山东大学2013-2014学年第二学期高等数学试题_A_
2013-2014线性代数(A)题山东科技大学
山东科技大学2013—2014学年第一学期《线性代数》考试试卷（A 卷）班级 姓名 学号 一、填空题（每小题5分，共30分）1、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=311121111A ，则1A -=__________________。
2、设A 均为3阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，2A =，则*2A =__________________。
3、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，1a ，2a为它的两个线性无关的解向量，则该方程组的通解为__________________。
4、若()Ta a 1,1,1=，()Ta a 1,,12=，()Ta a ,1,13=线性相关，则a 为________。
5、设矩阵2)(,3651230221=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A R A μλ，则=λ_____,=μ__________.6、已知四阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为2，3，4，1，则____B E -=。
三、解答题（每小题12分，共60分）1、计算下列行列式：（1）2151130602121476D ---=--，（2）()()()()()()()()()()()()2222222222222222111321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 。
2、设111011001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求解矩阵方程2A AX E -=。
3、设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++,1,31,01321321321λλλλx x x x x x x x x ）（）（）（问λ取何值时，次方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解.4、求矩阵1214210300111111A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪-⎝⎭的列向量组的秩以及一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示。
5、设二次型22123121223(,,)244T f x x x x Ax x x x x x x ==+-- ，（1）写出二次型f 的矩阵；（2）求正交变换x Py =，把二次型f 化为标准型；（3）判断f 是否为正定二次型。
2013年高考理科数学山东卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共45页） 数学试卷 第2页（共45页） 数学试卷 第3页（共45页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共6页,满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件A ,B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B )；如果事件A ,B 独立,那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a ,b ∈R ,i 是虚数单位,若i a -与2i b +互为共轭复数,则2(i)a b += ( )A .54i -B .54i +C .34i -D .34i + 2.设集合{||1|2}A x x =-<,{|2,[0,2]}x B y y x ==∈,则A B =( ) A .[0,2] B .(1,3)C .[1,3)D .(1,4) 3.函数()f x( )A .1(0,)2B .(2,)+∞C .1(0,)(2,)2+∞D .1(0,][2,)2+∞4.用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A .方程30x ax b ++=没有实根B .方程30x ax b ++=至多有一个实根C .方程30x ax b ++=至多有两个实根D .方程30x ax b ++=恰好有两个实根5.已知实数x ,y 满足x y a a <（01a <<）,则下列关系式恒成立的是( )A .221111x y >++ B .22ln(1)ln(1)x y +>+ C .sin sin x y >D .33x y >6.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.B.C .2D .47.为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为 ( )A .6B .8C .12D .188.已知函数()|2|1f x x =-+,()g x kx =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( )A .1(0,)2B .1(,1)2C .(1,2)D .(2,)+∞9.已知x ,y 满足约束条件10,230,x y x y --⎧⎨--⎩≤≥当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值时,22a b +的最小值为( )A .5B .4CD .210.已知>0a b >,椭圆1C 的方程为22221x y a b +=,双曲线2C 的方程为22221x y a b-=,1C 与2C 的则2C 的渐近线方程为 ( )A.0x = B0y ±= C .20x y ±= D .20x y ±=第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.执行如图所示的程序框图,若输入的x 的值为1,则输出的n 的值为 .12.在ABC △中,已知t a n A B A C A = ,当π6A =时,ABC △的面积为 .13.三棱锥P ABC -中,D ,E 分别为PB ,PC 的中点,记三棱锥D ABE -的体积为1V ,P ABC -的体积为2V ,则12V V = . 14.若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20,则22a b +的最小值为 .15.已知函数()()y f x x =∈R .对函数()()y g x x I =∈,定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h x x I =∈,()y h x =满足：对任意x I ∈,两个点(,())x h x ,(,())x g x 关于点(,())x f x 对称.若()h x是()g x =关于()3f x x b =+的“对称函数”,且()()h x g x >恒成立,则实数b 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.16.（本小题满分12分）已知向量a (,cos2)m x =,b (sin 2,)x n =,函数()f x =a b ,且()y f x =的图象过点π(12和点2π(,2)3-. （Ⅰ）求m ,n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ(0π)ϕ<<个单位后得到函数()y g x =的图象,若()y g x =图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求()y g x =的单调递增区间.17.（本小题满分12分）姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共45页） 数学试卷 第5页（共45页） 数学试卷 第6页（共45页）如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是等腰梯形,60DAB ∠= ,AB =22CD =,M 是线段AB 的中点.（Ⅰ）求证：1C M 平面11A ADD ；（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD且1CD =求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.18.（本小题满分12分）乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域A ,B ,乙被划分为两个不相交的区域C ,D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次,落点在C 上记3分,在D 上记1分,其它情况记0分.对落点在A 上的来球,队员小明回球的落点在C 上的概率为12,在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球,小明回球的落点在C 上的概率为15,在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ,B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为2,前n 项和为n S ,且1S ,2S ,4S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-,求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（本小题满分13分）设函数2e 2()(ln )x f x k x x x =-+（k 为常数,e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数）.（Ⅰ）当0k ≤时,求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点,求k 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时,ADF △为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1l l ,且1l 和C 有且只有一个公共点E . （ⅰ）证明：直线AE 过定点,并求出定点坐标；（ⅱ）ABE △的面积是否存在最小值？若存在,请求出最小值；若不存在,请说明理由.3 / 15数学试卷 第10页（共45页） 数学试卷 第11页（共45页） 数学试卷 第12页（共45页）5 / 15数学试卷第16页（共45页）数学试卷第17页（共45页）数学试卷第18页（共45页）7 / 15数学试卷第22页（共45页）数学试卷第23页（共45页）数学试卷第24页（共45页）59 / 15数学试卷第28页（共45页）数学试卷第29页（共45页）数学试卷第30页（共45页）。
2014山东高考数学(理)真题及详细答案(Word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1、答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3、第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B +=； 如果事件A 、B 独立，那么()()()=•P AB P A P B 。
第Ⅰ卷（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+ 答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C 解析：[][][)12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴⋂=3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C 解析：()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。
13级《高等数学I、II》(上)期末考试卷及答案
2013—2014学年第一学期《高等数学I 、II 》考试试卷（A 卷）一、填空题（每小题3分，共48分）1. 2()ln(1)f x x =-, 已知 000()(2)3lim2h f x f x h h →--=, =0x 13- .2. 2sin 10()0ax x e x f x x a x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a = 1- . 3. 函数32()391f x x x x =--+的既递减又上凸的区间是 (1,1)- .4. 21tx t y e ⎧=+⎨=⎩，则22d d y x 4t t． 5. 设)(x f 在0=x 点处连续，且0()lim12x f x x→=，那么(0)f '= 2 6. 222||2x x dx x -++⎰ ln3 .7.x y dye dx+=的通解为 y x e e c --=+ 8. 设3(1)f x x +=，则(1)f x '-= 23(2)x - ．9. 方程2610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 0 。
10. 若函数)(x f 具有二阶连续导数，,0)()(21='='x f x f ),(0)( 21x f x f ''<<''则12(),().f x f x 的大小关系为 ).()(21x f x f >11. 变上限函数⎰21sin x tdt 的导数等于 2sin 2x x12. 设x ，x e ，x e -是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，则该方程的通解为x x e C x e C y x x +-+-=-)()(21。
得 分13. 广义积分21(ln )edx x x +∞⎰= 1 。
14. 微分方程052=+'-''y y y 的通解为12(cos 2sin 2)x y e c x c x =+ 15. ⎰⎰'+=dx x f x c x dx x f )( ,sin )(2 2sin 2sin x x x C -+ .16. 函数x e x f -=)(的四阶麦克劳林公式是)(!!!443243211x o xx x x ++-+-二、计算题（满分24分，每小题6分）17.求020()lim (0,0)ln(1)xt t xx a b dt a b t dt→->>+⎰⎰)(b a ≠原式=-+→limln()x x x a b x 0212 3分=-+→lim ln ln x x x a a b b x 0412=14lna b 3分18、求曲线xex y 12-+=)(的渐近线。
山东大学2010-2011学年第二学期高等数学试题_A_
1. 设 数 列 an 单 调 减 少 ， lim an 0 ， S n
n
a n 1, 2, 无 界 ， 则 幂 级 数
k k 1
a x 1
n n 1
n
的收敛域为
。
(A) ( 1,1] ； 2. 设 0 an
(B) [ 1,1) ；
2010-2011 学年第二学期高等数学试题 (A)
一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 设区域 D 为 x y 1 ，则
xyf x
D
2
y 2 dxdy =
。
2. 过点 M 0 (2，4，0)且与直线 L :
x 2z 1 0 平行的直线方程是 y 3z 2 0
x, y x y 1 上连续，且 f x 0, f y 0 ，
(C) 2 a b ； (D) 2 a b ；
f x f y
D
af y bf x
dxdy
(B) a b ；
(A) a b ；
。
1
(A)0；
(B)
4 abc 3 ； 15
(C) 4 3 ；
(D) ；
三、解答题（1~6 题每题 8 分，第 7 题 12 分，共 60 分） 1. 设 f u , v 具有二姐连续偏导数，且满足
2 f 2 f 1， u 2 v 2
x y ，求 2 2 。 又 g x, y f xy, x y 2
2n 2 2 n 1 x 的收敛域及和函数。 n! n 1
6. 证明函数 z 1 e
济南大学高等数学下历年考题答案
L
是抛物线 2 x y
解
2
上从点 (0, 0) 到点 ( 2 ,1) 的一段弧.
2
Q x
P 2 y cos x 6 xy y
L1
积分与路径无关
L2 : x
选取积分路径 O(0,0) A( ,0) B( ,1) 2 2
L2
L1 : y 0, x [0, ] 2
得f x ( x, x) f x ( x, x) x 2
y( x) -2e 2 x f ( x, x) x 2e 2 x
一阶线性微分方程
P( x) 2
Q( x ) x 2e 2 x
P ( x ) dx
ye
P ( x ) dx
[C Q( x )e
x y (0 z 1) 取下侧.
