第九章 重积分
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9 x 与直线 x 2 围成，求均匀薄片 D 绕 x 轴的转动惯量 I x . 2
五、求均匀物体： x 2 y 2 z 2 2, x 2 y 2 z 2 关于 oz 轴的转动惯量（密度设为 1）. 六、 D 为匀质圆环形薄片： R1 x y R2 , z 0 ，求 D 对 z 轴上点
二、计算下列二重积分： 1、 2、
( x y) d , D为 y x
D
x y 1
2
, y 4 x 2 及 y 1 围成 ；
( x y)
y
2
2
dxdy ；
3、
x d .
1 x 1 0 y 1
三、改变下列二次积分的积分次序 1、 2、
1
0
dy f dx =
2
1 x y 2
2
dxdy
1 2
1 x y x y
2 2
2
2
zdz ；
（B）
dz
0
1
zdxdy ；
x2 y 2 z 2
（C）
2
0
d
0
dr
1 r 2
r
rzdz ；
（D）
2
0
d 4 d
0
1 3 r sin 2 dr . 0 2
1
2
（D）
2
x y R
2
y cos x d
2 2
x y R
2
x cos y d .
2
五、 D1 是 x 轴、 y 轴与 x y 1 所围区域， D2 为 ( x 2) 2 ( y 1) 2 2, 试在同一坐标系 下画出 D1 和 D2 的图形，并由小到大排出 I1 , I 2 , I 3 , I 4 的次序，其中：
x 1， y 2
f d __________ ________或 __________ __________ ____ ；
2、
x 2 y 2 2 x
f d __________ ________或 __________ __________ ____ ；
3、 D由y x及y 2 4 x围成，则
x2 y2 R2
二重积分的概念与性质
，上 ，体积 V 可用二
R 2 x 2 y 2 d
2.
x2
d
1 a2 b2
y2
三、估计积分 I
0 x 1 0 y 1
xy ( x 2 y 2 )dxdy 的值.
四、 D D1 D2 , D1、D2关于x轴对称，有下列结论成立 :
第九章 重积分
§9－1
一、填空： 1、 xoy 平面上有界闭区域 D 上分布着面密度 u u ( x, y ) ，则 D 的总质量 Q ______ . 2、 x 2 y 2 R 2 及 z 2 y 2 R2 围成的空间立体 在 xoy 面上的投影域为 顶的函数表达式 z ，下底的函数表达式 z 重积分表示成 . 二、由积分的几何意义求下列二重积分的值. 1、
R 0
x y R
2
2
f ( x, y )d 0 ；
2
2、 若f ( x, y )在D上连续，证明： lim
1 R0 R 2
x y R
2
2
f ( x, y )d f (0,0) .
2
2
§9－2 二重积分的计算法（一）
一、下列积分化为在直角坐标系下的二次积分（两种不同次序） ： 1、
1 y
y2
d 应先对变量
积分，
tan x d 应先对变量 x
积分，请计算
1
0
dy e dx .
y x
五、 设 f ( x), g ( y)分别在 [a, b],[c, d ]上连续，试证：
a x b c y d
f ( x ) g ( y ) d
b
a
f ( x)dx g ( y )dy .
(1 x y z)
dxdydz
3
.
6
§9－3 三重积分（二）
一、单项选择题 1、 为单位球： x2 y 2 z 2 1 ，则
x 2 y 2 z 2 dxdydz ______ .
（A）
dxdydz ；
（B）
1
2
0
d d r 3 sin dr ；
I
dxdy
f d z
dx
dy
fdz .
3、 由曲面 z x2 y 2 , y x 2 , y 1, z 0 围成， D ( x, y ) ____________ ，上顶的 表达式 z ________ ，下底的表达式 z ________ ， I _______________ . 4、 已知 I
2
D
dxdy x2 y2
；
2、计算 I 3、
1
0
dx
1 x 2
1 x
x y dy ； x2 y2
( x
D
2
y 2 )d , D由曲线x 1 y 2 ，直线y 1, y 1及x 2围成 .
四、
求由平面y 0, y kx (k 0), z 0以及球心在原点，半径为R的上半球面 所围成的在第一卦限内的立体的体积。
一、求锥面 z
重积分的应用
x 2 y 2 被柱面 z 2 2 x 所割下部分的面积.
x2 y 2 z 2 1 , z 0 的重心. a 2 b2 c2
二、求均匀半椭球体 :
三、在均匀半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长的均匀矩形薄片，为了使整个 均匀薄片的重心恰好落在圆心上，问接上去的均匀薄片另一边的长度是多少？ 四、 D 由 y
2
2、 3、
( x
2
( x y
z 2 ) 3 dv ，其中 是由 y 2 z 2 1 与 x 0, x 1 所围成的区域；
4、球心在原点，半径为 R 的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正 比，比例常数为 k ，求该球体的质量.
