2011年北京市高考数学模拟试题精选_理科卷_
2011年高考数学北京卷(理科)含答案
2011年高考数学——北京卷（理科）一．选择题1．已知集合 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ．若 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围是 （ ）A ． EMBED Equation.DSMT4B ． EMBED Equation.DSMT4C ． EMBED Equation.DSMT4 D ． EMBED Equation.DSMT42．复数 EMBED Equation.DSMT4（ ）A ． EMBED Equation.DSMT4B ． EMBED Equation.DSMT4C ． EMBED Equation.DSMT4 D ． EMBED Equation.DSMT43．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是 （ ） A ． EMBED Equation.DSMT4 B ． EMBED Equation.DSMT4C ． EMBED Equation.DSMT4 D ． EMBED Equation.DSMT44．执行如图所示的程序框图，输出的 EMBED Equation.DSMT4 值为（ ） A ． EMBED Equation.DSMT4 B ． EMBEDEquation.DSMT4 C ． EMBED Equation.DSMT4D ． EMBED Equation.DSMT45．如图， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4， EMBED Equation.DSMT4 分别与圆 EMBED Equation.DSMT4切于点 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，延长 EMBED Equation.DSMT4与圆 EMBED Equation.DSMT4 交于另一点 EMBEDEquation.DSMT4 ．给出下列三个结论： ① EMBED Equation.DSMT4 ；② EMBED Equation.DSMT4 ；③ EMBED Equation.DSMT4 ． 其中正确结论的序号是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③6．根据统计，一名工人组装第 EMBED Equation.DSMT4 件某产品所用的时间（单位：11s s s -=+0,2i s ==4i <1i i =+s 输出开始结束第4题 CF O EG分钟）为 EMBED Equation.DSMT4（ EMBED Equation.DSMT4 ， EMBEDEquation.DSMT4 为常数），已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第 EMBED Equation.DSMT4 件产品用时15分钟， 那么 EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4 的值分别是（ ）A ．75, 25B ．75, 16C ．60, 25D ．60,167．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ ）A ．8B ． EMBED Equation.DSMT4C ．10D ． EMBED Equation.DSMT48．设 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 （ EMBED Equation.DSMT4 ）．记 EMBED Equation.DSMT4为平行四边形 EMBED Equation.DSMT4 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 EMBED Equation.DSMT4 的值域为 （ ）A ． EMBED Equation.DSMT4B ． EMBED Equation.DSMT4C ． EMBED Equation.DSMT4 D ． EMBED Equation.DSMT4二．填空题9．在 EMBED Equation.DSMT4 中，若 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4， EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4_________； EMBED Equation.DSMT4 ________．10．已知向量 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ．若 EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 共线，则 EMBED Equation.DSMT4 ______．11．在等比数列 EMBED Equation.DSMT4 中，若 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4，则公比 EMBED Equation.DSMT4 ； EMBED Equation.DSMT4． 12．用数字2，3组成四位数，且数字2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有 个（用数字作答）．13．已知函数 EMBED Equation.DSMT4若关于 EMBED Equation.DSMT4 的方程 EMBED Equation.DSMT4 有两个不同的实根，则实数 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围是 ．14．曲线 EMBED Equation.DSMT4 是平面内与两个定点 EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4的距离的积等于常数 EMBED Equation.DSMT4 （ EMBED Equation.DSMT4 ）的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线 EMBED Equation.DSMT4 过坐标原点；②曲线 EMBED Equation.DSMT4 关于坐标原点对称；③若点 EMBED Equation.DSMT4 在曲线 EMBED Equation.DSMT4 上，则 EMBED Equation.DSMT4 的面积不大于 EMBED Equation.DSMT4． 其中，所有正确结论的序号是 ．三．解答题15．（13分）已知函数 EMBED Equation.DSMT4．（1）求 EMBED Equation.DSMT4 的最小正周期；（2）求 EMBED Equation.DSMT4 在区间 EMBED Equation.DSMT4上的最大值和最小值．16．（14分）如图，在四棱锥 EMBED Equation.DSMT4 中， EMBED Equation.DSMT4 平面 EMBED Equation.DSMT4 ，底面EMBED Equation.DSMT4 是菱形， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4．（1）求证 EMBED Equation.DSMT4 平面EMBED Equation.DSMT4 ；（2）若 EMBED Equation.DSMT4 ，求 EMBEDEquation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 所成角的余弦值；（3）当平面 EMBED Equation.DSMT4 与平面 EMBED Equation.DSMT4 垂直时，求 EMBEDEquation.DSMT4 的长．17．（13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 EMBED Equation.DSMT4 表示．999X 008甲组乙组 C A B DP（1）如果 EMBED Equation.DSMT4 ，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果 EMBED Equation.DSMT4 ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数 EMBED Equation.DSMT4 的分布列和数学期望．18．（13分）已知函数 EMBED Equation.DSMT4 ．（1）求 EMBED Equation.DSMT4 的单调区间；（2）若对于任意的 EMBED Equation.DSMT4 ，都有 EMBED Equation.DSMT4，求 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围．19．（14分）已知椭圆 EMBED Equation.DSMT4，过点 EMBED Equation.DSMT4作圆 EMBED Equation.DSMT4的切线 EMBED Equation.DSMT4 交椭圆 EMBED Equation.DSMT4 于 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 两点．（1）求椭圆 EMBED Equation.DSMT4 的焦点坐标和离心率；（2）将 EMBED Equation.DSMT4 表示为 EMBED Equation.DSMT4 的函数，并求 EMBED Equation.DSMT4 的最大值．20．（13分）若数列 EMBED Equation.DSMT4 ： EMBED Equation.DSMT4 （ EMBED Equation.DSMT4 ）满足 EMBED Equation.DSMT4（ EMBED Equation.DSMT4 ），则称 EMBED Equation.DSMT4为 EMBED Equation.DSMT4 数列．记 EMBED Equation.DSMT4． （1）写出一个满足 EMBED Equation.DSMT4 ，且 EMBED Equation.DSMT4 的 EMBED Equation.DSMT4 数列 EMBED Equation.DSMT4； （2）若 EMBED Equation.DSMT4， EMBED Equation.DSMT4 ．证明： EMBED Equation.DSMT4 数列 EMBED Equation.DSMT4是递增数列的充要条件是 EMBED Equation.DSMT4； （3）对任意给定的整数 EMBED Equation.DSMT4 （ EMBED Equation.DSMT4），是否存在首项为0的 EMBED Equation.DSMT4 数列 EMBED Equation.DSMT4 ，使得 EMBED Equation.DSMT4?若果存在，写出一个满足条件的 EMBED Equation.DSMT4 数列 EMBED Equation.DSMT4；如果不存在，说明理由．HYPERLINK "/showpic.html" \l"blogid=4dd457800100to0p&url=/orignal/4dd45780t76eca 3d71bb8" \t "_blank" INCLUDEPICTURE"/middle/4dd45780t76eca3d71bb8&690" \*MERGEFORMATINETHYPERLINK "/showpic.html" \l"blogid=4dd457800100to0p&url=/orignal/4dd45780ta53e66861fc5" \t "_blank" INCLUDEPICTURE"/middle/4dd45780ta53e66861fc5&690" \*MERGEFORMATINETHYPERLINK "/showpic.html" \l"blogid=4dd457800100to0p&url=/orignal/4dd45780t76eca 3e4c1a6" \t "_blank" 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2011年高考数学模拟试题(理科)
，
３正 项 数 列 ｛ｎ 前 ｎ项 和 为 Ｊ ，。ｌ ． ａ｝ 的 ｓ０ ， ＝
口（ ） ：
． １， ｓ １若数列１＋｝ ＝ ％ｌ 是等比数列 ， 则其公 比 数ｙｆｘ的 图象 （ ） ＝（）
Ａ关 于 原点对 称 ．
Ｉ２ １ ０ １ ０，４ ）
ｌｏ ６
（３ ）２ ．
（３ 题 ～第 （ １题 为 必考 题 ， １） ２） 每个 试 题考 生 都 必 须 作 答 ， （２ 题 ～第 （４ 题 为 选 考 第 ２） ２） 题 ， 生根据 要求 作答 。 考
Ｄ ） 图象 由 ｙ ２ｉ２ 的 ＝ ｓ ｘ的图象 向右 平 ｎ 移 个 单位 得到
三、 解答 题 ： 本大题 共 ６小题 ， ７ 共 ０分 。
解答应 写出文字说 明 ， 明过程或演 算步骤。 证 ｌ ．本小题 满分 ２分 ） ７（ １ 等差数 列｛ 前 ｎ ％｝
，
１． 已知—个球与—个正三陵柱的各个面都 项和为．， ｓ Ｓ ２ ， １ ｓ 罢 ＝１，＋ｓ １ ３ ＝ 相切，幅 贝 陵住的底面边长是侧棱长的（ ） ，
Ｄ３
５已 知 ｂ 为 正 实 数 ， 足 ａ ｂ ａ ， ． ，均 满 ＋ ＝ ｂ 则
使 ４ ＋ ≥ｍ恒 成立 的ｍ 的取值 范 围是 （ ） ａｂ
Ａ （ 。，】 ． 。３ 一 Ｂ （ ６ ．一∞，］ Ｄ． 。，０ （ 。１Ｊ 一 Ｃ（ ∞，］ ． 一 ９
、
选择题 ： 本大 题 共 １ ２小 题 ， 小题 ５ 每
模拟试题 ： ≯ Ｍ ＮＳ ≯ Ｏ ＩＨＴ １Ｉ墓
◇ 姜伟 鸿 本 试 题 分 为 第 １卷 （ 择 题 ） 第 Ⅱ卷 选 和 （ 选择 题 ） 非 两部 分 ， 分 １ ０分 。 考 试 时 间 满 ５
数学_2011年北京市西城区高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2011年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1. 已知集合A ={x ∈Z||x|<5}，B ={x|x −2≥0}，则A ∩B 等于（ ）A (2, 5)B [2, 5)C {2, 3, 4}D {3, 4, 5}2. 下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）A y =2|x|B y =x 2−xC y =2xD y =x 33. 设a =log 23，b =log 43，c =0.5，则（ ）A c <b <aB b <c <aC b <a <cD c <a <b4. 设向量a →=(1, sinθ)，b →=(3sinθ, 1)，且a → // b →，则cos2θ等于（ ）A −13B −23C 23D 13 5. 阅读框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为( )A 3B 4C 5D 66. 已知函数①y =sinx +cosx ，②y =2√2sinxcosx ，则下列结论正确的是（ ）A 两个函数的图象均关于点(−π4，0)成中心对称B 两个函数的图象均关于直线x =−π4成中心对称C 两个函数在区间(−π4，π4)上都是单调递增函数D 两个函数的最小正周期相同7. 已知曲线C ：y =1x (x >0)及两点A 1(x 1, 0)和A 2(x 2, 0)，其中x 2>x 1>0．过A 1，A 2分别作x 轴的垂线，交曲线C 于B 1，B 2两点，直线B 1B 2与x 轴交于点A 3(x 3, 0)，那么（ ）A x 1，x 32，x 2成等差数列B x 1，x 32，x 2成等比数列C x 1，x 3，x 2成等差数列 D x 1，x 3，x 2成等比数列8. 如图，四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，OA =OB =2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D，使CD与AB垂直并且相等④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是（）A ①②B ②③C ③D ③④二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. 在复平面内，复数2i1−i对应的点到原点的距离为________．10. 如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知PA=2√2，PC=4，圆心O到BC的距离为√3，则圆O的半径为________．11. 已知椭圆C:{x=cosθy=2sinθ(θ∈R)经过点(m,12)，则m=________，离心率e=________．12. 一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为________．13. 某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有________种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有________种．14. 已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，有a n+1={3a n+5a n为奇数a n2ka n为偶数．其中k为使a n+1为奇数的正整数，当a1=11时，a100=________；若存在m∈N∗，当n>m且a n为奇数时，a n恒为常数p，则p的值为________．三、解答题（共6小题，满分80分））15. 设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB=45，b=2．（1）当a=53时，求角A的度数；（2）求△ABC面积的最大值．16. 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为1 2，13，p．且他们是否破译出密码互不影响．若三人中只有甲破译出密码的概率为14．