乘法公式的综合应用(无答案)
乘法公式应用综合
乘法公式应用综合在咱们的数学世界里，乘法公式那可真是个神奇的存在！就像一把万能钥匙，能帮咱们打开好多难题的锁。
先来说说完全平方公式吧，(a ± b)² = a² ± 2ab + b²，这玩意儿可太有用啦！我记得有一次，我去逛菜市场，看到一个卖水果的摊位。
摊主正在算着成本和利润。
他说一箱苹果进价是 a 元，他打算每箱加价 b 元出售。
那按照完全平方公式，他每箱的利润就是 (a + b)² - a² = 2ab +b²。
这可让他一下子就清楚了自己能赚多少钱。
还有平方差公式 (a + b)(a - b) = a² - b²，也是解决问题的好帮手。
比如在装修房子的时候，要计算房间地面的面积。
如果房间的长是 (a + b) 米，宽是 (a - b) 米，那么地面的面积就是 a² - b²平方米。
乘法公式在代数运算中更是大显身手。
比如化简式子 (x + 2y)² - (x - 2y)²，咱们就可以直接套用公式。
先把前面的 (x + 2y)²展开得到 x² +4xy + 4y²，后面的 (x - 2y)²展开得到 x² - 4xy + 4y²，然后一减，4xy 就抵消掉了，剩下 8xy 。
是不是很简单？再看这道题：已知 a + b = 5 ，ab = 3 ，求 a² + b²的值。
这时候咱们就可以用完全平方公式啦，(a + b)² = a² + 2ab + b²，变形一下，a² + b² = (a + b)² - 2ab ，把数值带进去，5² - 2×3 = 19 。
乘法公式在几何图形中也有出色的表现。
比如说一个正方形的边长增加了 x ，那它的面积增加多少呢？原来正方形的边长是 a ，面积就是 a²。
乘法公式的灵活运用
1乘法公式的灵活运用一、复习：(a+b)（a —b)=a 2—b 2（a+b ）2=a 2+2ab+b 2（a-b)2=a 2—2ab+b 2（a+b ）（a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a —b)（a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化,(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ,求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992—2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
小专题(一) 乘法公式的综合应用
小专题(一) 乘法公式的综合应用乘法公式是初中数学中的重要公式,也是中考常见的考点之一.平方差公式:(a+b )(a-b )=a 2-b 2,公式的左边是两个数的和乘这两个数的差,右边正好是这两个数的平方差,两边都有差的运算,关键要准确把握谁减去谁.完全平方公式:(a+b )2=a 2+2ab+b 2,(a-b )2=a 2-2ab+b 2,公式的左边是两个数的和(或差)的平方,右边是这两个数的平方和,再加上(或减去)这两个数积的2倍,两边的符号是一致的,要准确把握符号问题.在解决问题时,要注意观察式子的特点,选择合适的方法和解题思路,不要拘泥于公式的形式,而要深刻理解,加以灵活运用.完全平方公式的常见变形有:a 2+b 2=(a+b )2-2ab=(a-b )2+2ab ;ab=12[(a+b )2-(a 2+b 2)]=14[(a+b )2-(a-b )2]=(a+b 2)2−(a -b 2)2; (a+b )2+(a-b )2=2a 2+2b 2.类型1 直接应用公式1.计算:(x-3y+2z )(x+3y-2z ).解:原式=[x-(3y-2z )][x+(3y-2z )]=x 2-(3y-2z )2=x 2-[(3y )2-2×3y×2z+(2z )2]=x 2-9y 2+12yz-4z 2.类型2 逆用公式2.(上海中考)计算:(a+1)2-a 2.解:原式=2a+1.类型3 变形应用公式3.(枣庄中考)若m-1m =3,则m 2+1m 2= 11 .4.若x+y=3,且(x+2)(y+2)=12.(1)求xy 的值;(2)求x 2+3xy+y 2的值.解:(1)由(x+2)(y+2)=12,得xy+2(x+y )+4=12,因为x+y=3,所以xy=2.(2)因为x2+3xy+y2=(x+y)2+xy,又x+y=3,xy=2,所以原式=(x+y)2+xy=32+2=11.类型4整合公式5.已知实数a,b满足(a+b)2=1,(a-b)2=25,求a2+b2+ab的值.解:由(a+b)2=1,得a2+2ab+b2=1,①由(a-b)2=25,得a2-2ab+b2=25,②①+②,得a2+b2=13,①-②,得ab=-6,所以a2+b2+ab=13+(-6)=7.