结构动力学题解(1)
结构动力学题解(1)
题图
23 l 3 = 1536 EI
则系统的自振频率
ω=
1 1536 EI = mδ 23ml 3 1 1536 EI = 2 ω 1536 EI − 23ml 3ω 2 1− ω2 1536 EI 23l 3 ⋅ ⋅F 1536 EI − 23ml 3ω 2 1536 EI
2 2 1 l12 l2 l12 k1 + l2 k2 = 1 / m + 3 2 3EI (l + l ) (l + l ) k k mδ 1 2 1 2 1 2
(e) 解，考虑质体水平单位位移时的系统劲度。
k1 = k3 = k2 =
12 EI 2 h3
3EI 2 h3
令 δ t 为两支座弹簧无限刚度时单位力作用下质体的垂直位移
1 1 l1l2 2 l1l2 l12 l22 δt = × (l1 + l2 ) × × = 3 EI (l1 + l2 )2 3 (l1 + l2 )2 2 3EI (l1 + l2 )
总变形： δ = δ t + δ M 其自振频率： ω =
F (t ) = F sin ω t
y0 =
l3 3EI 3EI ml 3
题图
系统自振频率 ω =
动力系数 µ =
1 3EI = 2 ω 3EI − ml 3ω 2 1− ω2 3EI l3 Fl 3 ⋅ ⋅ F = 3EI − ml 3ω 2 3EI 3EI − ml 3ω 2
&& ， Fi1 = Fi 2 = mY
两柱的侧移劲度相等为： k =
3i 3EI = 3 (单位位移下的水平剪力) l2 l
结构动力学习题解析
结构动力学习题2.1 建立题2.1图所示的三个弹簧-质点体系的运动方程（要求从刚度的基本定义出发确定体系的等效刚度）。
题2.1图2.2 建立题2.2图所示梁框架结构的运动方程（集中质量位于梁中，框架分布质量和阻尼忽略不计）。
题2.2图2.3 试建立题2.3图所示体系的运动方程，给出体系的广义质量M、广义刚度K、广义阻尼C和广义荷载P(t)，其中位移坐标u(t)定义为无重刚杆左端点的竖向位移。
题2.3图2.4 一总质量为m1、长为L的均匀刚性直杆在重力作用下摆动。
一集中质量m2沿杆轴滑动并由一刚度为K2的无质量弹簧与摆轴相连，见题 2.4图。
设体系无摩擦，并考虑大摆角，用图中的广义坐标q1和q2建立体系的运动方程。
弹簧k2的自由长度为b。
题2.4图2.5 如题2.5图所示一质量为m1的质量块可水平运动，其右端与刚度为k的弹簧相连，左端与阻尼系数为c的阻尼器相连。
摆锤m2以长为L的无重刚杆与滑块以铰相连，摆锤只能在图示铅垂面内摆动。
建立以广义坐标u和θ表示的体系运动方程（坐标原点取静平衡位置）。
题2.5图2.6如题2.6图所示一质量为m1的质量块可水平运动，其上部与一无重刚杆相连，无重刚杆与刚度为k2的弹簧及阻尼系数为c2的阻尼器相连，m1右端与刚度为k1的弹簧相连，左端与阻尼系数为c1的阻尼器相连。
摆锤m2以长为L的无重刚杆与滑块以铰相连，摆锤只能在图示铅垂面内摆动。
建立以广义坐标u和θ表示的体系运动方程（坐标原点取静平衡位置，假定系统作微幅振动，sinθ=tanθ=θ）。
计算结果要求以刚度矩阵，质量矩阵，阻尼矩阵的形式给出。
3.1单自由度建筑物的重量为900kN，在位移为3.1cm时（t＝0）突然释放，使建筑产生自由振动。
如果往复振动的最大位移为2.2cm（t ＝0.64s），试求：（1）建筑物的刚度k；（2）阻尼比ξ；（3）阻尼系数c。
3.2 单自由度体系的质量、刚度为m＝875t，k＝3500kN/m，且不考虑阻尼。
在线测试题试题库及解答(第十章)结构动力学
在线测试题试题库及解答第十章结构动力学基础一、单项选择题1、结构的主振型与什么有关？A、质量和刚度B、荷载C、初始位移D、初始速度标准答案A2、结构的自振频率与什么有关？A、质量和刚度B、荷载C、初始位移D、初始速度标准答案A3、单自由度体系在简谐荷载作用下，下列哪种情况内力与位移的动力系数相同？A、均布荷载作用B、荷载作用在质点上与质点运动方向垂直C、荷载不作用在质点上D、惯性力与运动方向共线标准答案D4、具有集中质量的体系，其动力计算自由度A、等于其集中质量数B、小于其集中质量数C、大于其集中质量数D、以上都有可能标准答案D5、具有集中质量的体系，其动力计算自由度A、等于其集中质量数B、小于其集中质量数C、大于其集中质量数D、以上都有可能标准答案D6、当简谐荷载作用于有阻尼的单自由度体系质点上时，若荷载频率远远大于体系的自振频率时，则此时与动荷载相平衡的主要是A、弹性恢复力B、重力C、阻尼力D、惯性力标准答案D7、设ω为结构的自振频率，θ为荷载频率，β为动力系数下列论述正确的是A、ω越大β也越大B、θ/ω越大β也越大C、θ越大β也越大D、θ/ω越接近1，β绝对值越大标准答案D8、如果体系的阻尼增大，下列论述错误的是A、自由振动的振幅衰减速度加快B、自振周期减小C、动力系数减小D、位移和简谐荷载的相位差变大标准答案B9、无阻尼单自由度体系在简谐荷载作用下，共振时与动荷载相平衡的是A、弹性恢复力B、惯性力C、惯性力与弹性力的合力D、没有力标准答案D10、有阻尼单自由度体系在简谐荷载作用下，共振时与动荷载相平