第10讲 条件概率 (III) 全概率公式 贝叶斯公式

概率论与数理统计

主讲：四川大学

四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式1

§1.5 条件概率

四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式3

第10讲条件概率(III)

全概率公式贝叶斯公式

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四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式4

四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式5

在前面两讲，

我们讲了条件概率和乘法公式。现在来讲全概率公式和贝叶斯公式()()(|)P AB P A P B A =(()0)P A >

（一）全概率公式

四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式6

A ()(|)

B P A B

1AB 2AB 3

AB 4AB 5AB )

B

1AB

2AB 3

AB 4AB 5

AB

四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式11全概率公式的意义

事件A 的发生有各种可能的原因B i (i =1,…,n )。如果A 是由原因B i 引起，则A 发生的概率为

()()(|)i i i P AB P B P A B 每一个原因都可能导致A 发生，

故A 发生的概率是全部原因引起A 发生的概率的总和，即为全概率公式。

由此可以形象地把全概率公式看成是“由原因推结果”的公式，每个原因对结果的发生有一定的作用，结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关，全概率公式就表达了它们之间的关系。四川大学

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第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式12

在很多实际问题中，P (A )不容易直接求得，但却容易找到S 的一个划分B 1, B 2,…, B n ，且P (B i )和P (A |B i )容易求得，那么就可以用全概率公式求出P (A )。

使用全概率公式的关键是作出S 的一个划分。

何时用全概率公式求A 的概率？

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1

()()(|)

n

i i i P A P B P A B ==∑

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第10

讲条件概率

(III): 全概率公式

贝叶斯公式

16

例

2 有12个足球都是新球，每次比赛时取出3个，比赛后又放回去，求第三次比赛时取到的

3 个足球都是新球的概率。

解设B i 分别表示第二次比赛时取到i 个新球(i =0,1,2,3)。A 表示第三次比赛取到3个新球。要求：P (A )。

第二次比赛时，有9个新球，3个旧球。

第一次比赛取出3个新球，

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第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式17

有12个足球都是新球，每次比赛时取出3个，比赛后又放回去，求第3次比赛时取到的

3个足球都是新球的概率。

第2

次比赛时，有9

个新球，3

个旧球。从12个球中取3个球的取法

312

()N C

Ω=B 0, B 1, B 2, B 3构成样本空间的划分。

0309

3

()N B C C

=9个新球中取0个，取3个旧球的取法

设B i 分别表示第2次比赛时取到i 个新球

(i =0,1,2,3)。A 表示第3次比赛取到3个新球。四川大学

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第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式18

有12个足球都是新球，每次比赛时取出3个，比赛后又放回去，求第3次比赛时取到的

3个足球都是新球的概率。

第2次比赛时，有

9

个新球，3

个旧球。从12个球中取3个球的取法

312()N C

Ω=03093()N B C C =1219

3()N B C C

=9个新球中取1个，3个旧球取2个的取法

2

1

293()N B C C

=30

()N B C C

=9个新球中取0个，取3个旧球的取法

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（二）贝叶斯公式

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A 逆概率公式

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第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式

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贝叶斯Thomas Bayes

1701-1761

英国数学家

贝叶斯Thomas Bayes，英国数学家。

1701年出生于伦敦，做过神甫。1742年成为英国皇家学会会员。1761年逝世。

贝叶斯在数学方面主要研究概率论。他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献。他死后，理查德·普莱斯(Richard Price)于1763年将他的著作《机会问题的解法》寄给了英国皇家学会，对于现代概率论和数理统计产生了重要的影响。贝叶斯的另一著作《机会的学说概论》发表于1758年。贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今。

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第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式33

设机器调整得良好时，产品的合格率为95%，而当机器发生某种故障时，其合格率为50%。设机器调整良好的概率为90%，已知某日生产的第一件产品是合格品，求机器调整良好的概率。

用A 表示“产品合格”，B 表示“机器调整良好”

()P B 0.9=(|)P B A 0.945≈机器调整良好的概率P (B )=0.9是由以往的数据分析所得，称为先验概率。

而条件概率P (B |A )=0.945是在得到产品合格的信息之后再重新加以修正的概率，称为后验概率。有了后验概率，我们就能对机器的调整状态有进一步的了解。

(|)()

P B A P B ≠