类型5解决探究问题6.(1)如图1,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示),通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积,可以得到乘法公式为a2-b2=(a+b)(a-b).(用含a,b的等式表示)(2)运用(1)中所得到的公式,计算下列各题:①20192-2020×2018;②2(x-y-3)(x-y+3).解:(2)①20192-2020×2018=20192-(2019+1)×(2019-1)=20192-(20192-1)=1.②2(x-y-3)(x-y+3)=2[(x-y)2-9]=2(x2-2xy+y2-9)=2x2-4xy+2y2-18.。
第1讲 乘法公式的综合应用(学生版)
知识总结典型例题1计算：2已知3若4当5已知6解答下列问题．7设8知识总结典型例题9若10已知：11已知12已知13阅读下列材料，并利用材料中使用的方法解决问题．这样的“走马灯” 性质实在是让人啧啧称奇．于是我们开始好奇，142857 为什么会具有这样神奇的性质？是否还会有其他数具有这样的性质呢？先回答第一个问题．数学系的人也许会高冷地回答你：因为 10 是模 7 的一个原根．但这个回答，一定是令 99 % 的人懵逼的．大部分普通人恐怕会问：“原根” 是什么？当然，也许还有些连初中数学都还给老师的人，会问：“模” 是什么，哈这个问题，其实正是让数学小白们叩开初等数论大门的伟大机会啊！我相信，要完整地理解这个问题的来龙去脉，对于初中数学水平的人，大概也就需要半个小时而已~当然，需要 3 个很简单的前提条件：你知道质数（素数）的概念：只能被 1 和自身整除的数；也知道互质的含义（最大公约数为1）；你会竖式计算；你已经知道：142857*7=999999；那么，下面我们开始吧~一、竖式计算的奥秘既然你已经知道了 142857*7=999999，那么你一定很容易联想到 1/7 会有 142857 的循环节．毕竟1000000 除以 7 余 1 嘛！竖式计算告诉我们，产生循环几乎是显然的：仔细观察一下竖式计算，你会发现一个很有趣的现象：前 6 次相减，余数分别 3、2、6、4、5、1，恰好遍历了比 7 小的 1~6，这就意味着，下一个余数无论是几，都必然会和前面的重复，从而必须产生循环．这个现象揭示了一个简单的定理：定理 1.1：1/n 的小数展开，其循环节长度不超过 n-1．如果循环节恰好为 n-1 ，在竖式计算的每一步中，余数一定遍历了 1，2，…，n-1，那么显然，1/n, 2/ n,…， (n-1)/n 的竖式计算，一定能和 1/n 的竖式计算中的某一步衔接起来，循环节会形成 “走马灯” 的效果．反之，对于任意一个“走马灯数”，我们可以把它当做循环小数的循环节，而循环小数必然可以表示成分数 k/n，若循环节小于 n-1，那么余数必然不能遍历 1，2，…，n-1，那么 “走马灯” 的效果则不会出现．于是我们得到了另一个定理：定理 1.2：对每一个 “走马灯数” ，都存在自然数 n，走马灯数为 1/n 的小数展开后的循环节，且这个循环节恰好有 n-1 位．接下来，我们需要寻找满足条件的 n，初等数论的大门将缓缓打开．14如图，在边长为15已知16若17已知18如果多项式19关于多项式20若21已知22已知。
乘法公式的运用
乘法公式的运用乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式；2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式．【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ．从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法. 常见公式变形有： (1)ab b a b a 2)(222 ±=+， 2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++； (3) ab b a b a 4)()(22=--+；（4）4)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++ 【例2】 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ）A ．M>NB ． M<NC ． M=ND ．无法确定思路点拨 运用乘法公式，在化简M 、N 的基础上，作差比较它们的大小．