2 2
解：
2 2 x dydz y dzdx ( z x )dxdy
1 2
1
影 为0 对于 1 : z 1. 向yoz和xoz投
x 2 dydz y 2 dzdx ( z x )dxdy
1
( z x )dxdy
2 2
曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式 解：
1
补充 1 : z 1 ( x 2 y 2 1) (上侧)
1围成空间区域 . 在上使用高斯公式,
1 2 2 x dydz y dzdx ( z x )dxdy ( 2 x 2 y 1)dv
2
4
y c1e x c2e 2 x
r2 r 2 0
2
2
山东省2014届高三理科数学备考之2013届名校解析试题精选分类汇编3三角函数
山东省2014届高三理科数学备考之2013届名校解析试题精选分类汇编3：三角函数一、选择题1 ．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知,(0,)2παβ∈,满足tan()4tan αββ+=,则tan α的最大值是（ ）A ．14B ．34CD ．32【答案】B 由tan()4tan αββ+=tan tan 4tan 1tan tan αββαβ+=-,得23tan tan 14tan βαβ=+,因为(0,)2πβ∈,所以tan 0β>.所以33tan 144tan tan αββ==+,当且仅当14tan tan ββ=,即21tan 4β=,1tan 2β=时,取等号,所以tan α的最大值是34,所以选 B ．2 ．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）定义12142334a a a a a a a a =-,若函数sin 2 cos2x () 1 x f x =,则将()f x 的图象向右平移3π个单位所得曲线的一条对称轴的方程是 （ ）A ．6x π=B ．4x π=C ．2x π=D ．x π=【答案】A 由定义可知,()2cos 22sin(2)6f x x x x π=-=-,将()f x 的图象向右平移3π个单位得到52sin[2()]2sin(2)366y x x πππ=--=-,由52,62x k k Z πππ-=+∈得对称轴为2,32k x k Z ππ=+∈,当1k =-时,对称轴为2326x πππ=-=,选（ ） A ．3 ．（【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）关于函数()=2()f x sin x -cos x cos x 的四个结论:P 1:最大值为;P 2:把函数()21f x x =-的图象向右平移4π个单位后可得到函数2f (x )(sin x cos x )cos x=-的图象;P 3:单调递增区间为[71188k ,k ππππ++],k Z ∈; P 4:图象的对称中心为(128k ,ππ+-),k Z ∈.其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】因为2()=22221(2)14f x sin x cos x cos x sin x cos x x π-=--=--,1,所以P 1错误.将()21f x x =-的图象向右平移4π个单位后得到()22(2(2)142f x x x ππ=--=--,所以P 2错误.由222242k x k πππππ-+≤-≤+,解得增区间为388k x k ,k Z ππππ-+≤≤+∈,即3[]88k ,k k Z ππππ-++∈,所以3p 正确.由24x k ,k Z ππ-=∈,得,28k x k Z ππ=+∈,所以此时的对称中心为(1)28k ,ππ+-,所以4p 正确,所以选B ． 4 ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）一已知倾斜角为α的直线l 与直线220x y -+=平行,则tan 2α的值为 （ ）A ．45B ．43C ．34 D ．23【答案】B【解析】直线的斜率为12,即直线l 的斜率为1tan 2k α==,所以22122tan 142tan 2131tan 31()24ααα⨯====--,选 B ．5 ．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-=,若a b ⊥ ,则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．3【答案】B【解析】因为a b ⊥ ,所以2cos sin 0a b αα=-=,即tan 2α=.所以tan 1211tan()41tan 123πααα---===++,选 B ．6 ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）下列函数中周期为π且为偶函数的是（ ）A ．)22sin(π-=x y B ．)22cos(π-=x y C ．)2sin(π+=x yD ．)2cos(π+=x y【答案】A sin(2)cos 22y x x π=-=-为偶函数,且周期是π,所以选A ．7 ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）函数()2t a n 22f x x x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在，上的图象大致为（ ）【答案】C 函数()2tan f x x x =-为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除A,B ．当2x π→时,0y <,所以排除D,选C ．8 ．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理）已知34(,),cos ,25αππα∈=-则)4tan(απ-等于 （ ）A ．7B ．71C ．71- D ．7-【答案】B【解析】因为34(,),cos ,25αππα∈=-所以sin 0α<,即33sin tan 54αα=-=，.所以311tan 14tan()341tan 71+4πααα---===+,选 B ．9 ．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A >0,ϕ<π2的图象如图所示,为了得到()sin 3g x x =的图象,只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π4个单位长度 B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度D ．向左平移π12个单位长度【答案】C 由图象可知,51,41246T A πππ==-=,即223T ππω==,所以3ω=,所以()sin(3)f x x ϕ=+,又555()sin(3)sin()112124f πππϕϕ=⨯+=+=-,所以532,42k k Z ππϕπ+=+∈,即2,4k k Z πϕπ=+∈,又ϕ<π2,所以4πϕ=,即()sin(3)4f x x π=+.因为()sin 3sin(3)sin[3()]44124g x x x x ππππ==-+=-+,所以只需将()f x 的图象向右平移π12个单位长度,即可得到()sin 3g x x =的图象,选C ．10．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）当4x π=时,函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是 （ ）A ．奇函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．偶函数且图像关于点(),0π对称C ．奇函数且图像关于直线2x π=对称 D ．偶函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C当4x π=时,函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值,即2,42k k Z ππϕπ+=-+∈,即32,4k k Zπϕπ=-+∈,所以()()3si n ()04fx A x A π=->,所以333()sin()sin 444y f x A x A x πππ=-=--=-,所以函数为奇函数且图像关于直线2x π=对称,选 C ．11．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）已知函数221()x f x e-=,若[cos()]12f πθ+=,则θ的值为（ ）A ．4k ππ+B ．4k ππ-C ．24k ππ+ D ．4k ππ-(其中k ∈Z)【答案】C 由221()1x f x e-==,得2210x -=,即22cos ()102πθ+-=,所以c o s 2()c o s (2)c o s 202πθπθθ+=+=-=,所以2,2k k Zπθπ=+∈,即,24k k Z ππθ=+∈,选 C ．12．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）设曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ,则函数2()y x g x =的部分图象可以为.【答案】C 'cos y x =,即()cos g x x =,所以22()cos yx g x x x ==,为偶函数,图象关于y 轴对称,所以排除A, B ．当2cos 0y x x ==,得0x =或,2x k k Z ππ=+∈,即函数过原点,所以选C ．13．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）在△ABC 中,内角A ．B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且222222c a b ab =++,则△ABC 是（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】A 【解析】由222222c a b ab =++得,22212a b c ab +-=-,所以222112cos 0224ab a b c C ab ab -+-===-<,所以090180C << ,即三角形为钝角三角形,选（ ）A ．14．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）函数2cos ()4y x π=+的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >,所得图象关于y 轴对称,则a 的最小值为 （ ）A ．πB ．34πC ．2πD ．4π【答案】D 21cos(2)1sin 2112cos ()sin 242222x x y x x ππ++-=+===-,函数向右平移a 个单位得到函数为1111sin 2()sin(22)2222y x a x a =--=--,要使函数的图象关于y 轴对称,则有2,2a k k Z ππ-=+∈,即,42k a k Z ππ=--∈,所以当1k =-时,得a 的最下值为4π,选 D ．15．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0,2A πϕ><)的图象如图所示,为了得到()sin 2g x x =的图象,则只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移12π个长度单位【答案】A【解析】由图象可知1A =,741234T πππ=-=,即周期2T ππω==,所以2ω=,所以函数为()()sin 2f x x ϕ=+.又77()sin(2)11212f ππϕ=⨯+=-,即sin()16πϕ+=,所以2,62k k Z ππϕπ+=+∈,即2,3k k Z πϕπ=+∈,因为2πϕ<,所以当0k =时,3πϕ=,所以()sin(2)3f x x π=+.()sin 2sin[2()]63g x x x ππ==-+,所以只需将()f x 的图象向右平移6π,即可得到()sin 2g x x =的图象,所以选（ ）A ．16．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）将函数 ()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位后,所得的图象对应的解析式为（ ）A ．y =sin 2xB ．y =cos 2xC ．y =2sin(2)3x π+D ．y =sin(2)6x π-【答案】D【 解析】将函数 ()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位得到()sin[2()]sin(2)666f x x x πππ=-+=-,选D ．17．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知ABC ∆中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC ∆的面积为S,且()222,tan S a b c C =+-则等于（ ）A ．34B ．43C ．43-D ．34-【答案】 C 由()222S a b c =+-得22222S a b ab c =++-,即22212sin 22ab C a b ab c ⨯=++-,所以22si n 2a b C a b a bc-=+-,又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab C C ab ab +--===-,所以s i nc o s 12C C +=,即22cos sin cos 222C C C =,所以tan 22C =,即222tan2242tan 1231tan2C C C ⨯===---,选 C ．18．（山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学（理））要得到函数)23sin(-=x y 的图象,只要将函数x y 3sin =的图象 （ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移32个单位 D ．向右平移32个单位 【答案】D【 解析】因为2sin(32)sin 3()3y x x =-=-,所以只需将函数x y 3sin =的图象向右平移32个单位,即可得到)23sin(-=x y 的图象,选 D ．19．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）函数212sin ()4y x π=--是 （ ）A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为2π的奇函数【答案】B【解析】212sin ()cos 2()cos(2)sin 2442y x x x x πππ=--=-=-=,所以周期222T πππω===,所以函数为奇函数,所以选 B ．20．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）已知函数()sin()(0)6f x x ωω=+π＞的最小正周期为4π,则 （ ）A ．函数()f x 的图象关于点(,03π)对称B ．函数()f x 的图象关于直线3x =π对称 C ．函数()f x 的图象向右平移3π个单位后,图象关于原点对称 D ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递增【答案】C 因为函数的周期24T ππω==,所以12ω=,所以1()sin()26f x x π=+.当3x π=时,1()sin()sin 32363f ππππ=⨯+==,所以A ,B 错误.将函数()f x 的图象向右平移3π个单位后得到11()sin[()]sin()2362f x x x ππ=-+=,此时为奇函数,所以选 C ．21．（山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学（理））已知 ,54cos ,23,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈αππα则)4tan(απ-等于（ ）A ．7B ．71C ．71-D ．7-【答案】B【 解析】因为 ,54cos ,23,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈αππα所以3sin 5α=-,3tan 4α=.所以3tantan 1144tan()3471tan tan 144παπαπα---===++,选 B ．22．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）已知,135)4sin(-=+πx 则x 2sin 的值等于 （ ）A ．169120B ．169119C ．169120-D ．119169-【答案】D【解析】因为,135)4sin(-=+πx 所以5cos )13x x +=-,两边平方得125(1sin 2)2169x +=,解得119sin 2169x =-,选 D ．23．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）函数f (x )A sin(x )ωϕ=+(其中A>0,2||πϕ<)的部分图象如图所示,为了得到2g(x )cos x =的图象,则只要将f (x )的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度【答案】A 由图象可知1A =,741234T πππ=-=,所以T π=.又2T ππω==,所以2ω=,即()sin(2)f x x ϕ=+.又777()sin(2)sin()112126f πππϕϕ=⨯+=+=-,所以732,62k k Z ππϕπ+=+∈,即2,3k k Z πϕπ=+∈,所以3πϕ=,即()sin(2)3f x x π=+.因为()cos 2sin(2)sin[2()]2123g x x x x πππ==+=++,所以直线将()f x 向左平移12π个单位长度即可得到()g x 的图象,选 （ ）A ．24．（【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）现有四个函数:①y x sin x = ②y x cos x = ③y x |cos x|= ④2xy x = 的图象(部分)如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．④①②③B ．①④③②C ．①④②③D ．③④②①【答案】C【解析】①为偶函数,②为奇函数,③为奇函数,且当0x >时0y >,④为非奇非偶函数.所以对应的顺序为①④②③,选 C ．25．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）一等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么顶角的余弦值为 （ ）A ．518B ．34 C D ．78【答案】D【解析】设底边长为x ,则两腰长为2x ,则顶角的余弦值222(2)(2)7cos 2228x x x x x θ+-==⨯⨯.选D ．26．