结构动力学题解(1)

利用虚位移原理，设 B 处产生竖向虚位移 δY
& (t )δY − kY (t )δY − 1 m lY &&(t ) δY × 2 − 1 m l 2Y &&(t ) δY × 2 + pf (t ) l 1 δY = 0 δW = −cY 2 2 12 l 23 2 && & (t ) + kY (t ) = 1 pf (t )l m lY (t ) + cY 3 6
广义质量 m* = 2m 广义阻尼 c* = 0 (b) 广义劲度 k * =
6 EI l3
广义载荷 F * (t ) = F (t )
EI = ∞
[解] 取 m1 的竖向位移为 Y
∑M
A
=0
3 && l 3 && 4 l = 0 m2 Y + k B Y ⋅ l + m1Y 8 2 4 3
4 && 3 3 + k BY = 0 m2 + m1 Y 3 4 16
题图
其自振频率：
ω=
1 4 EI 2 EI = = mδ ml 3 l ml
答图
(b) 解 如答图 利用图乘法求单位力情况下的位移 δ ，
m EI1=∞ EI2 l
δ=
1 1 2 lh 2 × l × h× h = EI 2 2 3 3EI 2
题图
1
其自振频率：
ω=
1 3EI 2 = mδ mh 2l
&& ， Fi1 = Fi 2 = mY
两柱的侧移劲度相等为： k =
3i 3EI = 3 (单位位移下的水平剪力) l2 l
忽略顶部横梁部分的轴向变形 如图：
Fi1 F(t) Fs1 m m Fs2 Fi2
取
∑F
x
=0：
F (t ) − Fi1 − Fi 2 − Fs1 − Fs 2 = 0 && − 2kY = 0 F (t ) − 2mY && + 6 EI Y = F (t ) 2mY l3
Fs = kY (t )
利用虚位移原理，设 B 处产生竖向虚位移 δY
1 & 1 &&(t ) 1 δY − 9 m l 2Y &&(t ) δY − 1 c Y & δY + lq(t ) 3 δY − kY (t )δY = 0 δW = − c1Y (t ) δY − 3 m l Y 2 (t ) 2 2 4 4 8 2l 2 2 4 考虑到 δY 的任意性，上式可以简化为：
F (t ) = F sin ω t
y0 =
l3 3EI 3EI ml 3
题图
系统自振频率 ω =
动力系数 µ =
1 3EI = 2 ω 3EI − ml 3ω 2 1− ω2 3EI l3 Fl 3 ⋅ ⋅ F = 3EI − ml 3ω 2 3EI 3EI − ml 3ω 2
q( x, t ) = q x f (t ) 3l
EI = ∞
[解] 取 D 点向上的位移为 Y
q( x, t ) = q x f (t ) 3l
EI = ∞
设 y1 为中间变量。 k1 弹簧的力为 k1 y1 − Y

1 3
梁 AB ：
∑M ∑M
A
=0
1 Y q f (t ) ⋅ 3l ⋅ l − k1 y1 − ⋅ 2l = 0 2 3 && 3l 1 && 2Y & Y Y 2 Y k1 y1 − l − m − m(3l ) − c ⋅ 2l − k 2Y ⋅ 3l = 0 3 2 2 12 3l 3
&&(t ) + 运动方程： m lY 3 4 1 & (t ) + kY (t ) = 3 lq (t ) (c1 + c2 )Y 4 4
FN 力所作的虚功：
Y (t ) F δY = N Y δY = kG * Y δY 2l 2l 3 广义质量 m* = m l 4 广义劲度 k * = k 1 广义阻尼 c* = (c1 + c2 ) 4 3 广义载荷 F * (t ) = lq(t ) 4 F 广义几何劲度 kG * = N 2l F * 组合广义劲度 k * = k * − kG = k − N ，欧拉临界力 FNcr = 2lk 2l δWn = FN
3 2 1 3 3 1 2
系统总劲度：
k = ∑ ki = 2k1 + 2k 2 =
