学
一维、二维、三维流动
速度场为三个空间坐标的函数－三维流 动，实际流动都是在三维空间中的流动
流体力学
欧拉法描述流体质点的加速度2
r ∂V ∂t
空间点上的速度对时间的变化率 由速度场的非定常性引起
当地加速度或局部加速度
r r r ∂V ∂V ∂V u +v +w ∂y ∂z ∂x
由速度场的非 均匀性引起
迁移加速度或对流加速度
流体力学
物质导数1
任意物理量 N 的物质导数
∂N ∂N ∂N DN ∂N = +u +v +w Dt ∂z ∂t ∂x ∂y
1 ⎛ ∂v ∂u ⎞ ⎟ ωz = ⎜ − ⎜ 2 ⎝ ∂x ∂y ⎟ ⎠
流体团绕 x 和 y 轴的旋转角速度
1 ⎛ ∂w ∂v ⎞ 1 ⎛ ∂u ∂w ⎞ − ⎟ ωx = ⎜ ωy = ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ∂ y ∂z ⎠ 2 ⎝ ∂z ∂ x ⎠
流体力学
旋转3－角速度矢量、旋度
r i r 1 ∂ ω= 2 ∂x u r j ∂ ∂y v
V dA
速度、密度在过流断面上均布
Q = VA
流体力学
平均速度
平均速度
假设过流断面上各点速 度相等，通过的流量与 实际流量相等
VdA ∫ =
A
V
A
以平均速度计算流量是准确的，但计算动 量、动能等会引入误差，需要修正
流体力学
3.4 流体微团的运动与变形
t 0 + δt
平动
线变形
=
t0
+
流体微团 复合运动
流体力学
+
旋转
+
角变形
线变形1
x 方向速度只在 x 方向有梯度
B
u
C B C C’
u+
δy
u
∂u δx ∂x ∂u δx ∂x
δy
u+
δx
O A A’
O
δx
A
(
∂u δ x )δ t ∂x
x方向相对变形率
∂u ∂x
x方向相对线变形引起体积膨胀率
流体力学
∂u ∂x
线变形2－散度
线变形引起总的相对体积膨胀率
流线方程
dx dy dz = = u( x , y , z , t ) v ( x , y , z , t ) w ( x , y , z , t )
t 为常数，x，y，z 为自变量
流体力学
流线2
流线的特点 流场中某瞬时的假想曲线 不同质点，同一时刻空间位置的连线， 描述线上各质点的运动方向 定常流动，流线形状位置不随时间改变 定常流动时，流线与迹线重合
流体微团旋转角速度
r i r 1 ∂ ω= 2 ∂x u r j ∂ ∂y v r k r ∂ 1 = ∇ ×V ∂z 2 w
流体微团角变形率
∂u ∂ v ∂ w ∂ v ∂u ∂ w + , + , + ∂y ∂ x ∂ y ∂ z ∂ z ∂ x
流体力学
流体力学
物质导数4
不可压缩流体的数学描述 流体质点的密度在运动过程中保持不变
∂ρ ∂ρ ∂ρ Dρ ∂ρ = +u +v +w =0 Dt ∂t ∂x ∂y ∂z
均质不可压缩流体的数学描述
ρ = const
流体力学
3.3 迹线、流线和染色线、流管
迹线 迹线方程
dx dy dz = = = dt u( x , y , z , t ) v ( x , y , z , t ) w ( x , y , z , t )
流体微团的线变形、旋转、角变形
相对体积膨胀率、角速度、角变形率
流体力学
小结3
几个概念 物质导数、局部导数、对流导数 流管、微小流束、总流、过流断面、质 量流量、体积流量、平均速度 散度、旋度
流体力学
小结4
公式 物质导数
∂N ∂N ∂N DN ∂N = +u +v +w Dt ∂z ∂t ∂x ∂y
流体力学
流线3
一般情况下，流线不能相交和转折
r V
r V′
奇点
流体力学
A
C
驻点
流线4
流线是欧拉方法下的概念
流体力学
染色线
染色线
相继通过流场同一空间点的 流体质点在同一瞬时的连线
流场显示技术，反映流场结构、流动特点
流体力学
流线、迹线－例题1
例：设一流场，其欧拉表达式为 例：设一流场，其欧拉表达式为u u= =x x+ + tt， ，v v= = -y 求 tt = -1,-1)点的流 y+ + tt， ，w w= =0 0， ，求 =0 0 时过 时过M M ((-1,-1) 点的流 线和迹线 线和迹线