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）函数x xy sin 3+=的图象大致是【答案】C【 解析】函数()sin 3xy f x x ==+为奇函数,所以图象关于原点对称,排除 B ．当x →+∞时27．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）在,2ABC AB ∆∠= 中,A=60,且ABC ∆,则BC 的长为 （ ）A B ．3C D ．7【答案】A11sin 6022222S AB AC AC =⨯⋅=⨯⨯=,所以1AC =,所以2222c o s 60B C A B A C A B A C =+-⋅=,,所以BC =,选（ ）A ．28．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知53)4sin(=+x π,则x 2sin 的值为 （ ）A ．2524-B ．2524 C ．257-D ．257 【答案】C【 解析】27sin 2sin[2()]cos 2()[12sin ()]424425x x x x ππππ=+-=-+=--+=-,选C ．29．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）若函数f(x)=2sin )0(>ωωx 在区间]4,3[ππ-上单调递增,则ω的最大值等于（ ）A ．32B ．23 C ．2 D ．3 【答案】B 因为函数在[,]44T T-上递增,所以要使函数f(x)=2sin )0(>ωωx 在区间]4,3[ππ-上单调递增,则有34T π-≥-,即43T π≥,所以243T ππω=≥,解得32ω≤,所以ω的最大值等于23,选 B ．30．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）若,(,),tan cot ,2παβπαβ∈<且那么必有（ ）A ．2παβ+<B ．32αβπ+<C ．αβ>D ．αβ<【答案】B【解析】因为3cot =tan =tan =tan 222πππββπββ-+--（）（）（）,因为2πβπ<<,所以2πβπ->->-,322ππβπ<-<,而函数tan y x =在(,)2x ππ∈上单调递增,所以由tan cot αβ<,即3tan tan 2παβ<-（）可得32παβ<-,即32παβ+<,选 B ． 31．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A>0,2πϕ＜)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x 的图象,则只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移3π个长度单位【答案】A【解析】由图象可知71,41234T A πππ==-=,即T π=,又2T ππω==,所以2ω=,所以()sin(2)f x x ϕ=+,由77()sin(2)11212f ππϕ=⨯+=-,得7in()16πϕ+=-,即73262k ππϕπ+=+,即23k πϕπ=+,因为2πϕ<,所以3πϕ=,所以()sin(2)3f x x π=+.因为()sin 2sin[2()]63g x x x ππ==-+,所以只需将()f x 的图象向右平移6π个长度单位,即可得到()sin 2g x x =的图象,所以选 （ ）A ．32．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）右图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5[,]66ππ-上的图象.为了得到这个函数的图象,只需将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）A ．向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 B ．向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变C ．向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 D ．向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变【答案】A由图象知1A =,5()66T πππ=--=,2T ππω==,所以2ω=.所以()sin(2)y f x x ϕ==+.由2()06πϕ⨯-+=,得3πϕ=,所以()sin(2)3y f x x π==+.所以为了得到这个函数的图象,只需将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,选 （ ）A ．33．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理）函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是【答案】A【解析】函数x x y sin =为偶函数,所以图象关于y 对称,所以排除D ．当2x π=时,02y π=>,排除 B ．当34x π=时,3sin44422y πππππ===<,排除C,选 （ ）A ．34．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（ ）A ．）要得到函数)23sin(-=x y 的图象,只要将函数x y 3sin =的图象（ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移32个单位 D ．向右平移32个单位 【答案】D【解析】因为2sin(32)sin 3()3y x x =-=-,所以只需将函数x y 3sin =的图象向右平移32个单位,即可得到)23sin(-=x y 的图象,选 D ．35．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）函数()sin(2),(||)2f x x πϕϕ=+<向左平移6π个单位后是奇函数,则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 （ ）A ．B ．12-C ．12D 【答案】A 函数()sin(2),(||)2f x x πϕϕ=+<向左平移6π个单位后得到函数为()sin[2()]sin(2)663f x x x πππϕϕ+=++=++,因为此时函数为奇函数,所以,3k k Z πϕπ+=∈,所以,3k k Z πϕπ=-+∈.因为||2πϕ<,所以当0k =时,3πϕ=-,所以()sin(2)3f x x π=-.当02x π≤≤,所以22333x πππ-≤-≤,即当233x ππ-=-时,函数()sin(2)3f x x π=-有最小值为sin()3π-=,选 （ ）A ．二、填空题36．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）函数sin()(0)2yx πϕϕ=+>的部分图象如图所示,设P 是图象的最高点,,A B 是图象与x轴的交点,则tan APB ∠_______________.【答案】2-函数的最大值是1,周期242T ππ==,则14TAD ==,3,1BD PD ==,则tan 1,tan 3,AD BDAPD BPD PD PD∠==∠==所以tan tan()APB APD BPD ∠=∠+∠tan tan 1321tan tan 113APD BPD APD BPD ∠+∠+===--∠⋅∠-⨯. 37．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知函数2()2sin ()21,,442f x x x x πππ⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦,则)(x f 的最小值为_________.【答案】1【解析】2()2sin ()211cos 2()2144f x x x x x ππ=+-=-+--cos(2)2sin 222sin(2)23x x x x x ππ=-+-==-,因为42x ππ≤≤,所以22633x πππ≤-≤,所以sin sin(2)sin 632x πππ≤-≤,即1sin(2)123x π≤-≤,所以12sin(2)23x π≤-≤,即1()2f x ≤≤,所以)(x f 的最小值为1.38．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）设()y f t =是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系:经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数sin()y h A x ωφ=++的图象.最能近似表示表中数据间对应关系的函数是_______.【答案】 5.0 2.5sin6y t π=+由数据可知函数的周期12T =,又212T πω==,所以6πω=.函数的最大值为7.5,最小值为2.5,即7.5, 2.5h A h A +=-=,解得 5.0, 2.5h A ==,所以函数为() 5.0 2.5sin()6y f x t πφ==++,又(3) 5.0 2.5sin(3)7.56y f πφ==+⨯+=,所以sin()cos 12πφφ+==,即2,k k Z φπ=∈,所以最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 5.0 2.5sin6y t π=+.39．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）若tan()2α-=π,则sin 2α=___________.【答案】45-由tan()2α-=π得tan =2α-,所以22222sin cos 2tan 2(2)4sin 2sin cos 1tan 1(2)5ααααααα⨯-====-+++-. 40．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）在ABC ∆中,角A,B,C 新对的边分别为a,b,c,若cos cos sin a B b A c C +=,222b c a +-=,则角B=________.【答案】60由222b c a +-=得222cos 2b c a A bc +-===,所以30A = .由正弦定理得sin cos sin cos sin sin A B B A C C +=,即sin()sin sin sin A B C C C +==,解得sin 1C =,所以90C = ,所以60B = .41．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）如图,将边长为1cm 的正方形ABCD 的四边沿BC 所在直线l 向右滚动(无滑动),当正方形滚动一周时,正方形的顶点A 所经过的路线的长度为_______cm.π+AB=1cm,所以AC=AC =滚动一周的路程是:1122244πππ⨯+⨯⨯=+. 42．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A ））已知三角形的一边长为4,所对角为60°,则另两边长之积的最大值等于. 【答案】16【解析】设另两边为,a b ,则由余弦定理可知22242cos 60a b ab =+- ,即2216a b ab =+-,又22162a b ab ab ab ab =+-≥-=,所以16ab ≤,当且仅当4a b ==时取等号,所以最大值为16.43．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）在△ABC 中,角A,B,C 的对边为a,b,c,若45a b B ===︒,则角A=_______.【答案】60或120【解析】由正弦定理可知sin sin a bA B=,2==,所以sin A =,因为a b >,所以45A > ,所以60A = 或120A = .三、解答题44．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）已知)1,sin 32cos 2(x x m +=,),(cos y x n -=,且m n ⊥.(1)将y 表示为x 的函数)(x f ,并求)(x f 的单调增区间;(2)已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长,若()32A f =,且2=a ,4b c +=,求ABC ∆的面积.【答案】解:(1)由m n ⊥ 得0=⋅n m ,22cos cos 0x x x y ∴+-=即x x x y cos sin 32cos 22+=1)62sin(212sin 32cos ++=++=πx x x∴222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈,∴,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈,即增区间为[,],36k k k Z ππππ-++∈(2)因为3)2(=A f ,所以2sin()136A π++=,sin()16A π+=, ∴Z k k A ∈+=+,226πππ因为π<<A 0,所以3π=A由余弦定理得:2222cos a b c bc A =+-,即224b c bc =+- ∴24()3b c bc =+-,因为4b c +=,所以4bc =∴1sin 2ABC S bc A == 45．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知函数2()cossin (0,0)2222x x x f x ωϕωϕωϕπωϕ+++=+><<.其图象的两个相邻对称中心的距离为2π,且过点(,1)3π(I) 函数()f x 的达式;(Ⅱ)在△ABC 中.a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,a =,ABC S ∆=角C 为锐角.且满7()2126C f π-=,求c 的值.【答案】解:(Ⅰ)[]1())1cos()2f x x x w j w j =++-+ π1sin()62x w j =+-+ Q 两个相邻对称中心的距离为π2,则πT =, 2ππ,>0,=2||w w w \=\Q , 又()f x 过点π(,1)3,2ππ1π1sin 1,sin 36222j j 骣骣鼢珑\-++=+=鼢珑鼢珑桫桫即, 1cos 2j \=,πππ10,,()sin(2)2362f x x j j <<\=\=++Q (Ⅱ)πππ117sin sin 21266226C f C C 骣骣鼢珑-=-++=+=鼢珑鼢珑桫桫, 2sin 3C \=,π0,cos 2C C <<\=Q ,又112sin 223ABC a S ab C b D ===?,6b \=,由余弦定理得2222cos 21c a b ab C =+-=,c \=46．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,sin2A=1-cos2A. (1)求角A 的值; (2)若1,4a B π==,求b 的值.【答案】47．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A ））已知函数),0(sin )6cos()6cos()(R x x x x x f ∈>--++=ωωπωπω的最小正周期为π2.(I)求函数)(x f 的对称轴方程;(II)若36)(=θf ,求)23cos(θπ+的值. 【答案】48．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）已知()s i n ,,3,c o s ,, 2.334x x m A A n f x m n f π⎛⎫⎫⎛⎫===⋅=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭且(1)求A 的值; (II)设α、()()30780,,3,3,cos 21725f f πβαπβπαβ⎡⎤⎛⎫∈+=-=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭求的值.【答案】由题意得49．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知函数22x xf (x )cos=-. (I)若[22]x ,ππ∈-,求函数f (x )的单调减区间; (Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若24233f (A ),sin B C,a π-===求△ABC 的面积.【答案】50．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知角,sin 3sin .3A B C π==(1)求tan C 的值;(2)若a =求△ABC 的面积.【答案】51．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））若函数2()22cos f x x x m =++在区间[0,]2π上的最大值为2,将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将图象上所有的点向右平移6π个单位,得到函数()g x 的图象. (1)求函数()f x 解析式;(2)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c,又8(),225g A b π-==,△ABC 的面积等于3,求边长a 的值, 【答案】52．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）已知平面向量 a=(cos ϕ,sin ϕ),b=(cosx,sinx),c=(sin ϕ,-cos ϕ),其中0<ϕ<π,且函数f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx 的图像过点(6π,1). (1)求ϕ的值;(2)先将函数y=f(x)的图像向左平移12π个单位,然后将得到函数图像上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求函数y=g(x)在[0,2π]上的最大值和最小值.【答案】53．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知ABC ∆的角A 、B 、C,所对的边分别是a 、b 、c,且3π=C ,设向量m (a,b),n (sin B,sin A),p=b-2,a-2)==（.(1)若m //n,求B;(2)若ABC m p,S ∆⊥=求边长c.【答案】证明:(1)B b A a n m sin sin ,//=∴由正弦定理得b a b a ==即22又3π=c3π=∆∴B ABC 为等边三角形由题意可知0)2()2(,0.=-+-=a b b a p m 即ab b a =+∴①由正弦定理和①②得,ab c .sin .213=23sin ,3=∴=C C π4=∴ab ②2412163)(2222=∴=-=-+=-+=∴c ab b a ab b a c54．