衡的是A、弹性恢复力B、惯性力与弹性力的合力C、惯性力D、阻尼力标准答案D11、当简谐荷载作用于无阻尼的单自由度体系质点上时，若荷载频率远远小于体系的自振频率时，则此时与动荷载相平衡的主要是A、弹性恢复力B、阻尼力C、惯性力D、重力标准答案A12、一单自由度振动体系，其阻尼比为ξ，动力系数β，共振时下列结果正确的是A、ξ=0.05，β=10B、ξ=0.1，β=15C、ξ=0.15，β=20D、ξ=0.2，β=25标准答案A13、一单自由度振动体系，由初始位移0.685cm，初始速度为零产生自由振动，振动一个周期后最大位移为0.50cm，体系的阻尼比为A、ξ=0.05B、ξ=0.10C、ξ=0.15D、ξ=0.20标准答案A14、在低阻尼体系中不能忽略阻尼对什么的影响？A、频率B、主振型C、周期D、振幅标准答案D15、单自由度体系受简谐荷载作用，ω为体系自振频率，θ为荷载频率，动位移y(t)与荷载P(t)的关系是A、当θ/ω＞1时，y(t)与P(t)同向，当θ/ω＜1时，y(t)与P(t)反向。
结构动力学习题解答一二章
2、 动量距定理法
适用范围:绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤:(1) 对系统进行受力分析与动量距分析;
(2) 利用动量距定理J ,得到系统的运动微分方程;
(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法:
;
1、7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A的质量为mA,半径为rA,齿轮B的质量为mB,半径为rB,杆AC的扭转刚度为KA,,杆BD的扭转刚度为KB,
解:由齿轮转速之间的关系 得角速度 ;转角 ;
系统的动能为:
CA
;B D
图1-36
系统的势能为:
;
系统的机械能为
;
由 得系统运动微分方程
;
适用范围:所有的单自由度系统的振动。
解题步骤:(1)设系统的广义坐标为 ,写出系统对于坐标 的动能T与势能U的表达式;进一步写求出拉格朗日函数的表达式:L=T-U;
(2)由格朗日方程 =0,得到系统的运动微分方程;
(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法
1、2叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法与步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法与共振法。
方法一:衰减曲线法。
求解步骤:(1)利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期与相邻波峰与波谷的幅值 、 。
(2)由对数衰减率定义 , 进一步推导有
,
因为 较小,所以有
。
方法二:共振法求单自由度系统的阻尼比。
;L/2L/2
则固有频率为:
图1-33(b)
结构动力学习题解答（一二章）
结构动力学习题解答（一二章）第一章单自由度系统总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1、牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1）对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2）利用牛顿第二定律∑xm ,得到系统的运动微分方=F程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
2、动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1）对系统进行受力分析和动量距分析；（2）利用动量距定理J∑θ ,得到系统的运动微分方程；=M（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
3、拉格朗日方程法：适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ；（2）由格朗日方程θθ??-LL dt )( =0，得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
4、能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const（2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即0)(=+dtU T d ，进一步得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。
方法一：衰减曲线法。
求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。
（2）由对数衰减率定义 )ln(1+=i iA A δ，进一步推导有 212ζπζδ-=，因为ζ较小，所以有πδζ2=。
结构力学课后答案第10章结构动力学