7
§9－4
0
y
0
dx
dx
sin x x 2
sin
f dy =
f dy dx
1 2 2 x
3、 4、
1
2 x x2
0
x
0
u
0
fdy =
0
du f (v) dv =
0
四、二重积分可化为两种次序的二次积分，由于被积函数的原因，有时一种次序的积分会比
3
另一种次序的积分简单，如
xe
I dz
f d z
fdxdy
dx dz
2
dy
fdz ； fdx .
dy
2、 由曲面 z x 2 2 y 2 及 z 2 x 围成， D ( x, y ) ____________ ，上顶的表达 式 z ____________ ，下底的表达式 z ____________ ，
x2 y 2 R2
)
x 2 y 2 1 y 0
ex
2
y2
d 2
x2 y 2 R2 y 0
ex
2
y2
d ； （B）
x 2 y 2 1
e x y d 2
e x y d ；
（C）
2
x y R
2
x 2 y 3 d 0 ；
(1) 若 f ( x, y ) f ( x, y ), 则 f ( x, y )d 0
D
(2) 若 f ( x, y ) f ( x, y ), 则 f ( x, y )d 2 f ( x, y )d
D D1
根据上述结论及轮换对称的性质找出下列全部正确的等式：( （A）
0 0
1
（C）
2
0
d d r 3 sin dr ；
0 0
（D）
2
0
d d r 3 sin dr .
0 0
2
1
2、 由不等式 x y z 1, z
2 2 2
x 2 y 2 确定，则 zdxdydz ______ .
（A）
I 1 ( x y ) 2 d ， I 2 ( x y ) 3 d ， I 3 ( x y ) 2 d ， I 4 ( x y ) 3 d
D1 D1 D2 D2
六、 D为平面区域：x y R ，
2 2 2
1
lim 1、 若f ( x, y )在D上有界，可积，证明：
xyzdxdydz ；
2、 是两个球 x 2 y 2 z 2 R 2 和 x 2 y 2 z 2 2Rz( R 0) 的公共部分， 求
z dv ；
2
3、设 为 x 0, y 0, z 0, x y z 1 所围成的四面体，计算
2、
x2 y 2 2 x
3、 D {( x, y ) |1 x 2 y 2 4, y x}, 4、 D {( x, y ) | 0 y 1 x, 0 x 1},
e
D
D
x2 y 2
dxdy _______________ ；
g ( x, y)dxdy _______________ .
2 2 2 2
M 0 (0 ,0 , a) (a 0) 处单位质点的引力 F .
8
参考答案
第九章 § 9-1 一、1、
( x, y)d
D
2 2
；
2
2、 ( x, y ) x y R
,
z R2 y2 , z R2 y 2 ,
x2 y 2 R2
c
d
4
§9－2 二重积分的计算法（二）
一、把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分： 1、
x 2 y 2 a 2
( x y)dxdy _____________________________________；
y f ( x 2 y 2 , arctan )dxdy _______________________ ； x
二、 由锥面 x 2 y 2 z 2和平面 z 1围成，将积分 I 球坐标下化为三次积分. 三、选用适当的坐标计算下列三重积分： 1、
f ( x
2
y 2 )dv 分别在柱坐标，
x2 y2 z2 z
x 2 y 2 z 2 dv ；
y 2 )dv ， ： 4 z 2 25( x2 y 2 ), z 5 所围成的立体；
5
§9－3 三重积分（一）
一、填空或填积分限、积分区域：记 I 为用平面 Z z 截 所得的“切片”. 1、 由曲面 z x 2 y 2 及平面 z 1 围成，则
f ( x, y, z )dv ， D 为 在 xoy 面上的投影， D
z
I dxdy
二、化下列二次积分为极坐标系下的二次积分： 1、
1 0
dx
2
1 x 2
1 x
f ( x, y )dy =
2、
0
1 0
dx
3x x
f ( x 2 y 2 )dy =
3、
dx
1 x2 1 x2
y xf (arctan )dy = x
三、用适当的坐标系计算： 1、 D由y x, y x 围成, 计算I
2 R 2 y 2 d ；
二、 1 、
2 3 R 3
2 、 ab ； 三、 1 、 0 I 2 ；
四、 （A ） ， （C） ， （D） ；
五、
I 2 I1 I 3 I 4 .
D
f d __________ ________或 __________ __________ ____ ；
4、 D 由 y x 2 , y 2 x 2 , y 1, y 2 围成，则
D
f d __________ ________或 __________ __________ ____ .
