2.6.2有理数的加法运算律
有理数的加减乘除法则
有理数的加减乘除法则有理数是指可以表示为分数形式的数，包括整数、分数和小数。
有理数的加减乘除法则是数学中非常重要的基本运算规则，它们在解决实际问题和简化数学运算中起着至关重要的作用。
本文将详细介绍有理数的加减乘除法则，帮助读者更好地理解和掌握这些基本运算规则。
一、有理数的加法规则有理数的加法规则是指对两个有理数进行加法运算时的规则。
对于同号的有理数，直接将它们的绝对值相加，并保持原来的符号；对于异号的有理数，可以先求它们的绝对值之差，然后取绝对值较大的数的符号作为和的符号。
例如，对于-3和5进行加法运算，先求它们的绝对值之差，即5-3=2，然后取绝对值较大的数5的符号为正号，所以-3+5=2。
二、有理数的减法规则有理数的减法规则是指对两个有理数进行减法运算时的规则。
减法可以看作加法的逆运算，即a-b=a+(-b)，其中-a表示b的相反数。
因此，有理数的减法可以转化为加法运算，然后按照加法规则进行计算。
例如，对于6和-3进行减法运算，可以转化为6+(-3)=6-3=3。
三、有理数的乘法规则有理数的乘法规则是指对两个有理数进行乘法运算时的规则。
对于同号的有理数，它们的乘积为它们的绝对值相乘，并保持正号；对于异号的有理数，它们的乘积为它们的绝对值相乘，并取负号。
例如，对于-2和3进行乘法运算，-2*3=-6；对于-2和-3进行乘法运算，-2*(-3)=6。
四、有理数的除法规则有理数的除法规则是指对两个有理数进行除法运算时的规则。
有理数的除法可以转化为乘法运算，即a÷b=a*b的倒数。
其中，倒数是指一个数的倒数是它的倒数是1除以这个数。
因此，有理数的除法可以转化为乘法运算，然后按照乘法规则进行计算。
例如，对于-6和3进行除法运算，可以转化为-6*1/3=-2。
以上就是有理数的加减乘除法则的详细介绍。
有理数的加减乘除法则是数学中非常基本的运算规则，它们在解决实际问题和简化数学运算中起着至关重要的作用。
2.6 有理数的加法知识点总结与例题讲解
2.6有理数的加法知识点总结与例题讲解一．本节知识点（1）有理数的加法法则.（2）有理数加法的运算律.二、本节题型（1）有理数的加法.（2）运用加法运算律进行简便运算.（3）有理数加法的应用.三、知识点讲解有理数的加法法则:1. 同号两数相加,取与加数相同的正负号,并把绝对值相加;2. 绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的正负号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;3. 互为相反数的两个数相加得零;4. 一个数与零相加,仍得这个数.注意（1）一个有理数由正负号和绝对值两部分组成,进行加法运算时,应注意确定和的正负号及绝对值.（2）有理数加法法则简记为:一定二求三加减.一定定和的符号;二求求每个加数的绝对值;三加减根据“有理数加法法则”把绝对值相加或相减.有理数加法的运算律加法交换律两个有理数相加,交换加数的位置,和不变.加法结合律三个有理数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.总结有理数加法的运算技巧（1）和为零的几个数先相加;（2）符号相同的数先相加;（3）同分母的数先相加;（4）能凑整的数先相加;（5）进行带分数的加法运算时,先把带分数化为一个整数与一个真分数的和.四、例题讲解例1. 计算:（1）()()112-++; （2）()()1212++-;（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-3221; （4）()3.44.3+-. 分析: 应熟记有理数加法法则,根据法则确定和的符号与绝对值.解:（1）原式()9211-=--=;（2）原式0=;（3）原式6764633221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=; （4）原式()9.04.33.4=-+=.例2. 计算:（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-6121; （2）212315+⎪⎭⎫ ⎝⎛-. 解:（1）原式326461636121-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=; （2）原式()212315++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-= ()[]()613213125+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-= 652-=. 注意 （1）中的结果应通过约分化为最简分数.例3. 计算:()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-955446.23.654.195543.2. 分析: 因为3.2-与3.6+,54.1-与46.2-能凑成整数,9554-与9554+互为相反数,所以运用加法结合律把它们结合在一起,会使计算简便.解: 原式()[]()()[]46.254.1955495543.63.2-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-= ()404-++=0=.例4. 用简便方法计算:（1）548314541326+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-; （2）()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+17465.265.31713. 解:（1）原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=548541314326 ()711+-=4-=;（2）原式()[]()[]665.25.31741713+-++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ()011+-+=0=.例 5. 某出租车司机一天下午以鼓楼为出发点在东西方向运营,向东走为正,向西走为负,行车里程（单位: km ）依先后顺序记录如下:9+ , 3- , 5- , 4+ , 8- , 7+ , 3- , 6- , 4- , 10+ .（1）将最后一名乘客送到目的地,出租车离出发点鼓楼多远?在鼓楼的什么方向?（2）若每千米的价格为2元,该司机一个下午的营业额是多少?解:（1）()()()()()()()()()()10463784539++-+-+-+++-+++-+-++ ()()()()()()()[]46385310749-+-+-+-+-+-++++=()2930-+=1=（km ）.答: 最后一名乘客送到目的地,出租车离出发点鼓楼1km,在鼓楼的东方;（2）()210463784539⨯++-+-+-+++-+++-+-++ ()210463784539⨯+++++++++=259⨯=118=（元）.答: 该司机一个下午的营业额是118元.。
2.6.2有理数加法的运算律
1.小学学过的各种运算律在有理数内依然适用. 2.有理数加法的一般运算步骤是: a.先把同号的数相加； b.互为相反数的两个数可以先加；
c.几个数相加可得整数时可以先加；
d.分母相同的可以先加.
奔向理想人生的征途是漫长的，但是
只要坚强不屈地向前奋进，理想就一定会
实现.
把后两个数相加，和不变，即(a+b)+c=a+(b+c).
那你认为这两个运算律在有理数范围内还成立吗？
算一算
一、（1）（－30）+20= -10 （2）20 +（－30）= -10
（3）8+（－5）= 3
（4）（－5）+8= 3
二、（1）〔8+（－5）〕+（－4）= -1
（2） 8+〔（－5）+（－4）〕= -1 通过计算，你得出了什么结论？
求这10 筐苹果的总重量. 解： 2+(-4)+2.5+3+(-0.5)+1.5+3+(-1)+0+(-2.5) = (2+3+3)+(-4)+[2.5+(-2.5)]+[(-0.5)+(-1)+1.5]
=8+(-4)= 4
30×10 + 4 = 304 答：10筐苹果总重量是304千克.