空间中的压强分布、温度分布
p = p( x , y , z , t ) T = T ( x, y, z, t )
场－分布着某种物理量的空间区域
流体力学
几种场1
定常场与非定常场
流场中每一点的物理量都不随时间变 化，称为定常场；否则，为非定常场
定常场数学描述
∂η =0 ∂t
流体力学
或
η = η ( x, y, z )
r k r 1 ∂ = ∇ ×V ∂z 2 w
旋度
无旋流动
ω=0
流体力学
角变形
OA、OB（x、y轴） 间的角变形率 δγ δα + δβ γ& = lim = lim δt → 0 δ t δt → 0 δt
∂u ∂ v + ∂y ∂x
(
B
δβ
B’
∂u δy)δt ∂y
∂v δx)δt ∂x
δy
某人坐在匀速运动的飞机上测量和记录周 围各点空气的速度和压强，请问它采用的 研究方法是 A、拉格朗日方法 B、欧拉方法 C、两者都不是
流体力学
小结1
描述流体运动的两种方法
拉格朗日方法 欧拉方法
物质导数
采用欧拉变量描述流体质点某物理 量对时间的变化率
流体力学
小结2
迹线、流线、染色线
三种线的特点、区别与联系 迹线方程、流线方程
流体力学
欧拉方法1
着眼于空间点
描述空间某点流体运动物理量随时间的变 化规律及由一点转向另一点时该量的变化 空间点的位置为(x , y , z)，则物理量 η 的 空间分布
η = η ( x, y, z, t )
流体力学
x, y , z , t 为 欧拉变数
欧拉方法2
空间中的速度分布
r r V = V ( x, y, z, t )
x
一维流动
y
z
r
r
二维流动
流体力学
z
3.2 物质导数
欧拉方法描述流体质点的加速度
r ∂V ( x , y , z , t ) =? ∂t
t 时刻 t + δ 时刻
r V ( x, y, z, t )
r V ( x + δx , y + δy , z + δz , t + δt )
流体力学
欧拉法描述流体质点的加速度1
DN Dt
流体质点的物理量 N 随时间的 变化率
物质导数（质点导数或随体导数）
流体力学
物质导数2
∂N ∂tHale Waihona Puke Baidu
空间点上的 N 随时间的变化率， 由物理量场的非定常性引起
局部导数或当地导数
∂N ∂N ∂N +v +w u ∂z ∂x ∂y
由物理量场的非 均匀性引起的N的 变化率
位变导数或对流导数
流体力学
xy = 1
x
t = 2时 ( x + 2)(− y + 2) = 3
定常流动条件下，流线、迹线、染色线重合
流体力学
流管
在流场中做一封闭且不自相交的曲线 C，在 某瞬时通过该曲线上的流线构成的管状表面 称为流管 有限流管 流管元
C
定常流动时，流管形状不变，类似于固定 管道
流体力学
总流、过流断面
微小流束 总流 过流断面
流体质点在空间运动 时所描绘出来的轨迹
t 是自变量，x，y，z 都是 t 的函数
流体力学
迹线2
迹线的特点 流场中实际存在的线 同一质点，不同时刻空间位置的连线 和时间过程有关的曲线，随时间的增长迹 线不断延长 拉格朗日方法下的概念
流体力学
迹线3
流体力学
流线1
流线
某瞬时流场中一条假想曲线 该曲线上各点速度方向和曲 线在该点切线方向重合
(
A’ O
δx
δα
A
y、z 轴及 z、x轴间的角变形率
∂u ∂w ∂w ∂v , + + ∂z ∂x ∂y ∂z
流体力学
描述流体运动的方法思考题1
下列流动适合用那一种方法描述 A、研究一污染物粒子在水中运动的轨迹 B、研究无数质点组成的质点群的运动 C、研究一流动空间的速度分布
流体力学
描述流体运动的方法思考题2
r r r V ( x + δx , y + δy , z + δz , t + δt ) − V ( x , y , z , t ) a = lim δt → 0 δt
r r r r r ∂V ∂V ∂V ∂V a= +u +v +w ∂z ∂t ∂x ∂y