【例3】 计算：(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1；(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452．【例4】 (1)已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式yx xy +的值． (2)整数x ，y 满足不等式y x y x 22122+≤++，求x+y 的值．(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ，乙商场：两次提价的百分率都是2b a +(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则哪个商场提价最多?说明理由．完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论：(1)0)(2222≥±=+±b a b ab a ；(2)ab b a 222≥+ 揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题．【例5】 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数．证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数．思路点拨 从222c b a =+的变形入手；222b c a -=，运用质数、奇偶数性质证明． 学力训练1．观察下列各式：(x 一1)(x+1)＝x 2一l ；(x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1．根据前面的规律可得(x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ．2．已知052422=+-++b a b a ，则ba b a -+= ． 3．计算：(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ；(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ；(3)2199919991999199719991998222-+ ． 4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式 ．5．已知51=+a a ，则2241a a a ++= ． 6．已知5,3-=+=-c b b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )．A ．一15B ．一2C ．一6D ．6 7．乘积)200011)(199911()311)(211(2222----等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．40002001 8．若（x －y ）2＋N=x 2＋xy ＋y 2,则N 为（ ）。
微探究小专题9 乘法公式的综合应用【习题课件】八年级上册人教版数学
S3
∵ S1＋ S2＝ a2＋ b2－ ab ＝28，
∴ S3＝ ×28＝14.
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微探究小专题9
乘法公式的综合应用
利用乘法公式进行简便运算
2. 利用乘法公式进行简便运算.
(1)1 007×993＋49；
解：原式＝(1 000＋7)(1 000－7)＋49＝1 0002－49＋49＝106.
(2)2 0232－2 024×6＋15.
解：原式＝(2 024－1)2－2 024×6＋15＝2 0242－2 024×8＋16＝(2 024
2×4]2－2×42＝257.
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微探究小专题9
乘法公式的综合应用
利用乘法公式对数式的关系进行探究
6. [发现] 两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，
且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
[验证]如，(2＋1)2＋(2－1)2＝10为偶数，请把10的一半表示为两个正整
第十四章
整式的乘法与因式分解
微探究小专题9
乘法公式的综合应用
微探究小专题9
乘法公式的综合应用
乘法公式的应用
1. 计算：
(1)( x2＋1)2－4 x2；
解：原式＝ x4＋2 x2＋1－4 x2＝ x4－2 x2＋1.
(2)[( a ＋2 b )(2 b － a )]2.
解：原式＝(4 b2－ a2)2＝16 b4－8 a2 b2＋ a4.
