微积分3(第十一章 微分方程 第1~5节)

的解称为微分方程的通解。
n 阶方程的通解的一般形式：
y y( x,C1, ,Cn), 或 F ( x, y,C1, ,Cn ) 0.
( C1, ,Cn 相互独立)
(2) 确定了通解中任意常数的解称为微分方程的特解。
4. 由实际情况提出的可确定通解中任意常数的 条件称为初始条件。
初始条件个数 = 任意常数个数 = 方程阶数 如：一阶： y x x0 y0 ;
y . (1,2)
由 2 = 1 + C C 1,
y x2 1
x
为所求曲线。
例2. 只在重力下(不计空气阻力)，一质量为 m 的 质点自由下落，求质点运动的规律 (位置与时间的 关系)。 解：设物体下落的铅垂线为 x 轴，向下为正，
点 o 为质点运动的起点，则 x = x(t).
o 由牛顿第二定律 F = m a , ( a — 加速度 F — 作用力 )
y( x) xy( x) 2xy( x) x2 y( x)
即：x2 y (1 3x) y,
1 y
dy
1
3 x2
x
dx
解得：ln y 1 3ln x C x
4. 求下述微分方程的通解:
y sin2 ( x y 1) 解: 令 u x y 1,
则
故有 1 u sin2 u
通解表示以常数Ci为参数的一族积分曲线。 如: 对一阶微分方程, 其积分曲线的方程：
( x, y,C) 0 或 y ( x,C);
满足 y xx0 y0 的特解 表示其中一条确定的通过 点(x0, y0)的积分曲线。
二阶微分方程满足 y x x0 y0 , y x x0 y1 的特解表示通过点(x0, y0)且在该点切线斜率为 y1 的那条积分曲线。
dx
10 y dy 10 x dx
10 y ln 10
10 x ln 10
+
C
Cln 10
10 x 10 y C 0
即为所求微分方程的通解。
2. 求解：dy 2x y, y(1) 1 . dx
解：分离变量：1 d y 2 x d x
y
此时少一解 y = 0
两边积分：ln y x2 C1 y e x2 C1 e x2 e C1
y
Y
k
(h, k是待定常数）
则 dY f ( aX bY ah bk c )
dX
a1 X b1Y a1h b1k c1
则 dY f ( aX bY ah bk c )
dX
a1 X b1Y a1h b1k c1
考虑方程组：
ah bk a1h b1k
c
0 c1
xx
xx
代入初始条件得: C = 1 y 1 ( y )2 1
x
xx
二、可化为齐次的微分方程
对于一阶微分方程 dy f ( ax by c ) dx a1 x b1 y c1
若 c c1 0, 则是齐次的，可用前面的方法求解, 否则，是非齐次的， 为求其解，令
x X h
y e C1 e x2 C e x2
(若C取任意实数则包含前面 少掉的一解 y = 0)
解：
1 d y 2xdx y
ln y x2 lnC
y e x2 lnC C e x2 为通解；(C为任意实数)
由 y(1) 1 1 C e C e1 , 所以所求特解： y e x21 .
b dx
mv c1
求出其通解后再将 v 用 ax+by 代回即得原方程 的通解。
例1.
dy y x 1 dx y x 5
解：令 x X h, y Y k
则
h k 1 0 h k 5 0
h 2
k 3
此时方程化为
dY dX
X Y X Y
1 Y X
1 Y
X
dY dX
解：对 y C1e x C2ex x 5
①
y C1e x C2e x 1
②
y C1e x C2e x
③
消去了 C1，C2 的关系式就是所要求的微分方程。
① － ③ y y x 5
即为所求微分方程。
课外作业
习题11– 1 (A)
4, 5(2) 习题11 – 1 (B)
1(1, 4)
3. 设 y(x) 是一个连续可微函数，且满足
x
x 0
y(
x )dx
(
x
1)
x 0
x
y(
x )dx
求 y(x)
解：方程两边对 x 求导：
x
x
y( x)dx xy( x) xy( x)dx ( x 1)x y( x)
0
0
整理得：
x 0
y(
x)dx
x
0
xy(
x)dx
x2
y(
x)
方程两边再对 x 求导：
二、 基本概念
定 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间 义 关系的方程，称为微分方程。其一般形式：
F ( x, y, y, y, , y(n)) 0.
