信号与系统分析(张华清)第二章PPT课件

简记为
n
m
aiy(i)(t) bje(j)(t)
i0
j0
二、微分方程的经典解法
用时域法求解连续系统的流程图
建立系统的微分方程
求特征根li , 确定齐次解
yh(t)的形式(查表2–1)
由e(t)确定特解yp(t)
的形式(查表2–2)
y(t)yh(t)yp(t)(含待定系数)
由初始条件确定系数
系统响应y(t)
iR
ic
L
iห้องสมุดไป่ตู้
'' L
R
i
' L
1 C
iL
L uL
R uR C
uC
R
1 C
i
s
写出图所示系统的数学模型
e (t)
x ''' ( t )
1
y (t)
2
x '' ( t )
3
x '(t ) 5
x (t)
e (t)
y (t)
LTI
对于任意一个单输入—单输出的LTI系统，其数学模 型的一般形式为
a n y ( n ) (t ) an1y(n1)(t)L a1y'(t) a 0 y (t ) bme(m) (t) bm1e(m1)(t) L b1e' (t) b0 e ( t )
第二章 连续时间系统的时域分析
时域分析：对系统的分析与计算均以时间t 为变量 优点：直观、物理概念清楚 缺点：对高阶系统或复杂激励计算复杂
2.1 系统微分方程的经典解
一、微分方程（数学模型）的建立
为建立线性系统的数学模型，需找出描述其工作
特性的微分方程式。
图所示电路写出以uL为响应的数学模型
is
iL
例1 描述某LTI系统的数学模型为y''(t)5y'(t)6y(t)e(t) 已 知 e ( t) 1 0 c o s t( t) ,y ( 0 ) 2 ,y '( 0 ) 0 求系统响应 y(t) (t)
l l 解 ： 特 征 方 程 2 ＋ 5＋ 6 ＝ 0
l l 特 征 根 1 ＝ － 2 ， 2 ＝ － 3
解 得y(t)＝ yht＋ ypt
2e2t e3t 2cos(t4)(t)
y(t)＝ 2 e 2 t e 3 t2c o s(t) t 0
4
齐次解 自由响应
暂态响应
特解 强迫响应 稳态响应
当输入信号是阶跃函数或有始的周期 函数时，系统的全响应也可分解为瞬态响 应和稳态响应。
2.1.2 关于系统在t＝0-与0+状态的讨论（难点）
（1）此方法只匹配d(t)及其各阶导数，使方程两边 d(t)及其各阶导数平衡。 （2）此方法先使方程右边d(t)最高次导数项与方程 左边y ( i )(t)的最高阶次项得到平衡。 （3）当平衡低阶次d(t)项时，若方程左边同阶次d(t)函 数项的系数之和不能与右边平衡时，则由方程左边y ( i )(t) 的最高阶次项来补偿。
讨论的前提
n
m
1 ) a iy(i)(t) bje(j)(t) 0t
i 0
j 0
2） t <0时 e(t)=0
3）求 t 0时系统的响应y(t)
1. 初始状态与初始条件
e (t)加入
y ( j ) (0 ) 初始状态（第二类初始条件）
j0,1,2,L,n1
e (t) 加入 e(t) 加入
初始状态反映历史信息而与激励无关
t=0
uC1
uC2
C1=1F
C2=1/2F
b. d匹配法（ d函数平衡法）
对任意系统的数学模型普遍适用的方法 基本思路：
n
m
(1 ) Q a iy(i)(t) b je(j)(t) 0 t
i 0
j 0
n
m
a iy(i)(t) bje(j)(t) 0t0
i 0
j 0
（2）引入d(t)后函数在跳变点的导数存在
前瞬间 后瞬间
0– 0+ 0
y ( j ) (0 ) 初始条件（第一类初始条件）
t
由 y(j)(0 )和 e(t)共 同 决 定
y (j)(t)从 0 :0 可 能 发 生 跳 变 即 y(j)(0)y(j)(0)
令 V y ( j ) ( 0 ) y ( j ) ( 0 + ) - y ( j ) ( 0 - ) 跳 变 量
求解微分方程时，一般限于0＋ｔ范围， 应当利用y(j)(0)作为初始条件，求齐次解的系数。 因此，需要从已知的初始状态y(j)(0－)设法求得 y(j)(0)。
2. 初始条件(即跳变量) 的确定方法
a. 对电路模型利用物理概念进行判断
已 知 u 1 ( 0 ) 1 V u 2 ( 0 ) 0 求 u 1 ( 0 ) u 2 ( 0 ) u ( 0 )
(2) e(t) d (t)时 y(0 )
(3) e(t) d (t)时 y(0 )
注意：匹配应从微分方程的最高阶项开始
发生跳变的条件：微分方程右端含d(t)及其各阶导数
例2：y''(t)3y'(t)2y(t)2d(t)6(t)
已知 y(0)2, y'(0)0 求 y'(0+), y(0)
注意：d匹配法不是求方程的解， 而仅仅求响应y(t)及
齐 次 解 y ht＝ c 1 e － 2 t＋ c 2 e － 3 t 查 表 2 - 2 ， 可 设 特 解 为 y p t ＝ P c o s t ＋ Q s i n t
求 yp、 yp， 将 yp、 yp、 yp代 人 原 方 程 ， 整 理 后 有
5P5Q cost＋ － 5P ＋ 5Q sint＝ 10cost
如果由于激励信号的加入，在方程右端出现d(t)及其 各阶导数，则方程左端也相应产生与之对应的d(t)及其 各阶导数项使之方程两端平衡 ，而左端冲激函数的产 生意味着左端y ( i )(t)中的某些项在t=0处有跳变。
例1： y' (t) 3y(t) 3e(t) y(0 ) 0
求 （1）e(t) (t)时 y(0 )
5P5P5Q5Q100
P 1
Q
1
ypt＝ co st＋ sint2co s(t－ 4)
全 解yt＝ ypt＋ yht
代人初始条＝ 件c1e－ 2t＋ c2e－ 3t＋2cost－ 4
yy00 ＝ ＝ c－ 1＋2 cc21 ＋ － 3c 22－ cos24sin ＝ 24＝ 0
c1＝ 2 c2＝ － 1
其各阶导数在t=0处的跳变量
y
( f
j)
(0
)
，在此(t)仅
用来表示在t=0处有一个单位的跳变量。
例3： y''(t)4y'(t)3y(t)d'(t)2d(t)
已知 y(0)1, y'(0)0
求 y'(0+), y(0)
总结：用d函数平衡法求响应及其各阶导数在激励加人 时刻的跳变量时，应注意以下几点：