【跟踪训练】
=(26+5)+[(-18)+(-16)]
= 31+(-34) = -(34-31) =-3
【跟踪训练】
计算：1.23+(-17)+6+(-22) 2.5+(-6)+3+9+(-4)+(-7) 3.(-2)+3+1+(-3)+2+(-4) 第3题的两种解法： 1.把正数和负数分别结合在一起相加; 2.把互为相反数的两个数结合在一起相加. -10 0
第九课时：有理数加法的运算律
30×10+4=304千克
答：这10筐苹果的总共重304千克
你 用 解法一：31+(-28)+28+69 解：原式 =（31+69+28）+(-28) 的 哪 =128+(-28)=100 一 种 解法二：31+(-28)+28+69 方 解：原式 =31+[(-28)+28] +69 法 =31+0+69=100 ？ 解法三：31+(-28)+28+69 解：原式 =（31+69）+[(-28)+28] =100+0=100
答：这10筐苹果的总共重304千克
例3、 有10筐苹果，以每筐30千克 为准，称重记录如下：2，-4， 2.5，3，-0.5，1.5，3，-1，0，2.5 。问这10筐苹果的总共重多少？ 解 2+（-4）+2.5+3+（-0.5）+1.5+3+ 法2： （-1）+0+（-2.5）=4
加法的结合律： (a+b)+c=a+(b+c)
总结提
交换律改变 加数的前后位置
加法的交换律：a+b=b+a 加法的结合律： (a+b)+c=a+(b+c)
结合律改变 运算的先后顺序
这样，多个有理数相加可以任意交换加数位置， 也可以先把其中的几个数相加，使计算简化。 （简便计算）
例1、计算(＋26)+(-18)+5+(-16)
=（-4）+【（-7）+7.3】
=（-4）+0.3 =-3.7 换成相反数相加
2.6.2 有理数加法的运算律
课题有理数加法的运算律【学习目标】1．让学生能运用加法运算律简化加法运算；2．让学生理解加法运算律在加法运算中的作用，适当进行推理训练；3．培养分类与归纳能力，强化学生的数形结合思想，提高学生的自学能力及理解能力，激发学生学习数学的兴趣．【学习重点】有理数加法的运算律，并能运用加法运算律简化运算．【学习难点】灵活运用加法运算律简化运算．行为提示：创设问题，情境导入，结合生活中的实际例子，充分调动学生的积极性，激发学生求知欲望．(可设成抢答题型)行为提示：让学生阅读教材，尝试完成“自学互研”的所有内容，并适时给学生提供帮助，率先做完的小组内互查，大部分学生完成后，进行小组交流．学法指导：加法运算律对所有的有理数都成立，用自己的语言表达所发现的结论或规律．行为提示：让学生感受字母表示数的含义，同时也让学生体会到数学符号语言的简洁性．学法指导：若使此题计算简便，可以先利用加法的结合律，将正数与负数分别结合在一起进行计算．情景导入 生成问题1．叙述有理数加法的法则．2．计算：(1)(－10)＋(－8)＝__－18__； (2)(－6)＋(＋6)＝__0__；(3)(－37)＋0＝__－37__； (4)(－843)＋(－557)＝__－1400__；(5)(－25)＋(＋15)＝－15； (6)(＋112)＋(－216)＝__－23__． 3．在小学里我们学过加法的运算律：加法的交换律__、加法的结合律．引入负数后，这些运算律是否还成立呢？自学互研 生成能力知识模块一 有理数加法运算律阅读教材P 32～P 33，完成下面的内容．1．探究有理数加法交换律探究 计算：30＋(－20)，(－20)＋30，两次所得的结果相同吗？再换几个加数试一试，从上述计算中，你能得出什么结论？2．探究有理数加法结合律探究 计算[8＋(－5)]＋(－4)，8＋[(－5)＋(－4)]，两次所得的和相同吗？再换几个加数试一试，从上述计算中，你能得出什么结论？归纳：(1)有理数加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变． 用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a.(2)有理数加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．用字母表示为：(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)．范例：在23＋(－2.5)＋3.5＋(－23)＝[23＋(－23)]＋[(－2.5)＋3.5]中运用了( C )A ．加法的交换律B ．加法的结合律C ．加法的交换律和结合律D ．以上都不对仿例：根据加法的交换律和结合律，在式子中填出相应的数．(1)－4＋__(－15)__＝(－15)＋__(－4)__；(2) (－1.75)＋12＋(－0.25)＝12＋[(－1.75)＋__(－0.25)]；(3)(－2.28)＋3.7＋(－3.72)＋6.3＝[(－2.28)＋(－3.72)]＋[3.7＋6.3]．做这一类题应注意：多个有理数相加，为了简化计算，可以运用加法的交换律和结合律先进行下列运算：(1)互为相反数的两个数结合；(2)同分母分数的结合；(3)符号相同的数相结合；(4)能凑成整数的先结合．行为提示：当加数较大或位数较多时，常采用一个居中的数作为标准数，分别用正负数表示其他的数，通过求这些数的和以求得原加数的和，这样做较为简单．行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配任务，各组展示过程中，教师引导其他组进行补充、纠错、释疑，然后进行总结评分．展示目标：知识模块一展示重点在于让学生掌握有理数加法的运算律；知识模块二展示重点在于让学生合理、灵活地运用加法的运算律；知识模块三展示重点在于结合实际问题有选择地运用加法的运算律．知识模块二有理数加法运算律的应用范例：计算：16＋(－25)＋24＋(－35)．解：16＋(－25)＋24＋(－35)＝16＋24＋(－25)＋(－35)(加法交换律)＝16＋24＋[(－25)＋ (－35)](加法结合律)＝40＋(－60)(有理数加法法则)＝－20.(有理数加法法则)仿例：计算：(－13)＋(－52)＋(－23)＋(＋12)解：原式＝(－13)＋ (－23)＋(－52)＋(＋12)＝[(－13)＋ (－23)]＋[(－52)＋(＋12)]＝(－1)＋(－2)＝－3.知识模块三 有理数加法运算律的实际应用范例：10袋小麦称后记录如下(单位：kg)：91，91，91.5，89，91.2，91.3，88.7，88.8，91.8，91.1，则10袋小麦一共重多少千克？如果每袋小麦以90kg 为标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？解：规定每袋小麦超过90kg 的千克数记作正数，则10袋小麦对应的数分别为：1，1，1.5，－1，1.2，1.3，－1.3，－1.2，1.8，1.1.∴1＋1＋1.5＋(－1)＋1.2＋1.3＋(－1.3)＋(－1.2)＋ 1.8＋1.1＝[1＋(－1)]＋[1.2＋(－1.2)]＋[1.3＋(－1.3)]＋(1＋1.5＋1.8＋1.1)＝5.4.∴90×10＋5.4＝905.4(kg)答：10袋小麦一共重905.4千克，10袋小麦总计超过5.4千克．交流展示生成新知1．各小组共同探讨“自学互研”部分，将疑难问题板演到黑板上，小组间就上述疑难问题相互释疑；2．组长带领组员参照展示方案，分配好展示任务，同时进行组内小展示，将形成的展示方案在黑板上进行展示．知识模块一有理数加法运算律知识模块二有理数加法运算律的应用知识模块二有理数加法运算律的实际应用[来源:学_科_网]检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
华师大版 七年级上 数学 2.6.2 有理数的加法运算律 习题
运算律的应用
合理运用运算 律简化计算， 有哪些方法？
计算： 1 1 2 1 3 -3 )+ -3 ) + ( - 5 )+ -7 ) ( (2 ) + ( ( 3 2 3 2 4 ①
1 2 3 2 - 2.53) + - ) + ( ) + - 1 )+ ( ) + (+ 2.53) + ( ( (+ 1.6) ② ( 2 3 5 3
习题
2.6.2 有理数加 法的运算律
快乐检测，提高能力
判断题
(1) 若两个数的和是0，则这两个数都是0； （×） (2) 任何两数相加，和不小于任何一个加数 （×）
(3) a+b+c+d=（a+c）+（b+d） （∨）
(4) 某天早上的气温是-10C,中午上升了50C,则中午的 气温是-60C （×）
随堂检测
1. 计算: 5 (-5)+9+(-6)+7 = ＿＿＿＿
0 2. 绝对值小于5的所有整数的和为＿ ＿ ＿＿＿＿
3. 在括号里填写每步运算的根据:
(-8)+(-5)+8 加法交换律 加法结合律
=(-8)+8+(-5)
=〔(-8)+8〕+(-5)
(
(
)
)
=0+(-5
能“凑0”或“凑整”的结合相 加 同分母结合相加
计算
（1）16+（-25）+24+（-35）
1 1 1 ( 2) 1 ( ) + + +( - ) 2 3 6 1 3 3 2 - 2 )+ -8 ) (3) 3 5 + ( + ( 4 5 4 5
2.6.2运用运算律进行有理数的加减混合运算-2020秋北师大版七年级数学上册课件
分层作业
1．[2018 秋·南昌期中]计算 1－3＋5－7＋9＝(1＋5＋9)＋(－3－7)，运用了( D ) A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律与结合律
2．请指出下面计算从哪一步开始错的( B )
1＋45－＋23－－15－＋113 ＝145－23＋15－113①
＝145＋15－23－113② ＝2－－23③ ＝2＋23＝223.④
第二章 有理数及其运算
6.有理数的加减混合运算
第2课时 运用运算律进行有理数的加减混合运算
学习指南
知识管理
归类探究
当堂测评
分层作业
学习指南
教学目标 1．根据具体问题，适当运用运算律简化运算． 2．能熟练、正确地进行包括小数或分数的加减混合运算． 3．进一步加强对代数和的理解． 情景问题引入 计算下面两个题，有没有什么简便方法？ (1)－3＋8－87－(－2)；(2)43－87－2＋13－17.
