高等数学B：高数下册期末试卷答案(00-13)

2000级(一)(BA) LB20010627

A D

B D

C 一、

1.(15)二、，；

2.18a ；

3.dx dy -；

4.5a =-；10

6.3

；1

7.(,)dx f x y dy ⎰；

8.20x y +=；22

9.d ,:01,0.62L

x y A y s L z y ==+=≥⎰平面上的曲线；10.1.

2232

2222225

20

()(2)2()d sin d d .

5

a

xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy z x y dxdydz r r r a ∑

ππ

Ω

∑Ωπϕθθ+-++=++=⋅=⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰

三、设围成空间闭区域,

121222222311cos(),cos()sin().x xy x x

z y xy z xy xy xy y

y y y

ϕϕϕϕϕ'''''''=++=--

--四、2

100111()(2)()222221212 2.2

n n n n n n x x nx f x x x x x x x x

x ∞∞-+=='

⎛⎫' ⎪⎛⎫'=-==⋅== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭

<⇒-<<∑∑五、由

2sin 0

sin ,0,4

4

7

d sin d .336

7

(0,).

6

D D

D

y x ydxdy

y ydxdy r r r dxdy π

θ

θ

θθπ

π∴===

=⋅=

∴⎰⎰⎰⎰⎰

⎰

⎰⎰七、因月牙形均匀薄片关于轴对称重心位于处. 八：1||1lim lim 1,1||2n n n n

a n R a n +→∞→∞+==∴=+；当1x =时，01

1n n ∞

=+∑发散，1x =-时，0(1)1n n n ∞=-+∑收敛，故收敛区间为[1,1)-。设0(),[1,1)1

n

n x s x x n ∞

==∈-+∑，则有(0)1s =。又

10()1n n x xs x n +∞

==+∑，有100

1

[()]()11n n n n x xs x x n x +∞∞

==''===+-∑∑，

()ln(1)1x

dx xs x x x ∴==---⎰

，

当0x ≠时，有1

()ln(1)s x x x

=--，0x =时，(0)1s =。从而1

ln(1)10,01

()1

0x x x s x x x ⎧---≤<<<⎪=⎨⎪=⎩

,.

附加题：易知该椭圆关于原点对称故原点为椭圆的中心2222(,),(,)5421,f x y x y f x y x xy y =+++=令则在下的最大最小值即分别为椭圆的半长轴与半短轴之平方2222(,,)(5421),F x y x y x xy y λλ=++++-令

122211112221040

2440,,542101(,)1,(,),2,6x y F x x y x x F y x y y y F x xy y f x y f x y λλλλλ⎧⎧

⎧=++===⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

=++=⎨⎨

⎨⎪⎪⎪===++-=⎪⎪⎪⎩⎩⎩

∴==

==由得故长轴为短轴为

2000级(一)(B) LB200107

B A

C A A 一、

11.2α二、

;2.；3

3.2

4.5233()24e dx dy --

5.4π

；sin 2006.cos x dx π

⎰⎰；

；7.90y y ''+=；128.

413x y z -+==--

；9.10.(0,2].

2

(1cos )

370

062

(1cos )

232

,0,

d cos d 77

.,0)99

d d a D

a D

D x y xdxdy a x a a a dxdy πϕ

π

ϕϕρϕρρ

ππϕρρ

++∴=⋅====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

三、因关于轴对称重心位于(处.

122211

122212211122222322234,222().x xx y z f f x

y y y y y y y z f f f f f f f f f x x x x x x x

''=-

''''''''''''''''=-+--=-++四、22

2222222

(,),(,),,

()y x Q P y x P x y Q x y x y x y x y x y -∂∂-====++∂∂+六、令22210,:,,,r r r r C x y r C C C D C >+=取一适当小的使得位于C内且不与相交记与共同围成的复连通区域为设取顺时针方向则有：

11

2

2

d d d d d d 01

1d d d d 2d d 2.

r

r

r

r

C C

D D C D C Q P P x Q y P x Q y x y x y P x Q y y x x y x y r r π+-

+∂⎛⎫∂∂+=

+=-= ⎪∂∂⎝⎭∴=+=

-+=

=⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ蜒原式21

220

d sin d cos d .4

I zdxdydz r r r π

π

Ω

π

ϕθθθ=-=-⋅=-

⎰⎰⎰⎰⎰⎰七、

()

00110111

(),

(2)(1)12

1111(1)(13),

12(1)221111(1)(24),23(1)331

1()(1)1(13).

2

3n

n n n

n n n n n n n f x x x x x x x x x x x x x f x x x ∞=∞

=∞

++==

=-++++-⎛⎫==--<< ⎪++-⎝⎭

-⎛⎫

==--<< ⎪++-⎝⎭

⎛⎫∴=----<< ⎪⎝⎭∑∑∑八、

2001级(下)(A) LB20020629

C D D A D B 一、

1.二、()

2.z

z ydx xdy dz e xy +=

-；23.(0)3

f π

'； 22

2

1

4.(,)y y

I dy f x y dx +-=⎰⎰；5.2；3

6.

2

.