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）设x x x x f cos sin 32cos 6)(2-=.(Ⅰ)求)(x f 的最小正周期及单调递增区间;(Ⅱ)将函数)(x f 的图象向右平移3π个单位,得)(x g y =的图象,求xx g x F 323)()(-=在4π=x 处的切线方程.【答案】解:(Ⅰ)(1cos 2)()62)326x f x x x π+==++,故f (x )的最小正周期π=T , 由ππππk x k 2622≤+≤+-得f (x )的单调递增区间为()Z k k k ∈--]12,127[ππππ (Ⅱ)由题意:())]32336g x x x ππ=-++=+, xxxx g x F 2sin 323)()(=-=, 2'2sin 2cos 2)(x xx x x F -=,因此切线斜率2'16)4(ππ-==F k ,切点坐标为)4,4(ππ, 故所求切线方程为)4(1642πππ--=-x y ,即08162=-+ππy x55．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知函数()()21cos cos 02f x x x x ωωωω=+-> ,其最小正周期为.2π(I)求()f x 的表达式;(II)将函数()f x 的图象向右平移8π个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象,若关于x 的方程()0g x k +=,在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解,求实数k 的取值范围.【答案】解:(I)21()cos cos 2f x x x x ωωω=⋅+-cos2112sin(2)2226x x x ωπωω+=+-=+ 由题意知)(x f 的最小正周期2T π=,222T πωπωπ===所以2=ω 所以()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭(Ⅱ)将()f x 的图象向右平移个8π个单位后,得到)34sin(π-=x y 的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到)32sin(π-=x y 的图象.所以)32sin()(π-=x x g因为02x π≤≤,所以22333x πππ-≤-≤.()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解,即函数()y g x =与y k =-在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知k ≤-<或1k -=所以22k -<≤或1k =-. 56．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知4A =π,sin()sin()44b Cc B a ---=ππ. (Ⅰ)求B 和C ;[来源:学科网](Ⅱ)若a =求△ABC 的面积.【答案】解:(Ⅰ)由sin()sin(),44ππ---=C b c B a 用正弦定理得 sin sin()sin sin()sin .44ππ---=C C B B A∴sin )sin )-=C C C B B B 即sin cos cos sin 1,-=C C B B ∴sin() 1.-=C B ∵30,4＜＜π，C B ∴33,44π＜＜π--C B ∴2π-=C B . 又4A =π,∴34π+=C B , 解得5,.88ππ==C B(Ⅱ)由(Ⅰ)5,88ππ==C B ,由正弦定理,得sin 54sin .sin 8a B b A ===π ∴△ABC的面积115sin 4sin sin 2288ππ==⨯C S ab5sin sin 8888==ππππ2.4==π57．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ,且sin sin sin sin a A b B c C B += (I)求角C;(II)cos 4A B π⎛⎫-+⎪⎝⎭的最大值. 【答案】58．（【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）在△ABC 中,已知A=4π,cos B =.(I)求cosC 的值; (Ⅱ)若为AB 的中点,求CD 的长.【答案】解:(Ⅰ)552cos =B 且(0,180)B ∈,∴55cos 1sin 2=-=B B )43cos()cos(cos B B A C -=--=ππ1010552255222sin 43sin cos 43cos-=⋅+⋅-=+=B B ππ (Ⅱ)由(Ⅰ)可得10103)1010(1cos 1sin 22=--=-=C C由正弦定理得sin sin =BCABA C,即101032252AB =,解得6=AB在∆BCD 中,55252323)52(222⨯⨯⨯-+=CD 5=,所以5=CD 59．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知函数()sin f x x ω= (0)ω>在区间[0,]3π上单调递增,在区间2[,]33ππ上单调递减;如图,四边形OACB 中,a ,b ,c 为ABC △的内角A B C ，，的对边,且满足ACB AC B cos cos cos 34sin sin sin --=+ω. (Ⅰ)证明:a c b 2=+;(Ⅱ)若c b =,设θ=∠AOB ,(0)θπ<<,22OA OB ==,求四边形OACB 面积的最大值.【答案】解:(Ⅰ)由题意知:243ππω=,解得:32ω=,ACB AC B cos cos -cos -2sin sin sin =+ A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴A C AB A sin 2)(sin )(sin =+++∴a cb A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴(Ⅱ)因为2b c a b c +==，,所以a b c ==,所以ABC △为等边三角形21sin 2OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+22sin -2cos )OA OB OA OB θθ=++⋅435cos 3-sin +=θθ2sin (-)3πθ=(0)θπ∈ ，,2--333πππθ∴∈(，),当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S 的最大值为2+60．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）在ABC ∆中,角,,A B C 所对应的边分别为c b a ,,,,A B 为锐角且B A <,sin A =3sin 25B =.(Ⅰ)求角C 的值;(Ⅱ)若1b c +=,求c b a ,,的值.【答案】解:(Ⅰ)∵A 为锐角,sinA =∴cos A ==∵B A <,sin A =<,∴45B <∵3sin 25B =,∴4cos 25B ==∴cosB ==sin B =cos cos()cos cos sin sinC A B A B A B =-+=-+==∴135C =(Ⅱ)由正弦定理sin sin sin a b ck A B C===∴b c k +=+,解得k =∴1,a b c ===61．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）已知向量,cos ),(sin ,cos ),4444x x x x ==m n 函数()f x =⋅m n . (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间;(Ⅱ)在锐角ABC 中,,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且满足1cos ,2a C c b +=求(2)f B 的取值范围.【答案】62．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 且满足()2cos cos .b c A a C -=(1)求角A 的大小;(2)若2,b c ==,求||AB AC + .【答案】解:(1)由正弦定理可得:2sin cos sin cos cos sin ,B A C A C A =+2sin cos sin()sin B A A C B ∴=+=1sin 0,cos .2B A ≠∴= .3A π∴= 222(2)2cos AB AC AB AC AB AC A +=++7=+AB AC ∴+= 63．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）已知函数()cos()cos()sin cos 44f x x x x x ππ=+-+.(I)求()f x 的最小正周期和最大值;(Ⅱ)在给出的坐标系中画出函数()y f x =在[]0,π上的图象,并说明()y f x =的图象 是由sin 2y x =的图象怎样变换得到的.【答案】64．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）设函数().,(2cos 1),(cos sin 2),f x a b a x b x x x R ===∈ 其中向量(1)求函数()f x 的单调减区间;(2)若[,0]4x π∈-,求函数()f x 的值域;【答案】65．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知函数())sin()()2f x x x ππωωω=---＞0的图像上两相邻最高点的坐标分别为))4,2,233ππ⎛⎛ ⎝⎝和 (1)求ω的值;(2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,且()2f A =求2b c a-的取值范围. 【答案】。
2011-2012学年第二学期高数C(二)A卷
安徽大学2011—2012学年第二学期《高等数学C(二)》考试试卷（A 卷）院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------（闭卷 时间120分钟）考场登记表序号__________题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分阅卷人得分 一、填空题（每小题2分，共10分）1．设A 为矩阵，且||33×1A =，把A 按列分块为123(, , )A ααα=，那么行列式3123|, 4, 2|αααα−−==⎜⎜⎟⎝⎠A ___________．2．若矩阵，123045002A ⎛⎞⎜⎟⎟∗为其伴随矩阵，则1()A ∗−=____________．3．若向量组，1(1, 3, 6, 2)T α=2(2, 1, 2, 1)T α=−，线性相关，3(1, 1, , 2)T a α=−−则___________． a =4．若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 的取值范围是___________．5. 如果n 阶矩阵A 满足()()r A E r A E n ++−=，且A E ≠，其中E 为阶单位矩阵，n那么矩阵A 必有一个特征值为___________．得分 二、选择题（每小题2分，共10分）6．下列条件中，哪个不能．．作为n 阶实矩阵A 可逆的充要条件 ( )A ．A 的特征值全为非负实数B ．A 可以表示为一些初等矩阵的乘积C ．A 的列向量组线性无关D ．当0x ≠时，0Ax ≠，其中12(,,,)T n x x x x ="7．设向量组12,,,s αα"α线性无关，则下列说法错误．．的是 ( ) A ．12,,,s αα"α都不是零向量B ．12,,,s αα"α中至少有一个向量可由其余向量线性表示C ．12,,,s αα"α中任意两个向量都不成比例D ．12,,,s αα"α中任一部分向量组都线性无关8．设A 是矩阵，m n ×B 是n m ×矩阵，对线性方程组()AB x 0=，有 ( ) A ．时，方程组仅有零解 n m >B ．时，方程组必有非零解 n m >C ．时，方程组仅有零解 m n >D ．时，方程组必有非零解m n >9．如果两个n 阶矩阵A 与B 相似，那么下列结论一定正确的是 ( ) A ．A 与B 都相似于同一个对角矩阵 B ．A 与B 的秩可能不相等 C ．A 与B 有相同的特征向量 D ．A 与B 有相同的行列式10．若A 是矩阵，，，则43×()2r A =102020103B ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠()r AB = ( ) A ． B ．1 C ． D ． 023三、计算题（每小题10分，共60分）得分11．计算n 阶行列式12341110000022000003300000011n n n n−−−−−−"""""""" ．12．设矩阵，求满足方程101210325A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟−−⎝⎠⎟X A AX −=的矩阵X ．答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------13． 求向量组，，，，的秩和一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示． 1(1,1,2,4)T α=−2(0,3,1,2)T α=3(3,0,7,14)T α=4(1,2,2,0)T α=−−5(2,1,5,10)T α=14．求齐次线性方程组的基础解系．123412345023x x x x x x x x +−−=⎧⎨−++=⎩015．设1α，2α，3α是四元非齐次线性方程组Ax b =的三个解向量，且()3r A =，若，，求方程组1(1, 1, 1, 1)T α=23(2, 3, 4, 5)T αα+=Ax b =的通解．16．已知是矩阵111ξ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠212512A a b −⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟3⎟−−⎝⎠的一个特征向量，（1）求参数a ，b 及特征向量ξ所对应的特征值．答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------（2）问A 能否相似于对角矩阵？并说明理由．四、分析计算题（每小题12分，共12分） 得分17．已知二次型22212312312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =−+−+++的秩为2． （1） 求a 的值．（2） 利用正交变换求出f 的标准形，并写出相应的正交矩阵Q ．得分五、证明题（每小题8分，共8分）18．设A ，B 均为n 阶方阵，（1）若，证明：0AB =()()r A r B n +≤．（2）若，且2A =A E 为阶单位矩阵，证明：n ()()r A r A E n +−=．。
山东省2014年普通高等教育专升本统一考试高等数学真题+答案
山东省 2014 年专升本真题试卷高等数学(一)一、单项选择题1.函数y =√x 2−x −6−arcsin 2x−39的定义域为（ ）A. (−∞,−2]∪[3,+∞)B.[−3,6]C.[−2,3]D. [−3,−2]∪[3,6]2.下列各组中，两个函数为统一函数的组是（ ）A.f (x )=lg x +lg (x +1)，g (x )=lg [x (x +1)]B.y =f(x)，g (x )=f(√x 2)C.f (x )=|1−x |，g (x )={x,x ≥12−x,x <1D.y =√9−x 2|x−5|−5，g (x )=√9−x 2x3.函数y =|xcosx |是（ ）A.有界函数B.偶函数C.单调函数D.周期函数4.直线x −1=y−5−2=z +8与直线{x −y =62y +z =3的夹角为（ ） A.π6 B. π4 C. π3 D. π25.下列结论正确的是（ ）A.若级数∑a n 2∞n=1，∑b n 2∞n=1均收敛，则级数∑(a n +b n )2∞n=1收敛B.若级数∑|a n b n |∞n=1均收敛，则级数∑a n 2∞n=1，∑b n 2∞n=1均收敛C.若级数 ∑a n ∞n=1发散，则a n ≥1n 收敛D.若级数∑a n ∞n=1收敛，a n ≥b n ，则级数∑b n ∞n=1均收敛二、填空题6.函数y =[x ]=n ，n ≤x ≤n +1，n =0，±1，±2⋯的值域为_________7.设f (1x )=x x 2+1则f (x )=8.lim x→∞sinx x =___________9.曲线y =ln (1+e x )的渐近线为______________ 10.函数y =x tanx 的间断点为_________三、计算题11.设函数f (x )={−1,|x |>11,|x |≤1，求f [f (x )]12.求lim x→∞(√1n +√2n +⋯+√2012n)13. lim x→∞(√n +√n −√n −√n)14.求limx→∞5x 2−32x+1sin 2x15.若f (x )={x 2+1,|x |≤c 10|x |, |x |>c 在定义域上连续，试求常数c .16.设f (x )=x(x +1)(x +2)⋯(x +2012)，求f ′(0)17.设{x =2(t −sint)y =3(1−cost)，求d 2y dx 218.设∫xf (x )dx =arctanx +C ，求∫1f (x )dx .19.若u =ln (x 2+y 2)，求ð2u ðxðy20.求∬x y ln x dxdy [1,2]×[0,1]四、应用和证明题21.求lim x→∞(1n 2+n−1+2n 2+n−2+⋯+n n 2+n−n )22.在曲线x 2a 2+y 2b 2=1(a >0.b >0,x >0,y >0)上求一点，使得曲线在该点处的切线与两坐标所围成的三角形面积最小。
2014年山东省高考理科数学试卷及答案【word版】