A．①
B．②
C．③
D．④
3．计算：(－0.25)－＋314＋2.75－＋712＝_－__8_._2_5__．
4．[2019 秋·诸暨市校级月考]计算： (1)|－3.2|＋|0.5|－1＋215； (2)0－(＋2)－(－1)＋(＋4)－(－5)； (3)－479－－316－＋229＋－616； (4)(－3.125)＋(＋4.75)＋－978＋＋514＋－423.
【解析】 ∵3＝2×2－1，8＝3×3－1，15＝4×4－1，24＝5×5－1，…， ∴第 100 行左起第一个数是： 101×101－1＝10 200.
分层作业
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参考答案
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2.6.2有理数的加法运算律
宋国有个非常喜欢猴子的老人，他养了 一群猴子，整天与猴子在一起，因此能 够懂得猴子们的心意，因为粮食缺乏， 老人想限制口粮，那天，他故意先对猴 子们说：“猴子们，给你们吃桃子，早 晨二颗晚上五颗，好不好？”众猴子听 上二颗吧，够了吗？”众猴 子听了非常高兴，大蹦大跳起来。
(4) 3+(-2.1)+(-4.5)+6+7.3 同形结合法
课堂小结 1、知道了加法运算律从非负数范围扩大到有理 数范围。 2、掌握了有理数的加法运算律及有理数加法运
算中常用的五种简便方法。
3、运用有理数的加法运算律解决实际问题，体 会求简意识。
(4) 3+(-2.1)+(-4.5)+6+7.3
问题6：这几道题你是抓住数的什么特点 使计算简化的？
例2 计算
（1）（+26）+（-18）+5+（-16） 同号结
（2）（-1.75）+1.5+（+7.3）+（-2.25）
（2）4.33+(-7.52)+(－4.33) 相反数结合法
1 2 5 5 （3） —+ (- —) + (- — ) + — 同分母结合法 6 7 6 7
（－9）+（－8）
（－7）+4 （－2）+6 2+[（－3）+（－8）] [10+（－10）]+（－5）
问题4：说一说，你发现了什么？
加法的交换律、结合律在有理数范 围内仍然适用!
有理数加法运算律
有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置 和不变。
加法交换律：a+b=b+a
七年级数学北师大版(上册)2.6.2有理数的加减混合运算课件
七年级上册
本节目标
1 理解有理数加减法的相互转化. 2 巩固有理数的加减混合运算. 3 理解加法运算律在加减混合运算中的应用
4 熟练地进行有理数加减混合运算，并利用运算律简化运算.
复习回顾
有理数的加法运算律： 加法交换律： a+b=b+a 加法结合律： (a+b)+c=a+(b
课堂练习
解：(1) 6＋1.9＝7.9(元)； 6－2＝4(元)．
∴最高售价是7.9元，最低售价是4元． (2) 0.5＋0.7－1－1.5＋0.8＋1－1.5－2＋1.9＋0.9 ＝－0.2(元)， 6×10－0.2－50＝9.8(元)， ∴当小亮卖完钢笔后是盈利．
本节总结
加法运算律在加减混合运算中的应用: （1）同号的加数放在一起相加 （2）能凑整的加数放在一起相加 （3）互为相反数的加数放在一起相加 （4）分母相同的加数放在一起相加
课堂练习
3.计算:
（1）10-24-15+26-24+18-20
（2）(+0.5)
-
1 3
+
(-
1) 4
-
(+
1) 6
解：（1）原式 =（10+26+18）+（-24-15-24-20）
= 54-83
=-29
课堂练习
3.计算:
（1）10-24-15+26-24+18-20
（2）(+0.5) - 1 + (- 1 ) - (+ 1)
；（2）0
21
2 3
3
1 4
2 3
1 4
第2课时 有理数的加法运算律
归纳
在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相 加，或者先把后两个数相加，和不变．
加法结合律: (a + b)+ c = a +(b + c)
特别提醒： 根据加法交换律和结合律，多个有理数相加，可以 任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加.
加法交换律： a + b = b + a
有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数 相加，或者先把后两个数相加，和不变．
加法结合律: (a + b)+ c = a +(b + c)
解法1：先计算 10 袋小麦一共多少千克： 50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4=502.5 再计算总计超过多少千克：
502.5 - 50×10 = 2.5.
解法2：把每袋小麦超过 50 kg 的千克数记作正数， 不足的千克数记作负数. 10 袋小麦对应的数分别为 +0.5，+0.5，+0.8，-0.5，+0.6，+0.7，-0.8，-0.6， +0.9，+0.4.
巩固练习
计算： 7.3 + (-13.7) + (-25.3) + 13.7. 解：原式 = [7.3 + (-25.3)] +[(-13.7) + 13.7].
= (-18) + 0 = - 18
例 题 【教材P29】
例 2 计算：
（1）8 + (-6) + (-8)； （2）16 + (-25) +24 +(-35).
有理数的加减及混合运算(8种题型)-2023年新七年级数学常见题型(北师大版)(解析版)
有理数的加减及混合运算（8种题型）【知识梳理】一、有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）二、相关运算律交换律：a+b＝b+a；结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．三．有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；数变相反数）；【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．四．有理数的加减混合运算（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．（2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．五、有理数加减法混合运算技巧（1）把算式中的减法转化为加法；（2）去括号时注意符号，能省掉的“+”号要省掉；（3）多观察，巧妙利用运算律简便计算．【考点剖析】 题型一：有理数的加法法则 例1.计算：(1)(－0.9)＋(－0.87)； (2)(＋456)＋(－312)；(3)(－5.25)＋514； (4)(－89)＋0.解：(1)(－0.9)＋(－0.87)＝－1.77； (2)(＋456)＋(－312)＝113； (3)(－5.25)＋514＝0；(4)(－89)＋0＝－89. 【变式】计算：(1)(+20)+(+12)； (2)； (3)(+2)+(-11)； (4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0． (1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝；(2)(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9 (4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9 (5)(-2.9)+(+2.9)＝0； (6)(-5)+0＝-5．【答案】(1) 4.62−； (2)0.25−．1223⎛⎫⎛⎫−+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12121123236⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+−=−+=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【详解】（1）解：()()33 2.71 1.695⎛⎫−+−++ ⎪⎝⎭()()3.6 2.71 1.69=−+−+()3.6 2.71 1.69=−++6.31 1.69=−+()6.31 1.69=−−4.62=−；（2）115 4.257522⎛⎫−++−+ ⎪⎝⎭ ()5.5 4.257 5.5=−++−+()1.25 1.5=−+−()1.25 1.5=+− ()1.5 1.25=−−0.25=−．例2.已知|a |＝5，b 的相反数为4，则a ＋b ＝________．解析：因为|a |＝5，所以a ＝－5或5，因为b 的相反数为4，所以b ＝－4，则a ＋b ＝－9或1. 【变式】若，且，那么的值是（ ） A ．5或1 B ．1或C ．5或D ．或【答案】D【详解】解：∵|a|=3,|b|=2, ∴a=±3，b=±2， ∵，∴a=-3，b=2或a=-3，b=-2， ∴a+b=-3+2=-1或a+b=-3+（-2）=-5． 故选：D ．3,2a b ==a b <+a b 1−5−5−1−a b <题型三：有理数加法在实际生活中的应用例3.股民默克上星期五以收盘价67元买进某公司股票1000股，下表为本周内每日该股票的涨跌情况：(1)星期三收盘时，每股多少元？(2)本周内每股最高价多少元？最低价多少元？