（1）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（2）求p 的值；（3）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX ．17. 如图所示，四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF // DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60∘．（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）求二面角F −BE −D 的余弦值；（3）设点M 是线段BD 上的一个动点，试确定点M 的位置，使得AM // 平面BEF ，并证明你的结论．18. 已知函数f(x)=a(x−1)x 2，其中a >0．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若直线x −y −1=0是曲线y =f(x)的切线，求实数a 的值；（3）设g(x)=xlnx −x 2f(x)，求g(x)在区间[1, e]上的最大值．（其中e 为自然对数的底数）19. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于A ，B 两点，其中点A 在第一象限．（1）求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切；（2）若FA →=λ1AP →，BF →=λ2FA →，λ1λ2∈[14,12]，求λ2的取值范围． 20. 定义τ(a 1, a 2,…,a n )=|a 1−a 2|+|a 2−a 3|+...+|a n−1−a n |为有限项数列{a n }的波动强度．（1）当a n =(−1)n 时，求τ(a 1, a 2,…,a 100)；（2）若数列a ，b ，c ，d 满足(a −b)(b −c)>0，求证：τ(a, b, c, d)≤τ(a, c, b, d)；（3）设{a n }各项均不相等，且交换数列{a n }中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{a n }一定是递增数列或递减数列．2011年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）答案1. C2. B3. A4. D5. C6. C7. A8. D9. √210. 211. ±√154,√3212. 1213. 60,4814. 62,1或515. 解：∵ cosB =45∴ sinB =35 且B 为锐角（1）∵ b =2，a =53由正弦定理可得，b sinB =a sinA ∴ sinA =asinB b =53×352=12∵ a <b∴ A <B∴ A =30∘（2）由cosB =45，b =2利用余弦定理可得，b 2=a 2+c 2−2accosB∴ 4+85ac =a 2+c 2≥2ac 从而有ac ≤10∴ S △ABC =12acsinB =310ac ≤3∴ △ABC 面积的最大值为316. 解：记甲、乙、丙三人各自破译密码的事件为A 1，A 2，A 3，且，A 1，A 2，A 3相互独立， 则P(A 1)=12，p(A 2)=13，p(A 3)=p ，（1）甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率 p 1=1−p(A 1¯A 2¯)=1−(1−12)(1−13)=23．（2）∵ 三人中只有甲破译出密码的概率为14．∴ 12×(1−13)×(1−p)=14， 解得p =14． （3）X 的可能取值为0，1，2，3，p(X =0)=(1−12)(1−13)(1−14)=14．p(X =1)=12×(1−13)×(1−14)+(1−12)×13×(1−14)+(1−12)×(1−13)×14=1124． p(X =2)=12×13×(1−14)+12×(1−13)×14+(1−12)×13×14=14．p(X =3)=12×13×14=124．∴ X 的分布列是EX =0×14+1×1124+2×14+3×124=1312．17. 因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC ．因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，从而AC ⊥平面BDE ．因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系D −xyz 如图所示．因为BE 与平面ABCD 所成角为600，即∠DBE ＝60∘，所以EDDB =√3．由AD ＝3，可知DE =3√6，AF =√6．则A(3, 0, 0)，F(3,0,√6)，E(0,0,3√6)，B(3, 3, 0)，C(0, 3, 0)，所以BF →=(0,−3,√6)，EF →=(3,0,−2√6)．设平面BEF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅BF →=0n →⋅EF →=0 ，即{−3y +√6z =03x −2√6z =0 ． 令z =√6，则n →=(4,2,√6)．因为AC ⊥平面BDE ，所以CA →为平面BDE 的法向量，CA →=(3,−3,0)．所以cos⟨n →,CA →>=n →⋅CA→|n →||CA →|=3√2×√26=√1313． 因为二面角为锐角，所以二面角F −BE −D 的余弦值为√1313．点M 是线段BD 上一个动点，设M(t, t, 0)．则AM →=(t −3,t,0)．因为AM // 平面BEF ，所以AM →⋅n =0，即4(t −3)+2t ＝0，解得t ＝2．此时，点M 坐标为(2, 2, 0)，即当BM =13BD 时，AM // 平面BEF ．18. 解：（1）′因为函数f(x)=a(x−1)x2，∴ f′(x)=[a(x−1)]′⋅x2−(x2)′a(x−1)x4=a(2−x)x3f′(x)>0⇒0<x<2，f′(x)<0⇒x<0，x>2，故函数在(0, 2)上递增，在(−∞, 0)和(2, +∞)上递减．（2）设切点为(x, y)，由切线斜率k=1=−a(x−2a)x3，⇒x3=−ax+2，①由x−y−1=x−a(x−1)x2−1=0⇒(x2−a)(x−1)=0⇒x=1，x=±√a．把x=1代入①得a=1，把x=√a代入①得a=1，把x=−√a代入①得a=−1，∵ a>0．故所求实数a的值为1（3）∵ g(x)=xlnx−x2f(x)=xlnx−a(x−1)，∴ g′(x)=lnx+1−a，且g′(1)=1−a，g′(e)=2−a．当a<1时，g′(1)>0，g′(e)>0，故g(x)在区间[1, e]上递增，其最大值为g(e)=a+ e(1−a)；当1<a<2时，g′(1)<0，g′(e)>0，故g(x)在区间[1, e]上先减后增且g(1)=0，g(e)>0．所以g(x)在区间[1, e]上的最大值为g(e)=a+e(1−a)；当a>2时，g′(1)<0，g′(e)<0，g(x)在区间[1, e]上递减，故最大值为g(1)=0．19. 解：（1）由题设知F(p2，0)，设A(x1, y1)，则y12=2px，圆心(2x1+p4，y12)，圆心到y轴的距离是2x1+p4，圆半径为|FA|2=12×|x 1−(−p 2)|=2x 1+p 4，∴ 以线段FA 为直径的圆与y 轴相切．（2）设P(0, y 0)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由FA →=λ1AP →，BF →=λ2FA →，得(x 1−p 2，y 1)=λ1(−x 1,y 0−y 1)，(p 2−x 2，−y 2)=λ2(x 1−p 2,y 1)，∴ x 1−p 2=−λ1x 1，y 1=λ1(y 0−y 1)，p 2−x 2=λ2(x 1−p 2)，y 2=−λ2y 1， ∴ y 22=λ22y 12，∵ y 12=2px 1，y 22=2px 2．∴ x 2=λ22x 1，代入p 2−x 2=λ2(x 1−p 2)，得p 2−λ22x 1=λ2(x 1−p 2)，p 2(1+λ2)=x 1λ2(1+λ2)， 整理，得x 1=p 2λ2， 代入x 1−p 2=−λ1x 1，得p 2λ2−p 2=λ1p2λ2， ∴ 1λ2=1−λ1λ2， ∵ λ1λ2∈[14,12]， ∴ λ2的取值范围[43,2]．20. 解：（1）由定义知，a 1=−1，a 2=1，a 3=−1，a 4=1，…，a 99=−1，a 100=1，从而有τ(a 1, a 2,…,a 100)=2×99=198；（2）要证τ(a, b, c, d)≤τ(a, c, b, d)，即证：|a −b|+|b −c|+|c −d|≤|a −c|+|c −b|+|b −d|，即证：|a −b|+|c −d|≤|a −c|+|b −d|，由条件(a −b)(b −c)(c −d)>0可得；（3）不失一般性，假设数列{a n }中相邻两项为a m−1，a m 则：|a m−2−a m−1|+|a m −a m+1|<|a m−2−a m |+|a m−1−a m+1|，由（2）可知：(a m−2−a m−1)(a m−1−a m )(a m −a m+1)>0，从而有数列{a n }一定是递增数列或递减数列．。
2011年北京市高考数学模拟试题精选(理科卷)
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Ｂ． 。 ９Ｏ Ｄ． ５Ｏ ］ 。
３ ．在极 坐标 系 下 ， 已知 圆 Ｃ 的 方 程 为 ｐ
一
７ 果存 在正整 数 ０和 实数 使 得 函数 ．如 ２ ， 厂（ ）一 ＣＳ（ ＋ ）（Ｏ、 为 常数 ） 图象 ｚ Ｏ ｔ 的 如 图所 示 （ 图象经 过 点 （ ，） ， 么 叫的值 为 １０ ） 那
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２ ｏＯ， 下列 各点 在 圆 Ｃ上 的是 （ ｃｓ 则
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４ ．执行 如 图所 示 的程 序 框 图 ， 输 出 ｚ 若
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与直线 １ 一定有 公共点 的曲线 的序号是 ．Fra bibliotek— —
（ 出你 认为 正确 的所 有序 号 ） 写 一８ 点 Ｃ在 线 段 ＡＢ ，
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２ １ 年北京市高考数学模 拟试 题精选 （ ０ １ 理科卷 ）
口本刊 资料 室
一
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选 择 题 ： 大 题 共 ８小 题 ， 小 题 ５ 本 每
Ａ． ０
Ｂ．１
分 ， ４ 分 ． 每小 题 列 出的 四个 选项 中 ， 共 Ｏ 在 选 出符 合题 目要 求 的一项 ．
１ ．为 了解本 市 居 民的 生 活成 本 ， 、 、 ０ 甲 乙 丙 三 名 同学利 用 假 期 分 别 对 三 个 社 区进 行 了
2011年高考北京数学试题(理科)及参考答案详解
2011年高考数学——北京理科卷详解高考前，我们分别在1月底和4月底帮学生作过预测。
2011年高考与2010年相比：（1）新增知识点将增加出题量。
新增知识不会综合。
（2） 三角函数题变化不大，以函数为主。
（3）立体题考查基本图形中的变化，建系是工具 。
（4）概率大题 突出对数据的认识，图、表、直方图、茎叶图。
如果使用排列组合题目将简单。
（5）导数大题，眼下的题让人猜的透透的，将会有变化。
（6）解析大题，“解析几何首先是几何”“代数是手段”“解析几何的本质是把问题代数化。
（7）数列压轴。
沿用等差等比数列的研究方法研究新定义数列。
一．选择题1．已知集合2{|1}P x x =≤，{}M a =．若P M P = ，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞- B ．[1,)+∞ C ．[1,1]- D ．(,1][1,)-∞-+∞ 1、答案：C解：数轴法可知1a 1≤≤-2．复数212i i-=+ （ ） A ．i B ．i - C ．4355i -- D ． 4355i -+2、答案：A 。
解：i 41)2i 1)(2i (2i 12i z =+--=+-=3．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是 （ ） A ．(1,)2πB ．(1,)2π- C ．(1,0)D ．(1,)π 3、答案：B解：θρρsin 22-=，2y y x 22-=+，1)1y (x 22=++， 圆心)1,0(-。
改写为极坐标（1，2π-）4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （ ） A ．3- B ．12- C ．13D ．24、答案：D 。
解：0<4,i=1,31s =;…，,43<i=4,2s =11s s s -=+0,2i s ==4i <1i i =+s输出开始结束第4题5．如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G ．给出下列三个结论：①AD AE AB BC CA +=++； ②AF AG AD AE ⋅=⋅； ③AFB ADG △△∽．其中正确结论的序号是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③5、答案：A.解：综合运用切线长定理，圆幂定理。
2011年北京市高考理科数学试题及标准答案
2０11年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）(北京卷）本试卷共5页，1５0分。
考试时长１20分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共4０分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1）已知集合2{|1}P x x =≤，{}M a =．若PM P =,则a 的取值范围是（A)(,1]-∞-(Ｂ)[1,)+∞（C ）[1,1]-(D)(,1][1,)-∞-+∞ (２)复数212i i-=+ （A ）i (B)i - （C)4355i -- （D)4355i -+ （3）在极坐标系中，圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是（A ）(1,)2π (B ）(1,)2π- (C ）(1,0) (D)(1,)π(4)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A)3-（Ｂ)12- (C)13(D)2(5)如图，,,AD AE BC 分别与圆O 切于点,,D E F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。
给出下列三个结论：① AD AE AB BC CA +=++；② AF AG AD AE ⋅=⋅；③ AFB ADG ∆∆其中，正确结论的序号是（Ａ）① ② （B ）② ③（C ）① ③ (D ）① ② ③(6）根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为()x A f x x A <=≥（,A c 为常数)。
已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时１5分钟, 那么c 和A 的值分别是（A ）75,25 （B ）75,16 （C ）60,25 （Ｄ）60,16 (7)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中 最大的是（A ） ８(B）（C) 10(Ｄ)(８）设(0,0)A ,(4,0)B ,(4,4)C t +,(,4)D t （t R ∈），记()N t 为平行四边形内部(不含边界）的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数()N t 的 值域为(A ）{9,10,11} （Ｂ){9,10,12} (C){9,11,12} （D ）{10,11,12}A G俯视图。
2011北京海淀高三二模数学理(word版+答案+免费免点数)
北京市海淀区2011年高三二模试卷数学（理科）2011.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是（ ）A (1,1)B (1,1)-C (1,1)--D (1,1)- 2 已知全集R,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ，下图中阴影部分所表示的集合为（ ）A {1}B {0,1}C {1,2}D {0,1,3 函数21()log f x x x=-的零点所在区间（ ） A 1(0,)2 B 1(,1)2C (1,2)D (2,3)4 若直线l 的参数方程为13()24x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线l 倾斜角的余弦值为（ ）A 45-B 35-C 35D 455 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 96 1 0 2 2 5 67 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3714根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是（ ） A 甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B 甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数 C 甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6 一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是．．．．该锥体的俯视图的是（ ）7 若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：①椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-.其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．②③④B ①③④C ①②④D ①②③8 在一个正方体1111ABCD A BC D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有（ ）A 0个B 1个C 2个D 3个第Ⅱ卷（共110分）二 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市西城区2011年高三二模理科数学试卷