知识应用：活用乘法公式
知识应用：活用乘法公式乘法公式在解题中的应用非常广泛，运用乘法公式解题不仅要熟悉公式的结构特征，而且能灵活使用它们，才能获得简捷合理的解法．现介绍几种方法，供同学们参考．一、对号a、b，正确运用例1 计算(-2+3x)(-2-3x)．分析：两个因式中的-2完全相同，而3x与-3x互为相反数，因而可运用平方差公式计算，-2是公式中的a，3x是公式中的b．解：原式=(-2)2-(3x)2=4-9x2．二、适当变形，灵活运用例2 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．分析：两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算．解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕·〔(2x+5)-(y-z)〕=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2．三、分析情况，合理选用例3 计算(2a+1)(2a-1)(4a2-2a+1)(4a2+2a+1)．分析：前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，但若先利用乘法交换律与结合律巧妙结合，就可以用立方和、立方差公式简算．解：原式=〔(2a+1)(4a2-2a+1)〕〔(2a-1)(4a2+2a+1)〕=(8a3+1)(8a3-1)=64a6-1四、创造条件，巧妙应用例4 计算(5a+3b-2c)(5a-3b+6c)．分析：从表面上看本题不能使用乘法公式．但注意到两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因-2c=2c-4c,6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例2计算．解：原式=(5a+3b+2c-4c)(5a-3b+2c+4c)=〔(5a+2c)+(3b-4c)〕·〔(5a+2c)-(3b-4c)〕=(5a+2c)2-(3b-4c)2=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2=25a2-9b2-12c2+20ac+24bc．五、避繁就简，逆向运用例5 计算(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2分析：若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x+y)看作a，(x-y)看作b，可逆用完全平方公式，迅速得出结果．解：原式=〔(x+y)-(x-y)〕2=4y2．六、明确联系，综合运用乘法公式的主要变式有：①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；②(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；③(a+b)2-(a-b)2=4ab；④a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．例6 已知：a+b=5，ab=2，求：(a-b)2的值．解：由完全平方公式得(a+b)2-(a-b)2=4ab，则(a-b)2=(a+b)2-4ab．∵a+b=5，ab=2∴(a-b)2=52-4×2=17。
人教版八年级上册14.2乘法公式的综合运用优秀教学案例
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的问题为背景，创设有利于学生思考和探究的情境，激发学生的学习兴趣。如：购物时如何计算价格、装修房屋时如何计算材料用量等。
2.故事情境：通过生动有趣的故事，引出乘法公式，使学生在轻松愉快的氛围中学习。如：讲述古代数学家发现乘法公式的故事。
3.竞赛情境：组织学生进行小组竞赛，激发学生的竞争意识和团队合作精神，提高他们的学习积极性。如：平方差公式接龙游戏。
1.组织学生进行小组讨论、合作探究，培养学生的团队协作能力和沟通能力。如：小组内讨论如何运用乘法公式解决实际问题。
2.鼓励学生发表自己的观点和见解，培养他们的创新意识和批判性思维。如：小组内成员互相评价对方解题方法的可行性和优缺点。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对学习过程进行反思，总结经验和教训，提高学生的自我认知能力。如：让学生回顾学习乘法公式时的困难和对策，分享心得体会。