解：(1)67＋(＋4)＋(＋4.5)＋(－1)＝74.5(元)，故星期三收盘时，每股74.5元；(2)周一：67＋4＝71元，周二：71＋4.5＝75.5元，周三：75.5＋(－1)＝74.5元，周四：74.5＋(－2.5)＝72元，周五：72＋(－6)＝66元，∴本周内每股最高价为75.5元，最低价66元．【变式1】温州市实验中学于10月30日开展了“行走的力量”之七都环岛毅行活动，其中九年级同学的行程要经过四个打卡点．在活动中，安全负责人王老师骑着电动车在2，3，4号打卡点之间来回巡查（2，3，4号打卡点可近似看作在一条直线上），并接送途中身体不适的同学到4号打卡点．若记队伍行进方向为“+”，王老师在2号打卡点出发，当天的6次行驶记录如下：（单位：km）（1）王老师最终停留的位置离2号打卡点的距离是多少km？（2）若电动车一次充电可以骑行30km，王老师的电动车充满电后骑8km到2号打卡点，做以上6次往返后，还需要骑行5.8km到学校车辆集中点，请问王老师的电动车能否顺利骑到学校车辆集中点？【答案】（1）1km；（2）不能++−+++−+++−【详解】解：（1）( 2.5)(2)( 4.5)(3)(2)(3)=+−0.5 1.51=1km，∴王老师最终停留位置距2号点1km．+++++++=km，（2）8 2.52 4.5323 5.830.8>，∵30.830∴王老师不能顺利骑到车辆集中点．【变式2】国内汽油价格每月会有两次调整，如果以今年6月底的油价为基准，涨价记为正方向，7月至10月的油价调整情况记录如下（单位：元/吨）：（1）7月至10月之间，今年_______（填时间）的调价令油价与基准价格相差最大． （2）到10月底，油价能否回到基准价格？请说明理由． 【答案】（1）8月下旬；（2）不能，理由见解析 【详解】解：（1）7月上旬与基准价格相差：+100， 7月下旬与基准价格相差：+100， 8月上旬与基准价格相差：+100， 8月下旬与基准价格相差：+100+85=185， 9月上旬与基准价格相差：185，9月下旬与基准价格相差：185-315=-130， 10月上旬与基准价格相差：-130， 10月下旬与基准价格相差：-130+70=-60， ∴8月下旬的调价令油价与基准价格相差最大； （2）由题意可得：100+0+0+85+0-315+0+70=-60，∴到10月底，油价不能回到基准价格． 题型四：加法运算律及其应用 例4.计算：(1)31＋(－28)＋28＋69； (2)16＋(－25)＋24＋(－35)； (3)(＋635)＋(－523)＋(425)＋(1＋123)．解：(1)31＋(－28)＋28＋69＝31＋[(－28)＋28]＋69＝31＋0＋69＝100；(2)16＋(－25)＋24＋(－35)＝16＋24＋(－25)＋(－35)＝(16＋24)＋[(－25)＋(－35)]＝40＋(－60)＝－20； (3)(＋635)＋(－523)＋(425)＋(1＋123)＝(635＋425)＋(－523)＋(223)＝11＋(－3)＝8.【答案】(1)12 (2)3【详解】（1）解：()()25.77.313.77.3+−+−+()()25.713.77.37.3=+−+−+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦120=+12=（2）()()112.12535 3.258⎛⎫⎛⎫−+++++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()112.12553 3.285⎡⎤⎡⎤=−+++−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦30=+ 3=【变式2】计算(1)()()2317622+−++−； (2)()()6.35 1.47.6 5.35−+−+−+． 【答案】(1)-10 (2)-10【详解】（1）解：()()2317622+−++−2317622=−+−()()2361722=+−+2939=−10=−；（2）解：()()6.35 1.47.6 5.35−+−+−+()()()6.35 5.35 1.47.6=−++−+−⎡⎤⎣⎦()1 1.47.6=−+−+⎡⎤⎣⎦19=−−10=−． 【变式3】某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从A 地出发，晚上最后到达B 地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下．(单位：km) ＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8. (1)B 地在A 地何方，相距多少千米？(2)若汽车行驶1km 耗油a L ，求该天耗油多少L?解：(1)(＋18)＋(－9)＋(＋7)＋(－14)＋(＋13)＋(－6)＋(－8)＝[(＋18)＋(＋7)＋(＋13)]＋[(－9)＋(－14)＋(－6)＋(－8)]＝38＋(－37)＝1(km) 故B 地在A 地正北，相距1千米；(2)该天共耗油：(18＋9＋7＋14＋13＋6＋8)a ＝75a(L)． 答：该天耗油75aL.题型五：有理数减法法则的直接运用例5、 计算：(1)(－32)－(+5)； (2)(+2)－(－25)． 【答案与解析】法一：法二：（1）原式=－32－5=－32+（－5）=－37；（2）原式=2+25=27 【变式1】计算：(1)7.2－(－4.8)； (2)－312－514.解：(1)7.2－(－4.8)＝7.2＋4.8＝12；(2)－312－514＝－312＋(－514)＝－(312＋514)＝－834.【变式2】(1)2－(－3)； (2)0－(－3.72)－(+2.72)－(－4)； (3)41373⎛⎫+− ⎪⎝⎭． (1)2－(－3)＝2+3＝5 (2)原式＝0+3.72+(－2.72)+4＝(0+4)+(3.72－2.72)＝4+1＝5（3）原式=411416(3)(3)273321+−=−−=− 题型六：有理数减法的实际应用例6.上海某天的最高气温为6℃，最低气温为－1℃，则这一天的最高气温与最低气温的差为( ) A ．5℃ B ．6℃ C ．7℃ D ．8℃ 解析：由题意得6－(－1)＝6＋1＝7(℃)，故选C.【变式1】如果家用电冰箱冷藏室的温度是4℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度低22℃，那么冷冻室的温度是（ ） A ．18℃B ．﹣26℃C ．﹣22℃D ．﹣18℃【解答】解：根据题意得：4﹣22＝﹣18（℃）， 则这台电冰箱冷冻室的温度为﹣18℃． 故选：D ．题型七：有理数的加减混合运算例7.计算：(1)－9.2－(－7.4)＋915＋(－625)＋(－4)＋|－3|；(2)－1423＋11215－(－1223)－14＋(－11215)；(3)23－18－(－13)＋(－38)． 解：(1)－9.2－(－7.4)＋915＋(－625)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2＋(－6.4)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2－6.4－4＋3＝(－9.2＋9.2)＋(7.4－6.4)－4＋3＝0＋1－4＋3＝0；(2)－1423＋11215－(－1223)－14＋(－11215)＝－1423＋11215＋1223－14－11215＝(－1423＋1223)＋(11215－11215)－14＝－2＋0－14＝－16；(3)23－18－(－13)＋(－38)＝23－18＋13－38＝(23＋13)＋(－18－38)＝1＋(－12)＝12. 【变式1】计算，能用简便方法的用简便方法计算.（1） 26－18+5－16 ； （2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21） (3) (4) （5）（6） 【答案与解析】 （1） 26－18+5－16=(+26)+(－18)+5+(－16) →统一成加法 =(26+5)+[(－18)+(－16)] →符号相同的数先加 = 31+(－34)=－3（2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）=[ (+7)+(－7) ] +[(－21)+(+21)] →互为相反数的两数先加 =0（3）⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111-1+1++7+-2+-832432113.587(5)5(7)3( 1.587)24⎛⎫⎛⎫−−+−++−+−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132.2532 1.87584+−+1355354624618−++−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111-1+1++7+-2+-832432→同分母的数先加（4） →统一成加法→整数、小数、分数分别加（5）→统一同一形式（小数或分数），把可凑整的放一起（6）→整数，分数分别加【变式2】计算：（1）－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72；（2）11－12+13－15+16－18+17； （3）1113.7639568 4.7621362−−+−−+ （4）51133.4643.872 1.54 3.376344+−−−+++ （5）1355354624618−++−； （6）132.2532 