2.1 数据表示

[+0]原 =00000000 [-0]原 =10000000
符号位
定点小数的原码形式为x0.x1x2… xn
[X]原＝
X
1 ＞X ≥0
1－X＝1 ＋|X| 0≥X＞－1
使用8位二进制表示
ｘ＝+0.1001，则 [X]原 ＝0.1001000 ｘ＝-0.1001，则 [X]原 ＝1.1001000
1.数的定点表示法：
定点小数：
将小数点固定在符号位(x0表示符号位，为0代表正号，1
代表负号)之后，数值最高位之前，就是定点小数形式，其格
式如下： x0 x1 x2 x3 … xn-1 xn
符号
小数点固定于符号之 后，不需专门存放位置
量值
若字长为n+1位，则定点小数x的表示范围为：
－0.11‥‥‥11 ～ 0.11‥‥‥11
即：
0≤|ｘ|≤1－2－n
定点整数： 将小数点固定在最低位之后，其格式如下：
x0 x1 x2 x3 … xn-1 xn
符号
量值
小数点固定于最后 一位之后，不需专
门存放位置
若字长为n+1位，则定点整数x的表示范围为：
－11‥‥‥11
即： 0≤|ｘ|≤2n－1
～ ＋11‥‥‥11
目前计算机中多采用定点纯整数 表示，因此将定点数表示的运算简 称为整数运算。
（B2F）16= B×162 + 2×161 + F×160 练习=：11将×（116120+112.×00116)12转+ 换15成×十1进60制数 = 2816 + 32 + 15 = （2863）10
十进制数转换成非十进制数
整数部分采用“除基取余法”：
用相应的基数连续去除该十进制整数，直至商等于“0”为止， 并记下每一次相除所得到的余数，然后逆序排列余数（第一次 得到的余数为最低位，最后一次得到的为最高位）从而构成转 换后对应的非十进制整数。
采用(“R1（位102权1，=1法8.10”，*02：1164)即+）2 1把→*非23十+R0进（*制212数0+）写1*成2各1+自1*的2按0 权展开 式，然后按十进制运算原则求和，其和值就是转换 后对应的十进+制0*数2。-1+0*2-2+1*2-3 =16+8+2+1+0.125
【例1】将十=六（进27制.1数25B）2F10转换成十进制数。
教学要求：
①掌握：数据的表示、定点和浮点运算。 ②理解：运算器的功能与组成，运算器的工作
原理。 ③了解：运算器的设计。
2.1 数据与文字的表示方法
复习：数制 2.1.1 数据格式 2.1.2 数的机器码表示 2.1.3 字符与字符串的表示方法 2.1.4 汉字的表示方法 2.1.5 校验码
知识复习
IEEE 754标准格式浮点数规格化表示原则： 尾数最高有效位为1，隐藏，并且隐藏在小数 点的左边。
64位双精度浮点数
IEEE 754标准
Ｅ：含阶符的阶码，11
位
Ｅ＝e＋ 1023
Ｓ：1位符号
位
Ｍ：尾数，52位小
数
练习：将数＋0.10100110111×2＋101采用64位浮点数格式存储
例1：32位浮点机器数 (41360000)16，求真值
)16
(F7)16
=(
)2
(132.4)8
=(
)2
计算机中数据分类及表示方法
数字、文字、符号、 语音、 图形、 图像 等统称为数据。在计 算机内，都必须用数 字化编码的形式被表 示、 存储、 加工和 传送。
1.数值数据 2.符号数据
2.1.1 数据格式
计算机中常用的数据表示格式有两种：
定点格式：小数点位置固定，容许的数值 范围有限，但要求的处理硬件比较简单; 通常将数据表示成纯小数或纯整数。 浮点格式：小数点位置不固定，容许的数 值范围很大，但要求的处理硬件比较复杂
非十进制数之间的转换
（1）二进制数转换为八进制数
从小数点开始分别向左或向右，将每3位二进制数分成1组，不 足3位数的补0，然后将每组用1位八进制数码表示即可。
（2）八进制数转换为二进制数
将每位八进制数用3位二进制数码表示即可。
（3）二进制数转换为十六进制数
从小数点开始分别向左或向右，将每4位二进制数分成1组，不足4 位的补0，然后将每组用一位十六进制数码表示即可。
2 13
26 23
1 0 1
1
(55)10 =(1 1 0 1 1 1 ) 2