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a（A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+ 答案：D2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+， (C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是(A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 答案：A5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是 (A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案：D6.直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A ）22（B ）24（C ）2（D ）47.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为舒张压/kPa（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18 答案：C8.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g xf =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）），（210（B ）），（121（C ）），（21（D ）），（∞+2答案：B9.已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）210.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-by a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 （A ）02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =± 答案：A二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。
山东省2014届高三数学备考2013届名校解析试题精选分类汇编10排列、组合及二项式定理
（）
A．360
B． 60
C． 54
D． 18
【答案】 D
【 解析】 5 张电影票分 3 份 , 两张连续 , 则有 1-23-45;12-3-45;12-34-5 三种分发 , 然后发给三个人 ,
有 A33 6 种 , 所以不同的分法有 6 3 18 . [
14．（山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学（理） 和为 2, 则该展开式中常数项为
B． 20
C． -160
D． 160
【答案】C 因为 a 0 (cos x sin x)dx (sin x cos x) 0 2 , 所以二项式为 ( x2
所 以 展 开 式 的 通 项 公 式为 Tk 1
C
k 6
(
x
2
)
6
k(
2 )k
x
C
k 6
x12
3k(
2)k , 由 12
3k
a )6 ( x2 2)6 ,
则 a+b=
A．36
【答案】 D
二
项
B． 46 式
C． 34 的
D． 44
展
开
（）
式
为
1
C
1 4
(
3)1
C42( 3)2
C43 ( 3)3
( 3)4
1 4 3 18 12 3
9
28 16 3
,
所以
a 28,b 16 , a b 28 16 44 , 选 D ．
4 ．（山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学）二项式
x (
1 )8 的展开式中常数项是
（
）
2 3x
山东大学网络教育期末考试试题及答案-高等数学(2)模拟试卷
《高等数学》模拟题（2）年级_____________ 姓名_______________ 学号________________ 成绩__________第一题 名词解释1. 邻域;2. 函数的单调性：3. 导数：4. 最大值与最小值定理：5. 定积分的几何意义：第二题 选择题1、如果)(x f 在],[b a 连续，在),(b a 可导，c为介于b a ,之间的任一点，那么在),(b a （ ）找到两点12,x x ，使)()()()(1212c f x x x f x f '-=-成立.（A ）必能； （B ）可能；（C ）不能； （D ）无法确定能 .2、下列结论正确的是（ ）（A ） 初等函数必存在原函数；（B ） 每个不定积分都可以表示为初等函数； （C ） 初等函数的原函数必定是初等函数； （D ）C B A ,,都不对 .3、定积分⎰1dx e x的值是（）（A ）e ； （B ）21；（C ）21e； （D ）2 .4、由球面9222=++z y x 与旋转锥面2228z y x =+之间包含z 轴的部分的体积=V ( )；（A ）π144； （B ）π36； （C ）π72； （D ）π24 . 5、设平面方程为0=++D Cz Bx ，且0,,≠D C B ， 则 平面（ ）.(A) 轴平行于x ； (B) 轴平行于y ；(C) 轴经过y ； (D) 轴垂直于y .6、函数),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(),,(0000y x f y x f y x 存在是),(y x f 在该点可微的( ).（A ）充分条件,但不是必要条件； （B ）必要条件,但不是充分条件；（C ）充分必要条件； （D ）既不是充分条件,也不是必要条件. 7、设Ω是由三个坐标面与平面z y x -+2=1所围成的 空间区域,则⎰⎰⎰Ωxdxdydz=( ).(A) 481 ； (B) 481-；(C) 241 ； (D) 241- .8、设),(,),(y x Q y x P 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数,则在D 内与⎰+LQdy Pdx 路径无关的条件 D y x yP xQ ∈∂∂=∂∂),(,是( ).(A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件.9、部分和数列{}ns有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的 ( )(A)充分条件； (B)必要条件；(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 . 10、方程x y sin ='''的通解是( ).(A)322121cos C x C x C x y +++=；(B)322121sin C x C x C x y +++=；(C)1cos C x y +=；(D)x y2sin 2=.第三题).(.1,0,2)1()(x f x x x xx f x f 求其中设≠≠=-+第四题.,1111ln 411arctan 21222y x x x y '-+++++=求设 第五题1. .)1(51lim 520x x x x +-+→求极限第六题.cos 1)sin 1(⎰++dx xx e x 求 第七题.cos sin sin 2⎰+πdx xx x求《高等数学》模拟试卷（2）参考答案第四题2. .,1111ln 411arctan 21222y x x x y '-+++++=求设第五题1. .)1(51lim 520x x x x +-+→求极限第六题 2..cos 1)sin 1(⎰++dx xx e x 求解,12x u +=设,11ln 41arctan 21-++=u u u y 则)1111(41)1(212-++++='u u u y uΘ411u -=,2142x x --=)1(2'+='x u x ,12xx +=.1)2(123x x x y x ++-='∴解.2的次数为分子关于x Θ515)51(51x x +=+∴)()5()151(51!21)5(51122x o x x +⋅-⋅++=)(2122x o x x +-+=)1()](21[lim2220x x o x x x x +-+-+=→原式.21-=第七题.cos sin sin 2⎰+πdx xx x求解⎰+=dx x xx e x 2cos 2)2cos 2sin 21(2原式⎰+=dx xe x e x x)2tan 2cos 21(2]2tan )2(tan [(⎰+=x x de xx d e ⎰=)2tan (xe d x .2tan C xe x +=解,cos sin sin 20⎰+=πdx xx xI 由,cos sin cos 2⎰+=πdx xx xJ 设,220ππ==+⎰dx J I 则⎰+-=-2cos sin cos sin πdxxx xx J I ⎰++-=2cos sin )sin (cos πxx x x d .0=,22π=I 故得.4π=I 即。
数学_2013-2014学年山东省某校高三(下)开学数学试卷(理科)_(含答案)
2013-2014学年山东省某校高三（下）开学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．1. 设全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，∁U (A ∪B)={1, 3}，∁U A ∩B ={2, 4}，则集合B =( )A {1, 2, 3, 4}B {1, 2, 3, 4, 5}C {5, 6, 7, 8, 9}D {7, 8, 9} 2. 若复数z =a+3i1+2i (a ∈R)实部与虚部相等，则a 的值等于（ ） A −1 B 3 C −9 D 93. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A 1B 13 C 12 D 324. 设向量a →=(1, sinθ)，b →=(3sinθ, 1)，且a → // b →，则cos2θ等于（ ） A −13B −23C 23D 135. 下列推理是归纳推理的是（ ）A A ，B 为定点，动点P 满足|PA|+|PB|＝2a >|AB|，得P 的轨迹为椭圆 B 由a 1＝1，a n ＝3n −1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C 由圆x 2+y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的面积S ＝πab D 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇6. 将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为（ ）A 6种B 12种C 18种D 24种7. 已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y =sin(ωx +φ)(ω>0，0<φ<π2)一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A(−π6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ω=2，φ=π6B ω=2，φ=π3C ω=12，φ=π3D ω=12，φ=π68. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，满足f(−32+x)=f(32+x)．当x ∈(0,32)时，f(x)=ln(x 2−x +1)，则函数f(x)在区间[0, 6]上的零点个数是（ ） A 3 B 5 C 7 D 99. 下列命题正确的个数是（ ）①命题“∃x 0∈R ，x 02+1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≤3x”；②函数f(x)=cos 2ax −sin 2ax 的最小正周期为π”是“a =1”的必要不充分条件；③x 2+2x ≥ax 在x ∈[1, 2]上恒成立⇔(x 2+2x)min ≥(ax)min 在x ∈[1, 2]上恒成立； ④“平面向量a →与b →的夹角是钝角”的充分必要条件是“a →⋅b →<0”．A 1B 2C 3D 410. 定义域为R 的函数f(x)满足f(x +2)=2f(x)，当x ∈[0, 2)时，f(x)={x 2−x ，x ∈[0,1)−(12)|x−32|，x ∈[1,2)则当x ∈[−4, −2)时，函数f(x)≥t 24−t +12恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A 2≤t ≤3B 1≤t ≤3C 1≤t ≤4D 2≤t ≤411. 已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O 的两点A ，B ，若(AO →+AF →)⋅OF →=0，则双曲线的离心率e 为（ ） A 2 B 3 C √2 D √312. 定义在R 上的函数f(x)满足(x −1)f′(x)≤0，且y =f(x +1)为偶函数，当|x 1−1|<|x 2−1|时，有（ ）A f(2−x 1)≥f(2−x 2)B f(2−x 1)=f(2−x 2)C f(2−x 1)<f(2−x 2)D f(2−x 1)≤f(2−x 2)二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13. 若存在实数x 使|x −a|+|x −1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．14. 已知a =∫(10e x +2x)dx （e 为自然对数的底数），函数f(x)={lnx,x >02−x ，x ≤0，则f(a)+f(log 216)=________．15. ( a +x )(1+√x) 5的展开式中 x 2项的系数是15，则展开式的所有项系数的和是________．16. 已知点A(3, √3)，O 为坐标原点，点P{x, y}满足{√3x −y ≤0x −√3y +2≥0y ≥0，则Z =|OA →|˙的最大值是________．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤．17. 已知向量m →=(√3sin x4, 1)，n →=(cos x4, cos 2x4)．记f(x)=m →⋅n →．（1）若f(x)=32，求cos(2π3−x)的值；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a −c)cosB =bcosC ，若f(A)=1+√32，试判断△ABC 的形状．18. 计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为：45、34、23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为：12、23、56，所有考试是否合格相互之间没有影响．（1）假设甲、乙、丙3人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得“合格证书”的可能性大；（2）求这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得“合格证书”的概率；（3）用X 表示甲、乙、丙3人在理论考试中合格的人数，求X 的分布列和数学期望EX ． 19. 在正△ABC 中，E ，F ，P 分别是AB ，AC ，BC 边上的点，满足AEEB =CFFA =CPPB =12，将△AEF 沿EF 折起到△A 1EF 的位置，使二面角A 1−EF −B 成直二面角，连接A 1B ，A 1P ． （1）求证：A 1E ⊥平面BEP ；（2）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小．20. 已知数列{a n }是等差数列，c n =a n 2−a n+12(n∈N ∗) （1）判断数列{c n }是否是等差数列，并说明理由；（2）如果a 1+a 3+...+a 25=130，a 2+a 4+...+a 26=143−13k （k 为常数），试写出数列{c n }的通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列{c n }得前n 项和为S n ，问是否存在这样的实数k ，使S n 当且仅当n =12时取得最大值．若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．21. 如图，椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，x轴被曲线C2：y=x2−b截得的线段长等于C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于点D、E．（1）求C1、C2的方程；（2）求证：MA⊥MB．（3）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若S1S2=λ，求λ的取值范围．22. 已知函数f(x)=ln ex2−f′（1）⋅x，g(x)=3x2−2ax−f(x)（其中a∈R）．（1）求f(x)的单调区间；（2）若函数g(x)在区间[2, +∞)上为增函数，求a的取值范围；（3）设函数ℎ(x)=x2−mx+4，当a=1时，若存在x1∈(0, 1]，对任意的x2∈[1, 2]，总有g(x1)≥ℎ(x2)成立，求实数m的取值范围．2013-2014学年山东省某校高三（下）开学数学试卷（理科）答案1. C2. A3. B4. D5. B6. A7. B8. D9. B10. B11. C12. A13. [−2, 4]14. 715. 6416. √317. 解：（1）∵ 向量m→=(√3sin x4,1)，n→=(cos x4,cos2x4)．∴ f(x)=m →⋅n →=√3sin x 4cos x 4+cos 2x 4=sin(x 2+π6)+12∵ f(x)=32，∴ sin(x 2+π6)+12=32， ∴ sin(x2+π6)=1∴ cos(x +π3)=1−2sin 2(x 2+π6)=−1 ∴ cos(2π3−x)=−cos(π3+x)=1（2）∵ (2a −c)cosB =bcosC ，∴ 2sinAcosB =sinCcosB +sinBcosC =sin(B +C)=sinA ∵ sinA >0，∴ cosB =12∵ B ∈(0, π)，∴ B =π3 ∵ f(A)=1+√32，∴ sin(A2+π6)=√32 ∴ A2+π6=π3或A2+π6=2π3∴ A =π3或A =π（舍去） ∴ C =π3∴ △ABC 为正三角形．18. 解：（1）记“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则P(A)=45×12=25=3690，P(B)=34×23=12=4590，P(C)=23×56=59=5090P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性大．__________ （2）设3人考试后恰有2人获得“合格证书”为事件D ， ∴ P(D)=P(A,B,C ¯)+P(A,B ¯,C)+P(A ¯,B,C) =25×12×49+25×12×59+35×12×59=1130．__________ （3）由题意可得X =0，1，2，3．，可得P(X =0)=15×14×13=160，P(X =1)=45×14×13+15×34×13+15×14×23=960， P(X =2)=45×34×13+45×14×23+15×34×23=2660，P(X =3)=45×34×23=2460__________故X 的分布列为：∴ EX =0×160+1×960+2×2660+3×2460=13360； __________19. 解：不妨设正三角形的边长为3．（1）在图1中，取BE 的中点D ，连接DF ． ∵ AEEB =CFFA =CPPB =12，AF =AD =2，又∠A =60∘，△ADF 为正三角形．又∵ AE =ED =1， ∴ EF ⊥AD ，∴ 在图2中有A 1E ⊥EF ，BE ⊥EF ．