1.87584+−+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦21111-1+-2+1+-8+733224()()⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1-4+-7+74=3-34113.587(5)5(7)3( 1.587)24⎛⎫⎛⎫−−+−++−+−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113.5875573( 1.587)24⎛⎫⎛⎫=++−++−+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11[3.587( 1.587)](57)5324⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+−+++−+− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦312128544⎛⎫=++−= ⎪⎝⎭132.2532 1.87584+−+(2.25 2.75)(3.125 1.875)=−++0.55 4.5=−+=1355354624618−++−1355354624618=−−++++−−1355(3546)()24618=−++−+−++−18273010036−++−=+2936=【答案与解析】（1）观察各个加数，可以发现－3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组； 4.18、－2.93与－1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便． 解：－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72 ＝(－3.72+3.72)+(4.18－2.93－1.25)－1.23 ＝0+0－1.23＝－1.23（2）把正数和负数分别分为一组． 解：11－12+13－15+16－18+17 ＝(11+13+16+17)+(－12－15－18) ＝57+(－45)＝12（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是－1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组．解：1113.76395684.7621362−−+−−+ 111(3.76 4.76)(521)(3968)362=−+−++−+1(6)2922=−+−+= （4）3.46和1.54的和为整数, 3.87与3.37的和为－0.5，把它们分为一组；546与13−易于通分，把它们分为一组；124−与34同分母，把它们分为一组．解：51133.464 3.872 1.54 3.376344+−−−+++5113(3.46 1.54)( 3.87 3.37)(4)(2)6344=++−++−+−+115(0.5)4(1) 4.537.522=+−++−=+=（5）先把整数分离后再分组．解：1355354624618−++− 1355354624618=−−++++−−1355(3546)()24618=−++−+−++−182********−++−=+2936=注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如113322−=−−．（6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组．解：132.2532 1.87584+−+(2.25 2.75)(3.125 1.875)=−++ 0.55 4.5=−+=题型八：利用有理数加减运算解决实际问题例8.下表是某水位站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况(“＋”号表示水位比前一天上升，“－”号表示水位比前一天下降，上周末的水位恰好达到警戒水位．单位：米).(1)本周哪一天河流水位最高，哪一天河流水位最低，它们位于警戒水位之上还是之下，与警戒水位的距离分别是多少？(2)与上周末相比，本周末河流的水位是上升还是下降了？解：(1)以警戒水位为基准，前两天的水位是上升的，星期一的水位是＋0.20米；星期二的水位是＋0.20＋0.81＝1.01米；星期三的水位是＋1.01－0.35＝＋0.66米；星期四的水位是：＋0.66＋0.13＝0.79米；星期五的水位是：0.79＋0.28＝1.07米；星期六的水位是：1.07－0.36＝0.71米；星期日的水位是：0.71－0.01＝0.7米；则水位最低的一天是第一天，高于警戒水位；水位最高的是第5天；(2)＋0.20＋0.81－0.35＋0.13＋0.28－0.36－0.01＝＋0.7米；则本周末河流的水位是上升了0.7米． 【变式1】小虫从点O 出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（单位：cm ） (1) 小虫最后是否回到出发地O ？为什么？ (2) 小虫离开O 点最远时是多少？(3) 在爬行过程中，如果每爬行1 cm 奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？ 【答案与解析】解：（1）(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10) =(5+10+12)+(－3－8－6－10)=27－27=0 0表示最后小虫又回到了出发点O 答：小虫最后回到了出发地O. （2） (+5)+(－3)＝+2； (+5)+(－3)+(+10)＝+12； (+5)+(－3)+(+10)+(－8)＝+4； (+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)＝－2； (+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)＝+10； (+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)＝0.因为绝对值最大的是+12，所以小虫离开O 点最远时是向右12cm; (3)（cm ）, 所以小虫爬行的总路程是54 cm ，由 （粒） 答：小虫一共可以得到54粒芝麻.【变式2】某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自A 地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10，－3，+4，+2，－8，+13，－2，+12，+8，+5. （1）问收工时距A 地多远？（2）若每千米路程耗油0.2升，问从A 地出发到收工时共耗油多少升？【答案与解析】（1）求收工时距A 地多远，应求出已知10个有理数的和，若和为正数，则在A 地前面，若和为负数，则在A 地后面；距A 地的路程均为和的绝对值. 解：(1) (+10)+(－3)+(+4)+(+2)+(－8)+(+13)+(－2)+(+12)+(+8)+(+5) =[+2+(－2)]+[(－8)+(+8)]+(+10+4+13+12+5)+(－3) =0+0+44+(－3)=41（千米）；（2）要求耗油量，需求出汽车共行走的路程，即求各数的绝对值之和，然后乘以0.2升即可. (|+10|+|－3|+|+4|+|+2|+|－8|+|+13|+|－21|+|+12|+|+8|+|+5|)×0.2=67×0.2=13.4（升）. 答：收工时在A 地前面41千米，从A 地出发到收工时共耗油13.4升.531086121054++−+++−+−+++−=15454⨯=【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2023•晋中模拟）计算﹣2+6的结果是（）A．﹣8B．8C．﹣4D．4【分析】原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝+（6﹣2）＝4．故选：D．【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（2023•洞头区二模）计算：2+（﹣3）的结果是（）A．1B．﹣1C．﹣5D．5【分析】依据有理数的加法法则进行计算即可．【解答】解：2+（﹣3）＝﹣（3﹣2）＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查的是有理数的加法法则，熟记法则是解题的关键．3．（2023•顺庆区三模）比﹣1大2的数是（）A．3B．1C．﹣1D．﹣3【解答】解：﹣1+2＝（2﹣1）＝1，故选：B．【点评】本题考查了有理数的加法，异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值．4．（2023•哈尔滨一模）我市某天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）A．﹣10℃B．﹣6℃C．6℃D．10℃【分析】用最高气温减去最低气温，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【解答】解：2﹣（﹣8），＝2+8，＝10℃．【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．5．