泰勒定理
泰勒中值定理
泰勒中值定理一、泰勒中值定理若)(x f 在含有0x 的某个区间I 内具有直到1n +阶导数，则当x I ∈时，有()20000000()()()()'()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n ''=+-+-++-+ ，其中拉格朗日型余项(1)0()()(),(1)!n n n f R x x x n ξξ+=-+位于0x 与x 之间．当0n =时，泰勒中值定理就是拉格朗日中值定理．取00x =，()(1)2(0)(0)()()(0)'(0),2!!(1)!n n n nf f f f x f f x x x x x n n ξξθ+''=+++++=+ 位于0与x 之间，(0,1)θ∈，其为n 阶麦克劳林公式．二、基本函数的高阶导数公式⎪⎩⎪⎨⎧<=>=-mn x A m n n m n x n m n mn m !0)()( 1)()(!)1(1+±-=⎪⎭⎫ ⎝⎛±n n m a x n a x ， nn n a x n a x )()!1()1()][ln(1)(±--=±-，a a a nx n x ln )()(=， )2sin()(sin )(πn ax a ax n n +=，)2cos()(cos )(πn ax a ax n n +=；()()()()()()12120[()()]()(),[()()][()][()]nn n n n kn k k n k k u x k v x k u x k v x u x v x C u x v x -=+=+=⋅∑； 三、基本函数的麦克劳林展开式(1)2(1)(1)(1)(1)12!!mnm m m m m n x mx x x n ---++=+++++ ,1x < (2) ++-++-+-=++1)1(432)1ln(1432n x x x x x x n n )11(≤<-x (3) ++++++=!!3!2!1132n x x x x e n x)(+∞<<-∞x (4) +--+-+-=--)!12()1(!5!3sin 12153n x x x x x n n )(+∞<<-∞x (5) +-+-+-=)!2()1(!4!21cos 242n x x x x n n )(+∞<<-∞x 当0x →时，有233(1)(1)(2)(1)1()2!3!mm m m m m x mx x x o x ---+=++++12332111(1)1()2816x x x x o x +=+-++,233ln(1)()23x x x x o x +=-++2331()1!2!3!x x x x e o x =++++,23233ln ln ln 1()1!2!3!xa a a a x x x o x =++++355sin ()3!5!x x x x o x =-++,244cos 1()2!4!x x x o x =-++,3552tan ()315x x x x o x =+++3553arcsin ()640x x x x o x =+++,355arctan ()35x x x x o x =-++例1、求下列高阶导数)()(x yn（1）设502)54(+=x y ，则!100450)100(⋅=y ．（2）设232+-=x x x y ，求)(n y ． 解： ])2(2)1(1[!)1()21(2)11(11)()()(++-++⋅-=-++=n n n n n n x x n x x y． （3）设x y x y=-，则1(2,1)1!(1),2!()n n n n n n z n x z n y y x y ++∂∂=-=⋅∂-∂ （3）设x x y 44cos sin +=，则)24cos(4)4(cos 41)43()1()()()(πn x x y n n n n +=+=-．（4）设n n x x x y )4(cos )2(2π-+=，求)()(x f n ，)1()(n f ．解：()()()0()[(1)][(2)(cos )]4nn k n k nn n k n k x f x C x x π-==-+∑ 21)(2!3|)4(cos)2(!)1(n n x nnnnn n xx n C f=+==π．（5）设函数2()sin f x x x =，求 (2009)(0)f．解：321221sin [(1)]3!(21)!n n x x x x x x n --=-++-+- 52131(1)3!(21)!n n x x x n +-=-++-+- 则(2009)(0)12009!2007!f =，故(2009)(0)20082009f=⨯． 注（1）： 若01()nn f x a a x a x =++++ ，则()(0)()(0)(0)!n n f f x f f x x n '=++++ ，于是()(0)!n n f a n =，故()(0)!n n f n a =． 注（2）：若求(2009)()4fπ，则只能用莱布尼兹公式完成．例2、计算下列极限（1）4301sin sinlim tan x x x x x x →-+；（2）20(1)ln(1)lim 1x x x x x e →-++-；（3）21lim ln(1)x x x x →∞⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦； （1）解：原式33303033000tan ~()sin 113!lim lim sin lim 6x x x x x x o x x x x x x x →→→+-=+==． （2）解：原式22222200(1)[()]()122lim lim 2x x x xx x x o x o x x x →→-+-+-+===-． （3）解：原式21222()ln(1)12lim lim 2x t x x t o x t t t t =∞-∞→∞→∞+-+=== 或（泰勒）2221111lim (())22x x x o x x x →∞⎡⎤=--+=⎢⎥⎣⎦．例3、设lim )0x ax b →+∞-=，求b a ,．解：10lim )lim x tx t bt aax b t =→+∞→--=3021001(2)()1()223lim lim 0333a t t t t o t bt o t t b b t t =→→++-⎡⎤==++-=-=⎢⎥⎣⎦∴ 32,1==b a ． 例4、当0→x 时，x x33tan -是关于x 的k 阶无穷小，则3=k ．解：（一）tan tan 00003331(tan )ln 3lim lim lim3limx x x x xk k kx x x x x x x x x -→→→→---== 3330()ln 33ln 3lim 3k k x x x o x x x =→++-==故3=k ． 解：（二）tan 0000333(tan )tan lim ln 3lim ln 3lim lim3x x k k k x x x x x x x x x xξξξ→→→→---== 33300()tan ln 33ln 3lim ln 3lim 3k k k x x xx o x x x x x x =→→++--==，故3=k ． 例5、设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有一阶连续导数,且,0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小,试确定b a ,的值．解： 由条件可知),()0()0()(h h f f h f ο+'+=).