∴ ∠A 1EB 为二面角A 1−EF −B 的平面角． ∵ 二面角A 1−EF −B 为直二面角， ∴ A 1E ⊥BE又∵ BE ∩EF =E ，∴ 即A 1E ⊥平面BEF ，即A 1E ⊥平面BEP（2）由（1）可知，A 1E ⊥平面BEP ，BE ⊥EF ，建立坐标系则E(0, 0, 0)，A 1(0, 0, 1)，B(2, 0, 0)，F(0, √3, 0)，D(1, 0, 0)，不难得出EF // DP 且EF =DP ，DE // EP 且DE =FP ． 故P 点的坐标为(1, √3, 0)，∴ A 1B →=(2,0,−1)，BP →=(−1,√3,0)，EA 1→=(0,0,1) 设平面A 1BP 的法向量n 1→=(x, y, z)， 则{BP →⋅n 1→=√3y −x =0˙∴ n 1→=(3,√3,6)． ∴ sin <n 1→，EA 1→>=|n 1→|⋅|EA 1→|˙=√32． ∴ A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小为π3．20. 解：（1）设{a n }的公差为d ，则c n+1−c n =(a n+12−a n+22)−(a n 2−a n+12)=2a n+12−(a n+1−d)2−(a n+1+d)2=−2d 2∴ 数列{c n }是以−2d 2为公差的等差数列（2）∵ a 1+a 3+...+a 25=130a 2+a 4+...+a 26=143−13k∴ 两式相减：13d =13−13k∴ d =1−k∴ 13a 1+13(13−1)2×2d =130∴ a 1=−2+12k∴ a n =a 1+(n −1)d =(1−k)n +(13k −3)∴ c n =a n 2−a n+12=(a n +a n+1)(a n −a n+1) =26k 2−32+6−(2n +1)(1−k 2)=−2(1−k)2⋅n +25k 2−30k +5 （3）因为当且仅当n =12时S n 最大 ∴ 有c 12>0，c 13<0即{−24(1−k)2+25k −30k +5>0−26(1−k)2+25k 2−30k +5<0⇒{k 2+18k −19>0k 2−22k +21>0 ⇒{k >1或k <−19k >21或k <1⇒k <−19或k >2121. 解：（1）椭圆C 1的离心率e =ca =√22，∴ a 2=2b 2又∵ x 轴被曲线C 2：y =x 2−b 截得的线段长等于C 1的短轴长． ∴ 2√b =2b ，得b =1，a 2=2，可得椭圆C 1的方程为x 22+y 2=1而抛物线C 2的方程为y =x 2−1；（2）设直线AB 方程为y =kx ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则由{y =kxy =x 2−1消去y ，得x 2−kx −1=0 ∴ x 1+x 2=k ，x 1x 2=−1，可得y 1+y 2=k(x 1+x 2)=k 2，y 1y 2=kx 1⋅kx 2=k 2x 1x 2=−k 2∵ M 坐标为(0, −1)，可得MA →=(x 1,y 1+1)，MB →=(x 2,y 2+1)∴ MA →⋅MB →=x 1x 2+(y 1+1)(y 2+1)=x 1x 2+y 1y 2+y 1+y 2+1=−1−k 2+k 2+1=0因此，MA →⊥MB →，即MA ⊥MB（3）设直线MA 方程为y =k 1x −1，直线MB 方程为y =k 2x −1，且满足k 1k 2=−1∴ {y =k 1x −1y =x 2−1，解得{x =0y =−1或{x =k 1y =k 12−1∴ A(k 1,k 12−1)，同理可得B(k 2，k 22−1) 因此，S 1=12|MA||MB|=12√1+k 12√1+k 22|k 1||k 2|=12√1+k 12√1+k 22再由{y =k 1x −1x 22+y 2=1，解得{x =0y =−1或{x =4k11+2k 12y =2k 12−11+2k 12∴ D(4k 11+2k 12,2k 12−11+2k 12)， 同理可得E(4k 21+2k 22，2k 22−11+2k 22)∴ S 2=12|MD||ME|=12√1+k 12√1+k 22|16k 1k 2|(1+2k 12)(1+2k 22)=12√1+k 12√1+k 2216(1+2k 12)(1+2k 22)S 1S 2=(1+2k 12)(1+2k 22)16=5+2(1k 12+k 12)16≥916，即λ=S 1S 2的取值范围为[916, +∞)22. 解：（1）∵ f(x)=ln ex 2−f′(1)⋅x =1+lnx −ln2−f′(1)⋅x ，∴ f′(x)=1x −f′(1)，∴ f′(1)=1−f′(1)， ∴ f′(1)=12；∴ f′(x)=1x −12(x >0)．由f′(x)>0得0<x <2；由f′(x)<0得x >2；∴ f(x)的单调增区间为(0, 2)，单调减区间为(2, +∞)． （2）∵ g(x)=32x −2a x−f(x)=32x −2a x−(1+lnx −ln2−12⋅x)=2x −lnx −2a x +ln2−1在[2, +∞)上为增函数，∴ g′(2)=2−1x |x=2+2ax 2|x=2≥0，解得a ≥−3． （3）∵ a =1，∴ g(x)=2x −lnx −2x +ln2−1，∴ g′(x)=2−1x +2x 2=2(1x −14)2+158>0，∴ g(x)=2x −lnx −2x+ln2−1在区间(0, 1]上单调递增，∴ g(x)max =g(1)=ln2−1，而“∃x 1∈(0, 1)，∀x 2∈[1, 2]，总有g(x 1)≥ℎ(x 2)成立”等价于“g(x)在(0, 1)上的最大值不小于ℎ(x)在[1, 2]上的最大值”而ℎ(x)在[1, 2]上的最大值为max{ℎ(1), ℎ(2)}， 所以有 {g(1)≥ℎ(1)g(1)≥ℎ(2)，∴ {ln2−1≥1−m +4ln2−1≥4−2m +4，解得m ≥6−ln2，所以实数m 的取值范围是[6−ln2, +∞)．。
山东省2014届高三数学 备考2013届名校解析试题精选分类汇编14 导数与积分
山东省2014届高三理科数学备考之2013届名校解析试题精选分类汇编14：导数与积分一、选择题1 ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ,已知(1)f x +是偶函数(1)'()0x f x -<. 若12x x <,且122x x +>,则1()f x 与2()f x 的大小关系是（ ）A ．12()()f x f x <B ．12()()f x f x =C ．12()()f x f x >D ．不确定【答案】C 由(1)'()0x f x -<可知,当1x >时,'()0f x <函数递减.当1x <时,'()0f x >函数递增.因为函数(1)f x +是偶函数,所以(1)(1)f x f x +=-,()(2)f x f x =-,即函数的对称轴为1x =.所以若121x x <<,则12()()f x f x >.若11x <,则必有22x >,则2121x x >->,此时由21()(2)f x f x <-,即211()(2)()f x f x f x <-=,综上12()()f x f x >,选C ．2 ．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）设235111111,,a dx b dx c dx xxx===⎰⎰⎰,则下列关系式成立的是（ ）A ．235a b c <<B ．325b a c<< C ．523c a b <<D ．253a cb <<【答案】C22111ln ln 2a dx x x ===⎰,33111ln ln 3b dx x x ===⎰,55111ln ln 5c dx x x ===⎰,所以ln 222a ==,ln 3ln 33b ==,ln 555c ==.因为6328==,6239==,所以<.105232==,102525==,<,<<所以523c a b<<,选 C ．3 ．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）设函数()()3402f x x x a a =-+<<有三个零点1x 、x 2、x 3,且123,x x x <<则下列结论正确的是 （ ）A ．11x >-B ．20x <C ．32x >D ．201x <<【答案】D∵函数()()3402f x x x a a =-+<<,∴f′(x)=3x 2﹣4.令f′(x)=0,得 x=±.∵当233x <-时,'()0f x >;在2323(,)33-上,'()0f x <;在23(,)3+∞上,'()0f x >.故函数在23(,)3-∞-)上是增函数,在2323(,)33-上是减函数,在23(,)3+∞上是增函数.故23()3f -是极大值,23()3f 是极小值.再由 f (x)的三个零点为x 1,x 2,x 3,且123,x x x <<得 x 1<﹣,﹣<x 2,x 3>.根据f(0)=a>0,且f()=a ﹣<0,得>x 2>0.∴0<x 2<1.选D ．4 ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）若()y f x =既是周期函数,又是奇函数,则其导函数'()y f x = （ ）A ．既是周期函数,又是奇函数B ．既是周期函数,又是偶函数C ．不是周期函数,但是奇函数D ．不是周期函数,但是偶函数【答案】B因为()y f x =是周期函数,则有()()f x T f x +=,两边同时求导,得'()()''()f x T x T f x ++=,即'()'()f x T f x +=,所以导函数为周期函数.因为()y f x =是奇函数,所以()()f x f x -=-,两边求导得'()()''()f x x f x --=-,即'()'()f x f x --=-,所以'()'()f x f x -=,即导函数为偶函数,选 B ．5 ．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设函数()sin cos f x x x x =+的图像在点(,())t f t 处切线的斜率为k,则函数k=g(t)的部分图像为【答案】B【解析】函数的导数为'()sin cos cos f x x x x x x =+=,即()cos k g t t t ==.则函数()g t 为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除A,C ．当02t π<<时,()0g t >,所以排除排除D,选 B ．6 ．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）由曲线1xy =,直线,3y x x ==及x 轴所围成的曲边四边形的面积为 （ ）A ．116B ．92C ．1ln 32+ D ．4ln 3-【答案】 C【解析】由1xy =得1y x =,由1y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩得1D x =,所以曲边四边形的面积为132130101111ln ln 322xdx dx x x x +=+=+⎰⎰,选 C ．7 ．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）若函数1()e (0,)axf x a b b=-＞＞0的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切,则a b +的最大值是 （ ）A ．4B ．22C ．2D ．2【答案】D 函数的导数为1'()e ax f x a b =-⋅,所以01'(0)e af a b b=-⋅=-,即在0x =处的切线斜率为a k b =-,又011(0)e f b b =-=-,所以切点为1(0,)b -,所以切线方程为1ay x b b+=-,即10ax by ++=,圆心到直线10ax by ++=的距离2211d a b ==+,即221a b +=,所以2212a b ab +=≥,即102ab <≤.又222()21a b a b ab +=+-=,所以2()21112a b ab +=+≤+=,即2a b +≤,所以a b +的最大值是2,选D ．8 ．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）函数sin e ()xy x =-π≤≤π的大致图象为【答案】D 因为函数为非奇非偶函数,所以排除A,C ．函数的导数为sin 'cos xy e x =⋅由(A)(B)(C)(D)sin 'cos 0x y e x =⋅=,得cos 0x =,此时2x π=或2x π=-.当02x π<<时,'0y >,函数递增.当2x ππ<<时,'0y <,函数递减,所以2x π=是函数的极大值,所以选D ．9 ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -,且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2(),xf x f x ''>若24a <<则（ ）A ．2(2)(3)(log )a f f f a <<B ．2(3)(log )(2)a f f a f <<C ．2(log )(3)(2)a f a f f <<D ．2(log )(2)(3)a f a f f <<【答案】C 由()f x =(4)f x -,可知函数关于2x =对称.由()2(),xf x f x ''>得(2)()0x f x '->,所以当2x >时,()0f x '>,函数递增,所以当2x <时,函数递减.当24a <<,21log 2a <<,24222a <<,即4216a <<.所以22(log )(4log )f a f a =-,所以224log 3a <-<,即224log 32a a <-<<,所以2(4log )(3)(2)a f a f f -<<,即2(log )(3)(2)a f a f f <<,选C ．10．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知偶函数)(x f 在R 上的任一取值都有导数,且'(1)1f =,(2)(2),f x f x +=-则曲线)(x f y =在5-=x 处的切线的斜率为（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-1【答案】D【 解析】由(2)(2),f x f x +=-得(4)(),f x f x +=可知函数的周期为4,又函数)(x f 为偶函数,所以(2)(2)=(2)f x f x f x +=--,即函数的对称轴为2x =,所以(5)(3)(1)f f f -==,所以函数在5-=x 处的切线的斜率'(5)'(1)1k f f =-=-=-,选D ．二、填空题11．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）10(2)x e x dx -=⎰____________________.【答案】2e -12100(2)()2x x e x dx e x e -=-=-⎰.12．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）221x dx =⎰_____________;【答案】73【 解析】22321118173333x dx x ==-=⎰.13．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）由曲线23y x =-和直线2y x =所围成的面积为 【答案】323【解析】由232y x y x⎧=-⎨=⎩得1x =或3x =-,所以曲线23y x =-和直线2y x =所围成的面积为1232133132(32)(3)33x x dx x x x ----=--=⎰. 14．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））已知2(),()(1),xf x xeg x x a ==-++若12,,x x R ∃∈使得21()()f x g x ≤成立,则实数a 的取值范围是.【答案】1a e≥-【解析】'()(1)xxxf x e xe x e =+=+,当1x >-时,'()0f x >函数递增;当1x <-时,'()0f x <函数递减,所以当1x =-时()f x 取得极小值即最小值1(1)f e-=-.函数()g x 的最大值为a ,若12,,x x R ∃∈使得21()()f x g x ≤成立,则有()g x 的最大值大于或等于()f x 的最小值,即1a e≥-.15．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））抛物线2y x =在A(l,1)处的切线与y 轴及该抛物线所围成的图形面积为. 【答案】13【解析】函数2y x =的导数为'2y x =,即切线斜率为2k =,所以切线方程为12(1)y x -=-,即21y x =-,由221y x y x=-⎧⎨=⎩,解得1x =,所以所求面积为112232100011((21))(21)()33x x dx x x dx x x x --=-+=-+=⎰⎰. 16．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）若11(2)3ln 2(1)ax dx a x+=+>⎰,则a 的值是_____________ ;【答案】2 由 22111(2)(ln )ln 13+ln2aax dx x x a a x+=+=+-=⎰,所以213ln ln2a a ⎧-=⎨=⎩,解得2a =. 17．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）已知函数()f x 的定义域为[]1,5-,部分对应值如下表,()f x 的导函数()y f x '=的图像如图所示,给出关于()f x 的下列命题:①函数()2y f x x ==在时,取极小值②函数()[]0,1f x 在是减函数,在[]1,2是增函数,③当12a <<时,函数()y f x a =-有4个零点④如果当[]1,x t ∈-时,()f x 的最大值是2,那么t 的最小值为0,其中所有正确命题序号为_________. 【答案】①③④【解析】由导数图象可知,当10x -<<或24x <<时,'()0f x >,函数递增.当02x <<或45x <<时,'()0f x <,函数递减.所以在2x =处,函数取得极小值,所以①正确,②错误.当12a <<时,由()0y f x a =-=得()f x a =.由图象可知,此时有四个交点,所以③正确.当[]1,x t ∈-时,()f x 的最大值是2,由图象可知0t ≥,所以t 的最小值为0,所以④正确.综上所有正确命题序号为①③④.18．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）已知(),103202=+⎰dx t x则常数t =_________.【答案】1 【解析】()2232003()8210xt dx x tx t +=+=+=⎰,解得1t =.19．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）给出下列命题:①函数24xy x =+在区间[1,3]上是增函数; ②函数f(x)=2x -x 2的零点有3个;③函数y= sin x(x ∈],[ππ-)图像与x 轴围成的图形的面积是S= ⎰-ππxdx sin ;④若ξ~N(1,2σ),且P(0≤ξ≤1)=0.3,则P(ξ≥2)=0.2. 其中真命题的序号是(请将所有正确命题的序号都填上): 【答案】②④①2224'(4)x y x -+=+,由2224'0(4)x y x -+=>+,解得22x -<<,即函数的增区间为(2,2)-,所以①错误.