北京市东城区2010-2011学年第二学期高三综合练习（二）数学（理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若复数2()i ix x x z +-=（x ∈R ）为纯虚数，则x 等于（A ）0 （B ）1 （C ）-1 （D ）0或1 （2）给出下列三个命题：①x ∀∈R ，02>x ；②0x ∃∈R ，使得200x x ≤成立；③对于集合,M N ，若x M N ∈ ，则x M ∈且x N ∈. 其中真命题的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（3）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（A ） （B ） （C ） （D ）（4）极坐标方程02sin =θ（0≥ρ）表示的图形是（A ）两条直线 （B ）两条射线 （C ）圆 （D ）一条直线和一条射线（5）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（A ）16 （B ）8 （C ）22 （D ）4（6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点.若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为B（7）△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA AB AC ++=0 ， ||||OA AB =，则CA CB ⋅等于（A ）32（B （C ）3 （D ）（8）已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2011年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析
2011年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分)1．（5分）（2011•北京）已知集合P={x｜x2≤1｝,M=｛a}．若P∪M=P,则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1］B．［1,+∞）C．[﹣1，1］D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】集合．【分析】通过解不等式化简集合P；利用P∪M=P⇔M⊆P；求出a的范围．【解答】解：∵P={x|x2≤1},∴P=｛x｜﹣1≤x≤1}∵P∪M=P∴M⊆P∴a∈P﹣1≤a≤1故选：C．【点评】本题考查不等式的解法、考查集合的包含关系：根据条件P∪M=P⇔M⊆P是解题关键．2．(5分）（2011•北京）复数=(）A．i B．﹣i C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】将分子、分母同乘以1﹣2i，再按多项式的乘法法则展开,将i2用﹣1代替即可．【解答】解：==i故选A【点评】本题考查复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数；再按多项式的乘法法则展开即可．3．(5分)（2011•北京）在极坐标系中，圆ρ=﹣2sinθ的圆心的极坐标系是（）A．B．C．（1，0）D．（1，π）【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】直线与圆;坐标系和参数方程．【分析】先在极坐标方程ρ=﹣2sinθ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2,进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．【解答】解:将方程ρ=﹣2sinθ两边都乘以p得：ρ2=﹣2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2+y2+2y=0．圆心的坐标（0，﹣1）．∴圆心的极坐标故选B．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．4．（5分)（2011•北京)执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣3 B．﹣C．D．2【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】i=0，满足条件i＜4,执行循环体，依此类推，当i=4，s=2，此时不满足条件i＜4，退出循环体，从而得到所求．【解答】解：i=0，满足条件i＜4，执行循环体,i=1，s=满足条件i＜4,执行循环体，i=2，s=﹣满足条件i＜4,执行循环体,i=3，s=﹣3满足条件i＜4，执行循环体,i=4,s=2不满足条件i＜4，退出循环体，此时s=2故选：D【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为:分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．5．（5分）（2011•北京）如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F,延长AF与圆O 交于另一点G．给出下列三个结论:①AD+AE=AB+BC+CA；②AF•AG=AD•AE③△AFB～△ADG其中正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等,得到第一个说法是正确的，根据切割线定理知道第二个说法是正确的,根据切割线定理知,两个三角形△ADF～△ADG,得到第三个说法错误．【解答】解：根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，有CE=CF，BF=BD，∴AD+AE=AB+BC+CA,故①正确，∵AD=AE，AE2=AF•AG，∴AF•AG=AD•AE，故②正确，根据切割线定理知△ADF～△ADG故③不正确，综上所述①②两个说法是正确的,故选A．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查圆的切线长定理,考查圆的切割线定理，考查切割线构成的两个相似的三角形，本题是一个综合题目．6．（5分）（2011•北京）根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位:分钟）为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是(）A．75，25 B．75，16 C．60,25 D．60，16【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先，x=A的函数值可由表达式直接得出，再根据x=4与x=A的函数值不相等，说明求f（4)要用x＜A对应的表达式,将方程组联解，可以求出C、A的值．【解答】解：由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4)==30，可得出=30故=4,可得A=16从而c=15=60故答案为D【点评】分段函数是函数的一种常见类型，解决的关键是寻找不同自变量所对应的范围，在相应区间内运用表达式加以解决．7．（5分）（2011•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B． C．10 D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】三视图复原的几何体是一个三棱锥,根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中,最大的值．【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为:8，6，，10,显然面积的最大值,10．故选C．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的知识，考查几何体的面积，空间想象能力，计算能力，常考题型．8．（5分)（2011•北京)设A（0，0），B（4，0）,C(t+4,4），D（t，4）（t∈R)．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（)A．{9,10,11｝B．｛9，10，12｝ C．｛9，11，12｝ D．{10，11，12}【考点】集合的含义．【专题】集合．【分析】分别由t=0,1，2求出N（t）,排除错误选项A,B，D，从而得到正确选项．【解答】解：当t=0时，▱ABCD的四个顶点是A(0，0），B(4,0），C（4，4），D(0，4)，符合条件的点有(1，1），（1，2），（1,3）,（2，1)，(2,2)，（2，3)，(3,1），（3,2)，（3，3），共九个,N（t）=9,故选项D不正确．当t=1时，▱ABCD的四个顶点是A(0，0），B(4，0)，C(5，4)，D（1，4),同理知N（t）=12，故选项A不正确．当t=2时，▱ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0),C（6，4），D（2，4），同理知N（t)=11，故选项B不正确．故选C．【点评】本题考查集合的性质和应用，解题时要注意排除法的合理运用．本题中取整点是个难点,常用的方法是，先定横（或纵）坐标，在定纵（横）坐标，以确定点的个数，如果从图形上看,就是看直线x=r（r是整数）上有几个整点在四边形内．二、填空题（共6小题，每小题5分,满分30分）9．（5分）（2011•北京）在△ABC中．若b=5，，tanA=2，则sinA=；a=2．【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系．【专题】解三角形．【分析】由tanA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的平方，然后由A的范围,再利用同角三角函数的基本关系求出sinA的值，然后再利用正弦定理，由sinA,sinB及b 的值即可求出a的值．【解答】解：由tanA=2，得到cos2A==，由A∈（0,π）,得到sinA==,根据正弦定理得:=，得到a===2．故答案为:;2【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系以及正弦定理化简求值,是一道中档题．10．（5分）（2011•北京）已知向量=（，1），=（0,﹣1），=(k，）．若与共线，则k=1．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值．【解答】解:∵与共线，∴解得k=1．故答案为1．【点评】本题考查向量的坐标运算、考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等．11．（5分)（2011•北京）在等比数列{a n｝中，a1=，a4=﹣4,则公比q=﹣2;｜a1｜+｜a2｜+…+｜a n|=．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】先利用等比数列的通项公式求得公比;|a n|是以a1为首项，|q｜为公比，进而利用等比数列的求和公式求解．【解答】解:q===﹣2，｜a1|+｜a2｜+…+|a n|==故答案为:﹣2，【点评】本题主要考查了等比数列的性质．考查了对等比数列的通项公式和求和公式的灵活运用．12．（5分)（2011•北京）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有14个．（用数字作答)【考点】计数原理的应用．【专题】算法和程序框图．【分析】本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，当数字中有2个2，2个3时,当数字中有3个2，1个3时，写出每种情况的结果数，最后相加．【解答】解:由题意知本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数,当数字中有1个2，3个3时，共有C41=4种结果，当数字中有2个2，2个3时，共有C42=6种结果，当数字中有3个2，1个3时，共有有C41=4种结果，根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果，故答案为：14【点评】本题考查分类计数原理，是一个数字问题,这种问题一般容易出错,注意分类时要做到不重不漏，本题是一个基础题，也是一个易错题，易错点在数字中重复出现的数字不好处理．13．（5分）（2011•北京）已知函数若关于x 的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是（0，1)．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】要求程f(x）=k有两个不同的实根是数k的取值范围，根据方程的根与对应函数零点的关系，我们可以转化为求函数y=f（x）与函数y=k交点的个数,我们画出函数的图象，数形结合即可求出答案．【解答】解：函数的图象如下图所示:由函数图象可得当k∈（0，1）时方程f(x)=k有两个不同的实根,故答案为：（0,1)【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据方程的根与对应函数零点的关系,将方程问题转化为函数问题是解答的关键．14．(5分）(2011•北京）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0)的距离的积等于常数a2（a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．其中,所有正确结论的序号是②③．【考点】轨迹方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1,0）的距离的积等于常数a2(a＞1）,利用直接法，设动点坐标为（x，y）,及可得到动点的轨迹方程,然后由方程特点即可加以判断．【解答】解：对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：⇔[（x+1）2+y2]•［（x﹣1)2+y2]=a4（1)将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；对于②,把方程中的x被﹣x代换,y被﹣y 代换,方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F1PF2的面积=a2sin∠F1PF2，≤a2，所以③正确．故答案为:②③．【点评】此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．三、解答题（共6小题，满分80分）15．(13分)（2011•北京)已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x)在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．（Ⅱ）利用x的范围确定2x+的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．【解答】解：(Ⅰ）∵，=4cosx（）﹣1=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）,所以函数的最小正周期为π;（Ⅱ）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2，当2x+=﹣时，即x=﹣时,f(x）取得最小值﹣1．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值．解题的关键是对函数解析式的化简整理．16．（14分)（2011•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2,∠BAD=60°．（Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值;（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．【考点】直线与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）由已知条件可得ACBD，PABD，根据直线与平面垂直的判定定理可证（II）结合已知条件，设AC与BD的交点为O，则OB⊥OC，故考虑分别以OB，OC为x 轴、y轴,以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系,设PB与AC所成的角为θ，则,代入公式可求（III）分别求平面PBC的法向量，平面PDC的法向量由平面PBC⊥平面PDC可得从而可求t即PA【解答】解：(I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A所以BD⊥平面PAC（II）设AC∩BD=O,因为∠BAD=60°，PA=AB=2,所以BO=1，AO=OC=,以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z 轴,建立空间直角坐标系O﹣xyz,则P（0，﹣,2），A（0，﹣，0），B(1，0,0),C（0，,0）所以=（1，，﹣2），设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|（III）由（II）知，设,则设平面PBC的法向量=（x，y，z）则=0，所以令,平面PBC的法向量所以,同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，所以=0，即﹣6+=0,解得t=，所以PA=．【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力17．（13分）(2011•北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差;（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望．（注：方差,其中为x1，x2，…x n的平均数）【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】(Ⅰ)根据所给的数据，把所有数据相加再除以4写出这组数据的平均数，再利用所给的方差的公式,做出这组数据的方差．（Ⅱ）根据所给的变量写出随机变量可能的取值，结合变量对应的事件写出变量的概率，写出分布列,做出期望值．【解答】解:(Ⅰ)当X=8，乙组同学植树棵数是8,8，9，10，平均数是=，方差为+=；（Ⅱ)当X=9时，甲组同学的植树棵数是9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是9，8，9，10，分别从甲和乙两组中随机取一名同学,共有4×4=16种结果,这两名同学植树的总棵数Y可能是17，18，19,20，21，事件Y=17，表示甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵，∴P（Y=17)=P（Y=18)=P（Y=19)=P(Y=20）=,P（Y=21）=Y 17 18 19 20 21P 0。