1
1
dx
1 x 2
1 x 2
dy
1 x2 y2
fdz ，则上顶的表达式 z ______________ ，
下底的表达式 z _______________ ， D ( x, y ) ________________ 及 的草图. 二、计算下列三重积分： 1、 由平面 z 0, z y. y 1 以及柱面 y x 2 围成，求
9 x 与直线 x 2 围成，求均匀薄片 D 绕 x 轴的转动惯量 I x . 2
五、求均匀物体： x 2 y 2 z 2 2, x 2 y 2 z 2 关于 oz 轴的转动惯量（密度设为 1）. 六、 D 为匀质圆环形薄片： R1 x y R2 , z 0 ，求 D 对 z 轴上点
二、计算下列二重积分： 1、 2、
( x y) d , D为 y x
D
x y 1
2
, y 4 x 2 及 y 1 围成 ；
( x y)
y
2
2
dxdy ；
3、
x d .
1 x 1 0 y 1
三、改变下列二次积分的积分次序 1、 2、
1
0
dy f dx =
2
1 x y 2
2
dxdy
1 2
1 x y x y
2 2
2
2
zdz ；
（B）
dz
0
1
zdxdy ；
x2 y 2 z 2
（C）
2
0
d
0
dr
1 r 2
r
rzdz ；
（D）
2
0
d 4 d
0
1 3 r sin 2 dr . 0 2
1
2
（D）
2
x y R
2
y cos x d
2 2
x y R
2
x cos y d .
2
五、 D1 是 x 轴、 y 轴与 x y 1 所围区域， D2 为 ( x 2) 2 ( y 1) 2 2, 试在同一坐标系 下画出 D1 和 D2 的图形，并由小到大排出 I1 , I 2 , I 3 , I 4 的次序，其中：
x 1， y 2
f d __________ ________或 __________ __________ ____ ；
2、
x 2 y 2 2 x
f d __________ ________或 __________ __________ ____ ；
3、 D由y x及y 2 4 x围成，则
x2 y2 R2
二重积分的概念与性质
，上 ，体积 V 可用二
R 2 x 2 y 2 d
2.
x2
d
1 a2 b2
y2
三、估计积分 I
0 x 1 0 y 1
xy ( x 2 y 2 )dxdy 的值.
四、 D D1 D2 , D1、D2关于x轴对称，有下列结论成立 :
第九章 重积分
§9－1
一、填空： 1、 xoy 平面上有界闭区域 D 上分布着面密度 u u ( x, y ) ，则 D 的总质量 Q ______ . 2、 x 2 y 2 R 2 及 z 2 y 2 R2 围成的空间立体 在 xoy 面上的投影域为 顶的函数表达式 z ，下底的函数表达式 z 重积分表示成 . 二、由积分的几何意义求下列二重积分的值. 1、
R 0
x y R
2
2
f ( x, y )d 0 ；
2
2、 若f ( x, y )在D上连续，证明： lim
1 R0 R 2
x y R
2
2
f ( x, y )d f (0,0) .
2
2
§9－2 二重积分的计算法（一）
一、下列积分化为在直角坐标系下的二次积分（两种不同次序） ： 1、
1 y
y2
d 应先对变量
积分，
tan x d 应先对变量 x
积分，请计算
1
0
dy e dx .
y x
五、 设 f ( x), g ( y)分别在 [a, b],[c, d ]上连续，试证：
a x b c y d
f ( x ) g ( y ) d
b
a
f ( x)dx g ( y )dy .
(1 x y z)
dxdydz
3
.
6
§9－3 三重积分（二）
一、单项选择题 1、 为单位球： x2 y 2 z 2 1 ，则
x 2 y 2 z 2 dxdydz ______ .
（A）
dxdydz ；
（B）
1
2
0
d d r 3 sin dr ；
I
dxdy
f d z
dx
dy
fdz .
3、 由曲面 z x2 y 2 , y x 2 , y 1, z 0 围成， D ( x, y ) ____________ ，上顶的 表达式 z ________ ，下底的表达式 z ________ ， I _______________ . 4、 已知 I
2
D
dxdy x2 y2
；
2、计算 I 3、
1
0
dx
1 x 2
1 x
x y dy ； x2 y2
( x
D
2
y 2 )d , D由曲线x 1 y 2 ，直线y 1, y 1及x 2围成 .
四、
求由平面y 0, y kx (k 0), z 0以及球心在原点，半径为R的上半球面 所围成的在第一卦限内的立体的体积。
一、求锥面 z
重积分的应用
x 2 y 2 被柱面 z 2 2 x 所割下部分的面积.
x2 y 2 z 2 1 , z 0 的重心. a 2 b2 c2
二、求均匀半椭球体 :
三、在均匀半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长的均匀矩形薄片，为了使整个 均匀薄片的重心恰好落在圆心上，问接上去的均匀薄片另一边的长度是多少？ 四、 D 由 y
2
2、 3、
( x
2
( x y
z 2 ) 3 dv ，其中 是由 y 2 z 2 1 与 x 0, x 1 所围成的区域；
4、球心在原点，半径为 R 的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正 比，比例常数为 k ，求该球体的质量.