【例3】将整数125 转换成对应的十六进制整数

则得：（125）10 = （7D）16
【例4】将十进制数 0.6875 转换成对应的二进制数
0.6875 X2
1.3750
1
X2
0.7500
0
X2
1.500
1
X2
1.0000
常用的数制
十进制（Decimal）、 二进制(Binary)、
八进制(Octal)和十六进制(Hexadecimal)。
计数制 基数 数 码
进位关系
标识
十进制 10 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 逢十进一 D
二进制 2
0、1
逢二进一
B
八进制 8 0、1、2、3、4、5、6、7 逢八进一
O
十六进制 16 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9
A、B、C、D、E、F
逢十六进一 H
思考
计算机内部为什么采用二进制数制？
表1.1 二进制与其他进制的对应关系
二进制 十 八 十六
0
000
1
111
10
222
11
333
100 4 4 4
101 5 5 5
110 6 6 6
111 7 7 7
1000 8 10 8
2.1.2 数的机器码表示
数的机器码表示 真值:一般书写的数(带“+”“-”号的数) 机器码:机器中表示的数, 要解决在计算机内 部数的正、负符号和小数点运算问题。
原码： 0 — — “+”，1 —— “-”，用二进制 表示数值
反码： 在原码基础上符号位不变，其他按位取反 补码： 反码+1 移码： 补码符号位取反，其他位不变
3F
1.9
6
（1111110001.1001011）2 =（3F1.96）16
练习：请完成下列各进制之间的转换
(11111111.11)2 = (
)10
(3506.2)8
=(
)10
(0.2A)16
=(
)10
(1011010.10)2 = (
)8
(1011010.10)2 = (
小数部分采用“乘基取整”法：
连续用基数去乘以该十进制小数，直至乘积的小数部分等 于“0”或达到一定精度为止（“0舍1入”），并记下每一次 相乘所得到的整数部分，然后顺序排列每次乘积的整数部分， 从而构成转换后对应的非十进制小数。
【例2】将十进制整数55 转换成对应的二进制整数
55
2
1
2 27
1
思考题
如果某机字长16位，求它所能表 示的定点小数和定点整数的范围？
非常大和非常小的数
2×10+33 = 0.2 ×1034 9×10-28 = 0.9 ×10-27
数的科学表达法
在定点计算机中由于太大 或太小数N无法直接存贮 ，我们将其先写成一个纯 小数乘上一个指数值的形 式。
2、浮点数的表示方法 一个Ｒ进制数Ｎ可以写成 Ｎ＝Ｍ×Ｒe
＝＋1011.011＝(11.375)10
例2：真值20.59375，求32位单精度浮点数表示
① 分别将整数和分数部分转换成二进制数 20.59375＝10100.10011
② 移动小数点，使其在第1、2位之间 10100.10011＝1.010010011×24 e＝4 E＝4+127＝131＝10000011 S＝0 M＝010010011
M尾数：是一个带符号的纯小数，由它确定表示数的符号及 其精度，显然，尾数越长，精度越高。
e指数：浮点的阶码，是一个带符号的整数。由它确定尾数的 小数点的位置，阶码愈长，所能表示的数的范围愈大。 R基数：对于二进制数值的机器这是一个常数2。
这种把任意一个数N的有效数字M和数的范围e在计算机 的一个存储单元中分别予以存贮的方法，叫浮点表示法。 浮点数的小数点位置随比例因子e的不同而在一定范围内 自由浮动 。
早期计算机表达法
阶码和尾数均用补码表示
例：浮点数：＋0.10100110111×2＋5 采用上面格式存储为： 0101010100110111 （字长16位）
IEEE 754标准格式
N= (-1)s×1.M×2e
Ｅ＝e＋(2k-1-1)
（k为阶码的位数）
32位单精度浮点数
Ｅ：含阶符的阶码，8 位阶
① 十六进制数展开成二进制数
0 100 0001 0011 0110 0000 0000 0000 0000