()0(2)0()2(h h f f h f ο+'+= 所以)0()2()(f h bf h af -+=).()0()2()0()1(h h f b a f b a ο+'++-+从而⎩⎨⎧=+=-+0201b a b a ,可得⎩⎨⎧-==12b a ．注（1）：设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有n 阶导数，则当0x →时，有 ()(0)()(0)(0)()!n n n f f x f f x x x n ο'=++++ ．证明：()0(0)()[(0)(0)]!lim n nn x f f x f f x x n x→'-+++ ()1'10(0)'()(0)''(0)(1)!lim n n L Hn x f f x f f x x n nx --→'-----= ()2'20(0)''()''(0)(2)!lim (1)n n L Hn x f f x f x n n n x--→----=- (1)(1)()'0()(0)(0)lim !n n n L Hx f x f f x n x --→--== (1)(1)()01()(0)[lim (0)]0!n n n x f x f f n x--→-=-=．注（2）：设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有(1)n +阶导数，利用注（1）的结论，则有()(1)10(0)()(0)(0)(0)!lim (1)!n nn n x f f x f f x xf n x n ++→'---=+ ．例6、设()f x 在0x =处具有二阶导数，且有42260()ln(1)2lim 3x x f x x x x →++-=， 求(0),'(0),''(0)f f f ．解：当0x →时，22''(0)()(0)(0)()2!f f x f f x x x ο'=+++46226ln(1)()23x x x x o x +=-++于是，422602()ln(1)lim 3x x f x x x x →++-=4566601''(0)1[(0)](0)[]()22!3lim x f f x f x x x x ο→'-++++= 201[(0)](0)''(0)12lim []2!3x f f xf x →'-+=++故有1(0),2f ='(0)0f =，而''(0)122!33f +=，即2''(0)3f =．例7、设函数)(x f 在(1,1)-内任意阶可导， ()(0)0n f ≠，1,2,n = ，且满足泰勒公式 (1)()1(0)()()(0)'(0),(1)!!n n n nf f x f x f f x x x n n θ--=++++- (0,1)θ∈，求0lim x θ→．解：()()(1)0()(0)lim (0)0n n n x f x f f xθθ+→-=≠(1)()1()()100(0)(0)()(0)'(0)()(0)(1)!!lim !limn n n nn n n x x f f f x f f x x xf x f n n n x x θ--+→→-------= (1)(1)(0)(0)!(1)!1n n f f n n n ++==++则01lim 1x n θ→=+． 例8、设()f x 在(0,)+∞内满足''()1f x ≤，且lim ()x f x →+∞存在，求证：lim '()0x f x →+∞=．解：当(0,)x ∈+∞时，任取0ε>，有2'()()()'(),(,)2f f x f x f x x x ξεεεξε+=++∈+则()()''()()()''()'()22f x f x f f x f x f f x εξεξεεεε+-+-=-≤+ 1()()2f x f x εεε≤+-+ 注意到lim ()x f x →+∞存在，有1lim '()lim[()()]22x x f x f x f x εεεε→+∞→+∞≤+-+=于是00lim '()lim lim '()lim 02x x f x f x εεε++→+∞→+∞→→=≤=故lim '()0x f x →+∞=．练习题1、设xx x f +-=11)(，则nn n x n x f )1(!2)1()()(+⋅⋅-=． 2、设函数)1ln()(2x x x f +=，则当3≥n ，2!)1()0(1)(--=-n n fn n ． 3、设222xy x y=-，则(2,1)n nz y ∂=∂ 1(1)![1]3nn n +-+．4、设函数()(1)sin f x x x x =-，则(2010)(0)f =2010-．5、计算下列极限（1）0x →=14-（2）0x x →=1（3）30arctan lim ln(12)x x x x →-=+16- （4）0tan 22tan lim sin 33sin x x x x x →-=-12-（5）22201cos lim()sin x x x x →-=43（6）30sin(sin )sin[sin(sin )]lim sin x x x x →-=166、若0)(6sin lim 30=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→x x xf x x ，则206()lim x f x x →+=36． 7、设2)()1l n (lim 220=+-+→x bx ax x x ，则------------------------------------------AA 25,1-==b aB 2,0-==b aC 25,0-==b a D 2,1-==b a8、当0,1cos cos 2cos3x x x x →-对于无穷小x 的阶数为2．9、设当)1(,02++-→bx ax e x x 是比2x 高阶的无穷小，则-------------------------AA 1,21==b aB 1,1==b aC 1,21=-=b a D 1,1=-=b a10、当230,(1)1()x x e ax bx cx o x →++=++是比2x 高阶的无穷小，试确定,,a b c ．121,,633a b c ==-=11、当0,()ln(1)1xx f x ax bx→=-++关于无穷小x 的阶数最高，试确定,a b ．11,2a b ==-12、设)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(≠f ，0)0(≠'f ，(0)0f ''≠， 求证： 存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．。
泰勒值定理
泰勒值定理
泰勒值定理是一种求一阶函数极限的重要方法，又称泰勒切线定理。
它是1776年由数学家费尔曼科尔贝克提出的，可以用来求解函数点切线斜率的极限，从而得到函数极限值。
泰勒值定理的定义：假设函数f（x）在正数a处有定义，且f （x）在a附近可以用如下切线来逼近：
y = f(a) + f(a)(x - a)
那么当x趋近于a时，函数f（x）的极限值将是f（a），这就是泰勒值定理的内容。
泰勒值定理的证明：令x = a + h，则切线式可变为：
y = f(a) + f(a)(h)
由可导性定理可得，
f(a+h) = f(a) + f(a)(h) + r(h)
其中r(h)为h趋近于0时，f（x）的残差函数。
把r（h）乘以h，可将其写成：
f(a+h) - f(a) = f(a)(h) + h.r(h)