（2023•建平县模拟）计算﹣3﹣2的结果是（）A．﹣1B．﹣5C．1D．5【分析】根据有理数的减法法则计算即可求解．【解答】解：﹣3﹣2＝﹣5．故选：B．【点评】本题考查了有理数的减法，方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）．6．（2023•旺苍县模拟）计算（﹣2）﹣（﹣4）的结果等于（）A．﹣2B．2C．﹣6D．6【分析】利用有理数的减法法则计算即可．【解答】解：（﹣2）﹣（﹣4）＝﹣2+4＝2，故选：B．【点评】本题考查了有理数的减法，解题的关键是熟练掌握有理数的减法法则．7．（2022秋•裕华区期末）能与﹣（﹣）相加得0的是（）A．﹣B．﹣+C．﹣﹣D．﹣（﹣）【分析】利用有理数的加减混合运算与相反数的定义判断．【解答】解：∵﹣（﹣）的相反数是﹣，∴能与﹣（﹣）相加得0的是﹣．故选：A．【点评】本题考查了有理数的加减混合运算与相反数的定义，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算与相反数的定义．8．（2023•孟村县校级模拟）不改变原式的值，把7﹣（+6）﹣（﹣3）+（﹣5）写成省略加号的和的形式为（）A．7﹣6+3﹣5B．7﹣6﹣3+5C．﹣7﹣6+3﹣5D．﹣7+6+3﹣5【分析】根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式【解答】解：原式＝7﹣6+3﹣5，【点评】本题考查有理数加减混合运算的方法，掌握有理数加减法统一成加法是解题关键．9．（2023•温州二模）计算﹣8+2的结果是（）A．﹣6B．6C．﹣10D．10【分析】根据正负数的加减法运算即可．【解答】解：﹣8+2＝﹣6，故答案为：A．【点评】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握正负数的加减法运算是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．10．（2023•青龙县模拟）将﹣3﹣（+6）﹣（﹣5）+（﹣2）写成省略括号的和的形式是（）A．﹣3+6﹣5﹣2B．﹣3﹣6+5﹣2C．﹣3﹣6﹣5﹣2D．﹣3﹣6+5+2【分析】原式利用减法法则变形即可得到结果．【解答】解：﹣3﹣（+6）﹣（﹣5）+（﹣2）＝﹣3﹣6+5﹣2．故选：B．【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2022秋•郸城县期末）把5+（﹣3）﹣（﹣7）﹣（+2）写成省略括号的形式是．【解答】解：原式＝5+（﹣3）+7+（﹣2）＝5﹣3+7﹣2，故答案为：5﹣3+7﹣2．【点评】本题考查有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．12．（2023•黔东南州一模）计算：﹣3+4＝．【分析】根据有理数的加法法则计算即可．【解答】解：原式＝+（4﹣3）＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了有理数的加法，掌握绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值是解题的关键．13．（2022秋•秦淮区期末）有理数的减法法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数．”在学过用字母表示数后，请借助符号描述这句话，．【分析】根据有理数的减法法则即可解决问题．【解答】解：依题意得：减去一个数，等于加上这个数的相反数，用字母表示这一法则，可写成：a﹣b＝a+（﹣b）．故答案为：a﹣b＝a+（﹣b）．【点评】此题主要考查了有理数的减法法则，同时也考查了利用字母表示数或公式，正确记忆代数式的概念是解题关键．14．（2023•德兴市一模）绝对值小于3的所有整数的和是．【分析】绝对值的意义：一个数的绝对值表示数轴上对应的点到原点的距离．互为相反数的两个数的和为0．依此即可求解．【解答】解：根据绝对值的意义得绝对值小于3的所有整数为0，±1，±2．所以0+1﹣1+2﹣2＝0．故答案为：0．【点评】此题考查了绝对值的意义，并能熟练运用到实际当中．15．（2023•抚松县一模）23﹣|﹣6|﹣（+23）＝．【分析】先计算绝对值，再根据有理数减法法则计算即可．【解答】解：23﹣|﹣6|﹣（+23）＝23﹣6﹣23＝﹣6．16．（2023•杨浦区三模）计算：﹣3﹣2＝．【分析】根据有理数减法的法则，减去2等于加上﹣2，即可得解．【解答】解：﹣3﹣2＝﹣3+（﹣2）＝﹣5．故填﹣5．【点评】有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．有理数的加法法则：两个负数相加，符号不变，把绝对值相加．17．（2022秋•辛集市期末）将（+5）﹣（+2）﹣（﹣3）+（﹣9）写成省略加号和括号的和的形式为．【分析】将有理数的加减混合运算统一成加法后，利用有理数的加法法则解答即可．【解答】解：原式＝（+5）+（﹣2）+（+3）+（﹣9）＝5﹣2+3﹣9，故答案为：5﹣2+3﹣9．【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，将有理数的加减混合运算统一成加法是解题的关键．18．（2023•贾汪区一模）已知甲地的海拔高度是200m，乙地的海拔高度是﹣80m，那么甲地比乙地高m．【分析】根据有理数减法的运算方法，用甲地的海拔高度减去乙地的海拔高度，求出甲地比乙地高多少即可．【解答】解：200﹣（﹣80）＝280（m）答：甲地比乙地高280m．故答案为：280．【点评】此题主要考查了有理数减法的运算方法，要熟练掌握．三．解答题（共10小题）19．（2022秋•德惠市期中）列式并计算：（1）求4与﹣的差；（2）求﹣15的绝对值与12的相反数的和．【分析】（1）根据题意列出算式：4，再根据有理数减法法则进行计算便可；（2）根据题意列出算式：|﹣15|+（﹣12），再根据绝对值的定义，加法法则计算便可．【解答】解：（1）4＝4＝5；（2）|﹣15|+（﹣12）＝15﹣12＝3．【点评】本题考查了有理数的加减法，绝对值和相反数的概念，关键是正确列出算式和熟记运算法则．20．（20220.5）﹣（﹣3.2）+（+2.8）﹣（+6.5）．【分析】根据有理数的加减法法则以及加法交换律和结合律计算即可．【解答】解：原式＝﹣0.5+3.2+2.8﹣6.5＝（3.2+2.8）﹣（0.5+6.5）＝6﹣7＝﹣1．【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．21．（2022秋•北京期末）计算：10﹣（﹣6）+8﹣（+2）．【分析】先化简，再计算加减法即可求解．【解答】解：10﹣（﹣6）+8﹣（+2）＝10+6+8﹣2＝24﹣2＝22．【点评】考查了有理数的加减混合运算，方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．22．（2022秋•松原期末）计算：20﹣11+（﹣10）﹣（﹣12）．【分析】根据同号结合的原理，求解．【解答】解：20﹣11+（﹣10）﹣（﹣12）＝20﹣11﹣10+12＝32﹣21＝11．【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握加法结合律是解题的关键．23．（2023春•黄浦区期中）计算：．【分析】根据有理数的加减混合运算计算即可．【解答】解：原式＝3﹣2.4+1﹣1.6＝（3+1）﹣（2.4+1.6）＝5﹣4＝1．【点评】本题考查了有理数的混合运算，根据加法的交换律结合律计算是关键．24．（2022秋•锡山区期末）在数学活动课上，王老师介绍说有人建议向火星发射如图1的图案．它叫幻方，幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条对角线上的点数的和都相等．如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）．（1）将﹣10，﹣8，﹣6，﹣4，﹣2，0，2，4，6这9个数分别填入图2的幻方的空格中，使得每一横﹣6，并请同学们补全其余的空格．（2）在图3的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都相等．根据所给信息求出x的值，并根据x的值补全图4的幻方的空格．【分析】（1）求出所给数的和为﹣18，即可求每行、每列、两条对角线上的数的和为﹣6；（2）由题意可知3x+2+＝x﹣1﹣4，求出x的值，填表即可．【解答】解：（1）∵﹣10+（﹣8）+（﹣6）+（﹣4）+（﹣2）+0+2+4+6＝﹣18，∴﹣18÷3＝﹣6，∴每行、每列、两条对角线上的数的和为﹣6，如图，故答案为：﹣6；（2）∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都相等，∴3x+2+＝x﹣1﹣4，∴x＝﹣5，所填表如图．【点评】本题考查有理数的加法，理解题意，能够根据所给的数，列出代数式并求解是解题的关键．25．（2022秋•衡阳县期中）学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，也即当a＜0时，|a|＝﹣a，根据以上阅读完成下面的问题：（1）|2﹣3|＝；（2）|3.14﹣π|＝；（3）如果有理数a＜b，则|a﹣b|＝；（4）请利用你探究的结论计算下面式子：|﹣1|+|﹣|+|﹣|+…+||+||．