人教版八年级上册14.2乘法公式的综合运用优秀教学案例
一、案例背景
在我国基础教育课程改革背景下，人教版八年级上册14.2乘法公式的综合运用作为数学学科的重要内容，旨在帮助学生理解和掌握乘法公式的本质，提高他们在实际问题中的应用能力。本章节内容涉及平方差公式、完全平方公式等，对于培养学生的逻辑思维、创新能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
2.采用多元化评价方式，关注学生的全面发展，提高他们的自信心和自我价值感。如：以小组为单位进行评价，侧重于团队合作、创新能力和解决问题能力的评价。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.创设生活情境：教师通过展示一组实际生活中的图片，如购物、装修等，引导学生观察和思考其中的数学问题。如：展示一张购物小票，让学生计进行反思，总结经验和教训，提高学生的自我认知能力。同时，采用多元化评价方式，关注学生的全面发展，提高了他们的自信心和自我价值感。
乘法公式的妙用
乘法公式的妙用作者：周萍来源：《江西教育·综合版》2008年第09期乘法公式是初中数学的重要内容，它贯穿在整个初中数学教学中，应用极为广泛，下面介绍几种常用的方法。
一、逆着用例1计算：（1－）(1－)…（1－）（1－）分析：此题若直接相乘，则难以求得结果，根据各因式的特点，逆用平方差公式，便可化难为易，迅速求解。
解：原式=（1－）（1+）(1－) (1+)…（1－）（1+）（1－）（1+）=××××…××××=。
二、凑着用例2计算：（p+2q－1）(p－2q+1)分析：乍一看，它不符合任何公式的特点，但通过添括号可把式子凑成平方差公式的“模样”，这样就可应用公式计算了。
解：原式=［p+（2q-1）］[p-（2q-1）]＝p2-（2q-1）2=p2-4q2+4q-1。
三、添着用例3计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）分析：注意后一个因式中的两项恰好是前一个因式中两项的平方，如果添上一个因式（2－1），反复用平方差公式即可。
解：原式=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1）=(22-1)(22+1)(24+1）(28+1）=216－1。
四、拆着用例4计算：（3x－2y－1）(-3x－2y+5).分析：初看两个因式不符合平方差公式的结构特征，难以动用公式求解，但若把“－1”拆成“－3+2”，把“5”拆成“3+2”，则可利用公式。
解：原式=［（2－2y）+(3x－3)］［(2－2 y)－(3x－3)］=(2－2y)2－(3x－3)2=4y2－9x2－8y+18x－5。
五、变着用将有关的乘法公式进行变形，可得如下公式：a2+b2=(a+b)2－2ab=(a－b)2+2ab；(a+b)2 +(a－b)2=2(a2+b2)；(a+b)2－(a－b)2=4ab；a3+b3=(a+b) ［(a－b)2－3ab］=(a+b)3－3ab(a+b)。
乘法公式的综合应用
2
（４） a 3b a 3b （５）
2
x 2 y 3 x 2 y 3
使用公式进行运算时要注意：
１、两个多项式相乘，只要两项一样,一项符号 相同，另一项符号相反，就可以用平方差公式。 ２、用平方差公式计算，直接用相同项的平方减 去相反项的平方。 ３、用完全平方公式时，应注意“首平方，尾平 方，首尾乘积两倍在中央”，最后运算结果有三 项。 ４、公式中ａ，ｂ可代表多项式，要能够把一些 项结合起来看作一项进行运算。如（５）
２、会用公式简化一些数的运算。 ３、学会了灵活运用公式求一些 式子的值。
１、已知
x 3x 1 0, 求
2
1 x 2 x
2
的值。
2
２、若 a b
2, a c 1,
试求
2a b c .
３、已知两个两位数的平方差为220，且它们的十 位数字相同，一个数的个位是6，另一个数的个位 是4，求这两个数。
2
2
x 2 xy y _______ 6xz 6 yz 9z
2 2
2
２、计算：
（１）
4a 2b 2b 4a
1 1 （２） a b a b a 2 b 2 2 2
（３）
3x 5 y
2
2
（４） 2a 3b c
１、填空：
2a 3 2a 3 4a 2 9 _____
2
2 2
5x 2 5x 2 ________ 25 x 4
2
x y 3z
2 y x x 2 y _____ x 4y 2 3x 4 y 9x 24xy 16 y _____