将h取极限h→0，可得：
lim f(a+h) - f(a) = lim[f(a)h + h.r(h)]
由极限的定义可知：
lim f(a+h) - f(a) = lim[f(a)]h
得证。
综上所述，泰勒值定理是求一阶函数极限的重要方法。
它的定义
以及证明方法都可以用数学的方法来解释。
此外，它也可以应用到实际情况中，比如在经济领域，我们可以通过泰勒值定理来求出商品价格随着需求量的变化而变化。
泰勒值定理有着深远的影响，它对数学学习及应用都有着极大的帮助。
它提醒我们不要只满足于知识、技能本身，而要注重方法、理论、启发等等，去解决实际问题。
泰勒定理
泰勒定理多项式是最简单的一种函数，用多项式近似表示函数是近似计算和逼近理论的重要内容。
我们由微分定义知道，如果函数)(x f 在点0x 可导，则))(()()(000x x x f x f x f -'+≈，即在点0x 附近，用一次多项式))(()(000x x x f x f -'+近似表示函数)(x f 时，其误差为)(0x x -的高阶无穷小（当0x x →时）。
如果要提高精确度，可以用高次多项式来近似表示函数。
例如用n 次多项式近似多项式表示)(x f ，可以要求误差为))((0nx x o -（当0x x →时）。
这就是泰勒定理研究的内容。
泰勒中值定理 设函数)(x f 在含有0x 的某开区间I内有直到1+n 阶导数，)(x T n 是关于)(0x x -的n 次多项式，即nn n x x a x x a x x a a x T )()()()(0202010-++-+-+= （1）我们设想用多项式)(x T n 近似表示函数)(x f ，故不妨假设)(x T n 满足：)()(00x f x T n =，)()(00x f x T n '='，)()(00x f x T n ''=''，……)()(0)(0)(x fx T n n n=，由于kk na k x T!)(0)(=，得到)(x T n 的系数为),,2,1,0(!)(0)(n k k x fa k k ==， （2）于是nn n x x n x fx x x f x x x f x f x T )(!)()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+= （3）由式（3）确定的多项式)(x T n ，称为)(x f 在点0x 的n次泰勒多项式，由式（2）确定的系数称为泰勒系数。
定理（泰勒定理） 设函数)(x f 在含有0x 的某个开区间I 内有直到1+n 阶的导数，则在I 内的任意一点x ，成立泰勒公式)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x fx x x f x x x f x f x f n nn +-++-''+-'+= （4）其中)(x R n 称为余项，它可以表示为)1(0)1()()!1()()(++-+=n n n x x n fx R ξ，ξ在x 与0x 之间，或)(00x x x -+=θξ，10<<θ证 令)()()(x T x f x R n n -=，则0)()()()(0)(0)1(00===='=-x R x R x R x R n n n n n n ，应用柯西中值定理，得nnn n n n n n x n R x x x x x R x R x x x R ))(1()()()()()()()(01110010010-+'=----=-+++ξξ，1ξ在x 与0x 之间， （5）再次应用柯西中值定理，得1022*******0)()1()())(1())(1()()()()(-+-+''=-+--+'-'=-n nnnn nn n x n n R x x n x n x R R x x x R ξξξξ，2ξ在1ξ与0x 之间，连续1+n 应用柯西中值定理，得)!1()()()()1(10+=-++n R x x x R n nn n ξ，ξ在x 与0x 之间，因为)()1(x Tn n +=0，所以)()()1()1(x fx Rn n n++=代入式（5），得10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n fx R ξ （6）公式（4）称)(x f 在点0x 的泰勒公式。
泰勒公式简介
泰勒公式（Taylor's Theorem）是微积分中一个重要的定理，它描述了一个函数在某一点附近的局部近似。
泰勒公式的一般形式如下：
如果函数f(x)f(x)在x=ax=a处具有nn阶导数，那么在该点附近的泰勒展开式为：
其中：
f(a)f(a) 是函数在点x=ax=a处的函数值。
f'(a)f′(a) 是函数在点x=a处的一阶导数。
f''(a)f′′(a) 是函数在点x=a处的二阶导数。
f'''(a)f′′′(a) 是函数在点x=a处的三阶导数。
f(n)(a)f (n)(a) 是函数在点x=a处的第n阶导数。
这个展开式允许我们将一个复杂的函数在某一点近似为一个多项式，这在数学分析、工程、物理学和计算机科学等领域中有广泛的应用。
特别是在数值计算中，泰勒公式可以用来构建数值逼近方法，以便在计算机上近似复杂函数的值。
泰勒的定理
泰勒的定理泰勒定理（Taylor's theorem）是微积分中的重要定理之一，它以英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）命名。
泰勒定理在微积分中具有广泛的应用，能够帮助我们理解和近似复杂的函数关系。
泰勒定理的核心思想是将一个函数在某个点展开为一个无限级数，这个级数被称为泰勒级数。
泰勒级数的每一项都与函数在给定点的各阶导数有关，这使得我们能够通过一定的近似，以更简单的方式来描述函数的特性。
泰勒定理的最基本形式是一阶泰勒展开，它表达了函数在某点的值与该点的导数之间的关系。
一阶泰勒展开可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)在此展开中，f(x)是函数在点x的值，f(a)是函数在点a的值，f'(a)是函数在点a的导数。
这个展开式的意义在于，通过给定的点和导数，我们可以近似计算函数在其他点的值。
除了一阶展开外，泰勒定理还可以推广到更高阶的展开。
在一般形式的泰勒展开中，我们可以通过一系列的导数来近似计算函数在某点的值。
泰勒展开的一般形式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + fⁿ⁺¹(a)(x-a)ⁿ⁺¹/(n+1)!在这个展开中，fⁿ⁺¹(a)表示函数在点a的(n+1)阶导数。
展开的每一项都带有一个(x-a)的幂次，并且除以这一项对应的阶乘。
通过逐项相加，我们可以得到函数在给定点附近的近似值。
泰勒定理的应用非常广泛，特别是在数学物理和工程领域。
它可以用来近似计算复杂函数的值和性质，进而解决实际问题。
例如，在天文学中，泰勒定理可以用来预测行星的运动轨迹；在工程领域，泰勒定理可以用来设计电路和控制系统。
然而，泰勒定理也有其局限性。
它要求函数在展开的点附近具有足够的连续性和可导性。
当函数在某些点上不连续，或者存在奇点时，泰勒展开的逼近效果就会变差。
泰勒定理详细推导过程
泰勒定理详细推导过程泰勒定理是数学分析里非常重要的一个定理，就像一个魔法咒语，能把一个复杂的函数用简单的多项式来近似表示。
咱们先从一个简单的想法开始。
想象有一个函数f(x)，它就像一个性格多变的小怪兽，我们想找到一个多项式来模仿它的行为。