2011年全国高考理科数学仿真模拟题(北京卷)
１ ．设集合 Ａ一 ｛ ｌ １ １ｚ—ｎ ＜１ ． ｌ ， ∈Ｒ）Ｂ一｛ ｉｘ－ｂ ＞ ２ ｚ∈Ｒ） 若 Ａ Ｂ， 实数 口 ｂ ｚ ， ｚ － １ ， １ ． 则 ，
必满足（ ） ． Ａ Ｉ ＋ｂ ≤ ３ ａ ｌ ；
化
Ｂ Ｉ ＋． ＞ ３ ｎ ６ｔ ； ｌ
１ ．若 ２ ＆ ＋６ － Ｃ） ｎ ，一２ ４ （ ｚ ２ ２ 一３ ６ ｃ ，则 ｓ ２ ＋ Ｂ ｉ ｎ Ａ
下
一
— —
，
ＡＡＢ Ｃ面积 的最 大值 为
．
— —
１ ・对 正整 数 ， 曲线 —ｚ （ 一ｚ 在 ｚ＝２处 的切 线 与 轴 交点 的纵 坐标 为 口 ， 数列 ｛ ５ 设 １ ） ＝ ＝ 则
） 前 项 和 是 的
１ ．从装 有 ， １ ６ ｚ 个球 （ 中 个 白球 ， ＋ 其 １个黑 球 ） １袋 中取 出 ｍ 个 球 （ ＜ ≤ ， ｎ 的： ３ Ｏ ｍ， ＥＮ＋ ， 有 Ｃ 种取 法 ． ）共 在这 Ｃ ％ ｎ 种取 法 中 ， 以分成 ２ ： 类是 取 出 的 ｍ 个球 全 部为 白球 ； 二类 是取 出 一 １ 白球 ， 黑球 ， 可 类 一 第 个 １个 共 有 Ｃ Ｃ ＋Ｃ Ｃ＝ ＝Ｃ ， ２ ｝： ｌ 即有 等 式 ： ＋ Ｃ 一 Ｃ 成 立． 根 据 上 述 思 想 化 简 下 列 式 子 ： Ｃ ｍ １ Ｃ 试 Ｃ ＋ ＋ １ 一
【ｏ ｙ ， ≥
取 值 范 围是 （ ） ．
Ａ ［ 一 ， ］ ；
Ｂ ［ ，－ －３ ３１ ；
Ｃ ［ 一 ，］ ３；
Ｄ ［ ， ］ －３
二 、 空题 （ 填 每小题 ５ ， ２ 分． 分 共 ０ ）
．
１已复 ｚ 竺专 共复， 乏 ３ 知数一 ， 的轭数 — ． 是 则 ——．
2011年北京高考数学理科试卷(带详解)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}{}2|1,P x x M a ==….若P M P = ,则a 的取值范围是（ ）A ．(], 1-∞-B ．[1, +∞）C ．[11]?-，D ．][1 1-∞-+∞ （，，）【测量目标】集合的基本运算，并集.【考查方式】描述法，列举法表示出集合，根据两集合并集为其中一集合，求参数取值范围. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】2{|1}{|11}P x x x x ==-剟?，[1,1]P M P a =⇒∈- ，选C.2．复数i 212i-=+（ ）A ．iB ．i -C ．43i 55-- D ．43i 55-+ 【测量目标】复数的代数运算.【考查方式】直接求复数的代数式的值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】22i 2(i 2)(12i)2i i i 242(1)2412i (12i)(12i)141i ii i 4(1)-----+---+====++----，选A. 3．在极坐标系中，圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是（ ）A ．π(1,)2B ．π(1,)2-C ．()1,0D ．(1π)，【测量目标】坐标系和参数方程.【考查方式】给出参数方程，化为圆的标准方程得到圆心，进而得到圆心极坐标. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】222sin (1)1x y ρθ=-⇒++=，圆心直角坐标为0,1-（），极坐标为π(1,)2-，选B.4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）第4题图A ．3-B ．12- C ．13 D ．2【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】看懂程序框图内的逻辑，代数关系，求值. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】循环操作4次时S 的值分别为11,,3,232--，选D. 5．如图，,,AD AE BC 分别与圆O 切于点,,D E F 延长AF 与圆O 交于另一点G .给出下列三个结论： ①CA BC AB AE AD ++=+； ②AF AG AD AE = ③ADG AFB ∽△△ 其中正确结论的序号是（ ）第5题图A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【测量目标】圆的性质.【考查方式】给出图形，根据圆的性质，判断命题的正确性. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】①正确.由条件可知BD BF =，CF CE =，可得CA BC AB AE AD ++=+. ②正确.通过条件可知AD AE =.由切割定理可得2AF AG AD AD AE == . ③错误.连接FD ，若ADG AFB ∽△△，则有ABF DGF ∠=∠.通过图像可知 2ABF BFD BDF DGF ∠=∠+∠=∠，因而错误.答案选A.6．根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为,()x A f x x A <=…（A ，c 为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A的值分别是 （ ） A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【测量目标】分段函数，函数的应用.【考查方式】将分段函数应用到实际问题中，进行分段求解. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】由条件可知，x A …时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即(4)3060f c ==⇒=，()1516f A A ==⇒=，选D. 7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）第7题图A ．8 B． C ．10 D．【测量目标】空间三视图的表面积.【考查方式】已知四面体的三视图，通过三视图还原几何体，求最大面的面积. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由三视图还原几何体如下图，该四面体四个面的面积中最大的是PAC △，面积为10，选C.第7题图8．设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t ∈R .记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为 （ ）A ．{}9,10,11B ．{}9,10,12C ．{}9,11,12D ．{}10,11,12【测量目标】平行四边形的定义，直角坐标系.【考查方式】根据已给的两点和含参的两点，在直角坐标系中确定平行四边形，得到坐标，求出参数.【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】如下图，分别对应点为12，9，11,选C.第8题图第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在ABC △中.若b =5，π4B ∠=， tan A =2，则sin A =____________；a =_______________. 【测量目标】正弦定理，同角三角函数的基本关系.【考查方式】给出一角和其对应边的大小以及另一角的正切值，根据正弦定理和同角关系求角A 正弦值和对应边长. 【难易程度】中等【参考答案】5，【试题解析】由tan 2A =⇒sin 12cos sin cos 2A A A A =⇒=，又22sin cos 1A A +=所以 221sin sin 14A A +=解得sin A =55,πsin 4a ==a =10．已知向量a =1），b =（0，-1），c =（k.若2-a b 与c 共线，则k =________. 【测量目标】向量的坐标和线性运算.【考查方式】给出两向量的具体坐标和一向量参数坐标，根据共线关系，求参数值. 【难易程度】容易 【参考答案】1【试题解析】2-=a b 由2-a b 与c31k k =⇒= 11．在等比数列{n a }中，1a =12，44a =-，则公比q =______________；12...n a a a +++=____________.【测量目标】等比数列通项以及前n 项和.【考查方式】给出等比数列两项，利用等比数列的通项求公比，继而求出前n 绝对值的和. 【难易程度】中等 【参考答案】2-，1122n --【试题解析】由{}n a 是等比数列得341a a q =，又141,4,2a a ==- 所以31422q q -=⇒=-，{||}n a 是以12为首项，以2为公比的等比数列，1121||||||22n n a a a -+++=- .12．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个.（用数字作答）【测量目标】排列，组合及其应用. 【考查方式】通过排列组合计算个数. 【难易程度】容易 【参考答案】14【试题解析】个数为42214-=.13．已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩… 若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是_______【测量目标】利用函数单调性求参数的范围.【考查方式】已知函数的解析式和条件，求参数的取值范围. 【难易程度】中等 【参考答案】（0,1） 【试题解析】2()(2)f x x x=…单调递减且值域为(0,1]，3()(1)(2)f x x x =-<单调递增且值域为(,1)-∞，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0,1）.14．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹.给出下列三个结论： ① 曲线C 过坐标原点； ② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积不大于212a . 其中，所有正确结论的序号是 . 【测量目标】命题的正确性.【考查方式】给出已知条件，判断命题的正确性. 【难易程度】较难 【参考答案】②③【试题解析】①曲线C 经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，即么1a =，与条件不符；②曲线C 关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处212||||,PF PF a =关于原点的对称点处也一定符合212||||;PF PF a =③三角形12F F P 的面积invm S 12=12||||PF PF 121sin 2F PF ∠…12||||PF PF =22a三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分） 已知函数π()4cos sin()16f x x x =+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：（Ⅱ）求()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】函数sin()y A x ωϕ=+的图像及其变换，两角和的正弦.【考查方式】将已给的解析式通过两角和的正弦化为sin()y A x ωϕ=+形式，得到周期； 根据函数图像及性质求最值.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为π()4cos sin()16f x x x =+-1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x (步骤1) 1cos 22sin 32-+=x x x x 2cos 2sin 3+=π2sin(2)6x =+（步骤2）所以)(x f 的最小正周期为π（步骤3）（Ⅱ）因为ππππ2π,2.64663x x --+所以剟剟 于是，当πππ2,626x x +==即时，)(x f 取得最大值2；（步骤4）当πππ2,,()666x x f x +=-=-即时取得最小值1-.（步骤5）16．（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD =∠= . （I ）求证：BD ⊥平面;PAC（Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.第16题图【测量目标】空间中线线，线面，面面的位置关系，二面角，空间向量及其运算. 【考查方式】建立合适的空间直角坐标系，得到各个点的坐标，使立体几何问题成为代数问题，从而证明线面垂直，二面角的余弦值，以及空间内长度. 【难易程度】中等 【试题解析】（Ⅰ）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.(步骤1)又因为PA ABCD ⊥平面. 所以PA BD ⊥.所以BD PAC ⊥平面.(步骤2) （Ⅱ）设AC BD O = .因为602BAD PA PB ∠=︒==，,所以1BO AO CO ===，3.(步骤3)如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,(0,(1,0,0),P A B C .（步骤4）所以 设PB 与AC 所成角为θ，则cos ||||PB AC PB AC θ=== . (步骤5)（Ⅲ）由（Ⅱ）知).0,3,1(-=设(0,),P t （0t ＞），则(1,)BP t =-设平面PBC 的法向量(,,)x y z =m ,则0,0BC BP ==m m (步骤6)所以0,0x x tz ⎧-+⎪⎨--+=⎪⎩令,3=y 则.6,3t z x ==所以6)t=m (步骤7)同理，平面PDC的法向量6()t=-n因为平面PCB PDC ⊥平面, 所以0 m n =，即03662=+-t ， 解得6=t ，所以PA =6(步骤8)第16题图17．本小题共13分以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.第17 题图 （Ⅰ）如果8X =,求乙组同学植树棵树的平均数和方差； （Ⅱ）如果9X =，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望. （注：方差()()()2222121n s x x x x x x n⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ ，其中x 为1x ，2x ，…… n x 的平均数） 【测量目标】茎叶图，离散型随机事件的分布列和期望.【难易程度】中等【考查方式】直接根据茎叶图求平均数和方差；继而求事件的分布列和期望.【试题分析】当8X =时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为 8891035;44x +++==(步骤1)方差为 .1611])43510()4359()4358()4358[(4122222=-+-+-+-=s (步骤2) （Ⅱ）当9X =时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21事件“17Y =”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此（(17)P Y =）=.81162=(步骤3) 同理可得;41)18(==Y P ;41)19(==Y P .81)21(;41)20(====Y P Y P (步骤4)(步骤5)17171818191920202121EY P Y P Y P Y P Y P Y =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=（）（）（）（）（）1111117181920211984448=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(步骤6)18．