【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值；（2）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值；（3）判断a﹣b的正负，利用绝对值的代数意义计算即可求出值；（4）原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．【解答】解：（1）|2﹣3|＝3﹣2＝1；（2）|3.14﹣π|＝π﹣3.14；（3）∵a＜b，即a﹣b＜0，∴|a﹣b|＝b﹣a；（4）原式＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故答案为：（1）1；（2）π﹣3.14；（3）b﹣a．【点评】此题考查了有理数减法，相反数，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．26．（2022秋•邻水县期末）数学张老师在多媒体．上列出了如下的材料：计算：．解：原式＝＝．上述这种方法叫做拆项法．请仿照上面的方式计算：．【分析】根据题目所提供的计算方法，写成几个整数的和以及几个分数的和即可．【解答】解：原式＝[（﹣2021）+（﹣）]+[（﹣2022）+（﹣）]+4044+＝（﹣2021﹣2022+4044）+（﹣﹣+）＝1+（﹣）＝．【点评】本题考查有理数的加法，掌握有理数加法的计算方法是正确解答的关键．27．（2023•龙川县校级开学）一批货品每箱重量标准为2千克，质量检验员抽查其中5箱的重超过标准的记为“+”，不足的记为“﹣”，分别记为﹣0.1、﹣0.2、+0.3、+0.1、+0.5，问这5箱货品的平均重量为多少千克？【分析】超过标准的记为量，“+”，不足的记为“﹣”，所以﹣0.1、﹣0.2、+0.3、+0.1、+0.5相加就是这五箱的总情况．要注意标准为2千克．【解答】解：+2＝2.12千克【点评】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．28．（2022秋•新河县校级月考）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，，，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣．（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为；（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的最大值．【分析】（1）根据题中意思分别求出三个数，然后比较大小即可得出答案；（2）先给这三个数进行排序，分别求出其中的分差，然后比大小即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得：﹣2﹣（﹣4）＝2，，＝﹣，∵﹣＜＜2，∴﹣2，﹣4，1的“分差”为﹣，故答案为：﹣；（2）①这三个数的位置为：﹣2，﹣4，﹣1时，根据（1）中所求“分差”为﹣；②这三个数的位置为：﹣2，1，﹣4时，则﹣2﹣1＝﹣3，，＝，∵﹣3＜1＜，∴﹣2，1，﹣4的“分差”为﹣3；③这三个数的位置为：1，﹣2，﹣4时，则1﹣（﹣2）＝3，，＝，∵＜＜3，∴1，﹣2，﹣4的“分差”为；④这三个数的位置为：1，﹣4，﹣2时，则1﹣（﹣4）＝5，，＝﹣，∵﹣＜＜5，∴1，﹣4，﹣2的“分差”为﹣；⑤这三个数的位置为：﹣4，1，﹣2时，则﹣4﹣1＝﹣5，，＝1，∵﹣5＜﹣1＜1，∴﹣4，1，﹣2的“分差”为﹣5；’⑥这三个数的位置为：﹣4，﹣2，1时，则﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，，＝﹣1，∵＜﹣2＜1，∴﹣4，﹣2，1的“分差”为；∵＞﹣＞﹣＞﹣＞﹣3＞﹣5，∴这些不同“分差”中的最大值为．【点评】本题考查了新定义以及有理数的运算，解题关键：理解什么叫做“分差”．。
有理数的加减混合运算2
七年级上册数学导学稿班级：姓名：【学习目标】1、会进行包括小数或分数的有理数的加减混合运算。
2、能够依据有理数的加法和减法法则按从左到右顺序进行计算。
3、理解加减混合运算统一为加法运算的意义；能初步掌握有关有理数的加减混合运算。
【重点难点】重点：能把加减混合运算统一为加法运算。
难点：能进行有理数的加减混合运算。
【自主学习】1、有理数的加法法则①________________________________________________________②_________________________________________________________________________________________________________________③ __________________________________________________④ __________________________________________________2、有理数的减法法则_____________________________________________________3、“+”、“－”在不同情形的意义（运算符号及性质符号）4、简单计算：（1）、(－8)－(－10) (2)、(－6)－(+4)【合作探究问题一：一架飞机做特技表演，起飞后的高度变化如下表：此时飞机比起飞点高了多少千米？(上升用加法，下降用减法）那么我们可以这么计算____________________________________________________还可以怎么算___________________________（省略加号的形式）二）分组合作讨论解疑1、－9+（+6）－（－11）－7省略括号和的形式，采用先把减法转化为加法，这时就成了－9，+6，+11，－7的和，加号通常可以省略，括号也可以省略，即：（－9）+（+6）+（+11）+（－7）=－9+6+11－72、提出问题：虽然加号、括号省略了，但－9+6+11－7仍表示－9，+6，+11，－7的和，所以这个算式可以读成……3、把下列各式写成省略括号的和的形式例1、（+12）-（-7）+（-5）-（+30）例2、（-20）+（+3）-（+5）-（-7）4、判断式子-7+1-5-9的正确读法（）A、负7正1负5负9；B、减7加1减5减9；C、负7加1负5减9；D、负7加1减5减95、用加法运算律计算结果，通常同号两数放在一起分别相加－9+6+11－7=6、填空1、-4+7-4= - - + ；+6+9-15+3= + + --9-3+2-4= 9 3 4 2归纳小结：有理数加减法混合运算的题目的步骤：1、减法转化成加法；2、省略加号括号；3、运用加法交换律使同号两数分别相加；4、按有理数加法法则计算【当堂检测】1.设a 是最小的自然数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的数，则a －b ＋c 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．22．－6的相反数与比5的相反数小1的数的和为( )A ．1B ．0C ．2D ．113．若四个有理数之和的14是3，其中三个数是－10，＋8，－6，则第四个数是( )A ．＋8B ．－8C ．＋20D ．＋114．某运动员在东西走向的公路上练习跑步，跑步情况记录如下(向东为正，单位：米)：1 000，－1 200，1 100，－800,1 400，该运动员跑的路程共为( )A ．1 500米B ．5 500米C ．4 500米D ．3 700米5．若a ＋b ＋c ＝0，则下列结论正确的是( )A ．a ＝b ＝c ＝0B ．a ，b ，c 中至少有两个是负数C ．a ，b ，c 中可以没有负数D ．a ，b ，c 中至少有两个是正数6．把下列各式写成省略括号的和的形式： (1)(＋7)－(＋8)＋(－1)－(－5)＋(＋3)＝____； (2)9＋(＋5)＋(－6)－(－7)＝________； (3)－(＋3)＋(－4)－(－19)－(＋11)＝________； (4)－0.21＋(－5.34)－(＋0.15)－(－1015)＝________.7．运用交换律和结合律计算：(1)3－10＋7＝3________7______10＝________； (2)－6＋12－3－5＝______6______3______5______12＝______.8．有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，计算a －b ＋c________0(填“＞”“＜”或“＝”)．9．在下列括号内填上适当的数： (________)－(＋12)＝－13；(________)－(－0.05)＝10. 10．计算下列各题：(1)(－9)－(－7)＋(－6)－(＋4)－(－5)； (2)(＋4.3)－(－4)＋(－2.3)－(＋4)．。
2.6.2有理数加法的运算律
=16+24+(-25)+(-35) (加法交换律)
16+(-25)+24+(-35）
=（-9）+24+（-35） =15+（-35）
=[16+24]+[(-25)+(-35)]
(加法结合律)
=40+(-60) (同号相加法）
=-20
通过计算比较那种 运算简便、正确率 高？
加法结合律：(a+b)＋c=a+(b+c)
例题示范，初步运用
例1、计算(-12)+(+11)+(-8)+
(-7)+(+39)+7
有没有简便的 方法，给大家 说一说吗？
解：原式＝(-1)+(-8)+(-7)+(+39)+7 =(-9)+(-7)+(+39)+7
两种解法的结果一 =(-16)+(+39)+7=23+7=30 样吗？根据什么？