乘法公式的综合应用
2、若x -y =6，x+y=-3，则4（x-y ）=______3、若9x +4y =(3x +2y )+M ，则M =______.4、+2a=+2b （）25、.8.、已知，求和ab 的值专题：因式分解1、十字相乘法分解因式：(1)x 2+3x +2(2)x 2−3x +2(3)x 2+2x −3(4)x 2−2x −3(5)x 2+5x +6(6)x 2−5x −6(7)x 2+x −6(8)x 2−x −6(9)x 2−5x −36(10)x 2+3x −182、分解因式：(1)2a +2a 2+4a 3(2)5x 3y −5xy (3)a 2+b 2+2ab −16(4)4x 3−8x 2+4x(5)(x +y )2−2x −2y +1(6)(m 2−2m )2n +2n (m 2−2m )+n(7)(x 2+y 2−1)2−4x 2y 2(8)a (2a −b )+2a (b −2a )2−a (b −2a )3.3、已知有理数a ,b 满足a (a +1)−(a 2+2b )=1,求a 2−4ab +4b 2−2a +4b 的值。
4、已知x 2−y 2=20,求[(x −y )2+4xy ][(x +y )2−4xy ]的值。
5、已知：a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且2a 2+2b 2+2c 2=2ab +2ac +2bc ，试判断△ABC 的形状，并证明你的结论。
运用平方差公式计算。
①(3a+b)(3a−b)②9(−x+2y)(−x−2y)③(12a−b)(−12a−b)④59.8×60.2⑤(2x−3y)(3y+2x)−(4y−3x)(3x+4y)运用完全平方公式计算①(−xy+5)2②(−x−y)2.先化简，再求值：（ x ＋2 y ）（ x －2 y ）－（2 x － y ）·（－2 x － y ），其中 x ＝8， y ＝－8．已知x+1x=3,求①x 2+1x2;②x4+1x4.：对任意正整数n，求证：(3n+1)(3n−1)−(3−n)(3+n)的值是10的倍数。
乘法公式的综合应用
乘法公式的综合应用乘法公式是数学中常见的一个工具，它可以在各种实际问题中得到广泛的应用。
本文将介绍乘法公式的几个重要应用，包括比例关系、面积和体积计算、概率问题等。
第一部分：比例关系的应用乘法公式在比例关系的建立和求解中起着关键作用。
比例关系是两个或多个量之间的等比关系，常用形式为a:b=c:d。
乘法公式可以用来求解未知量或进行比较。
例子1：若一辆汽车每小时行驶60公里，则2小时行驶的里程是多少？解：根据题意可知，汽车的行驶速度为60公里/小时，行驶时间为2小时。
我们可以用乘法公式来求解问题。
令行驶里程为x公里，则60公里/小时乘以2小时等于x公里，即60*2=x。
通过计算可得，x=120公里。
例子2：一桶水中液位每分钟下降0.5厘米，若桶里的水先后下降了10厘米和15厘米，则这两段时间的时间差是多少？解：设时间差为t分钟，根据题意可得水面下降的速度为0.5厘米/分钟。
利用乘法公式，可以得到0.5厘米/分钟乘以t分钟等于水位下降的总高度，即0.5t=25、通过计算可得，t=50分钟。
第二部分：面积和体积的计算乘法公式在计算面积和体积时也起到重要的作用。
对于不规则图形和立体图形，乘法公式可以通过将各个边长或高度相乘得到最终的结果。
例子3：一个长方形花坛的长为5米，宽为3米，求其面积是多少？解：面积可以通过将长和宽相乘得到，即5米*3米=15平方米。
因此，该花坛的面积为15平方米。
例子4：一个正方体的边长为2厘米，求其体积是多少？解：体积可以通过将边长相乘三次得到，即2厘米*2厘米*2厘米=8立方厘米。
因此，该正方体的体积为8立方厘米。
第三部分：概率问题乘法公式在概率问题中也发挥着重要的作用。
通过乘法公式，可以计算得到事件发生的概率。
例子5：有一个有15个白色球和10个红色球的箱子，从箱子中随机抽取两个球，不放回。
求抽出两个白色球的概率。
解：首先计算抽出第一个白色球的概率，为15/25；然后计算抽出第二个白色球的概率，为14/24、通过乘法公式，可以得到两个白色球同时被抽出的概率为(15/25)*(14/24)=7/20。
第1讲 乘法公式的综合应用(教师版)