其自振频率：
(
3 1 2
)
题图
ω= =
3 k 48E l2 I1 + l13 I 2 = 3 m ml13l2
(
)
答图
4 l1l2
3 3E I1l2 + I 2l13 ml1l2
(
)
2、试计算如图所示结构集中质体处作无阻尼受迫振动的振幅值。 (a) 解：
F (t ) = F sin ω t
受迫振动的振幅：
ymax = µ y0 F =
(b) 利用图乘法求质体在单位力作用下的垂直位移。 可利用力法或位移法画出单位力作用下的弯矩图。
δ1 =
1 1 l l 2 13 l 1 l l 5l + × × × × × × × EI 2 2 4 3 64 2 2 4 48
题图
k1 k 2 k3 值的计算参考位移法中的形常数
系统总劲度：
k = ∑ ki =
27 EI 2 h3
答图
其自振频率：
ω=
k 2Hale Waihona Puke Baidu EI 2 = M Mh 3
(f) 解：考虑质体有单位垂直位移时的系统劲度
k1 =
12 EI1 (l1 / 2)3
k2 =
12 EI 2 (l2 / 2)3 48E l I + l I ll
(d) 单位力作用下可知：
l2 l Fs 2 = 1 l1 + l2 l1 + l2 l2 l1 δ1 = δ2 = (l1 + l2 )k1 (l1 + l2 )k2 Fs1 =
令 δ M 为梁无限刚度时的质体垂直位移
k1 Fs1
题图 m 1 EI k2 Fs2 答图
δM
l = δ1 + (δ 2 − δ1 ) 1 l1 + l2 l1 l2 l2 l1 + − (l1 + l2 )k1 (l1 + l2 )k1 (l1 + l2 )k2 (l1 + l2 ) l 2k + l 2k = 1 1 22 2 (l1 + l2 ) k1k2 =
广义阻尼 c* = 广义载荷 F * (t ) = 所受载荷及约束如图，试求此广义单自由度系统的 m * 、 k * 、 c * 、 F * (t ) ，写出其运动 方程。
q(t) A
4 c 3
k1
EI = ∞
B k2 C D c l/2
l
l
l/2
[解] 取 B 点向上的位移 Y ，
q(t) A y1 B Fs2 Mi C Y Fc
2、图示 L 型刚架，其单位质量 m ， BA 、 BC 两杆的 EI = ∞ ，刚架所受的载荷以及约束 见图。试求广义单自由度系统的 m * 、 k * 、 c * 、 F * (t ) ，写出其运动方程。
Fd q( x, t ) = p
m EI = ∞
C Mi2 Fi2 Fi1 A l
x f (t ) l l
梁 CD ：
C
=0
由上两式消去中间变量 y1 ：
&& + 4 cY & + 3k Y = 3 qf (t )l mY 2 3 4
广义质量 m* = m 广义劲度 k * = 3k 2
3 qlf (t ) 4 4、图示结构系统， AB 、 CD 两杆 EI = ∞ ，略去 AB 的质量， CD 杆的总质量为 m ，系统
EI = ∞
m
[解] 取 B 处的竖向位移 Y 为基本未知量，则其他各个力处相应的位移均可以用 Y 及其导数 进行表示。如图。
1 d 1 & Y = c1Y (t ) 2 dt 2 1 && &&(t ) Fi1 = m ⋅ 3l Y (t ) = 3 m l Y 4 4 Fd1 = c1 M1 = J Fd 2 = c2 &&(t ) 1 && 1 2Y 9 2 1 2Y (t ) &&(t ) = m (3l )(3l ) = m l 2Y 4 l 12 4 l 8 1 d & 1 & Y (t ) = c2Y (t ) 2 dt 2
令 δ t 为两支座弹簧无限刚度时单位力作用下质体的垂直位移
1 1 l1l2 2 l1l2 l12 l22 δt = × (l1 + l2 ) × × = 3 EI (l1 + l2 )2 3 (l1 + l2 )2 2 3EI (l1 + l2 )