②正确.③当0x π-≤≤时,sin 0x ≤,所以函数y= sin x(x ∈],[ππ-)图像与x 轴围成的图形的面积是sin x dx ππ-⎰,所以③错误.④因为12(01)10.6(2)0.222P P ξξ-≤≤-≥===,所以④正确,所以正确的为②④.三、解答题20．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A ））函数()R a x ax nx x x f ∈--=21)(.(I)若函数)(x f 在1=x 处取得极值,求a 的值;(II)若函数)(x f 的图象在直线x y -=图象的下方,求a 的取值范围; (III)求证:2012201320132012<. 【答案】21．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设函数1()(01)1f x x x x nx=≠＞且 (1)求函数()f x 的单调区间;(2)已知1121n a nx x＞对任意(0,1)x ∈成立,求实数a 的取值范围. 【答案】22．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）设函数()2ln f x x ax x =+-.(1)若1a =,试求函数()f x 的单调区间;(2)过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线,证明:切点的横坐标为1;(3)令()()xf xg x e =,若函数()g x 在区间(0,1]上是减函数,求a 的取值范围.【答案】解: (1)1a =时, 2()(0)f x x x lnx x =+->1'()21f x x x ∴=+-(21)(1)x x x -+=()()110,,'0,,,'022x f x x f x ⎛⎫⎛⎫∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,增区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)设切点为()(),M t f t ,()1'2f x x ax x=+- 切线的斜率12k t a t=+-,又切线过原点()f t k t =()22212ln 211ln 0f t t a t at t t at t t t t =+-+-=+-∴-+=，即：1t =满足方程21ln 0t t -+=,由21,ln y x y x =-=图像可知21ln 0x x -+=有唯一解1x =,切点的横坐标为1; 或者设()21ln t t t ϕ=-+,()1'20t t tϕ=+>()()0+t ϕ∞在，递增,且()1=0ϕ,方程21ln 0t t -+=有唯一解(3)()()()''xf x f xg x e-=,若函数()g x 在区间(0,1]上是减函数, 则()()()(0,1],'0,:'x g x f x f x ∀∈≤≤即,所以()212ln 10x x x a x x-+-+-≥---(*) ()()212ln 1h x x x x a x x =-+-+-设()()()222122111'222x x x h x x a a x x x -++=---+=--+若2a ≤,则()'0,h x ≤()h x 在(]0,1递减,()()10h x h ≥=即不等式()()',(0,1],f x f x x ≤∀∈恒成立若2a >,()()232112122'20x x x x x x x ϕϕ=---∴=++> ()x ϕ在(]0,1上递增,()()12x ϕϕ≤=-()()000,1,x x aϕ∃∈=-使得()()0,1,x x x a ϕ∈>-,即()'0h x >,()(]0,1h x x 在上递增,()()10h x h ≤=这与(]0,1x ∀∈,()212ln 10x x x a x x -+-+-≥矛盾综上所述,2a ≤解法二:()()()''x f x f x g x e-=,若函数()g x 在区间(0,1]上是减函数, 则()()()(0,1],'0,:'x g x f x f x ∀∈≤≤即,所以()212ln 10x x x a x x-+-+-≥ 显然1x =,不等式成立 当()0,1x ∈时,212ln 1x x x x a x-+-≤-恒成立 设()()()22221112ln 21ln ,'11x x x x x x x x x h x h x x x -+--+--+-==-- 设()()()()()223121121ln ,'210x x x x x x x x x x x ϕϕ-+=-+--+-=-+> ()x ϕ在()0,1上递增,()()10x ϕϕ<= 所以()'0h x <()h x 在()0,1上递减,()()221112ln 111limlim 2221x x x x xx h x h x x x x →→-+-⎛⎫>==-+++= ⎪-⎝⎭所以 2a ≤23．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知函数32()f x ax bx =+在点(3,(3))f 处的切线方程为122270x y +-=,且对任意的[)0,x ∈+∞,()ln(1)f x k x '≤+恒成立. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式; (Ⅱ)求实数k 的最小值; (Ⅲ)求证:1111ln(1)223n n++++<++(*N n ∈). 【答案】解:(Ⅰ)将3x =代入直线方程得92y =-,∴92792a b +=-① 2()32,(3)6f x ax bx f ''=+=-,∴2766a b +=-②①②联立,解得11,32a b =-= ∴3211()32f x x x =-+ (Ⅱ)2()=f x x x '-+,∴2ln(1)x x k x -+≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立; 即2ln(1)0x x k x -++≥在[)0,x ∈+∞恒成立;设2()ln(1)g x x x k x =-++,(0)0g =, ∴只需证对于任意的[)0,x ∈+∞有()(0)g x g ≥[)221()21,0,11k x x k g x x x x x ++-'=-+=∈+∞++设2()21h x x x k =++-,【D 】1．)当=18(1)0k ∆--≤,即98k ≥时,()0h x ≥,∴()0g x '≥ ()g x 在[)0,+∞单调递增,∴()(0)g x g ≥【D 】2．)当=18(1)0k ∆-->,即98k <时,设12,x x 是方程2210x x k ++-=的两根且12x x < 由1212x x +=-,可知10x <,分析题意可知当20x ≤时对任意[)0,x ∈+∞有()(0)g x g ≥;∴10,1k k -≥≥,∴918k ≤<综上分析,实数k 的最小值为1(Ⅲ)令1k =,有2ln(1),x x x -+≤+即2ln(1)x x x ≤++在[)0,x ∈+∞恒成立;令1x n=,得221111ln(1)ln(1)ln n n n n n n ≤++=++-∴22222211111111(ln 2ln1)(ln 3ln 2)(ln(1)ln )2323111=1ln(1)231111ln(1)1223(1)12ln(1)2ln(1)n n n nn n n n n n n n++++≤+++++-+-+++-++++++<++++++⨯⨯-=-++<++∴原不等式得证24．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）设函数()sin xf x e x =(1)求函数()f x 单调递增区间;(2)当[0,]x π∈时,求函数()f x 的最大值和最小值. 【答案】解:(1)'()(sin cos )xf x e x x =+sin()4x x π=+'()0,sin()0.4f x x π≥∴+≥322,22,444k x k k x k ππππππππ∴≤+≤+-≤≤+即 3()2,2,44f x k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调增区间为(2)[]0,,x π∈ 3310,,44x x πππ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由（）知，是单调增区间，是单调减区间343(0)0,()0,(),4f f f e πππ===所以43max22)43(ππe f f ==,0)()0(min ===πf f f25．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）设函数1()(2)ln 2f x a x ax x=-++. (Ⅰ)当0a =时,求()f x 的极值; (Ⅱ)当0a ≠时,求()f x 的单调区间;(Ⅲ)当2a =时,对任意的正整数n ,在区间11[,6]2n n++上总有4m +个数使得1231234()()()()()()()()m m m m m f a f a f a f a f a f a f a f a +++++++<+++成立,试问:正整数m 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由 【答案】解:(I)函数()f x 的定义域为(0,)+∞ 当0a =时,1()2ln f x x x =+,∴222121()x f x x x x -'=-= 由()0f x '=得12x =. ()f x ,()f x '随x 变化如下表:由上表可知,1()()22ln 22f x f ==-极小值,没有极大值(II)由题意,222(2)1()ax a x f x x +--'=.令()0f x '=得11x a =-,212x = 若0a >,由()0f x '≤得1(0,]2x ∈;由()0f x '≥得1[,)2x ∈+∞若0a <,① 当2a <-时,112a -<,1(0,]x a ∈-或1[,)2x ∈+∞,()0f x '≤;11[,]2x a ∈-,()0f x '≥.②当2a =-时,()0f x '≤. ③当20a -<<时,112a ->,1(0,]2x ∈或1[,)x a ∈-+∞,()0f x '≤;11[,]2x a∈--,()0f x '≥.综上,当0a >时,函数的单调递减区间为1(0,]2,单调递增区间为1[,)2+∞; 当2a <-时,函数的单调递减区间为1(0,]a -,1[,)2+∞,单调递增区间为11[,]2a -; 当2a =-时,函数的单调减区间是(0,)+∞, 当20a -<<时,函数的单调递减区间为1(0,]2,1[,)a -+∞,单调递增区间为11[,]2a--. (Ⅲ) 当2a =时,1()4f x x x=+,2241()x f x x -'=. ∵11[,6]2x n n∈++,∴()0f x '≥.∴min 1()()42f x f ==,max 1()(6)f x f n n=++ 由题意,11()4(6)2mf f n n<++恒成立.令168k n n =++≥,且()f k 在1[6,)n n +++∞上单调递增,min 1()328f k =,因此1328m <,而m 是正整数,故32m ≤,所以,32m =时,存在123212a a a ====,12348m m m m a a a a ++++====时,对所有n 满足题意.∴32max m =26．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）已知函数f(x)=axlnx 图像上点(e,f(e))处的切线与直线y=2x 平行(其中e= 2.71828),g(x)=x 2-x 2-tx-2. (1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值;(3)对一切x ∈(]e ,0,3f(x)≥g(x)恒成立,求实数t 的取值范围.【答案】27．（【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学）(本小题满分l3分)已知函数f(x)a ln x ax(a R)=--∈.3(I)若a=-1,求函数f(x)的单调区间;=的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45o,对于任意的t∈ [1,2],函数(Ⅱ)若函数y f(x)322mg(x )x x [f '(x )](f '(x )=++是f (x )的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数,求m 的取值范围;(Ⅲ)求证:23412234*ln ln ln ln n ...(n ,n N )n n⨯⨯⨯⨯<≥∈ 【答案】解:(Ⅰ)当1a =-时,(1)'() (0)x f x x x-=> 解'()0f x >得),1(+∞∈x ;解'()0f x <得)1,0(∈x )(x f 的单调增区间为()+∞,1,减区间为()1,0(Ⅱ) ∵)0()1()('>-=x x x a x f ∴12)2('=-=af 得2-=a ,32ln 2)(-+-=x x x f x x mx x g 2)22()(23-++=,∴2)4(3)('2-++=x m x x g ∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数,且()02'g =-∴⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g由题意知:对于任意的]2,1[∈t ,'()0g t <恒成立,所以,'(1)0'(2)0'(3)0g g g <⎧⎪<⎨⎪>⎩,∴9337-<<-m . (Ⅲ)证明如下: 由(Ⅰ)可知当),1(+∞∈x 时)1()(f x f >,即01ln >-+-x x , ∴0ln 1x x <<-对一切),1(+∞∈x 成立 ∵2,≥∈N *n n ,则有1ln 0-<<n n ,∴n n n n 1ln 0-<<ln 2ln 3ln 4ln 12311(2,N )234234n n n n n n n*-∴⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅=≥∈28．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知向量(,ln )x m e x k =+,(1,())n f x =,//m n (k 为常数, e 是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直,()()x F x xe f x '=.(Ⅰ)求k 的值及()F x 的单调区间;(Ⅱ)已知函数2()2g x x ax =-+(a 为正实数),若对于任意2[0,1]x ∈,总存在1(0,)x ∈+∞, 使得21()()g x F x <,求实数a 的取值范围.【答案】解:(I)由已知可得:()f x =1xnx k e+1ln ()x x k x f x e --'∴=,由已知,1(1)0kf e-'==,∴1k = ∴()()x F x xe f x '=1(ln 1)1ln x x x x x x=--=--所以()ln 2F x x '=--由21()ln 200F x x x e '=--≥⇒<≤,由21()ln 20F x x x e'=--≤⇒≥()F x ∴的增区间为21(0,]e ,减区间为21[,)e+∞(II)对于任意2[0,1]x ∈,总存在1(0,)x ∈+∞, 使得21()()g x F x <,∴max max ()()g x F x <由(I)知,当21x e =时,()F x 取得最大值2211()1F e e=+ 对于2()2g x x ax =-+,其对称轴为x a =当01a <≤时,2max ()()g x g a a ==, ∴2211a e <+,从而01a <≤ 当1a >时,max ()(1)21g x g a ==-, ∴21211a e -<+,从而21112a e<<+综上可知: 21012a e<<+29．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）已知函数()ln(1)(1)1()f x x k x k =---+∈R ,(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若()0f x ≤恒成立,试确定实数k 的取值范围; (Ⅲ)证明:ln 2ln 334++ln 1n n ++<(1)4n n -(,n N n ∈>1).【答案】30．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知函数220a f (x )a ln x x(a )x=-++≠(I)若曲线y f (x )=在点(1,1f ()))处的切线与直线20x y -=垂直,求实数a 的值; (Ⅱ)讨论函数f (x )的单调性;(Ⅲ)当0a (,)∈-∞时,记函数f (x )的最小值为g(a),求证:4()g a e -≥- 【答案】31．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知32()1,()2f x x nx g x x ax x ==+-+(1)求函数()f x 的单调区间;(2)求函数()f x 在[t,t+2](0t >)上的最小值;(3)对一切的(0,),2()'()2x f x g x ∈+∞≤+恒成立,求实数a 的取值范围. 【答案】32．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）已知函数21()eln ,()ln 1,()2f x xg x x xh x x ==--=. (Ⅰ)求函数()g x 的极大值.(Ⅱ)求证:存在0(1,)x ∈+∞,使01()()2g x g =;(Ⅲ)对于函数()f x 与()h x 定义域内的任意实数x ,若存在常数k,b,使得()f x kx b +≤和()h x kx b +≥都成立,则称直线y kx b =+为函数()f x 与()h x 的分界线.试探究函数()f x 与()h x 是否存在“分界线”?若存在,请给予证明,并求出k ,b 的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)11()1(0).x g x x x x-'=-=＞ 令()0,g x '＞解得01;x ＜＜ 令()0,g x '＜解得1x ＞.∴函数()g x 在(0,1)内单调递增,在(1,)+∞上单调递减. 所以()g x 的极大值为(1) 2.g =-(Ⅱ)由(Ⅰ)知()g x 在(0,1)内单调递增,在(1,)+∞上单调递减, 令1()()()2x g x g ϕ=-∴1(1)(1)()0,2g g ϕ=-＞ 取e 1,x '=＞则111(e)(e)()ln e (e 1)ln (1)222g g ϕ=-=-+-++3e ln 20.2=-++＜故存在0(1,e),x ∈使0()0,x ϕ=即存在0(1,),x ∈+∞使01()().2g x g = (说明:x '的取法不唯一,只要满足1,x '＞且()0x ϕ'＜即可) (Ⅱ)设21()()()eln (0)2F x h x f x x x x =-=-＞则2e e ()x F x x x x -'=-==则当0x ＜,()0F x '＜,函数()F x 单调递减;当x 时,()0F x '＞,函数()F x 单调递增.