流体质点的加速度 流体质点的速度对时间的变化率
其中 a, b , c , t 为拉格朗日变数
流体力学
拉格朗日方法
任意时刻流体质点的位置矢量
r r r = r (a , b, c , t )
任意时刻流体质点的速度和加速度
r r ∂r ( a , b, c , t ) V= ∂t
r 2r r ∂V ∂ r (a , b, c , t ) a= = ∂t ∂t 2
物质导数3－例题
例：已知速度场 2yt 求流体质点 例：已知速度场u u= =2 2xt xt， ，v v= = --2 yt， ，求流体质点 的 的a axx， ，a ayy 。 。
∂u ∂u ∂u ∂u +w +u +v ax = = 2 x + 4 xt 2 ∂y ∂z ∂t ∂x ∂v ∂v ∂v ∂v = −2 y + 4 yt 2 +u +v +w ay = ∂y ∂z ∂t ∂x
解：1、迹线
dx = x+t dt dy = −y+ t dt
y x
⎧ x = C 1e t − t − 1 ⎨ −t y C e = + t −1 2 ⎩ x + y = −2
流体力学
流线、迹线－例题1
2、流线
dx dy = u v
dx dy = x+t − y+t
y
ln( x + t ) + ln(− y + t ) = C
迹线方程
dx dy dz = = = dt u v w
流体力学
小结5
流线方程
dx dy dz = = u v w
质量流量和体积流量
& = ∫ ρVdA m
A
Q = ∫ VdA
A
相对体积膨胀率
r 1 d (δV ) ∂u ∂v ∂w = + = ∇ ⋅V + δV dt ∂x ∂y ∂z
流体力学
小结6
δα
O
δx
A
O
δx
A
OA边旋转角速度 OB边旋转角速度
流体力学
δα ∂v ωOA = lim = δt → 0 δ t ∂x δβ ∂u ωOB = lim = δt → 0 δ t ∂y
旋转2
规定相互垂直的流体线OA和OB的角速度 ωOA和ωOB的平均值为流体团绕 z 轴的旋转 角速度，且逆时针方向为正
r 1 d (δV ) ∂u ∂v ∂w + = + = ∇ ⋅V ∂x ∂y ∂z δV dt
不可压缩流体
r ∇ ⋅V = 0
流体力学
速度散度为零
旋转1
存在交叉导数
B
∂u u + δy ∂y ( ∂u δy)δt ∂y ∂v δx)δt ∂x
C
B
B’
δβ δy
v ∂v δx ∂x
δy
v+ u
(
A’
概述
描述流体运动的两种方法
拉格朗日方法、欧拉方法
物质导数 迹线、流线、染色线 流体微团的运动和变形
流体力学
3.1 描述流体运动的两种方法
拉格朗日方法－跟踪流体质点
描述每个流体质点自始至终的运动规律 设初始时刻某质点标记为（a, b , c），则 该质点的物理量 η 可表示为
η = η (a , b, c , t )
V
流管元内所有流线的总和 流管内所有流线的总和 与总流所有流线 相垂直的截面
V
流体力学
质量流量
质量流量
单位时间通过流管过 流断面的流体质量
& = ∫ ρVdA m
A
V dA
速度、密度在过流断面上均布
& = ρVA m
流体力学
体积流量
体积流量
单位时间通过流管过 流断面的流体体积
Q = ∫ VdA
A
几种场2
流体力学
几种场3
均匀场与非均匀场
流场中各空间点上的物理量都一样，称 为均匀场；否则，为非均匀场 均匀场数学描述
∂η ∂ η ∂ η = = =0 ∂ x ∂ y ∂z
流体力学
或
η = η (t )
几种场4
流体力学
一维、二维、三维流动
速度场为三个空间坐标的函数－三维流 动，实际流动都是在三维空间中的流动
流体力学
欧拉法描述流体质点的加速度2
r ∂V ∂t
空间点上的速度对时间的变化率 由速度场的非定常性引起
当地加速度或局部加速度
r r r ∂V ∂V ∂V u +v +w ∂y ∂z ∂x
由速度场的非 均匀性引起
迁移加速度或对流加速度
流体力学
物质导数1
任意物理量 N 的物质导数