这个多项式呢，我们可以写成P(x)=a₀ + a₁(x - x₀)+a₂(x - x₀)²+...+aₙ(x - x₀)ⁿ的形式，这里的x₀就像是一个参考点，a₀,a₁,a₂...aₙ是我们要确定的系数。
那怎么确定这些系数呢？我们希望这个多项式在x₀这个点上和函数f(x)非常相似。
首先，我们让P(x₀)=f(x₀)，这就好比我们要让这个模仿的小机器人在初始位置和小怪兽站在同一个地方。
把x = x₀代入多项式P(x)，就得到a₀=f(x₀)。
接下来，我们想让这个多项式的变化趋势和函数f(x)也相似。
那函数的变化趋势怎么看呢？就是求导啊。
我们让P'(x₀)=f'(x₀)。
对P(x)求导，P'(x)=a₁+ 2a₂(x - x₀)+3a₃(x - x₀)²+...+naₙ(x - x₀)ⁿ⁻¹，再把x = x₀代入，就得到a₁=f'(x₀)。
我们还不满足，还想让它们的弯曲程度之类的也相似。
那就继续求导呗。
让P''(x₀)=f''(x₀)。
对P'(x)再求导得到P''(x)=2a₂+3×2a₃(x - x₀)+...+n(n - 1)aₙ(x - x₀)ⁿ⁻²，把x = x₀代入，就得出a₂=f''(x₀)/2。
按照这样的规律一直下去，让P⁽ᵏ⁾(x₀)=f⁽ᵏ⁾(x₀)，这里的P⁽ᵏ⁾(x)表示P(x)的k阶导数，f⁽ᵏ⁾(x)表示f(x)的k阶导数。
经过这样的计算，我们可以得到aₙ=f⁽ᵏ⁾(x₀)/k!。
这样我们就构建出了这个多项式P(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x - x₀)+f''(x₀)/2!(x - x₀)²+...+f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!(x - x₀)ⁿ。
数学泰勒定理
数学泰勒定理
泰勒定理，是一种在数学中重要的定理，常被用来解决复杂函数求值等问题。
它最初是由英格兰数学家布鲁克·泰勒提出，并以他的名字命名。
泰勒定理指：假设函数f在点a的某个邻域内具有n+1阶导数，那么此函数在
该邻域内的任何x点都能表示为关于(x-a)的n阶多项式（泰勒多项式）与剩余项
Rn(x)之和，即f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + [f''(a)(x - a)²]/2! + ... + [fn(a)(x - a)ⁿ]/n! + Rn(x)。
Rn(x)为函数f(x)的n阶泰勒展开式的余项，表征了f(x)与它的泰勒多项式Tn(x) =
f(a) + f'(a)(x - a) + [f''(a)(x - a)²]/2! + ... + [fn(a)(x - a)ⁿ]/n! 的接近程度。
而对于Rn(x)，根据拉格朗日中值定理，可以得出以下公式：Rn(x) =
[f(n+1)(ξ)(x - a)ⁿ⁺¹]/(n+1)!，其中ξ为a与x之间的某个值。
该公式表明，余项Rn(x)能够与x - a的n+1次幂正相关，并且随着|(x - a)|的增大而增大，这也是泰勒定理
的一个重要的性质。
此外，泰勒定理有很多重要的应用，如在物理、工程、经济等多个领域，都有广泛的使用。
通过泰勒级数展开，可以对复杂函数进行简化，从而达到解析或者近似解析复杂问题的目的。
泰勒原理知识点总结
一、泰勒公式泰勒公式是泰勒原理的重要内容之一。
对于一个光滑函数f(x)，泰勒公式给出了在某一点a处的函数值和导数值的近似表达式。
泰勒公式的一般形式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + R_n(x)其中，f^n(a)代表函数f在点a处的n阶导数，R_n(x)称为余项，用来表示近似值和实际值之间的误差。
当n趋向于无穷大时，余项R_n(x)趋于零，即泰勒公式能够准确地描述函数在点a附近的行为。
泰勒公式的应用范围非常广泛，它可以用来求函数值的近似解、计算函数在某一点的导数值、估计误差范围等。
泰勒公式的证明依赖于泰勒中值定理，它是微积分中的一个基本定理，用来描述函数在某一区间内的平均变化率。
泰勒中值定理的一般形式如下：f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)其中，a和b是区间[a, b]内的两个点，c是在a和b之间的某个点，且f(x)是一个可微函数。
泰勒中值定理表明，对于一个可微函数f(x)，在区间[a, b]内存在一个点c，使得区间两端的函数值的差等于该点处的导数值与区间长度的乘积。
泰勒中值定理是泰勒公式的重要基础，它为泰勒公式的推导提供了重要的支持。
二、泰勒级数泰勒级数是泰勒公式的一种特殊形式，它用无限项级数的形式来表达函数在某一点的近似值。
泰勒级数的一般形式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...泰勒级数的收敛性是泰勒原理的一个重要性质，它决定了泰勒级数在某一点附近的逼近程度。
对于一个可微函数，如果它的泰勒级数在某一点收敛，那么该函数在该点附近可以用泰勒级数来近似表示。
泰勒定理拉格朗日余项
泰勒定理拉格朗日余项泰勒定理是微积分中一个非常重要的定理，它通过利用函数在某个点附近的导数来近似表示函数在该点附近的取值。
而拉格朗日余项则提供了一个衡量泰勒近似的误差限制。
在本文中，我们将详细探讨泰勒定理和拉格朗日余项的概念及其应用。
1. 引言泰勒定理是由苏格兰数学家布鲁斯·泰勒（Brook Taylor）于18世纪初提出的，它为我们提供了一种以多项式逼近函数的方法。
泰勒定理对于求解未知函数的近似值或者分析函数的性质都有很大的帮助，因此在物理学、工程学和经济学等领域都得到了广泛的应用。
2. 泰勒级数展开根据泰勒定理，我们可以将一个函数在某个点附近展开成一个无穷级数，即泰勒级数。
泰勒级数的一般形式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)是待求的函数，a是展开的点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等分别表示函数f(x)在点a处的一阶、二阶、三阶导数。
3. 拉格朗日余项定义在实际应用中，我们通常只需要保留泰勒级数的有限项来逼近原函数。
拉格朗日余项提供了一个衡量近似误差的上界，使我们可以评估逼近的有效性。
拉格朗日余项的一般形式如下：R_n(x) = f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)/(n+1)!其中，R_n(x)表示泰勒级数的余项，f^(n+1)(c)表示函数f(x)在闭区间[a, x]内的(n+1)阶导数，c是[a, x]内的某个值。
4. 拉格朗日余项的应用拉格朗日余项在数学分析和工程实践中都有广泛的应用。
通过控制余项的大小，我们可以确定逼近函数的精度，并评估近似解的可靠性。
在数值计算中，我们可以利用拉格朗日余项来估计数值积分的误差，从而确定数值积分的精度。
拉格朗日余项还可以用来证明一些数学定理，如极值定理和泰勒中值定理。
泰勒展开定理的内容
泰勒展开定理的内容1 布拉格·泰勒定理布拉格·泰勒定理，又称泰勒级数，是数学家布拉格·泰勒提出的一种方法，能够用一系列的幂函数级数，来逼近任意给定的连续函数。
它主要讲述了在某个特定的点，由函数所及到的无限多次派生一致地收敛的性质，被用来拟合一些微分方程中出现的复杂的函数。