总变形： δ = δ t + δ M 其自振频率： ω =
2 ml 3 广义劲度 k * = k 广义阻尼 c* = c 1 广义载荷 F * (t ) = pf (t )l 6
广义质量 m* = 3、图示结构系统， AB 、 CD 两杆 EI = ∞ ，略去 AB 的质量， CD 杆的总质量为 m ，系统 所受载荷及约束如图，试求此广义单自由度系统的 m * 、 k * 、 c * 、 F * (t ) ，写出其运动 方程。
题图
23 l 3 = 1536 EI
则系统的自振频率
ω=
1 1536 EI = mδ 23ml 3 1 1536 EI = 2 ω 1536 EI − 23ml 3ω 2 1− ω2 1536 EI 23l 3 ⋅ ⋅F 1536 EI − 23ml 3ω 2 1536 EI
h
答图
(c) 解：单位力单独作用下的位移
δ1 =
l3 3EI =δ
题图
由质体 m 的竖向位移关系可知：
(1 − Fs0 )δ1 = Fs0
k
由上式解出：
Fs 0 =
kδ1 1 + kδ1
δ=
δ1 l3 = 1 + kδ1 3EI + kl 3
答图
其自振频率：
ω=
1 3EI + kl 3 = mδ ml 3
k1
Fs1
EI = ∞
设 y1 为中间变量。 k2 弹簧的力为 k2 ( y1 − Y ) 对 AB ：
∑M
y1 l + k 2 ( y1 − Y )2l = q (t )2l ⋅ l 2 q (t )2l + 2k 2Y y1 = k1 + 2k 2 2
A
=0
k1
对 CD ：
∑M
C
=0
&& l 1 2Y & l =0 − k 2 ( y1 − Y ) + ml 2 + cY 2 12 l 2 m && & + k1k 2 Y = 4k 2 q (t )l Y + cY 3 k1 + 4k 2 k1 + 4k 2 k1k 2 k1 + 4k 2 4k 2 q(t )l k1 + 4k 2
广义质量 m* =
3 4 3 m2 + m1 广义劲度 k * = k B 16 3 4
广义载荷 F * (t ) = 0
广义阻尼 c* = 0
第二章 单自由度系统的振动
1、试计算图示各结构的自振频率。设各杆的质量略去不计。 (a) 解： 求单位力作用下的位移 δ ，如答图 利用图乘法：
3 1 1 l 2 l l δ= × l × × × × 3 = EI 2 2 3 2 4 EI
第一章 结构动力学概论
1、图示结构系统， AB 为刚性杆 EI = ∞ ，其单位质量 m ，系统所受载荷及约束如图。试 求该系统的广义质量 m * ，广义劲度 k * ，广义载荷 F * (t ) ，广义几何劲度 kG * ，组合广义 劲度 k * ，欧拉临界力 FNcr ，写出此广义单自由度系统的运动方程。
l
Mi1 B Y Fs
[解] 取 B 处的竖向位移 Y 为基本未知量，则其他各个力处相应的位移均可以用 Y 及其导数 进行表示。如本题解图
d & (t ) Y =cY dt 1 && Fi1 = Fi 2 = m lY (t ) 2 Fd = c M i1 = J
Fs = kY (t )
&&(t ) 1 &&(t ) 1 Y Y &&(t ) = M = (m l )l 2 = m l 2Y i2 l 12 l 12
2 2 1 l12 l2 l12 k1 + l2 k2 = 1 / m + 3 2 3EI (l + l ) (l + l ) k k mδ 1 2 1 2 1 2
(e) 解，考虑质体水平单位位移时的系统劲度。
k1 = k3 = k2 =
12 EI 2 h3
3EI 2 h3
代入 y1 ，经整理得：
广义质量 m* =
m 3
广义劲度 k * =
广义阻尼 c* = c
广义载荷 F * (t ) =
5、试列出图(a)与(b)所示系统的运动方程，并计算各系数(不考虑阻尼的影响) (a)
F(t)
m
m
EI 常数
l
[解] 取质体的水平位移为 Y ，水平虚位移为 δY 质体上的惯性力