∂N ∂N ∂N DN ∂N = +u +v +w Dt ∂z ∂t ∂x ∂y
1 ⎛ ∂v ∂u ⎞ ⎟ ωz = ⎜ − ⎜ 2 ⎝ ∂x ∂y ⎟ ⎠
流体团绕 x 和 y 轴的旋转角速度
1 ⎛ ∂w ∂v ⎞ 1 ⎛ ∂u ∂w ⎞ − ⎟ ωx = ⎜ ωy = ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ∂ y ∂z ⎠ 2 ⎝ ∂z ∂ x ⎠
流体力学
旋转3－角速度矢量、旋度
r i r 1 ∂ ω= 2 ∂x u r j ∂ ∂y v
V dA
速度、密度在过流断面上均布
Q = VA
流体力学
平均速度
平均速度
假设过流断面上各点速 度相等，通过的流量与 实际流量相等
VdA ∫ =
A
V
A
以平均速度计算流量是准确的，但计算动 量、动能等会引入误差，需要修正
流体力学
3.4 流体微团的运动与变形
t 0 + δt
平动
线变形
=
t0
+
流体微团 复合运动
流体力学
+
旋转
+
角变形
线变形1
x 方向速度只在 x 方向有梯度
B
u
C B C C’
u+
δy
u
∂u δx ∂x ∂u δx ∂x
δy
u+
δx
O A A’
O
δx
A
(
∂u δ x )δ t ∂x
x方向相对变形率
∂u ∂x
x方向相对线变形引起体积膨胀率
流体力学
∂u ∂x
线变形2－散度
线变形引起总的相对体积膨胀率
流线方程
dx dy dz = = u( x , y , z , t ) v ( x , y , z , t ) w ( x , y , z , t )
t 为常数，x，y，z 为自变量
流体力学
流线2
流线的特点 流场中某瞬时的假想曲线 不同质点，同一时刻空间位置的连线， 描述线上各质点的运动方向 定常流动，流线形状位置不随时间改变 定常流动时，流线与迹线重合
流体微团旋转角速度
r i r 1 ∂ ω= 2 ∂x u r j ∂ ∂y v r k r ∂ 1 = ∇ ×V ∂z 2 w
流体微团角变形率
∂u ∂ v ∂ w ∂ v ∂u ∂ w + , + , + ∂y ∂ x ∂ y ∂ z ∂ z ∂ x
流体力学
流体力学
物质导数4
不可压缩流体的数学描述 流体质点的密度在运动过程中保持不变
∂ρ ∂ρ ∂ρ Dρ ∂ρ = +u +v +w =0 Dt ∂t ∂x ∂y ∂z
均质不可压缩流体的数学描述
ρ = const
流体力学
3.3 迹线、流线和染色线、流管
迹线 迹线方程
dx dy dz = = = dt u( x , y , z , t ) v ( x , y , z , t ) w ( x , y , z , t )
流体微团的线变形、旋转、角变形
相对体积膨胀率、角速度、角变形率
流体力学
小结3
几个概念 物质导数、局部导数、对流导数 流管、微小流束、总流、过流断面、质 量流量、体积流量、平均速度 散度、旋度
流体力学
小结4
公式 物质导数
∂N ∂N ∂N DN ∂N = +u +v +w Dt ∂z ∂t ∂x ∂y
流体力学
流线3
一般情况下，流线不能相交和转折
r V
r V′
奇点
流体力学
A
C
驻点
流线4
流线是欧拉方法下的概念
流体力学
染色线
染色线
相继通过流场同一空间点的 流体质点在同一瞬时的连线
流场显示技术，反映流场结构、流动特点
流体力学
流线、迹线－例题1
例：设一流场，其欧拉表达式为 例：设一流场，其欧拉表达式为u u= =x x+ + tt， ，v v= = -y 求 tt = -1,-1)点的流 y+ + tt， ，w w= =0 0， ，求 =0 0 时过 时过M M ((-1,-1) 点的流 线和迹线 线和迹线
空间中的压强分布、温度分布
p = p( x , y , z , t ) T = T ( x, y, z, t )
场－分布着某种物理量的空间区域
流体力学
几种场1
定常场与非定常场
流场中每一点的物理量都不随时间变 化，称为定常场；否则，为非定常场
定常场数学描述
∂η =0 ∂t
流体力学
或
η = η ( x, y, z )