2 定义布拉格·泰勒定理要求满足一定条件的函数，可以迭代展开为无限多项式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{\left(n\right)}(a)}{n! }(x-a)^n$$其中，$f\left ( x \right )$ 为定义域上的任何函数，$f^{(n)}$ 表示函数的n次导数，$a$ 则为函数的某个定义域上的一点，如果把 $a$ 写为 $x_0$ ,上式可以表示为：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{\left(n\right)}(x_{0}) }{n!}(x-x_{0})^n$$3 性质布拉格·泰勒定理有这样一个重要特性：若近似函数$f(x)$和原函数$g(x)$在$x_0$处存在$n$阶导差分，那么这两个函数也在展开点$x_0$附近存在$n$阶差分。
布拉格·泰勒定理还有这样一个性质：当$x_0$为函数g(x)的定义域中某一点时，函数$f(x)$越接近原函数$g(x)$，其展开的级数的项数越多。
4 应用布拉格·泰勒定理在计算机科学、物理和工程等领域有广泛的应用，可以解决很多复杂的数学难题。
例如，在函数的求导中，可以使用它来求函数的高阶导数。
它还有以下应用：（1）用布拉格·泰勒级数来解决积分问题（2）研究物理中经典非线性方程（3）用于数值分析，可以用来求解积分或者微分方程（4）在研究复变函数时用来求解其在某个极限点处的极限值（5）用于物理建模与复杂系统建模（6）用于数字图像处理5 结论布拉格·泰勒定理是一种解决复杂函数的简单计算方法，它的性质和应用十分广泛，可以解决各个学科中的多个函数问题。
3.3 Taylor(泰勒)定理
x0 )n1 . (
在
x0
与
x
之间)
13
3.3 Taylor定理
定理 3.8 设函数 f 在 x0 的某邻域 N ( x0 ) 内具有 n 1阶导
数，则对 x N ( x0 ) ，有
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x x0 )
f
( 2
x0 !
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 ) n!
(k 1)! (1 x)k
，
故 ak
f (k ) (0) (1)k1 (k 1)! (1)k1
k!
k!
k
(k 1,2, , n) ，
ln(1 x) x x 2 x 3 x4 (1)n1 x n o( x n ) ，
234
n
9
3.3 Taylor定理
（3） f ( x) sin x ∵ f (n)( x) sin( x n ) ，
f ( x0 )( x x0 )
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
],
Rn( x) f ( x) Pn( x) 在 (a, b) 内具有直到 (n 1) 阶的导数，且
Rn ( x0 ) 0 ， Rn ( x0 ) 0 ， Rn( x0 ) 0 ，…， Rn(n) ( x0 ) 0 由洛必达法则知 lim Rn ( x) lim Rn ( x)
f 在 x0 处带有 Peano 余项的 n 阶 Taylor 公式。
特别地，称在 x0 0 的泰勒公式为 Maclaurin(麦克劳林)公式:
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn o( xn )
泰勒展开定理
泰勒展开定理泰勒展开定理，又被称为泰勒级数，是一种重要的数学原理。
它可以用来在某一点附近对具有可微函数进行展开，以求出该函数的渐近线，然后可以用来判断该函数的渐近性质。
泰勒展开定理是不可或缺的重要部分，无论是在数学、物理或者其他科学领域，它都起着重要作用。
首先，让我们来简要介绍一下泰勒展开定理。
在一般情况下，函数有以下特性：1、它可以在某一点附近对具有可微函数进行展开，以求出该函数的渐近线。
2、该函数在某一点趋于某一限，或者说该函数在某一点趋于有限值。
3、该函数在某一点的导数，也叫它的一阶导数或初等导数，比如，在某一点的一阶导数等于某一常数。
举个例子来说，比如函数f(x)=x^2+1，那么它的一阶导数就等于2x，即f’(x)=2x。
泰勒展开定理就是在该函数的某一点处展开，如果将该函数展开在点c处，则有：f(x) = f(c)+(x-c)*f’(c)+1/2[(x-c)^2*f’’(c)+……] 它由多项式和有限项组成，前面是定点c，后面括号部分是x减c，上面加，下面减组成的数量级，从小到大排成级数，就叫做泰勒级数。
泰勒展开的数学原理可以推广到更高的情况下，比如可以将二阶导数和三阶导数也展开到泰勒级数中，这样可以求出更精确的结果。
泰勒展开定理最重要的应用之一，就是用来分析函数的渐近性质。
通常情况下，用泰勒展开定理可以求出函数在某一点处的渐近线。
如果该渐近线有限，则该函数在该点处有有限极限，这就是函数的渐近性质。
泰勒展开定理还可以用于求极限的问题。
比如在求极限的问题中，可以先用泰勒展开定理求出函数在某一点处的渐近线，然后再用其他方法求极限。
此外，泰勒展开定理还可以应用于许多其他领域，包括物理学和工程学。
比如在物理学中，它可以用来求出物体在某一点处的速度、加速度等参数；在工程学中，它可以用来分析系统的动态特性。
总之，泰勒展开定理是一种重要的数学原理，其应用非常广泛，可以用来分析函数的渐近性质，以及求解极限问题等。
泰勒定理推导过程
泰勒定理推导过程嘿，朋友！你有没有想过，一个复杂的函数就像一座神秘的城堡，我们很难一眼看清它内部的构造。
不过呀，泰勒定理就像是一把神奇的钥匙，能帮我们把这个城堡一点一点拆开来看个明白呢。
我记得我刚开始学泰勒定理的时候，那简直是一头雾水啊。
老师在黑板上写着那些密密麻麻的式子，我就想，这都是啥呀？这就好像突然把我丢进了一个迷宫，完全不知道出口在哪。
那我们就来好好探究一下这个泰勒定理的推导过程吧。
想象一下，我们有一个函数$f(x)$，这个函数就像一个调皮的小精灵，它在数轴上蹦来蹦去，我们想抓住它的规律。
我们先从一个比较简单的情况开始想。
假如这个函数$f(x)$在某一点$x = a$附近是非常“乖巧”的，就是说它是平滑变化的。
那我们可以试着用一个多项式来近似这个函数。
为啥是多项式呢？多项式就像是一个个小积木，我们可以通过调整这些小积木的系数，来尽量拼成和这个函数相似的形状。
我们先假设这个近似的多项式是$P(x) = c_0 + c_1(x - a)+c_2(x - a)^2 + c_3(x - a)^3+\cdots + c_n(x - a)^n$。
这里的$c_0,c_1,\cdots,c_n$就是我们要找的那些小积木的系数啦。
那怎么找到这些系数呢？我们就想啊，如果这个多项式$P(x)$真的能很好地近似$f(x)$，那在$x = a$这一点，它们应该是相等的吧。
所以我们先让$x = a$，这时候$P(a)=c_0$，而$f(a)$是函数在$a$点的值呀，那很自然地，$c_0 = f(a)$。
哇，找到第一个系数了，是不是感觉还挺有意思的呢？那接下来找$c_1$呢？我们就想啊，既然要近似得好，那在$a$点附近，它们的变化率应该也差不多吧。
函数的变化率是啥呢？就是导数呀。
那我们对$P(x)$求导，$P^{\prime}(x)=c_1 + 2c_2(x - a)+3c_3(x - a)^2+\cdots + nc_n(x - a)^{n - 1}$。
泰勒定理
麦克劳林(Maclaurin)公式 麦克劳林(Maclaurin)公式 (Maclaurin)
f ′′(0) 2 f (n) (0) n f ( x) = f (0) + f ′(0)x + x +L+ x 2! n! f (n+1) (θx) n+1 x (0 <θ < 1) + (n + 1)!
