二元一次方程与一次函数的关系

5、6二元一次方程与一次函数

银川市第八中学彭志斌教材分析

本节课通过二元一次方程、二元一次方程组与一次函数关系的讨论，建立方程与函数的联系，引导学生从“形”的角度看待二元一次方程和二元一次方程组。教科书首先通过对二元一次方程与一次函数的对比分析，让学生认识到：从“数”的角度看，方程与函数描述的是同样的关系；从“形”的角度看，它们对应解“点”组成的图像相同，得到二元一次方程组图像的特征。然后以此为基础，探讨二元一次方程组的解与确定相应两条直线交点坐标之间的关系。

教学目标

知识与技能

1、初步理解二元一次方程和一次函数的关系；

2、掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系；

3、掌握二元一次方程组的图像解法．

过程与方法

（1）教材以“问题串”的形式，揭示方程与函数间的相互转化，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法；

（2）通过“做一做”引入例1，进一步发展学生数形结合的意识和能力．

情感与态度

（1）在探究二元一次方程和一次函数的对应关系中，在体会近似解与准确解中，培养学生勤于思考、精益求精的精神．

（2）在经历同一数学知识可用不同的数学方法解决的过程中，培养学生的创新意识和变式能力．

教学重点

（1）二元一次方程和一次函数的关系；

（2）二元一次方程组和对应的两条直线的关系．

教学难点

数形结合和数学转化的思想意识．

教学准备

教具：多媒体课件、三角板．

学具：铅笔、直尺、练习本、坐标纸．

教学过程 第一环节: 问题情境，启发引导（2分钟，学生回答问题回顾知识）

第二环节:活动探究、获取新知（5分钟，学生回答问题，回顾知识）

活动一：二人小组合作交流，探索二元一次方程的解与相应的直线之间的关系

归纳总结：

二元一次方程和一次函数的图像有如下关系：

（1） 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；

（2） 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．

一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线。

活动二：四人小组合作交流，探索二元一次方程组的解与相应两条直线交点坐标之间的关系

归纳总结：

一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程相当于确定相应两条直线交点的坐标。

二元一次方程和相应的两条直线的关系以及二元一次方程组的图像解法；

（1） 求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标；

（2） 求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方

程组的解．

（3） 解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种．

注意：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组．

任务1．方程x+y=5的解有多少个？

任务2．在直线坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y ＝5+-x 的图像上吗？

任务3．在一次函数y=5+-x 的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？ 任务4．以方程x+y =5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y =5+-x 的图像相同吗？

在同一直角坐标系内分别画出依次函数y=

5+-x 和y=2x 1-的图象，这两个图象有交点 吗？交点的坐标与方程组5,2 1.x y x y +=⎧⎨-=⎩的解有什么关系？ 银川八中的环行跑道长300米，甲、乙两人分别以一定的速度练习长跑，如果反向而行，那么他们每隔1分钟相遇一次，如果同向而行，那么每隔80秒乙就追上甲一次，甲、乙二人的速度分别是多少？

活动三：独立思考，探索二元一次方程组无解的几何意义。 归纳总结：

学生从“形”上容易发现相应的函数图象（直线）互相平行，而从“数”的方面也可以发现没有一组数同时适合这两个方程。

第三环节 感悟提升，总结归纳（2分钟，学生解题，教师指导）

知识反馈

在同一直角坐标系内，一次函数y=x+1和y=x+2的图象有怎样的位置关系？方程组 解的情况如何？你发现了什么？ 1．二元一次方程和一次函数的图像的关系； （1） 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；

（2） 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．

2．方程组和对应的两条直线的关系：

（1） 方程组的解是对应的两条直线的交点坐标；

（2） 两条直线的交点坐标是对应的方程组的解； 3．解二元一次方程组的方法有3种：

（1）代入消元法；

（2）加减消元法； （3）图像法． 要强调的是由于作图的不准确性，由图像法求得的解是近似解． x-y=-1 x-y=2

（A 类）基础题： 1.下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解的是( ) 2.把方程x+2y=-3化成一次函数的形式：__________． （B 类）选做题： 4.求两条直线y=3x-2与y=-2x+4和x 轴所围成的三角形面积．

开拓崭新天地

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疑惑（或还需进一步理解的地方）

对课堂表现的评价（包括对自己、同学、老师）

所学内容在日常生活中的应用举例

板书设计

7．6二元一次方程与一次函数

1．二元一次方程与一次函数的图像的关系：例1

（1）

（2）

2．方程组和对应的两条线的关系：例2

（1）

（2）

3．解二元一次方程组的新方法：

图像法

教学反思

教育应更多的关注学生的学习方法和策略．数学家乔治.波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路”．随着课程改革的深入，“应试教育”向“素质教育”转变的过程中，对学生的考察，不仅考查基础知识，基本技能，更为重视考查能力的培养．如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法；要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会阐述自己的思想和观点．从而提高学生的数学素养，对学生进行思想观念层次上的数学教育．