说明：
dy 2x dx
d d
2x t2
g
1. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，
方程中可以不出现自变量 x 与未知函数 y ,
但 y 的导数或微分必须出现。
等于曲线上该点处的切线在 y 轴上的截距, 且曲线过 点(1,0), 求此曲线方程。
解：曲线上过点 M(x, y) 的切线方程：
Y y f ( x)( X x)
Y
X 0, Y y xy,
M
由题意：
0
(1,0) X
x2 y2 y xy,
1 ( y )2 y dy x x dx
解：
dx dy
xy x2 y2
dx x ( x )2 , dy y y
令 v x , x v y, dx y dv v v v2
y
dy dy
分离变量： dv v2
dy y
1 ln y ln C , v
1
y
所以所求通解： y C e v C e x .
(3) 设曲线 y = f (x) 上任意点 M 到坐标原点的距离
质点只受重力作用 F = m g
x
ma mg
ag
d2x d t2
g
.
d2x dt2
g
对
t
两次积分：
dx dt
gt
C1
x
1 gt2 2
C1t
C2
( C1,C2 为任意常数)
由初始时刻 t = 0, 质点的初始位置 x = 0 及初始
速度为 0, 即 x(0) 0, x(0) 0
C2 0 , C1 0 , 所求 x(t) 1 g t 2 . 2
X2
所以原方程通解：
arctan y 3 1 ln[(
x
x X h
y
Y
k
2)2 ( y
h k
3)2
2 3
]C
x2 2
例2. ( x y 1)dx ( x y 1)dy 0
或 g( y) dy f ( x) dx 的形式，
则称此方程为可分离变量的微分方程。
分离变量方程的解法:
g( y)d y f (x)d x
①
两边积分, 得
f (x)dx
则有
②
②为方程①的隐式通解.
例题
1. 求解微分方程 dy 10x y.
dx 解： dy 10 x y 10 x 10 y
0
(*)
当 a b 时， (*) 式可解出唯一解 h, k a1 b1
此时方程化为 dY f ( aX bY )
dX
a1 X b1Y
—— 齐次方程
求出其解后再将 X , Y 分别用 x h, y k
代回，即得原方程的通解。
当
a a1
b b1
时，
ah bk c 0 a1h b1k c1
回代 sin y C x , 即为所求通解。 x
(2) y2dx ( x2 xy)dy 0
分析：
dy dx
y2 xy x2
( y )2 x y 1
x
再令 u y , 计算比较繁琐，现把 x 与 y x
的地位互换一下， 从而有下列解法。
(2) y2dx ( x2 xy)dy 0
1 Y X
1 Y
X
令 Y u X
Y uX
dY X du u X du u 1 u
dX dX
dX
1 u
1 u 1 u2
du
dX X
arctanu 1 ln(1 u2 ) ln X C 2
arctanY 1 ln( X 2 Y 2 ) C X2
arctanY 1 ln( X 2 Y 2 ) C
y(1) 0
1 ( y )2 y dy x x dx
y(1) 0
令 y u 则 y xu x
dy u x du 1 u2 u (u x du)
dx
dx
dx
du dx ln(u 1 u2 ) ln x ln C
1 u2 x
即 u 1 u2 C y 1 ( y)2 C
0
(*)
(*) 式可能有无穷多解，也可能无解，
令 a b 1 ， 则 dy f ( ax by c )
a1 b1 m
dx m(ax by) c1
引人新变量 v = ax + by 则 dv a b dy
dx
dx
dy 1 (dv a) dx b dx
原方程化为：
1 (dv a) f ( v c ) 变量可分离的微分方程