（本小题共13分） 已知函数2()()e xkf x x k =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有1()ef x …，求k 的取值范围. 【测量目标】利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式问题.【考查方式】给出含参数的函数解析式，利用导数求其单调区间；根据最值和不等式解出参数的取值范围.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）221()()e .xk f x x k k'=-(步骤1)令()0f x '=，得k x ±=.当0k ＞时，)()(x f x f '与的情况如下所以，)(x f 的单调递增区间是（k -∞-,）和),(+∞k ；单调递减区间是),(k k -当0k <时，)()(x f x f '与的情况如下所以，)(x f 的单调递减区间是（k -∞-,）和),(+∞k ；单调递增区间是(,)k k -(步骤3)（Ⅱ）当0k >时，因为11(1)e ek kf k ++=>所以不会有1(0,),().e x f x ∀∈+∞…(步骤4)当0k <时，由（Ⅰ）知)(x f 在（0，+∞）上的最大值是24().e k f k -= 所以1(0,),()e x f x ∀∈+∞…等价于241().e ek f k -=…(步骤5) 解得102k -<…. 故当1(0,),()e x f x ∀∈+∞…时，k 的取值范围是).0,21[-(步骤6) 19．（本小题共14分） 已知椭圆22:14x G y +=过点,0m （）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A B ，两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值.【测量目标】椭圆的简单几何性质，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式.【考查方式】已知椭圆的标准方程，求椭圆的焦点和离心率；过定点的直线与圆相切，与椭圆有两个交点，求两交点距离的最大值. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以c ==(步骤1)所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-，离心率为.23==a c e (步骤2) （Ⅱ）由题意知，||1m ….当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A B 、的坐标分别为),23,1(),23,1(- 此时3||=AB (步骤3)当1m =-时，同理可得3||=AB当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=(步骤4) 由0448)41(.14),(2222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=m k mx k x k y x m x k y 得 设A B 、两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则2222122214144,418km k x x k m k x x +-=+=+(步骤5) 又由l 与圆.1,11||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得相切 所以212212)()(||y y x x AB -+-=]41)44(4)41(64)[1(2222242k m k k m k k +--++=2 .3||342+=m m (步骤6) 由于当3±=m 时，,3||=AB 所以),1[]1,(,3||34||2+∞--∞∈+= m m m AB .(步骤7)因为||2,||||AB m m ==+ 且当3±=m 时，||2AB =，所以||AB 的最大值为2. (步骤8)20．（本小题共13分）若数列12,,...,(2)n n A a a a n =…满足111(1,2,...,1)n a a k n +-==-，数列n A 为E 数列，记()n S A =12...n a a a +++．（Ⅰ）写出一个满足150a a ==，且5()S A ＞0的E 数列n A ；（Ⅱ）若112a =，2000n =，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011； （Ⅲ）对任意给定的整数2n n （）…，是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由.【测量目标】数列的概念和通项公式，等差数列的综合应用,归纳推理.【考查方式】已知数列的的条件，写出符合该条件的一般数列；知道首项和项数利用归纳推理判断充要条件；探究深层次的数列问题.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E 数列5A .(步骤1) （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 的数列5A ）（Ⅱ）必要性：因为E 数列5A 是递增数列，所以)1999,,2,1(11 ==-+k a a k k .所以5A 是首项为12，公差为1的等差数列. (步骤2)所以2000122000112011a =+-⨯=（）.充分性，由于20001999211,1a a a a -⋯⋯-……，所以200012000119991999a a a a -+，即剟.(步骤3)又因为12000122011a a ==，,所以200011999a a =+.故n n n A k a a 即),1999,,2,1(011 =>=-+是递增数列. (步骤4)综上，结论得证.（Ⅲ）令.1),1,,2,1(011±=-=>=-=+A k k k c n k a a c 则 (步骤5)因为2111112c c a a c a a ++=++=… ,1211+++++=n n c c c a a所以13211)3()2()1()(-++-+-+-+=n n c c n c n c n na A S)].1()2)(1()1)(1[(2)1(121--++--+----=n c n c n c n n (步骤6) 因为1,1k k c c =±-所以为偶数(1,,1).k n =-所以12(1)(1)(1)(2)(1)n c n c n c --+--++- 为偶数,所以要使()0,n S A =必须使(1)2n n -为偶数, 即4整除(1),n n -亦即4n m =或*41()n m m =+∈N .(步骤7)当*41(),n m m =+∈N 时E 数列n A 的项满足4141420,1,k k k a a a +--===-14=k a ),,2,1(m k =时，有;0)(,01==n A S a;0)(,0,0),,,2,1(11144=====+n k k A S a a m k a 有时当*41(),n n m m E A =+∈N 时数列的项满足，,1,0243314-===---k k k a a a当*4243(),(1)n m n m m n m =+=+∈-N 或时不能被4整除，此时不存在E 数列n A ， 使得.0)(,01==n A S a (步骤8)。
北京市丰台区2011高三一模数学理科
xy OAC y x=2y x =(1,1)B丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（一）数 学（理科）2011.3一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合U =R ，2{560}A x x x =-+≥，那么U A =ð(A) {2x x <或3}x >(B) {23}x x <<(C) {2x x ≤或3}x ≥(D) {23}x x ≤≤ 2．6的展开式中常数项是 (A) -160 (B) -20 (C) 20 (D) 1603．已知平面向量a ，b 的夹角为60°，=a ，||1=b ，则|2|+=a b4．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，14a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = (A) 3或-1 (B) 3或1 (C) 3 (D) 15．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题： ① 若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥； ② 若α//β，m α⊂，则m //β； ③ 若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥； ④ 若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥． 其中正确命题的序号是(A) ①③ (B) ①② (C)③④ (D) ②③6．已知函数3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩ 若f(2-x 2)>f(x)，则实数x 的取值范围是(A) (,1)(2,)-∞-⋃+∞ (B) (,2)(1,)-∞-⋃+∞ (C) (1,2)- (D) (2,1)- 7．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点(,)M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为(A) 12 (B) 13 (C) 14(D) 168．对于定义域和值域均为[0，1]的函数f(x)，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，n=1，2，3，…．满足()n f x x=的点x ∈[0，1]称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 则f 的n 阶周期点的个数是(A) 2n (B) 2(2n-1) (C) 2n(D) 2n 2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α= ． 10．双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方 程为 ，渐近线方程为 ．11．已知圆M ：x 2+y 2-2x-4y+1=0，则圆心M 到直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为 ．12．如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC=4，AB=6，则MP ·NP= ． 13．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：则这种卉的平均花期为___天．14．将全体正奇数排成一个三角形数阵：1 3 57 9 11 13 15 17 19 ……按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC 的形状．16.（本小题共14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ， ∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1， （Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点，求证：PA // 平面BMQ ； （Ⅱ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅲ）若二面角M-BQ-C 为30°，设PM=tMC ，试确定t 的值 ．PABCD QMBAαxy O17.（本小题共13分）某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖． （Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率； （Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 18.（本小题共13分） 已知函数3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥，'()f x 为函数()f x 的导函数． （Ⅰ）设函数f(x)的图象与x 轴交点为A ，曲线y=f(x)在A 点处的切线方程是33y x =-，求,a b 的值； （Ⅱ）若函数()'()ax g x e f x -=⋅，求函数()g x 的单调区间．19.（本小题共14分）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，动点P 满足||||PA PB +=P 的轨迹为W ． （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）直线1y kx =+与曲线W 交于不同的两点C ，D ，若存在点(,0)M m ，使得CM DM =成立，求实数m 的取值范围．20.（本小题共13分）已知123{(,,,,)n n S A A a a a a == ，0i a =或1，1,2,,}i n = (2)n ≥，对于,n U V S ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令(0,0,0,0,0)U =，存在m 个5V S ∈，使得(,)2d U V =，写出m 的值； （Ⅱ）令0(0,0,0,,0)n W =个，若,n U V S ∈，求证：(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥；（Ⅲ）令123(,,,,)n U a a a a = ，若n V S ∈，求所有(,)d U V 之和．丰台区2011年高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（理科）2011.3参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．35- 10．221432x y -=，y =± 11．2 12．25413．16天（15.9天给满分） 14．n 2-n+5 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理 a 2= b 2+c 2-2bccosA 可得cosA=12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) …………… 3分∵ 0<A<π ， （或写成A 是三角形内角） ……………………4分∴3A π=． ……………………5分（Ⅱ）2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=11cos 222x x =++ ………………7分1sin()62x π=++， ……………………9分∵3A π= ∴2(0,)3B π∈ ∴5666B πππ<+< （没讨论，扣1分） ………10分 ∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23…………………11分又∵3A π=， ∴3C π= ∴△ABC 为等边三角形． ………………13分16.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ． ……………………1分∵BC ∥AD 且BC=12AD ，即BC //AQ ． ∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， 又∵点M 在是棱PC 的中点，∴ MN // PA ……………………2分 ∵ MN ⊂平面MQB ，PA ⊄平面MQB ，…………………3分 ∴ PA // 平面MBQ ． ……………………4分C（Ⅱ）∵AD // BC ，BC=12AD ，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ． ……………………6分 ∵∠ADC=90° ∴∠AQB =90° 即QB⊥AD． 又∵平面PAD ⊥平面ABCD且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， ……………………7分 ∴BQ ⊥平面PAD ． ……………………8分 ∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． …………………9分 另证：AD // BC ，BC=12AD ，Q 为AD 的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ ， ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ．∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB =90° 即QB⊥AD． …………………6分 ∵ PA=PD ， ∴PQ ⊥AD ． ……………………7分 ∵ PQ ∩BQ=Q ，∴AD ⊥平面PBQ ． …………………8分 ∵ AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． ……………………9分 （Ⅲ）∵PA=PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， ∴PQ⊥平面ABCD ．……………10分（不证明PQ⊥平面ABCD 直接建系扣1分） 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为(0,0,1)n =；(0,0,0)Q ，P ，B，(1C -．