S 阶码E(8位)
尾数M(23位)
② 指数e＝阶码－127 ＝1000 0010－01111111 ＝00000011=(3)10
③ 包括隐藏位1的尾数1.M ＝1.011011
④ X＝(-1)s×1.M×2e ＝＋(1.011011)×23
1001 9 11 9 1010 10 12 A 1011 11 13 B 1100 12 14 C 1101 13 15 D 1110 14 16 E 1111 15 17 F 10000 16 20 10 10001 17 21 11 10010 18 22 12
复习： 各种数制间的相互转换
非十进制转换成十进制 （各位按权展开求和）
码采用移码方式来表示正负
指数：Ｅ＝e＋127
Ｓ：1位符号
位
0表示正数 1表示负数
Ｍ：尾数，23位小
数表示，小数点放 在尾数域最前面
例：将数＋0.10100110111×2＋101采用IEEE32位浮点数格式存储
解：＋0.10100110111×2＋101 ＝＋1.0100110111×2＋100
S=0 E= (100)2 +127=131=10000011 M= 0100110111 其存储为： 0 10000011 01001101110000000000000
1
(0.6875)10 =( 0.1 0 1 1 )2
【练习】将十进制数125.625 转换成对应的二进制数。
因为 （125）10 =（思1考11：1还10有1什）么2 方 （0.625）10 =法换（可成0.以二10将进1十制）进数2 制？数转
所以 （125.625）10 =（1111101.101）2
（4）十六进制数转换为二进制数
将每位十六进制数用4位二进制数码表示即可。
【例6】将（1110110）2 转换为八进制
001 110 110
1
6
6
即： （1110110）2 =（166）8
【例7】将（1111110001.1001011）2 转换为十六进制数。
0011 1111 0001 . 1001 0110
③ 得到32位浮点数的二进制存储格式为： 0 100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000 ＝(41A4C000)16
练习
1. 代码(BE580000)16是采用单精度格式保存 的浮点数，求其十进制真值。
2. 有一个十进制数100.25，请将它转换成单 精度浮点数格式。
1、原码表示法
符号位
定点整数的原码形式为x0x1x2… xn
Leabharlann Baidu
[X]原＝
X
2n ＞X ≥0
2n－X＝2n＋|X| 0≥X＞－2n
使用8位二进制：[105] 10=[01101001]2 X＝+105，则 [X]原 ＝01101001 X＝-105， 则 [X]原 ＝11101001 0使用原码有两种表达形式
信计1091-1092
任课教师： 叶晓霞
广东海洋大学信息学院计算机系 E-mail:xiaoxia7761@yahoo.com.cn
目录
☼ 第一章 计算机系统概论 （2） ☼ 第二章 运算方法和运算器（10） ☼ 第三章 内部存储器 （8） ☼ 第四章 指令系统 （4） ☼ 第五章 中央处理机 （8） ☼ 第六章 总线系统 （4） ☼ 第八章 输入输出系统 （4）
在计算机中对数据进行运算操作时，符号位如何表示呢？ 是否也同数值位一道参加运算操作呢？
为了妥善的处理好这些问题，就产生了把符号位和数字 位一起编码来表示相应的数的各种表示方法，如原码、 补码、反码、移码等。为了区别一般书写表示的数和机 器中这些编码表示的数，通常将前者称为真值，后者称 为机器数或机器码。
浮点数与定点数的比较： 当浮点数的尾数为0，或者当阶码的值遇到比它能表示的
最小值还小时，不管其尾数为何值，计算机都把该浮点数看 成零值，称为机器零。相同的情况下浮点数所表示的范围远 比定点数大。
一台计算机中究竟采用定点表示还是浮点表示,要根据 计算机的使用条件来确定。一般在高档微机以上的计算机 中同时采用定点、浮点表示,由使用者进行选择,而单片机中 多采用定点表示。