设 数f (x)在 有x0的 区 (a,b) 内 有 到 函 含 开 间 具 直
(n + 1)阶 数 P(x) 为 项 函 导 , 多 式 数
P (x) = a0 + a1(x − x0 ) + a2(x − x0 )2 +L+ an(x − x0 )n n
差 n 误 R ( x) = f ( x) − P ( x) n
由 式 则 上 得
f (n+1) (ξ ) R ( x) = ( x − x0 )n+1 (ξ在 0与 之 ) x x 间 n (n+1)!
f (k) ( x0 ) P ( x) = ∑ ( x − x0 )k n k=0 k! − 称为 f (x)按( x− x0 )的幂展开的 n 次 Taylor 多项 式
公式的数学思想---局部逼近. ---局部逼近 Taylor 公式的数学思想---局部逼近.
公式的数学思想---局部逼近. ---局部逼近 Taylor 公式的数学思想---局部逼近.
公式的数学思想---局部逼近. ---局部逼近 Taylor 公式的数学思想---局部逼近.
公式的数学思想---局部逼近. ---局部逼近 Taylor 公式的数学思想---局部逼近.
f ′′( x0 ) f ( x ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2! ( n) f ( x0 ) f ( n+1)(ξ ) +L+ ( x − x0 )n + ( x − x0 )n+1 n! ( n +1)!
泰勒定理的内容和意义
泰勒定理的内容和意义泰勒定理是一种数学表达，它描述了函数在临界点附近多次微分（即对函数求导）后，在临界点附近变成一个特殊形式的近似表达式。
它常用来描述函数在特定点附近的行为，在很多学科中得到了广泛的应用，特别是数学物理学。
泰勒定理描述的是一个函数f(x)在点x=a附近的行为，它可以用一个函数的指数展开形式写成：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+1/2f''(a)(x-a)^2+···+1/n!f^n(a)(x-a)^n+ ···这里f(a)表示函数f(x)在点x=a处的值，f'(a)表示函数在点x=a处的一阶导数，f''(a)表示函数在点x=a处的二阶导数，以此类推。
这个式子中的后面的项称为泰勒展开的高阶项，因此泰勒定理也称为泰勒展开。
但如果只考虑上式中的前几项，这种称为泰勒近似。
泰勒定理的证明要证明泰勒定理我们需要一些数学工具。
首先，我们需要用到泰勒级数定理，它描述了某些函数在某一点可以用指数函数求和约化表示：f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n这里f^n(a)表示函数f(x)在点x=a处的n次微分。
泰勒近似则是限定上面等式的和的范围：因此，为了证明泰勒定理，我们需要证明上面的等式与前面的泰勒级数定理时等价的，即f(x)等于上面两个等式的和。
（3）两边取n次导数，可以得出：f^n(a)=f^n(x)（4）由（3）和（1）可以知道：（5）将（4）与（2）结合可以得出：因此，我们可以得出结论：若函数f(x)在点x=a处可以按照泰勒级数来展开，则f(x)在点x=a附近的行为可以用泰勒展开来描述。
泰勒定理促进了数学物理学的发展，对解决数学物理学中的复杂问题起着重要的作用。
例如，利用泰勒定理，我们可以对复杂的函数进行微分和积分，因此可以应用在很多物理学的问题中，例如量子力学，热力学，电动力学等。
泰勒定理的发展
泰勒定理的发展
泰勒定理是一个数学定理，它提供了一种方法来计算一个函数在某一点处的极限。
该定理最初由泰勒在1715年提出，但它的发展可以追溯到古希腊时期。
在此期间，哥白尼和牛顿等数学家们提出了类似的概念，但他们没有提出一个具体的定理。
泰勒定理的发展可以分为三个阶段：
第一阶段：1715年，泰勒首次提出了泰勒定理，但他的定理仅限于一阶导数。
第二阶段：1821年，德国数学家卡尔·贝尔提出了泰勒定理的更一般形式，允许求解任意阶导数。
第三阶段：20世纪初，美国数学家莱恩·罗素提出了泰勒定理的更一般形式，允许求解任意复杂的函数。
今天，泰勒定理仍然被广泛使用，它在微积分、数学分析和其他数学领域中都有广泛的应用。
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泰勒定理，函数极值判定当一个函数给出了具体表达式后，有的函数值并不是很容易计算，例如f(x)＝e x，f(0.312)＝e 0^312，若用十进制表示，如果不借助计算器或查表是很难计算出来的。
如何解决这一难题，多项式函数是各类函数中最简单的一种，因为它只需用到四则运算，从而使我们想到能否用多项式近似表达一般函数，实际上这是近似计算与理论分析的一个重要内容。
若函数为n 次多项式f(x)＝a ０+a 1（x-x ０）＋a ２（x-x ０）２＋……＋a n (x-x ０)n(1) 逐次求它在x=x ０处的各阶导数，有f(x ０)＝a ０，f ′（x ０）＝a １，f ″（x ０）＝2!，a ２，……，f (n)(x ０)＝n!a n即 a ０＝f(x ０)，a １＝f ′（x ０），a ２＝!2)x ("f 0……，a n ＝!n )x (f 0)n (因而(1)式可写为f(x)=f(x ０)+f ′（x ０）（x －x ０）＋!2)x ("f 0 (x －x ０)２＋……＋!n )x (f0)n ( (x －x ０)n(2)所以多项式f(x)的各项系数由其各阶导数值唯一确定对一般函数f(x)，若存在直到n 阶导数，则按(2)式右端也可以相应地写出一个多项式，记作P n (x)，则P n (x)＝f(x ０)＋!1)x ('f 0 (x-x ０)＋!2)x ("f 0(x-x ０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x-x ０)n 那么f(x)与P n (x)之间有什么关系呢，由拉格朗日定理知，若f(x)在x ０的邻域内存在一阶导数，则f(x)－f(x ０)＝f ′(ζ)(x －x ０) 即 f(x)＝f(x ０)＋f ′（ζ）(x －x ０) 若f(x)在x ０的邻域内存在n+1阶导数，则f(x)=P n (x)＋Ｋ（x －x ０）n ＋１k 与f （n+1）（ζ）有关，因此，我们猜想f(x)=P n (x)＋)!1n ()(f)1n (+ξ+ (x-x ０)n+1因此，有定理(泰勒(Taloyr )定理) 设函数f(x)在区间X 上存在n ＋1阶导数，对每一个x ０∈X ，则任给x ∈X,有 f(x)＝P n (x)＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x －x ０)n＝f(x ０)＋f ′（x ０）（x －x ０）＋!2)x ("f 0 (x －x ０)２＋……＋!n )x (f0)n ( (x －x ０)n ＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x-x ０)n(1)ζ介与x ０，x 之间的某一点。
分析 (1)式 当n=0时，就是拉格朗日定理，由此启发我们采用类似拉格朗日的证法，选用k 值法，构造函数，应用罗尔定理。
证 任给x ∈X ，这时x 看成常数，且x ≠x ０设 1n 01n 00)n (000)x x ()x x (!n )x (f )x x )(x ('f )x (f [)x (f ++--++-+- ＝Ｋ (2)只需证明至少存在一点ζ介与x ０，x 之间，使k ＝)!1n ()(f )1n (+ξ+由(2)式知f(x)-［f(x ０)＋f ′(x ０)(x-x ０)＋!2)x ("f 0(x-x ０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x-x ０)n］－k(x －x ０)n ＋１＝０(3)构造函数φ(t)=f(x)-［f(t)＋f ′（t ）(x-t)＋!2)t ("f (x-t)２＋……＋!n )t (f )n ( (x-t)n］－k(x-t)n ＋１这里k与t 无关，因此对t 来说是常数。
由φ(x)=0,由(3)知，φ(x ０)＝０，而φ(t)在［x ０，x ］(或［x １，x ０］)上可导，所以φ(t)在该区间上也连续，由罗尔定理知，至少存在一点ζ介与x ０，x 之间，使φ′(ζ)＝０由 φ′(t)=-［f ′（t ）－f ′（t ）＋f ″（t ）(x-t)-f ″（t ）(x-t)＋!2)t ('"f (x －t)２－!2)t ('"f(x-t)２＋!3)t (f )4( (x-t)３＋……－)!1n ()t (f )n (- (x-t)n-1＋!n )t (f)1n (+ (x-t)n ］＋（n+1）k(x －t)n－＝!n )t (f)1n (- (x-t)n＋(n ＋1)k(x-t)n,有 －!n )(f )1n (ξ+ (x-ζ)n＋（n+1）k(x －ζ)n＝０，ζ介与x ０，x 之间，且x ≠ζ，有!n )(f )1n (ξ+－（n+1）k＝０，即k ＝)!1n ()(f )1n (+ξ+因此结论成立，(1)式称为函数f(x)在点x=x ０处的阶泰勒公式)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x-x ０)(n ＋1)称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项，记作R n (x)即 R n (x)＝)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x-x ０)(n-1)由ζ＝x ０＋θ(x-x ０)有 R n (x)＝)!1n ())x x (x (f 00)1n (+-θ++ (x-x ０)(n ＋1)０＜θ＜1P n (x)＝f(x ０)＋f ′（x ０）（x －x ０）＋!2)x ("f 0 (x-x ０)２＋……＋!n )x (f0)n ( (x －x０)n称为n 次泰勒多项式。
若 f(n+1)(x)在X 上有界，即存在M ＞0，对一切x ∈X ，有｜f（n+1）(x)｜≤M则用P n (x)的近似表示函数f(x),则误差 ｜f(x)－P n (x)｜＝｜P n (x)｜≤)!1n (M +｜x-x ０｜n+1如果x ０＝０，则f(x)=f(0)＋f ′(0)x+!2)0("f x ２＋……＋!n )0(f)n (x n ＋)!1n ()(f )1n (+ξ+x n ＋１ (4) ζ介与o ，x 之间，这个公式称为马克劳林公式，余项为R n （x ）＝)!1n ()(f)1n (+ξ+x n+1＝)!1n ()x (f)1n (+θ+x n+1 0＜θ＜1 §3.2 几个常数函数的马克劳林公式实际中最常用的还是马克劳林公式，因为这时的马克劳林多项式P n (x)= f(0)＋f ′(0)x+!2)0("f x２＋……＋!n )0(f)n (x n 更简单，计算更容易，而且有了函数的马克劳林公式以后，利用马克劳林公式可求出函数的泰勒公式。