………11分设(,,)M x y z ，则(,,PM x y z = ，(1,)MC xy z =---，∵PM tMC = ∴(1))(x t x yt y z t z =--⎧⎪=⎨⎪-=-⎩），∴1t x ty z ⎧=-⎪+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩……………………12分 在平面MBQ 中，QB = ，(1t QM t =-+ ， ∴ 平面MBQ 法向量为)m t =． ……………………13分∵二面角M-BQ-C 为30°，cos30n m n m ︒⋅===3t =．……14分 17.（本小题共13分）解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A ，B ，C ． ……1分则P(A)=111114444256⨯⨯⨯=，（列式正确，计算错误，扣1分） ………3分 P(B)33341-A =2565= （列式正确，计算错误，扣1分） ………5分三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况． P(C)222444111111111111()()()444444444444A A A =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯964=．…7分 （Ⅱ）设摸球的次数为ξ，则1,2,3ξ=． ……8分1(1)4P ξ==， 313(2)4416P ξ==⨯=，3319(3)44464P ξ==⨯⨯=，27(4)1(1)(2)(3)64P P P P ξξξξ==-=-=-==．（各1分） 故取球次数ξ的分布列为12分139271234 2.754166464E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．(约为2.7) …13分18.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）∵3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥， ∴2'()1f x x ax =++． ……………………1分 ∵()f x 在(1,0)处切线方程为33y x =-，∴'(1)3(1)0f f =⎧⎨=⎩， ……………………3分∴1=a ，611-=b ． （各1分） …………………5分 （Ⅱ）'()()ax f x g x e =21axx ax e ++=()x R ∈．'()g x =22(2)(1)()ax axax x a e a x ax e e +-++2[(2)]ax x ax a e -=-+-． ………………7分 ①当0a =时，'()2g x x =，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞． ………………9分②当0a >时，令'()0g x =，得0x =或2x a a=- ……………10分（ⅰ）当20a ->，即0a <<时，()g x 的单调递增区间为22(0,)a a -，单调递减区间为(,0)-∞，22(,)a a-+∞；……11分（ⅱ）当20a a-=，即a ='()g x =2220x x e -=-≤， 故()g x 在(,)-∞+∞单调递减； ……12分（ⅲ）当20a -<，即a >()g x 在22(,0)a a-上单调递增，在(0,)+∞，22(,)a a --∞上单调递 ………13分 综上所述，当0a =时，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；当0a <<时，()g x 的单调递增区间为22(0,)a a-，单调递减区间为(,0)-∞，当a =()g x 的单调递减区间为(,)-∞+∞；当a >()g x 的单调递增区间为22(,0)a a-，单调递减区间为(0,)+∞，22(,)a a --∞． （“综上所述”要求一定要写出来）19.（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为2分∴1c =，a =22b =．……3分W 的方程是22132x y +=．…………4分（另解：设坐标1分，列方程1分，得结果2分）（Ⅱ）设C ，D 两点坐标分别为11(,)C x y 、22(,)D x y ，C ，D 中点为00(,)N x y ．由221132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 22(32)630k x kx ++-=． ……6分所以122632kx x k +=-+ …………7分 ∴12023232x x k x k +==-+， 从而0022132y kx k =+=+． ∴MN 斜率2002232332MN y k k k x m m k +==---+． ………9分 又∵CM DM =， ∴CD MN ⊥，∴222132332k k k m k +=---+ 即 232k m k =-+ …10分 当0k =时，0m =； ……11分当0k ≠时，212323k m k k k=-=-++]126,0()0,126[⋃-∈． ……13分 故所求m 的取范围是]126,126[-． ……14分 20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）2510C =； ………3分（Ⅱ）证明：令123(,,)n u a a a a =……，123(,,)n v b b b b =……∵0i a =或1，0i b =或1；当0i a =，0i b =时，||i a +||0i b =||i i a b =- 当0i a =，1i b =时，||i a +||1i b =||i i a b =- 当1i a =，0i b =时，||i a +||1i b =||i i a b =- 当1i a =，1i b =时，||i a +||2i b =||0i i a b ≥-= 故||i a +||i b ||i i a b ≥-∴(,)(,)d u w d v w +=123()n a a a a ++ ++123()n b b b b +++ ++123(||||||)n a a a a =++ |++|123(||||||)n b b b b +++ |++|112233(||||||)n n a b a b a b a b ≥-+-+-- |++|(,)d u v = ………8分（Ⅲ）解：易知n S 中共有2n个元素，分别记为(1,2,,2)n k v k = 123(,,)n v b b b b =……∵0i b =的k v 共有12n -个，1i b =的k v 共有12n -个．∴21(,)nkk d u v =∑=1111111122(2|0|2|1|2|0|2|120|21|)n n n n n n n n a a a a a a -------+-+-+--- |++|+|=12n n -……13分 ∴21(,)nkk d u v =∑=12n n - ．法二：根据（Ⅰ）知使(,)k d u v r =的k v 共有rn C 个∴21(,)nkk d u v =∑=012012nn n n nCC C n C ++++ 21(,)nkk d u v =∑=120(1)(2)0nn n n n n nn Cn C n C C --+-+-++ 两式相加得21(,)nkk d u v =∑=12n n - （若用其他方法解题，请酌情给分）。
2010-2011年年北京各地高考模拟试题精析数学(理)2
崇文区2009－2010学年度第二学期统一练习（一） 高三数学（理科） 2010．4本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．2．答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B 铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑．3．答题卡上第Ⅰ卷必须用2B 铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以遮住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（崇文·理·题1）1．已知全集U =R ，集合{}|12A x x =->，{}2|680B x x x =-+<，则集合()U A B =ð（ ）A ．{}|14x x -≤≤B ．{}|14x x -<<C ．{}|23x x <≤D ． {}|23x x <≤ 【解析】 D ；容易解得{3A x x x =>或者}0x <，{}26B x x =<<． 于是()U A B =ð{}23x x <≤．（崇文·理·题2）2．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人． 为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽出一个容量为25的样本，应抽取不超过45岁的职工人数为 ( )A ． 5B ． 10C ．15D ．50 【解析】 C ；容易知道样本中不超过45岁的人与超过45岁的人数之比为1203802=．于是抽取不超过45岁的职工人数为325155⋅=人．（崇文·理·题3）3．已知PA 是O 的切线，切点为A ，2PA =，AC 是O 的直径，PC 交O 于点B ，30PAB ∠=，则O 的半径为 （ ）A ．1B ．2 CD．【解析】 C ；30,2tan30PAPCAPAB CA ∠=∠===（崇文·理·题4）4．已知等比数列{}n a 为递增数列，且373a a +=，282a a ⋅=，则117a a = （ ） A ．2 B ． 43 C ． 32 D ．12【解析】 A ；不妨设等比数列的公比为q ．由2375213a a a q q ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭知50a >．于是228552a a a a ⋅==⇒=2q =或者2q =．而数列单调增，于是2q =42q =．（崇文·理·题5）5．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( ) A ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥ B ．若,,m n αα⊥⊥则m n ∥ C ．若,m n αα∥∥，则m n ∥ D ．若,,m m αβ∥∥则αβ∥ 【解析】 B ；A 中,αβ可以是任意关系；B 正确；C 中,m n 平行于同一平面，其位置关系可以为任意．D 中平行于同一直线的平面可以相交或者平行．（崇文·理·题6）6．设33,,2x yx y M N P ++===0x y <<）， 则,,M N P 大小关系为 ( )A ．M N P <<B ．N P M <<C ．P M N <<D ．P N M << 【解析】D ；由0x y <<，有2x y+．由指数函数的单调性，有23x y x y P N ++=<==；PA23332x yx y M N ++=>==．（崇文·理·题7）7．2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为 （ ）A ．36B ．42C ． 48D ．60 【解析】 C ；不妨将5个位置从左到右编号为1，2，3，4，5．于是甲只能位于2，3，4号位． ①当甲位于2号位时，3位女生必须分别位于1，3，4位或者1，4，5位．于是相应的排法总数为33212A =； ②当甲位于3号位时，3位女生必须分别位于1，2，4位或者1，2，5位或者1，4，5或者2，4，5位．于是相应的排法总数为33424A =． ③当甲位于4号位时，情形与①相同．排法总数为33212A =． 综上，知本题所有的排法数为12+24+12=48．（崇文·理·题8）8．设定义在R 上的函数1,(1),1()1,(1)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩． 若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有3个不同的实数解1x ，2x ，3x ，则123x x x ++等于 （ ）A ． 3B ．2C ．1b --D ．c 【解析】 A ；易知()f x 的图像关于直线1x =对称．2()()0f x bf x c ++=的解必有一根使()1f x =．不妨设为1x ．23,x x 关于直线1x =对称．于是1233x x x ++=．崇文区2009－2010学年度第二学期统一练习（一） 高三数学（理科） 2010．4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （崇文·理·题9）9．如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________． 【解析】 1-；()()()()223i 1i 1mm m m i m ++=-++．于是有3101m m +=⇒=-．（崇文·理·题10）10．若12a x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．【解析】 1-；由二项式定理4124311212CC rrr rr r r a T a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭．令44033r r -=⇒=． 于是有3312C 2201a a =-⇒=-．（崇文·理·题11）11．将参数方程12cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）化成普通方程为 ．【解析】 ()2214x y -+=；由12cos ,2sin x y θθ-==知()2214x y -+=．（崇文·理·题12）12．某程序框图如图所示，该程序运行后输出,M N 的值分别为 ．【解析】 13，21；依据程序框图画出运行n 次后,,M N i 的4次运行后43i =>，于是有13,21M N ==．（崇文·理·题13）13．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则11,(1),,(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩．≥若数列{}n b 的前n 项积为n T ，类比上述结果，则n b =_________；此时，若2()n T n n *=∈N ，则n b =___________．【解析】 11,2;, 1.nT n T T n ⎧⎪⎨⎪=⎩≥，()221,1;, 2.1n n n n =⎧⎪⎨⎪-⎩≥； 由12....n n T b b b =，知()1211...n n n n n T b b b b T b --==．（崇文·理·题14）14．定义在R 上的函数满足1(0)0,()(1)1,()()52x f f x f x f f x =+-==，且当1201x x <≤≤时，12()()f x f x ≤，则12010f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________________．【解析】 132；容易知道()11,f =于是()1111522f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．而1111112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 又由()f x 单调增，知()1,2f x =当1152x ≤≤时．而441111155201052⋅⋅≤≤，4411111522232f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．于是11201032f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （崇文·理·题15）15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，满足sin 2A =ABC ∆的面积为2． ⑴求bc 的值；⑵若6b c +=，求a 的值． 【解析】 ⑴∵sin2A =0πA <<．∴cos 2A =． ∴4sin 2sin cos 225A A A ==．∵1sin 22ABC S bc A ∆==，∴5bc =． --------------------6分⑵∵sin 2A =∴23cos 12sin 25A A =-=．∵5bc =，6b c +=，∴2222cos a b c bc A =+-2()2(1cos )b c bc A =+-+20=∴a = -----------12分（崇文·理·题16）16．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[)10,15，[)15,20，[)20,25，[)25,30，[30,35]，频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在[)20,25之间的工人有6位． ⑴求m ；10 15 20 25 30 35产品数量⑵工厂规定从各组中任选1人进行再培训，则选取5人不在同一组的概率是多少？ 【解析】 ⑴根据直方图可知产品件数在[)20,25内的人数为50.066m ⨯⨯=，则20m =（位）．---------------- 6分 ⑵根据直方图可知产品件数在[)10,15，[)15,20，[)20,25，[)25,30，[30,35]， 组内的人数分别为2，4，6， 5，3． 设选取这5人不在同组为B 事件，则5202465315()C 323P B ⨯⨯⨯⨯==． 答：选取这5人不在同组的概率为15323．（崇文·理·题17）17． 三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直，90=∠ABC ，12AB BC BB ===， ,M N 分别是AB ，1A C 的中点． ⑴求证：MN ∥平面11B BCC ； ⑵求证：⊥MN 平面C B A 11； ⑶求二面角11A C B M --的余弦值．C 1B 1A 1NCBM A【解析】 ⑴连结1BC ，1AC ．在1ABC ∆中，∵,M N 是AB ，1A C 的中点，∴MN ∥1BC ． 