2 填空题：
（1） (+18) ＿ -5=13 -8 ) =13 （2）5 - (＿
（3）3+ ( +12 ＿ ) +（-5）=10
( -3 （ 4） ＿ ) +（-4）+（-5）=-12
-4 ) +（-11）=-8 （5）15+ ( ＿
（6）-9+ ( 27 ＿ ) +18=36
3 用两种不同的方法计算： 16+(-25)+24+(-32)． 解：
北师大版数学七年级上册教案：2.6.2有理数的加减混合运算
课题：2.6.2 有理数的加减混合运算课型：新授课年级：七年级教学目标：1．能进行有理数的加减混合运算，正确理解有理数的加减混合运算就是先把减法统一成加法，然后再变成省略加号和括号的形式，能根据具体问题适当运用运算律简化运算．2．经历从具体的情境中抽象出有理数的加减混合运算的过程，体会从数学的角度理解问题的方法．3．感受不同数学知识之间的紧密联系，养成善于思考、积极运用所学知识解决问题的习惯．教学重点与难点：重点:能进行有理数的加减混合运算，能根据具体问题适当运用运算律简化运算．难点:省略加号与括号的代数和的计算．课前准备：多媒体课件．教学过程：一、创设情境，引入新课我们上节课学习了加减混合运算，加减混合运算就是先利用减法法则将减法转化成加法，再利用加法的运算律简便运算.今天将我们继续练习加减混合运算，能熟练地进行加减混合运算.问题1：叙述有理数的加法法则、减法法则及有理数加法的运算律.问题2：说出下列各式的意义并计算出结果.－(－5)，－（＋10），+（＋9），+（－8）。
问题3：计算：（1）4.7-3.4+（-8.3）；（2）151-66（）--；（3）211()+1+353+-；（4）11()+224--。
处理方式：问题1让学生回答，教师加以补充在做有理数减法运算时可以将减法统一成加法再运算，加法的运算律可以简化运算．问题2让一名学生回答，根据学生回答的情况教师简要的说明在一个数前面加负号表示它的相反数，在一个数前面加正号表示这个数本身. 问题3让四位学生板书解题过程，其余的学生分组完成，2分钟之后由各组选一名学生来批改黑板上的题目，如果有错误应加以改正.设计意图：通过复习有理数的加法法则、减法法则及有理数的加减混合运算，加深对法则的认识，同时也让学生明确有理数的加减混合运算可以统一成加法运算，并可运用加法交换律和结合律简化运算．即巩固了前面的知识又为本节课学习“代数和”作好铺垫.二、师生互动，探究新知活动内容1：“八一”飞行表演队在珠海航展上利用我国最新一代主力战机歼十进行飞行特技表演，以此展现我国飞机的卓越性能以及飞行员的高超驾驶技术．下面是一架飞机进行特技表演，起飞后的高度变化如下表：高度变化记作上升4.5km +4.5km下降3.2km －3.2km上升1.1km +1.1km下降1.4km －1.4km此时飞机比起飞点高多少千米？处理方式：由小组合作完成，应用有理数的加减混合运算解决实际问题．对实际应用问题，首先把具有相反意义的量，正确地用正数、负数表示出来再根据题意列出算式，进行计算．有的学生可能直接列算式，上升就加，下降就减，即4.5－3.2+1.1－1.4．有的学生可能直接利用加法列算式 4.5+(－3.2)+1.1+(－1.4)，对于这两种情况都要积极的鼓励学生．最后可以让学生去尝试解答，通过解答来展示学生的做法并进行解法比较来发现问题．方法一：这个题求的是飞机比起飞点高了多少千米，那么飞机上升就加，下降就减去.这样也可以用加减求出.4.5－3.2+1.1－1.4=1.3+1.1－1.4=2.4－1.4=1(km)。
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=（-4）+（-7）+7.3
=（-4）+【（-7）+7.3】
=（-4）+0.3 =-3.7
换成相反数相加
这样的算法是不是比较简便呢？
例3 10筐苹果，以每筐30千克为准，超过的千克记作正数， 不足的千克数记作负数，记录如下： 2，-4，2.5，3，-0.5，1.5，3，-1，0，-2.5. 求这10 筐苹果的总重量. 解：2+（-4）+2.5+3+（-0.5）+1.5+3+（-1）+0+（-2.5） =（2+3+3）+（-4）+【2.5+（--2.5）】+【（-0.5)+1+1.5) =8+（-4）=4 30×10+4=304(千克） 答：10筐苹果总共重304千克
通过计算比较那种 运算简便、正确率 高？
4。10袋小麦称重后的记录如下（单位：千克）。10袋小麦一共 多少千克？如果每袋小麦以90千克为标准，10袋小麦总计是超 过多少千克还是不足多少千克？ 解法1：先计算10袋小麦一共多少千克： 91+91+91.5+89+91.2+91.3+88.7 +88.8+91.8+91.1=905.4 再计算总计超过多少千克：
通过计算将怎样的 加法结合在一起， 可使运算简便？
五、分层练习，形成能力 1 判断题
(1) 若两个数的和是0，则这两个数都是0； （×）
(2) 任何两数相加，和不小于任何一个加数 （×） (3) a+b+c+d=（a+c）+（b+d） （∨） (4) 某天早上的气温是-10C,中午上升了50C,则中午的 气温是-60C （×）
合理运用运算 律简化计算， 有哪些方法？
1 2 3 2 ② ( ) ( ) ( ) (2.53) (1 ) (2.53) (1.6) 2 3 5 3 1 2 1 1 3 解：原式＝ [( 3 ) (3 )] [( 2 ) (5 )] (7 ) 3 3 2 2 4 解：原式＝ 同分母结合相加 1 2 2 3 ( ) [( ) (1 )] [( ) (1.6)] [(2.53) (2.53)] 2 3 3 5 能“凑0”或“凑整”的结合相
解：16+(-25)+24+(-35） =（-9）+24+（-35） 解：16+(-25)+24+(-35) =16+24+(-25)+(-35) (加法交换律)
=15ჷ[(-25)+(-35)] (加法结合 律) =40+(-60) (同号相加法则)
=-20 (异号相加法则)
有没有简便的 方法，给大家 说一说吗？
解：原式＝[(-12)+(-8)]+[(+11)+(+39)]+[(-7)+7] =(-20)+(50)+0
谁简便？
=30
两种解法的结果一 样吗？根据什么？
例2.计算（-1.75)+1.5+(+7.5)+(-2.25)+(-8.5) 解：厡式=【（-1.75）+（-2.25）]+[1.5+（-8.5）】+7.3
一、温故知新、引入课题
1．叙述有理数的加法法则．
2．“有理数加法”与小学里学过的数的 加法有什么区别和联系？
答：进行有理数加法运算，先要根据具体情况正 确地选用法则，确定和的符号，这与小学里学过 的数的加法是不同的；而计算“和”的绝对值， 用的是小学里学过的加法或减法运算
1．计算下列各题，并说明是根据哪一条运算法则？ (1)(-9.18)+6.18； (2)6.18+(-9.18)；
905.4-90×10=5.4
答：10袋小麦一共905.4千克，总计 超过5.4千克。
本节课里我的收获是……
加法交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a 加法结合律：a＋( b＋ c )＝( a ＋b )＋c
有理数的加法运算律及其应用： ①先将相反数相加； ②再将其中的相反数相加； ③最后求异号加数的和，有分数时，可把相加得整数的先加 起来。
(3)(-2.37)+(-4.63)；
2．计算下列各题： (1)[8+(-5)]+(-4)； (3)[(-7)+(-10)]+(-11)； (5)[(-22)+(-27)]+(+27)； (2)8+[(-5)+(-4)]； (4)(-7)+[(-10)+(-11)]； (6)(-22)+[(-27)+(+27)]．
二、 得出法则，揭示内涵
有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变.
加法交换律： a+b=b+a
有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数 相加，或者先把后两个数相加，和不变.
加法结合律：(a+b)＋c=a+(b+c)
4、计算(-12)+(+11)+(-8)+(-7)+(+39)+7
解：原式＝(-1)+(-8)+(-7)+(+39)+7 =(-9)+(-7)+(+39)+7 =(-16)+(+39)+7 有没有简便的 方法，给大家 说一说吗？
=23+7
=30
谁简便？
解：原式＝[(-12)+(-8)]+[(+11)+(+39)]+[(-7)+7]
=(-20)+(50)+0
=30
两种解法的结果一 样吗？根据什么？
活动2：运算律的应用
例2
①
计算： 1 1 2 1 3 (3 ) (2 ) (3 ) (5 ) (7 ) 3 2 3 2 4
三、强化法则，深入理解
使用运算律通常有下列情形：
(1)符号相同的数可以先相加。 (2)互为相反数的两个数可先相加；
(3)几个数相加得整数时,可先相加；
(4)同分母的分数可以先相加；
四、例题示范，初步运用
例1、计算(-12)+(+11)+(-8)+(-7)+(+39)+7 解：原式＝(-1)+(-8)+(-7)+(+39)+7 =(-9)+(-7)+(+39)+7 =(-16)+(+39)+7=23+7=30
2 填空题：
(+18) （1） ＿ -5=13
（2）5 - ( -8 ) =13 ＿
（3）3+( +12 ) +（-5）=10 ＿
（4） -3 ) +（-4）+（-5）=-12 ( ＿
-4 （5）15+ (＿ ) +（-11）=-8
（6）-9+ ( 27 ) +18=36 ＿
3 用两种不同的方法计算： 16+(-25)+24+(-32)．