∴x =()F x 的极小值点,也是最小值点,∴min ()0.F x F ==∴函数()f x 与()h x 的图象在x =1e 2).设()f x 与()h x 存在“分界线”且方程为1e (2y k x -=,令函数1()e 2u x kx =+-①由()h x ≥()u x ,得211e 22x kx +-≥在x ∈R 上恒成立,即22e 20x kx --+在x ∈R 上恒成立,∴2=44(e 20k ∆--+≤,即24(0k -≤,∴k =故1() e.2u x =-②下面说明:()()f x u x ≤,即1eln e(0)2x x -＞恒成立.设1()eln e 2V x x =+则e ()V x x '==∵当0x ＜,()0V x '＞,函数()V x 单调递增,当x 时,()0V x '＜,函数()V x 单调递减,∴当x =,()V x 取得最大值0,max ()()0V x V x =≤.∴1eln e(0)2x x -＞成立.综合①②知1()e,2h x -且1()e,2f x -故函数()f x 与()h x 存在“分界线”1e 2y =-,此时1e.2k b ==-33．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）某幼儿园准备建一个转盘,转盘的外围是一个周长为k 米的圆.在这个圆上安装座位,且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算,转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k 元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时,相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为(12820)225x x k ⎡⎤++⎢⎥⎢⎦⎣元.假设座位等距分布,且至少有两个座位,所有座位都视为点,且不考虑其他因素,记转盘的总造价为y 元. (1)试写出y 关于x 的函数关系式,并写出定义域; (2)当k=50米时,试确定座位的个数,使得总造价最低?【答案】34．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）已知函数()()ln f x x x ax a R =+∈(I)若函数()f x 在区间)2,e ⎡+∞⎣上为增函数,求a 的取值范围;(II)若对任意()()()1,,1x f x k x ax x ∈+∞>-+-恒成立,求正整数k 的值. 【答案】35．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）已知函数()ln ,()xf x ax xg x e =+=.(I)当0a ≤时,求()f x 的单调区间(Ⅱ)若不等式()x mg x x-<有解,求实数m 的取值菹围; (Ⅲ)定义:对于函数()y F x =和()y G x =在其公共定义域内的任意实数0x .,称00()()F x G x -的值为两函数在0x 处的差值.证明:当a=0时,函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有差值都大干2.【答案】36．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知函数),1()1ln()1(2)1(2)(2+∞∈--+-+=x x a x a x x f .(1)23=x 是函数的一个极值点,求a 的值; (2)求函数)(x f 的单调区间; (3)当2=a 时,函数）0(,)(2>--=b b x x g ,若对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈1,11,21e e m m ,e e m f m g 22|)()(|212+<-都成立,求b 的取值范围.【答案】解:(1)函数)1(1)1(2)1(2)(2--+-+=x n a x a x x f1)1(2)1(22)(--+-+='x a a x x f , 23=x 是函数的一个极值点 0)23(='∴f解得:23=a(2)1)(21)1(2)1(22--=--+-+='x a x x x a a x f ），的定义域是（又∞+1)(x f），）的单调增区间为（（时，函数当∞+≤∴11x f a 为增区间）为减区间，（，时，（当),11+∞〉a a a(3)当a=2时,由(2)知f(x)在(1,2)减,在(2,+∞)增.3)1(,11)11(,0)2(22-=++=+=e e f e e f f]3,0[]1,11[)(2-++=∴e e ex f y 的值域在为减函数在]1,11[)(2++--=e e b x x g])11(,1[]1,11[)(22b eb e e e x g y -+--+-++=∴）（的值域为在b>0成立，只要所以e e m g m f b e b e 22)()(0)1(,0)11(22122+〈-〈-+-〈-+-∴成立即可e e b e e b e e b e e 22222)1(3))1(3222222+〈+-+=+++-=-+---解得:0<b<237．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知(),P x y 为函数1ln y x=+图象上一点,O 为坐标原点,记直线OP 的斜率()k f x =.(I)若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值,求实数m 的取值范围; (II)当 1x ≥时,不等式()1tf x x ≥+恒成立,求实数t 的取值范围; (III)求证()()()22*1!1n n n e n N -+>+∈⎡⎤⎣⎦.【答案】解:(Ⅰ)由题意()1ln xk f x x+==,0x > 所以()21ln ln x x f x x x '+⎛⎫'==- ⎪⎝⎭当01x <<时,()0f x '>;当1x >时,()0f x '<. 所以()f x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减. 故()f x 在1x =处取得极大值 因为函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+⎪⎝⎭(其中0m >)上存在极值, 所以01113m m <<⎧⎪⎨+>⎪⎩得213m <<. 即实数m 的取值范围是213⎛⎫⎪⎝⎭，(Ⅱ)由()1tf x x ≥+得()()11ln x x t x ++≤令()()()11ln x x g x x++=则()2ln x xg x x-'=令()ln h x x x =- 则()111=xh x x x-'=-因为1,x ≥所以()0h x '≥,故()h x 在[)1+∞，上单调递增 所以()()110h x h ≥=>,从而()0g x '>()g x 在[)1+∞，上单调递增, ()()12g x g ≥=所以实数t 的取值范围是(],2-∞(Ⅲ)由(Ⅱ) 知()21f x x ≥+恒成立, 即 1ln 2122ln 11111x x x x x x x x+-≥⇔≥=->-+++令()1,x n n =+则()()2ln 111n n n n +>-+所以()2ln 12112⨯>-⨯, ()2ln 23123⨯>-⨯, ,()()2ln 111n n n n +>-+.所以()()222111ln 1231212231n n n n n ⎡⎤⎡⎤⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯+>-++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦⨯⨯+⎣⎦12121n n n ⎛⎫=-->- ⎪+⎝⎭所以()22221231n n n e-⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯+>所以()()()221!1n n n e n -*+>+⋅∈⎡⎤⎣⎦N38．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）已知函数21()122f x nx ax x =-- (1)若函数()f x 在x=2处取得极值,求实数a 的值; (2)若函数()f x 在定义域内单调递增,求实数a 的取值范围; (3)当12a =-时,关于x 的方程1()2f x x b =-+在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b 的取值范围.【答案】39．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品须向总公司缴纳a 元(a 为常数,2≤a≤5)的管理费,根据多年的统计经验,预计当每件产品的售价为x 元时,产品一年的销售量为x ke(e 为自然对数的底数)万件,已知每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件.经物价部门核定每件产品的售价x 最低不低于35元,最高不超过41元.(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)万元与每件产品的售价x 元的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.【答案】40．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）设函数xxe x f =)(.(1) 求)(x f 的单调区间与极值;(2)是否存在实数a ,使得对任意的),(21+∞∈a x x 、,当21x x <时恒有ax a f x f a x a f x f -->--1122)()()()(成立.若存在,求a 的范围,若不存在,请说明理由.【答案】解: (1)xe x xf )1()(+='.令0)(='x f ,得1-=x ; x)1,(--∞1-),1(+∞-)(x f '-0 +)(x f极小值)(x f ∴的单调递减区间是)1,(--∞,单调递增区间是),1(+∞-)(x f 极小值=e f 1)1(-=-(2) 设a x a f x f x g --=)()()(,由题意,对任意的),(21+∞∈a x x 、,当21x x <时恒有)()(12x g x g >,即)(x g y =在),(+∞a 上是单调增函数222222()()[()()](1)()()()()()()()x x axxaxxxaf x x a f x f a x e x a xe aeg x x a x a x x ax a e xe ae x e axe ae aex a x a '---+--+'==--+---+--+==--),(+∞∈∀a x ,0)(≥'x g令0)(2≥+--=axxxae ae axe e x x h2()2(1)(2)(2)x x x x x x h x xe x e a x e ae x x e a x e '=+-+-=+-+ (2)()x x x a e =+-若2-≥a ,当a x >时,0)(>'x h ,)(x h 为),[+∞a 上的单调递增函数,0)()(=>∴a h x h ,不等式成立若2-<a ,当)2,(-∈a x 时,0)(<'x h ,)(x h 为]2,[-a 上的单调递减函数,)2,(0-∈∃∴a x ,0)()(0=<a h x h ,与),(+∞∈∀a x ,0)(≥x h 矛盾所以,a 的取值范围为)[-2,+∞41．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）已知函数()()()()201,10.x f x ax bx c e f f =++==且(I)若()f x 在区间[]0,1上单调递减,求实数a 的取值范围;(II)当a=0时,是否存在实数m 使不等式()224141xf x xe mx x x +≥+≥-++对任意x R ∈恒成立?若存在,求出m 的值,若不存在,请说明理由.【答案】42．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）设函数321()(4),()ln(1)3f x mx m xg x a x =++=-,其中0a ≠. ( I )若函数()y g x =图象恒过定点P,且点P 关于直线32x =的对称点在()y f x =的图象上,求m 的值;(Ⅱ)当8a =时,设()'()(1)F x f x g x =++,讨论()F x 的单调性; (Ⅲ)在(I)的条件下,设(),2()(),2f x x G x g x x ≤⎧=⎨>⎩,曲线()y G x =上是否存在两点P 、Q, 使△OPQ(O 为原点)是以O 为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在y 轴上?如果存在,求a 的取值范围;如果不存在,说明理由.【答案】(Ⅰ)令ln(1)0x ,则2x ,(2,0)P 关于32x 的对称点为(1,0), 由题知1(1)0,(4)0,33f m m m (Ⅱ)2()2(4)8ln F x mx m x x ,定义域为(0,), 8()2(82)F x mx m x 22(82)8mx m x x (28)(1)mx x x 0,x 则10x ,当0m 时,280,()0,mx F x此时()F x 在(0,+)上单调递增,当0m 时,由4()00,F x x m 得 由4()0,F x x m 得 此时4()0,F x m 在上为增函数, 在4,m 为减函数,综上当0m 时,()F x 在(0,+)上为增函数, 0m 时,在40,m 上为增函数,在4,m 为减函数 (Ⅲ)由条件(Ⅰ)知32,2,()ln(1),2,x x x G x a x x . 假设曲线()y G x 上存在两点P 、Q 满足题意,则P 、Q 两点只能在y 轴两侧,设(,())(0),P t G t t 则32(,),Q t t tPOQ 是以O 为直角顶点的直角三角形,2320,()()0OP OQ t G t t t .①(1)当02t时, 32(),G t t t此时方程①为23232()()0,tt t t t 化简得4210t t .此方程无解,满足条件的P 、Q 两点不存在(2)当2t时,()ln(1)G t a t ,方程①为232ln(1)()0,t a t t t 即1(1)ln(1),t t a 设()(1)ln(1)(1),h t t t t 则1()ln(1),1t h t t t 显然当2t 时()0()h t h t 即在(2,+)为增函数, ()h t 的值域为((2),),h 即(0,+), 当0a 时方程①总有解.综上若存在P 、Q 两点满足题意,则a 的取值范围是(0,+)43．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））已知函数2(),()1(1)f x ax x g x n x =+=+.(1)若a=l,求()()()F x g x f x =-在(1,)-+∞上的最大值;(2)利用(1)的结论证明:对任意的正整数n,不等式234121(1)49n n n n++++>+都成立: (3)是否存在实数a(a>0),使得方程2(1)'()(41)g x f x a x -=--在区间1(,)e e 内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出a 的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】。
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2u 2u ； x 2 y 2 2u 2 u xy x 2
(C)
(D)
7 ． 曲 面 3x 2 y 2 z 2 12 上 点 M 1,0, 3 处 的 切 平 面 与 平 面 z 0 的 夹 角 为 (A) 。
； 6
2 2
(B)
2
； 4
6
2 z 2 z 2 z z z 2 2 ，求 z z u, v 所满足的关系式。 2 x xy y x y
2
八、 （6 分） 设函数 f ( x, y ) 在圆域 x 2 y 2 1 上二阶连续可微， 且满足
x2 y 2 2 f 2 f e ， x 2 y 2
x 2 y 2 z 2 xdydz ydzdx zdxdy
六、 （10 分）计算曲线积分 I
L
xdy ydx ，其中 L 是以点 1, 0 为中心， R 为半径的圆 4 x2 y 2
周 R 1 ，取逆时针方向。 七、 （10 分）设 z z u, v 具有二阶连续偏导数，且 z z x 2 y , x 3 y 满足
0
1
dx
x x2
f x , y dy
10．若级数
un 收敛，则级数 un2 是
n 1 n 1
。 (D 可能)收敛，也可能发散
(A)绝对收敛；
(B)条件收敛；
(C)发散;
三、 （12 分）求幂级数 四、 （12 分） 1.设直线 L :
xn 的收敛半径，收敛区间及和函数。 n 0 n 1
计算
f f x y dxdy 。 2 x y 2 x y 1
3
2013-2014 学年第二学期高等数学试题 (A)
一、填空题（共 5 小题，每题 4 分，共 20 分）
1 1. 数项级数 n n 1 2
n 1
等于
。
2. 设平面经过原点及点 6, 3, 2 ，且与平面 4 x y 2 z 8 垂直，则此平面方程 为 3. 积分 。
1 t 0 t 2
x 2 y 2 z 2 t 2
f ( x 2 y 2 z 2 )dxdydz. 。
f x dx 6 ，
0
பைடு நூலகம்
1
1
0
dx dy f x f y f z dz 。
x x
1
y
2.设 为球面 x 2 y 2 z 2 a 2 的外侧， 求I
2
(C)
； 3
(D)
2
。
8．设 : x y z a (A)
z 0 , 1 为 在第一卦限中的部分，则有
(B)
xds 4 xds ；
1
yds 4 xds ；
1
(C)
zds 4 xds ；
1
(D)
xyzds 4 xyzds
x y z 1 0 ，平面 : x y z 0 ， x y z 1 0
（1）求直线 L 在平面 上的投影直线 L0 的方程。 （2）求直线 L0 绕 z 轴旋转一周所得曲面的方程。 2. 设函数 f (u ) 具有连续导数，求 lim 五、 （10 分） 1. 假设 f x 在区间 0,1 上连续，记 求
2 0
dx e y dy 的值等于
x
3
2
2
。
4. 设 z x f xy ,
y 2 z , f 具有二阶连续偏导数，则 = x y 2
。
5. 设 L 为由圆周 x 2 y 2 a 2 ，直线 y x 及 x 轴在第一象限中所围图形的边界，计 算
L
e
x2 y 2
ds =
。
二、选择题（共 5 小题，每题 4 分，共 20 分） 6． 设 u x, y x y x y 具有一阶导数，则必有 (A) 。 (B)
x y
x y
t dt ， 其中函数 具有二阶连续导数，
2 u 2u ； x 2 y 2 2u 2 u ; xy y 2
1
1
9．累次积分
1 0
2 0
d
cos 0
f r cos , r sin rdr 可以写成
(B) (D)
。
(A) (C)
dy
1
y y2 0
f x , y dx ；
1 0
1 0
dy
0
1 y 2 0
f x, y dx ；
0
dx f x, y dy ；