又∵MN ⊄平面11BCC B ，∴MN ∥平面11BCC B ． --------------------4分 ⑵如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系1B xyz -．则1(0,0,0)B ，(0,2,2)C ，1(2,0,0)A -，(1,0,2)M -，(1,1,1)N - 1B C =(0,2,2)，11(2,0,0)A B =，(0,1,1)NM =-．设平面11A B C 的法向量为(,,)x y z =n ． 111000B C x y z A B ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=⎩⎪⎩n n 令1z =，则0,1x y ==-，∴ (0,1,1)=-n ．∴NM n =． ∴MN ⊥平面11A B C ． --------------------9分 ⑶设平面1MB C 的法向量为000(,,)x y z =m ,1(1,0,2)B M =-．001001200x z B C y z B M ⎧=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=⎩⎪⎩m m 令01z =，则002,1x y ==- ∴(2,1,1)=-m ．∴cos,||||⋅<>===⋅n mn mn m所求二面角11M B C A--．--------------------14分（崇文·理·题18）18．已知322()69f x x ax a x=-+（a∈R）．⑴求函数()f x的单调递减区间；⑵当0a>时，若对[]0,3x∀∈有()4f x≤恒成立，求实数a的取值范围．【解析】⑴22'()31293()(3)0f x x ax a x a x a=-+=--<ⅰⅰ)当3a a=，即0a=时，2'()30f x x=>，不成立．ⅱⅱ)当3a a>，即0a<时，单调减区间为(3,)a a．ⅲⅲ)当3a a<，即0a>时，单调减区间为(,3)a a．-------------------5分⑵22'()31293()(3)f x x ax a x a x a=-+=--，()f x在(0,)a上递增，在(,3)a a上递减，在(3,)a+∞上递增．ⅰⅰ)当3a≥时，函数()f x在[0,3]上递增，所以函数()f x在[0,3]上的最大值是(3)f，若对[]0,3x∀∈有()4f x≤恒成立，需要有(3)4,3,fa⎧⎨⎩≤≥解得a∈∅．ⅱⅱ)当13a<≤时，有33a a<≤，此时函数()f x在[0,]a上递增，在[,3]a上递减，所以函数()f x在[0,3]上的最大值是()f a，若对[]0,3x∀∈有()4f x≤恒成立，需要有()4,13,f aa⎧⎨<⎩≤≤解得1a=．⑶当1a<时，有33a>，此时函数()f x在[,3]a a上递减，在[3,3]a上递增，所以函数()f x在[0,3]上的最大值是()f a或者是(3)f．由2()(3)(3)(43)f a f a a-=--，①34a<≤时，()(3)f a f≤，若对[]0,3x∀∈有()4f x≤恒成立，需要有(3)4,30,4fa⎧⎪⎨<⎪⎩≤≤解得3[1]4a∈．②314a<<时，()(3)f a f>，若对[]0,3x∀∈有()4f x≤恒成立，需要有()4,31,4f aa⎧⎪⎨<<⎪⎩≤解得3(,1)4a∈．综上所述，[11]a∈．-------------14分（崇文·理·题19）19．已知抛物线24y x =，点(1,0)M 关于y 轴的对称点为N ，直线l 过点M 交抛物线于,A B 两点． ⑴证明：直线,NA NB 的斜率互为相反数； ⑵求ANB ∆面积的最小值；⑶当点M 的坐标为(,0)(0m m >，且1)m ≠．根据⑴⑵推测并回答下列问题（不必说明理由）： ① 直线,NA NB 的斜率是否互为相反数？ ② ANB ∆面积的最小值是多少？【解析】 ⑴设直线l 的方程为()1(0)y k x k =-≠．由()21,4,y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 可得 ()2222240k x k x k -++=． 设()()1122,,,A x y B x y ，则21212224,1k x x x x k ++==．∴124y y =-∴()1,0N - 1212221212441144NA NB y y y yk k x x y y +=+=+++++ ()()()()()()2212212112222212124444(4444)04444y y y y y y y y yy yy ⎡⎤+++-+-+⎣⎦===++++．又当l 垂直于x 轴时，点,A B 关于x 轴，显然0,NA NB NA NB k k k k +==-． 综上，0,NA NB NA NB k k k k +==-． ---------------- 5分 ⑵12NAB S y y ∆=-==4>． 当l 垂直于x 轴时，4NAB S ∆=．∴ANB ∆面积的最小值等于4． ----------------10分 ⑶推测：①NA NB k k =-；②ANB ∆面积的最小值为4 ---------------- 14分（崇文·理·题20）20． 已知数列{}n a 中，11a =，21(0a a a =-≠且1)a ≠，其前n 项和为n S ，且当2n ≥时，1111n n n S a a +=-． ⑴求证：数列{}n S 是等比数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式；⑶若4a =，令19(3)(3)nn n n a b a a +=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ．设λ是整数，问是否存在正整数n ，使等式13758n n T a λ++=成立？若存在，求出n 和相应的λ值；若不存在，请说明理由． 【解析】 ⑴当2n ≥时，11+111111n n n n n n nS a a S S S S +-=-=---， 化简得211(2)n n n S S S n -+=≥，又由1210,0S S a =≠=≠，可推知对一切正整数n 均有0n S ≠， ∴数列{}n S 是等比数列． ---------------- 4分 ⑵由⑴知等比数列{}n S 的首项为1，公比为a ， ∴1n n S a -=． 当2n ≥时，21(1)n n n n a S S a a --=-=-，又111a S ==， ∴21,(1),(1),(2).n n n a a a n -=⎧=⎨-⎩≥ ----------8分 ⑶当4,2a n =≥时，234n n a -=⨯，此时 22119934(3)(3)(343)(343)n n n n n n n a b a a ---+⨯⨯==++⨯+⨯+ 221213411(41)(41)4141n n n n n -----⨯==-++++， 又111293(3)(3)8a b a a ==++，∴213,(1)811,(2)4141n n n n b n --⎧=⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩++≥1138T b ==，当2n ≥时，1222212131111()()841414141n n n n T b b b ----=+++=+-++-++++171841n -=-+． 若1n =，则等式13758n n T a λ++=为37858λ+=，52λ=不是整数，不符合题意． 若2n ≥，则等式13758n n T a λ++=为11717841548n n λ---+=+⨯，15541n λ-=-+ λ是整数，∴141n -+是5的因数．∴当且仅当2n =时，1541n -+是整数， ∴4λ=综上所述，当且仅当4λ=时，存在正整数2n =，使等式13758n n T a λ++=成立．。
2011年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)
；|a1|+|a2|+…+|an|=
．
12．（5 分）用数字 2，3 组成四位数，且数字 2，3 至少都出现一次，这样的四位数共有 数字作答）
个．（用
13．（5 分）已知函数
若关于 x 的方程 f（x）=k 有两个不同的实根，则数 k
16．（14 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°． （Ⅰ）求证：BD⊥平面 PAC； （Ⅱ）若 PA=AB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长．
20．（13 分）若数列 An=a1，a2，…，an（n≥2）满足|ak+1﹣ak|=1（k=1，2，…，n﹣1），数列 An 为 E 数列，记 S（An）=a1+a2+…+an．
（Ⅰ）写出一个满足 a1=as=0，且 S（As）＞0 的 E 数列 An； （Ⅱ）若 a1=12，n=2000，证明：E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an=2011； （Ⅲ）对任意给定的整数 n（n≥2），是否存在首项为 0 的 E 数列 An，使得 S（An）=0？如果存在，
．
三、解答题（共 6 小题，满分 80 分） 15．（13 分）已知 f（x）=4cosxsin（x+ ）﹣1． （Ⅰ）求 f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求 f（x）在区间[﹣ ， ]上的最大值和最小值．
17．（13 分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊， 无法确认，在图中以 X 表示．
绝密★启用前
2011 年普通高等学校招生全国统一考试
①AD+AE=AB+BC+CA；②AF•AG=AD•AE③△AFB～△ADG 其中正确结论的序号是（ ）
数学_2011年北京市西城区高考数学二模试卷(理科)(含答案)
2011年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合A ={0, 1}，B ={−1, 0, a +3}，且A ⊆B ，则a 等于（ ） A 1 B 0 C −2 D −32. 已知i 是虚数单位，则复数z =i +2i 2+3i 3所对应的点落在（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3. 在△ABC 中，“AB →⋅BC →>0”是“△ABC 为钝角三角形”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件 4. 已知六棱锥P −ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ．则下列结论不正确的是( )A CD // 平面PAFB DF ⊥平面PAFC CF // 平面PABD CF ⊥平面PAD 5. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的渐近线与圆x 2+(y −2)2=1相切，则双曲线离心率为（ ） A √2 B √3 C 2 D 3 6.函数y =sin(πx +φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan∠APB =( )A 10B 8C 87D 477. 已知数列{a n }的通项公式为a n =|n −13|，则满足a k +a k+1+...+a k+19=102的整数k( )A 有3个B 有2个C 有1个D 不存在8. 设点A(1, 0)，B(2, 1)，如果直线ax +by =1与线段AB 有一个公共点，那么a 2+b 2( )A 最小值为15 B 最小值为√55 C 最大值为15 D 最大值为√55二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 在△ABC中，若B=2A，a:b=1:√3，则A=________．10. 在(1x2+x)5的展开式中，x2的系数是________．11. 如图，AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，PD切圆O于点C．已知圆O半径为√3，OP=2，则PC=________；∠ACD的大小为________．12. 在极坐标系中，点A(2, π2)关于直线l：ρcosθ=1的对称点的一个极坐标为________．13. 定义某种运算⊗，a⊗b的运算原理如图所示．设f(x)=(0⊗x)x−(2⊗x)．则f(2)=________；f(x)在区间[−2, 2]上的最小值为________．14. 数列{a n}满足a1=1，a n+1=n−λn+1a n，其中λ∈R，n=1，2，…．①当λ=0时，a20=________；②若存在正整数m，当n>m时总有a n<0，则λ的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数f(x)=cos2xsin(x+π4)．（1）求函数f(x)的定义域；（2）若f(x)=43，求sin2x的值．16. 如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60∘，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD=3√2，得到三棱锥B−ACD．（1）若点M是棱BC的中点，求证：OM // 平面ABD；（2）求二面角A−BD−O的余弦值；（3）设点N是线段BD上一个动点，试确定N点的位置，使得CN=4√2，并证明你的结论．17. 甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动． （1）求选出的4名选手均为男选手的概率．（2）记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的分布列和期望． 18. 已知函数f(x)=(1−ax )e x (x >0)，其中e 为自然对数的底数．（1）当a =2时，求曲线y =f(x)在（1, f(1)）处的切线与坐标轴围成的面积；（2）若函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e 5，求a 的值．19. 已知椭圆M ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为2√23，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4√2． （1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 面积的最大值．20. 若A 1，A 2，…，A m 为集合A ={1, 2, ..., n}(n ≥2且n ∈N ∗)的子集，且满足两个条件： ①A 1∪A 2∪...∪A m =A ；②对任意的{x, y}⊆A ，至少存在一个i ∈{1, 2, 3, ..., m}，使A i ∩{x, y}={x}或{y}．则称集合组A 1，A 2，…，A m 具有性质P ．如图，作n 行m 列数表，定义数表中的第k 行第l 列的数为a kl ={1(k ∈A l )0(k ∉A l )．（1）当n =4时，判断下列两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1:A 1={1, 3}，A 2={2, 3}，A 3={4}；集合组2:A 1={2, 3, 4}，A 2={2, 3}，A 3={1, 4}．（2）当n =7时，若集合组A 1，A 2，A 3具有性质P ，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合A 1，A 2，A 3；（3）当n =100时，集合组A 1，A 2，…，A t 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，求t 的值及|A 1|+|A 2|+...|A t |的最小值．（其中|A i |表示集合A i 所含元素的个数）2011年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）答案1. C2. C3. A4. D5. C6. B7. B 8. A 9. 30∘ 10. 5 11. 1,75∘ 12. (2√2,π4)13. −2,−614. 120,(2k −1, 2k)，k ∈N ∗15. 解：（1）由题意，sin(x +π4)≠0，所以x +π4≠kπ(k ∈Z)， 所以x ≠kπ−π4(k ∈Z)，函数f(x)的定义域为{x|x ≠kπ−π4，k ∈Z}； （2）f(x)=cos2xsin(x+π4)=cos2xsinxcos π4+cosxsinπ4=√2cos2xsinx +cosx=√2(cos 2x−sin 2x)sinx+cosx=√2(cosx −sinx)，因为f(x)=43，所以cosx −sinx =2√23． 所以sin2x =2sinxcosx =1−(1−2sinxcosx)=1−(cosx −sinx)2=1−89=19．16. 解：（1）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，所以O 是AC 的中点．又点M 是棱BC 的中点，所以OM 是△ABC 的中位线，OM // AB ．… 因为OM ⊄平面ABD ，AB ⊂平面ABD ， 所以OM // 平面ABD ．…（2）由题意，OB =OD =3，因为BD =3√2，所以∠BOD =90∘，OB ⊥OD ．…又因为菱形ABCD ，所以OB ⊥AC ，OD ⊥AC ． .A(3√3，0，0)，D(0,3,0)，B(0, 0, 3)． 所以AB →=(−3√3,0,3)，AD →=(−3√3,3,0)，…设平面ABD 的法向量为n =(x, y, z)， 则有{AB →⋅n =0AD →⋅n =0即：{−3√3x +3z =0−3√3x +3y =0 令x =1，则y =√3，z =√3，所以n =(1,√3，√3)．…因为AC ⊥OB ，AC ⊥OD ，所以AC ⊥平面BOD ． 平面BOD 的法向量与AC 平行，所以平面BOD 的法向量为n 0=(1, 0, 0)．… ∴ cos⟨n 0，n >=n 0⋅n |n 0||n|=1×√7=√77， 因为二面角A −BD −O 是锐角， 所以二面角A −BD −O 的余弦值为√77．