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§9－4
0
y
0
dx
dx
sin x x 2
sin
f dy =
f dy dx
1 2 2 x
3、 4、
1
2 x x2
0
x
0
u
0
fdy =
0
du f (v) dv =
0
四、二重积分可化为两种次序的二次积分，由于被积函数的原因，有时一种次序的积分会比
3
另一种次序的积分简单，如
xe
I dz
f d z
fdxdy
dx dz
2
dy
fdz ； fdx .
dy
2、 由曲面 z x 2 2 y 2 及 z 2 x 围成， D ( x, y ) ____________ ，上顶的表达 式 z ____________ ，下底的表达式 z ____________ ，
x2 y 2 R2
)
x 2 y 2 1 y 0
ex
2
y2
d 2
x2 y 2 R2 y 0
ex
2
y2
d ； （B）
x 2 y 2 1
e x y d 2
e x y d ；
（C）
2
x y R
2
x 2 y 3 d 0 ；
(1) 若 f ( x, y ) f ( x, y ), 则 f ( x, y )d 0
D
(2) 若 f ( x, y ) f ( x, y ), 则 f ( x, y )d 2 f ( x, y )d
D D1
根据上述结论及轮换对称的性质找出下列全部正确的等式：( （A）
0 0
1
（C）
2
0
d d r 3 sin dr ；
0 0
（D）
2
0
d d r 3 sin dr .
0 0
2
1
2、 由不等式 x y z 1, z
2 2 2
x 2 y 2 确定，则 zdxdydz ______ .
（A）
I 1 ( x y ) 2 d ， I 2 ( x y ) 3 d ， I 3 ( x y ) 2 d ， I 4 ( x y ) 3 d
D1 D1 D2 D2
六、 D为平面区域：x y R ，
2 2 2
1
lim 1、 若f ( x, y )在D上有界，可积，证明：
xyzdxdydz ；
2、 是两个球 x 2 y 2 z 2 R 2 和 x 2 y 2 z 2 2Rz( R 0) 的公共部分， 求
z dv ；
2
3、设 为 x 0, y 0, z 0, x y z 1 所围成的四面体，计算
2、
x2 y 2 2 x
3、 D {( x, y ) |1 x 2 y 2 4, y x}, 4、 D {( x, y ) | 0 y 1 x, 0 x 1},
e
D
D
x2 y 2
dxdy _______________ ；
g ( x, y)dxdy _______________ .
2 2 2 2
M 0 (0 ,0 , a) (a 0) 处单位质点的引力 F .
8
参考答案
第九章 § 9-1 一、1、
( x, y)d
D
2 2
；
2
2、 ( x, y ) x y R
,
z R2 y2 , z R2 y 2 ,
x2 y 2 R2
c
d
4
§9－2 二重积分的计算法（二）
一、把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分： 1、
x 2 y 2 a 2
( x y)dxdy _____________________________________；
y f ( x 2 y 2 , arctan )dxdy _______________________ ； x
二、 由锥面 x 2 y 2 z 2和平面 z 1围成，将积分 I 球坐标下化为三次积分. 三、选用适当的坐标计算下列三重积分： 1、
f ( x
2
y 2 )dv 分别在柱坐标，
x2 y2 z2 z
x 2 y 2 z 2 dv ；
y 2 )dv ， ： 4 z 2 25( x2 y 2 ), z 5 所围成的立体；
5
§9－3 三重积分（一）
一、填空或填积分限、积分区域：记 I 为用平面 Z z 截 所得的“切片”. 1、 由曲面 z x 2 y 2 及平面 z 1 围成，则
f ( x, y, z )dv ， D 为 在 xoy 面上的投影， D
z
I dxdy
二、化下列二次积分为极坐标系下的二次积分： 1、
1 0
dx
2
1 x 2
1 x
f ( x, y )dy =
2、
0
1 0
dx
3x x
f ( x 2 y 2 )dy =
3、
dx
1 x2 1 x2
y xf (arctan )dy = x
三、用适当的坐标系计算： 1、 D由y x, y x 围成, 计算I
2 R 2 y 2 d ；
二、 1 、
2 3 R 3
2 、 ab ； 三、 1 、 0 I 2 ；
四、 （A ） ， （C） ， （D） ；
五、
I 2 I1 I 3 I 4 .
D
f d __________ ________或 __________ __________ ____ ；
4、 D 由 y x 2 , y 2 x 2 , y 1, y 2 围成，则
D
f d __________ ________或 __________ __________ ____ .
1
1
dx
1 x 2
1 x 2
dy
1 x2 y2
fdz ，则上顶的表达式 z ______________ ，
下底的表达式 z _______________ ， D ( x, y ) ________________ 及 的草图. 二、计算下列三重积分： 1、 由平面 z 0, z y. y 1 以及柱面 y x 2 围成，求