知识总结典型例题1已知2若3当4已知知识总结典型例题5若6若7若8填空：9已知10请回答下列各题：1112若13如果我相信，要完整地理解这个问题的来龙去脉，对于初中数学水平的人，大概也就需要半个小时而已~当然，需要 3 个很简单的前提条件：你知道质数（素数）的概念：只能被 1 和自身整除的数；也知道互质的含义（最大公约数为1）；你会竖式计算；你已经知道：142857*7=999999；那么，下面我们开始吧~一、竖式计算的奥秘既然你已经知道了 142857*7=999999，那么你一定很容易联想到 1/7 会有 142857 的循环节．毕竟1000000 除以 7 余 1 嘛！竖式计算告诉我们，产生循环几乎是显然的：仔细观察一下竖式计算，你会发现一个很有趣的现象：前 6 次相减，余数分别 3、2、6、4、5、1，恰好遍历了比 7 小的 1~6，这就意味着，下一个余数无论是几，都必然会和前面的重复，从而必须产生循环．这个现象揭示了一个简单的定理：定理 1.1：1/n 的小数展开，其循环节长度不超过 n-1．如果循环节恰好为 n-1 ，在竖式计算的每一步中，余数一定遍历了 1，2，…，n-1，那么显然，1/n, 2/ n,…， (n-1)/n 的竖式计算，一定能和 1/n 的竖式计算中的某一步衔接起来，循环节会形成 “走马灯” 的效果．14已知15已知16已知实数17已知18当19已知20关于多项式21当22已知23阅读材料：把形如。
乘法公式的巧妙应用
要注重实践应用，将所学知识应用到实际生活中 去。通过实践应用，可以加深对乘法公式的理解 ，提高解决实际问题的能力，同时也可以激发学 习的兴趣和动力。
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02 乘法结合律的应用
乘法结合律的定义
乘法结合律是指三个数相乘时，其乘 积不改变，但相乘的顺序可以改变。
具体来说，如果a、b、c是任意实数， 那么(a×b)×c=a×(b×c)。
乘法结合律在生活中的应用
在购物时，如果需要购买多个商品，可以将商品分类，然后 分别计算每类商品的总价，最后再相加，这样可以更快地计 算出总价。
利用乘法交换律可以比较两个数 的乘积大小，只需考虑其中一个 数的大小即可。
乘法交换律在数学问题中的应用
解决代数方程
在解代数方程时，可以利用乘法交换 律来调整方程中的项的顺序，简化计 算过程。
证明定理
在数学证明中，乘法交换律常常被用 来证明某些等式或不等式，提供了一 种有效的证明方法。
04 乘法公式的综合应用
归纳总结
在练习过程中，要善于归纳总结，将不同类型的 题目进行分类整理，找出它们的共同点和规律性 。这样可以帮助我们更好地理解和记忆乘法公式 ，提高解题的灵活性和应变能力。
多做练习题
通过多做练习题，可以加深对乘法公式的理解和 记忆，提高运用乘法公式解决实际问题的能力。 同时，练习题也可以帮助我们发现和纠正错误， 提高解题的准确性和效率。
在计算面积时，可以将一个多边形分解成几个三角形，然后 分别计算每个三角形的面积，最后再相加，这样可以简化计 算过程。
乘法结合律在数学问题中的应用
在解决代数问题时，可以利用乘法结合律将复杂的表达式 进行简化。
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乘法公式的综合应用
题型一、直接应用
1、计算：（1）；（2）（3）
2、计算：（1）；（2）
题型二、变位应用
3、计算：（1）；（2）；（3）
题型三、整体思想应用
4、计算：（1）（2）
易错题
1、2、
3、
4、若，求的值。
5、计算：
题型四、连续思想应用
5、计算（1）（2）99×101×10001
题型五、逆向思维应用
6、计算：（1）（2）472-94×27+272
7、已知，并且，求的值。
题型六、变形应用
8、用乘法公式计算：（1）792；（2）；982－101×99
9、计算：（1）；（2）
10、已知：，求下列各式的值：
（1）；（2）（3）
11、已知：，求的值
12、计算：
题型七、配方法的应用
13、若是一个完全平方式，则M的值为_______。
14、（1）已知，求的值为________；
（2）若，则的值为_______。
15、（1）已知，则的值是__________；
（2）已知，则的值是__________；
（3）已知代数式，则_____，_____时，代数式有最_____值是__________.
16、已知，求的值。
17、已知，试判断M、N的大小。
题型八、代数式求值
18、（1）已知，那么的值是_______；
（2）若，则的值为________；
19、若，则的值________
20、（1）当时，多项式的值是，求当时，多项式的值是多少？
（2）已知，求代数式的值。
21、已知，求代数式的值。
22、当，求代数式的值。
23、已知多项式能被整除，求代数式的值。