…（3）因为N 是线段BD 上一个动点，设N(x 1, y 1, z 1)，BN →=λBD →， 则(x 1, y 1, z 1−3)=λ(0, 3, −3)，所以x 1=0，y 1=3λ，z 1=3−3λ，… 则N(0, 3λ, 3−3λ)，CN →=(3√3,3λ,3−3λ)，由CN =4√2得√27+9λ2+(3−3λ)2=4√2，即9λ2−9λ+2=0，… 解得λ=13或λ=23，…所以N 点的坐标为(0, 2, 1)或(0, 1, 2)．…（也可以答是线段BD 的三等分点，BN →=2ND →或2BN →=ND →） 17. 解：（1）事件A 表示“选出的4名选手均为男选手”． 由题意知P(A)=C 32C 52C 42…=110×12=120．…（2）X 的可能取值为0，1，2，3．… P(X =0)=C 32C 52C 42=310×6=120，… P(X =1)=C 21C 31C 32+C 31C 52C 42=2×3×3+310×6=720，…P(X =3)=C 32C 31C 52C 42=3×310×6=320，…P(X =2)=1−P(X =0)−P(X =1)−P(X =3)=920．… 所以X 的分布列：所以E(X)=0×120+1×720+2×920+3×320=1710．…18. 解：（1）f′(x)=x 2−ax+ax 2e x ，…当a =2时，f′(x)=x 2−2x+2x 2e x ，f′(1)=1−2+212×e 1=e ，f(1)=−e ，所以曲线y =f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y =ex −2e ，… 切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2, 0)，(0, −2e)，… ∴ 所求面积为12×2×|−2e|=2e ．…（2）因为函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程x 2−ax +a =0在(0, +∞)内存在两个不等实根，…则{△=a 2−4a >0a >0.…所以a >4．…设x 1，x 2为函数f(x)的极大值点和极小值点， 则x 1+x 2=a ，x 1x 2=a ，… 因为f(x 1)f(x 2)=e 5， 所以x 1−a x 1e x 1×x 2−a x 2e x 2=e 5，…即x 1x 2−a(x 1+x 2)+a 2x 1x 2e x 1+x 2=e 5，a−a 2+a 2ae a =e 5，e a =e 5，解得a =5，此时f(x)有两个极值点， 所以a =5．…19. 解：（1）因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4√2， 所以2a +2c =6+4√2， 又椭圆的离心率为2√23，即ca=2√23，所以c =2√23a ，… 所以a =3，c =2√2．所以b =1，椭圆M 的方程为x 29+y 2=1．… （2）不妨设直线AB 的方程x =ky +m ．由{x =ky +mx 29+y 2=1消去x 得(k 2+9)y 2+2kmy +m 2−9=0，… 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则有y 1+y 2=−2km k 2+9，y 1y 2=m 2−9k 2+9．①…因为以AB 为直径的圆过点C ，所以 CA →⋅CB →=0． 由 CA →=(x 1−3,y 1)，CB →=(x 2−3,y 2)， 得 (x 1−3)(x 2−3)+y 1y 2=0．…将x 1=ky 1+m ，x 2=ky 2+m 代入上式，得 (k 2+1)y 1y 2+k(m −3)(y 1+y 2)+(m −3)2=0． 将 ①代入上式，解得 m =125或m =3（舍）．…所以m =125，令D 是直线AB 与X 轴的交点，则|DC|=35 则有S △ABC =12|DC||y 1−y 2|=12×35√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=95√25(k 2+9)−14425(k 2+9)2．…设t =1k 2+9，0<t ≤19，则S △ABC =95√−14425⋅t 2+t ．所以当t =25288∈(0,19]时，S △ABC 取得最大值38．…20. 解：（1）解：集合组1具有性质P ．…所对应的数表为：集合组2不具有性质P ．…因为存在{2, 3}⊆{1, 2, 3, 4}，有{2, 3}∩A 1={2, 3}，{2, 3}∩A 2={2, 3}，{2, 3}∩A 3=⌀，与对任意的{x, y}⊆A ，都至少存在一个i ∈{1, 2, 3}，有A i ∩{x, y}={x}或{y}矛盾，所以集合组A 1={2, 3, 4}，A 2={2, 3}，A 3={1, 4}不具有性质P ．… （2）A 1={3, 4, 5, 7}，A 2={2, 4, 6, 7}，A 3={1, 5, 6, 7}．…（注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同） （3）设A 1，A 2，…，A t 所对应的数表为数表M ， 因为集合组A 1，A 2，…，A t 为具有性质P 的集合组， 所以集合组A 1，A 2，…，A t 满足条件①和②， 由条件①：A 1∪A 2∪...∪A t =A ，可得对任意x ∈A ，都存在i ∈{1, 2, 3, ..., t}有x ∈A i ， 所以a xi =1，即第x 行不全为0，所以由条件①可知数表M 中任意一行不全为0．…由条件②知，对任意的{x, y}⊆A ，都至少存在一个i ∈{1, 2, 3, ..., t}，使A i ∩{x, y}={x}或{y}，所以a xi ，a yi 一定是一个1一个0，即第x 行与第y 行的第i 列的两个数一定不同． 所以由条件②可得数表M 中任意两行不完全相同．…因为由0，1所构成的t 元有序数组共有2t 个，去掉全是0的t 元有序数组，共有2t −1个，又因数表M 中任意两行都不完全相同，所以100≤2t −1， 所以t ≥7．又t =7时，由0，1所构成的7元有序数组共有128个，去掉全是0的数组，共127个，选择其中的100个数组构造100行7列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质P ． 所以t =7．…因为|A 1|+|A 2|+...+|A t |等于表格中数字1的个数，所以，要使|A 1|+|A 2|+...+|A t |取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，而t =7时，在数表M 中，1的个数为1的行最多7行；1的个数为2的行最多C 72=21行；1的个数为3的行最多C73=35行；1的个数为4的行最多C74=35行；因为上述共有98行，所以还有2行各有5个1，所以此时表格中最少有7+2×21+3×35+4×35+5×2=304个1．所以|A1|+|A2|+...+|A t|的最小值为304．…。
2011年北京市高考理科数学试题及答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{|1}P x x =≤，{}M a =.若P M P =U ,则a 的取值范围是（A ）(,1]-∞- （B ）[1,)+∞ （C ）[1,1]- （D ）(,1][1,)-∞-+∞U （2）复数212i i-=+ （A ）i （B ）i - （C ）4355i -- （D ）4355i -+ （3）在极坐标系中，圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是（A ）(1,)2π （B ）(1,)2π- （C ）(1,0) （D ）(1,)π（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）3-（B ）12- （C ）13（D ）2（5）如图，,,AD AE BC 分别与圆O 切于点,,D E F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。
给出下列三个结论：① AD AE AB BC CA +=++；② AF AG AD AE ⋅=⋅；③ AFB ADG ∆∆:其中，正确结论的序号是（A ）① ② （B ）② ③（C ）① ③ （D ）① ② ③（6）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为()x A f x x A <=≥（,A c 为常数）。
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟， 那么c 和A 的值分别是（A ）75,25 （B ）75,16 （C ）60,25 （D ）60,16 （7最大的是 （A ） 8（B ）（C ） 10（D ）（8）设(0,0)A ，(4,0)B ，(4,4)C t +，(,4)D t （t R ∈），记()N t 为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的 值域为（A ）{9,10,11} （B ）{9,10,12} （C ）{9,11,12} （D ）{10,11,12}A G俯视图第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2011高三一模理科数学试题及答案(理科详解)(已导入)
北京市东城区2011高三一模理科数学试题及答案（理科详解）（已导入）一、选择题（共8小题；共40分）1. " "是" "的 ( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 已知数列为等差数列，且，，则等于 ( )A. B. C. D.3. 已知函数对任意的有，且当时，，则函数的大致图像为 ( )A. B.C. D.4. 已知平面上不重合的四点，，，满足，且，那么实数的值为 ( )A. B. C. D.5. 若下面的程序框图输出的是，则条件①可为 ( )A. B. C. D.6. 已知，，那么的值为 ( )A. B. C. D.7. 已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是 ( )A. B. C. D.8. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面，，两两互相垂直，点，点到、的距离都是，点是上的动点，满足到的距离是到点距离的倍，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是 ( )A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 如果是实数，那么实数．10. 已知曲线的参数方程为（为参数），则曲线上的点到直线的距离的最大值为．11. 从某地高中男生中随机抽取名同学，将他们的体重（单位：）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为；若要从体重在三组内的男生中，用分层抽样的方法选取人参加一项活动，再从这人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为．12. 如图，已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，圆心到的距离为，，则切线的长为．13. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于、两点（点在轴上方），则．14. 已知数列满足：，，，，，且当时，，若数列满足对任意，有，则；当时，．三、解答题（共6小题；共78分）15. 在中，角，，的对边分别为、、，且满足．（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值．16. 已知四棱锥的底面是菱形．，，，与交于点，，分别为、的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值．17. （本小题共13分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．（1）求至少有1人面试合格的概率；（2）求签约人数的分布列和数学期望．18. 已知函数，．（1）求函数在区间上的最小值；（2）证明：对任意，都有成立．19. 已知椭圆的离心率为，且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰直角三角形的顶点．斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围；（3）试用表示的面积，并求面积的最大值．20. 对于，定义一个如下数阵：其中对任意的，，当能整除时，；当不能整除时，．设．（1）当时，试写出数阵并计算；（2）若表示不超过的最大整数，求证：；（3）若，，求证：．答案第一部分1. A2. B 【解析】由条件可得公差，．3. D4. B 【解析】．5. B【解析】，；，；，；，；，；，，故若输出，条件①应为．6. A 【解析】，由条件可知在第三象限，由7. B 【解析】，，含有零点的区间是．8. A 【解析】解法一：构造空间长方体，取坐标轴如图所示：由条件可得点坐标为，由到的距离是到点距离的倍可得关系式，当时，右边取得最大值，此时，所以点的轨迹上的点到的距离的最小值为．解法二：仍然取图中的坐标系，点到的距离就是点到轴的距离，所以这个问题可以转化为：在平面内，求到点的距离与到轴的距离的比为的点的轨迹问题．根据椭圆的第二定义，满足条件的点的轨迹是以点为一个焦点，轴为相应准线的椭圆．而且可得解得，，，画出椭圆如图，点的轨迹上的点到的距离为点到轴的距离，由椭圆的基本性质可知，点的轨迹上的点到的距离的最小值为．第二部分9.10.【解析】曲线的普通方程为，问题转化为求圆上的任意一点到直线距离的最大值．11. ；【解析】根据统计图中的数据，名同学体重的平均值为：；根据分层抽样从身高在，三组内的男生中，用分层抽样的方法选取人，则从三组抽取的人数分别为人，人，人，则两人的身高不在同一组的概率为．12.13.【解析】将抛物线与直线的方程联立，得解得．由抛物线的定义，得14. ；【解析】当时，，并结合，得所以第三部分15. （1）由（1），得由正弦定理，得整理，得即由，得，解得因为，所以．（2）由余弦定理，得由，，得即从而三角形的面积为当且仅当时，因此，三角形面积的最大值为．16. （1）因为，分别为、的中点，所以．又平面，平面．所以平面．（2）连接，因为，为的中点，所以．在菱形中，，又因为，所以平面．又平面，所以．在直角三角形中，由于，，则．又，为的中点，所以．又因为，所以平面．（3）过点作，由（2）得平面．如图，以为原点，，，所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，从而设是平面的一个法向量，由得取，则．设直线与平面所成的角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为．17. （1）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A，B，C相互独立，且．至少有1人面试合格的概率是（2）的可能取值为0，1，2，3．====∴的分布列是的期望18. （1）由已知，得因为当时，所以在上单调递增，从而所以函数在区间上的最小值为．（2）由，得．当变化时，的变化情况如下：由此，从而当时，由，得当变化时，的变化情况如下：由此，从而当时，因此，对任意，都有成立．19. （1）依题意可得，，．又，可得，．所以椭圆方程为．（2）设直线的方程为，，，线段中点为，联立方程，得整理，得则可得则点的坐标为．由题意有，可得即．又，所以．（3）设椭圆上焦点为，则由，可得，所以又，所以设，则可知在区间单调递增，在区间单调递减．所以，当时，有最大值．此时，的面积有最大值．20. （1）依题意可得，．．（2）由题意可知，是数阵的第列的和，因此是数阵所有数的和．而数阵所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的，不超过的倍数有，，…，．因此数阵的第行中有个1，其余是，即第行的和为．所以．（3）由的定义可知，，所以．所以．考查定积分，将区间分成等分，则的不足近似值为，的过剩近似值为．所以．所以．所以．所以．。
2011年北京高考数学(理)试题及答案word版
2011年北京高考数学（理）试题及答案word 版本试卷共5页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是 （A ）(-∞, -1] （B ）[1, +∞）（C ）[-1，1] （D ）（-∞，-1] ∪[1，+∞）【答案】C【解析】：2{|1}{|11}P x x x x =≤=-≤≤，[1,1]PM P a =⇒∈-，选C 。
（2）复数212i i-=+ （A ）i （B ）-i （C ）4355i -- （D ）4355i -+【答案】A【解析】：22i 2(i 2)(12i)2242(1)2412i (12i)(12i)1414(1)i i i i ii i ---------+====++----，选A 。
（3）在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是(A) (1,)2π (B) (1,)2π- (C) (1,0) (D)(1，π)【答案】B【解析】：222sin (1)1x y ρθ=-⇒++=，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为(1,)2π-，选B 。
（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （A ）-3 （B ）-12（C ）13（D ）2【答案】D【解析】：循环操作4次时S 的值分别为11,,3,232--，选D 。
（5）如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。
给出下列三个结论：○1AD+AE=AB+BC+CA ； ○2AF ·AG=AD ·AE③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③【答案】A.【解析】：①正确。