(1)f(x)=e x的马克劳林公式 由f (n)(x)＝e x,则f （n ）(0)＝e ０＝１，f (n+1)θx ＝e θx代入公式(4)有 e x=1+x+!2x 2＋……＋!n x n ＋)!1n (x e +θx n+10＜θ＜1(2)f(x)=sin x 的马克劳林公式 由f (n)(x)＝sin(x+n ·2π) f(0)=0当 n=2m 时，f(2m)(0)=sinm π＝０ m=0,1,2,3…… 当 n=2m ＋１时，f (2m ＋１)(0)=sin(2m ＋１)2π＝sin(m π+2π)＝（－１）mm=0,1,2,3……当 n=2m ＋２时，f(2m ＋２)(θx)=sin(θx+(2m ＋2) 2π)代入(4)式，有sinx=x-!3x 3+!5x 5-!7x 7+……＋（－１m)!1m 2(x 1m 2++＋)!2m 2()x m sin(+θ+π+πx ２m ＋２0＜θ＜1(3)f(x)=cosx 的马克劳林公式由f（n ）＝cos(x+n2π) f(n)(0)＝cosn 2π f(0)=1当 n=2m 时，f (2m)(0)=cos m π＝(－１)m当 n=2m ＋１时，f (2m ＋１)(0)=cos (m π＋2π）＝0当 n=2m ＋２时，f (2m ＋２)(θx)=cos(θx+m π＋π)代入(4)得cosx=1-!2x 2＋!4x 4＋……＋（－１）m)!m 2(x m2＋)!2m 2()m x cos(+π+π+θx2m+2ο＜θ＜1(4)f(x)=ln(1+x)的马克劳林公式由f (n)(x)＝（－１）n －１(n －１)!（1＋x ）－nf (n)(0)＝（－１）n －１(n －１)!f （0）＝０f(n ＋１)(θx)＝（－１）nn!（1＋θx ）－(n ＋1)代入(4)得ln(1+x)=x-2x 2＋3x 3－4x 4＋……＋（－１）n-11n 1n )x 1)(1n (x ++θ++x n+10＜θ＜１(5)f(x)=(1+x)a由f (n)(x)＝a （a －１）……(a －n ＋１)（1＋x ）a －nf (n)(0)＝a （a －１）……(a －n ＋１),f （o ）＝０f(n ＋１)(θx)＝a （a －１）……(a －n ）（1＋θx ）a －n －１代入(4)得(1+x)a=１＋ax ＋!2)1a (a -x ２＋……＋!n )1n a ()1a (a +-- xn＋)!1n ()n a ()1a (a +-- a1n 1n )x 1(x -++θ+ 0＜θ＜１§3.3 带有皮亚诺型余项的泰勒公式由拉格朗日余项形式比较复杂，能否用更简单的形式表示，由f(x)在点x ０可微的定义知 △y=f(x)-f(x 0)=f ′（x o ）(x-x o )＋o(x-x ０)， (x →x ０)即f(x)＝f ′（x 0）(x-x 0)＋o(x-x ０) (x →x ０)因此，余项可用o(x-x 0)n 的形式，而且条件也比泰勒定理的条件弱的多。
定理 若f(x)在点x o 处存在n 阶导数，则f(x)=f(x 0)＋f ′（x ０）(x-x ０)＋!2)x ("f 0 (x-x ０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x －x ０)no ［（x －x ０）n］证 设F(x)＝f(x)-［f(x ０)＋f ′(x ０)(x －x ０)＋!2)x ("f 0 (x －x ０)２＋…＋!n )x (f0)n ( (x －x ０) n ］G(x)＝（x －x ０）n，应用洛比达法则，和f(x)在点x ０存在n 阶导数的定义，有x x lim→)x (G )x (F (00)＝x x lim→)x ('G )x ('F (00)＝……＝)x (G )x (F)1n ()1n (-- (00) ＝x x lim→)x x (2)1n (n )x x )(x (f )x (f )x (f000)n (0)1n ()1n (-------!n 10x x lim →［00)1n ()1n (x x )x (f )x (f ----－f (n)（x ０）］＝０，因此F(x)=o(G(x))=o((x-x ０)n)(x-x ０)，即f(x)＝f(x ０)＋f ′（x ０）(x-x ０)＋!2)x ("f 0 (x-x ０)２＋……＋!n )x (f0)n ( (x-x０) n ＋o((x-x ０)n)(x →x ０)称R n (x)=o((x-x ０)n)为泰勒公式的皮亚诺(Reano)型余项，相应的马克劳林公式是f(x)=f(0)+f ′(0)x+!2)0("f x ２＋……＋!n )0(f)n (x n ＋o(x n )(x →０) 带有皮亚诺余项的五个常用函数的马克劳林公式为e x＝1＋x+!2x 2＋……＋!n x n＋o(x n) (x →0)sinx=x-!3x 3＋!5x 5－!7x 7＋……＋(－１)n)!1n 2(x 1n 2++＋o(x2n+2) (x →0)cosx=1-!2x 2＋!4x 4－!6x 6＋……＋(－１)n )!n 2(x n 2＋o(x 2n+1) (x →0)ln(1+x)=x-2x 2＋3x 3－4x 4＋……＋(－１)n －１nx n ＋o(x n ) (x →0)(1＋x ）a=１＋ax ＋!2)1a (a -x a＋……＋!n )1n a ()1a (a +-- x n＋o(x n) (x →0)若f(x)=Ax k＋o(x k),A 为常数,A ≠0(x →0)，则f(x)～Ax k事实上，0x lim →kAx )x (f ＝x lim →kk x)x (o k )x (A +＝１因此，利用带有皮亚诺余项的泰勒公式可以求出某些函数的极限，即 若f(x)=Ax k＋o(x k) （x →0） A ≠0g(x)=Bx m＋o(x m) （x →0） B ≠0则x lim →)x (g )x (f ＝0x lim →m kBx Ax ＝⎪⎩⎪⎨⎧>=<∞mk 0m k B A m k例1x lim →42x x ex cos 2--解 由2x 2ex cos --＝(1－!2x 2＋!4x 4＋o(x４))－（１－2x 2＋!214x 4＋o(x ４)）(!41－!241⋅)x ４＋o(x ４)～－121x ４(x →0)则x lim →42x x e x cos 2--＝x lim→44x x 21-＝－121例2 0x lim →3x x )x 1(x sx e +-解x lim →3x x )x 1(x sx e +-＝0x lim →33322x )x 1(x ))x (o )!3x x ())x (o !2x _x _1+-+-⋅+＝0x lim →333x )x (o x31+＝31§3.4 泰勒公式的应用利用马克劳林公式，就可计算出三角函数，常用对数，自然对数的值，三角函数及自然对数表就是利用这个原理制作的。