10-34试说明用振型分解法求解多自由度体系动力响应的基本思想，这一方法是利用了振动体系的何种特性
10-35试用振型分解法计算题10-32。
解：
刚度矩阵 质量矩阵
其中
由刚度矩阵和质量矩阵可得：
则 应满足方程
其稳态响应为：
同理：
显然最大位移
10-36试用振型分解法计算题10-31结构作有阻尼强迫振动时，质量处的最大位移响应。已知阻尼比ξ1＝ξ2＝。
得振型方程：
)
，令
，由频率方程D=0
解得： ，
，
(c)
解：
图 图
（1） ， ，
（2）振型方程
。
令 ，频率方程为：
（3）当 时，设
当 时，设
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
(d)
解：
#
图 图
频率方程为：
取 代入整理得：
其中
~
振型方程为：
将 代入（a）式中的第一个方程中，得：
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
\
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106Nm2，t1＝，FP0＝8×104N。
(a)
设 ，
；
使 ，则
（2）
设
如果使速度响应最大，则 最大，设 ，显然要求 最小。使： 得 。
（3）
令 显然要求 最小。
则 解的：
结构动力学思考题解答
结构动力学思考题made by 云屹思考题一1、结构动力学与静力学的主要区别是什么？结构的运动方程有什么不同？主要区别为：(1)动力学考虑惯性力的影响，静力学不考虑惯性力的影响；(2)动力学中位移等量与时间有关，静力学中位移等量不随时间变化；(3)动力学的求解方法通常与荷载类型有关，静力学一般无关。
运动方程的不同：动力学的运动方程包括位移项、速度项和加速度项；静力学的平衡方程只包括位移项。
2、什么是动力自由度？什么是静力自由度？区分动力自由度和静力自由度的意义是什么？动力自由度：确定结构体系质量位置的独立参数；静力自由度：确定结构体系在空间中的几何位置的独立参数。
意义：通过适当的假设，当静力自由度数大于动力自由度数时，使用动力自由度可以减少未知量，简化计算，提高计算效率。
3、采用集中质量法、广义坐标法和有限元法都可以使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们所采用的手法有什么不同？4、在结构振动的过程中引起阻尼的原因有哪些？(1)材料的摩擦或材料变形引起的热耗散；(2)构件连接处或结构构件与非结构构件之间的摩擦；(3)结构外部介质的阻尼。
5、在建立结构运动方程时，如考虑重力的影响，动位移的运动方程有无改变？如果满足条件：(1)线性问题；(2)重力的影响预先被平衡；则动位移的运动方程不会改变，否则会改变。
思考题二1、刚度系数k ij和质量系数m ij的直接物理意义是什么？如何直接用m ij的物理概念建立梁单元的质量矩阵[M]？k ij：由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力；m ij：由第j自由度的单位加速度所引起的第i自由度的力。
依次令第j（j=1,2,3,4）自由度产生单位加速度，而其他的广义坐标处保持静止，使用平衡方程解出第i自由度上的力，从而得到m ij，集成得到质量矩阵[M]。
2、如何用刚度矩阵和质量矩阵，以矩阵的形式表示多自由度体系的势能和动能？{}[]{}1=2TT u M u {}[]{}1=2TV u K u3、建立多自由度体系运动方程的直接动力平衡法和拉格朗日方程法的优缺点是什么？ (1)直接动力平衡法：优点：概念直观，易于通过各个结构单元矩阵建立整体矩阵，便于计算机编程。
结构动力学1~15
《结构动力学》习题答案1~151． 1简述求多自由度体系时程反应的振型叠加法的主要步骤 答1）建立多自由度体系的运动方程)()()()(t p t kv t v c t vm =++ 2）进行振型和频率分析对无阻尼自由振动，这个矩阵方程能归结为特征问题)(ˆ2t p vm k =-ω 由此确定振型矩阵φ和频率向量ω 3）求广义质量和荷载依次取每一个振型向量n φ，计算每一个振型的广义质量和广义荷载n T n nm Mφφ= )()(t p t p Tn n φ=4）求非耦合运动方程用每个振型的广义质量、广义力、振型频率n ω和给定的振型阻尼比n ξ就能写出每一个振型的运动方程2)(2)(ωωξ++t Y t Y n n n n nn nMt P t Y )()(=5）求对荷载的振型反应根据荷载类型，用适当的方法解这些单自由度方程，每一个振型的一般动力反应表达式用Duhamel 积分给出ττωτωξτωd t t P M t Y Dn n n tn nn n )(sin )](exp[)(1)(0---=⎰写出标准积分形式τττd t h P t Y n tn n )()()(0-=⎰式中)](exp[)(sin 1)(τωξτωωτ---=-t t M t h n n Dn nn n 10<<n ξ6）振型自由振动每一个振型有阻尼自由振动反应的通式为)exp[]sin )0()0(cos )0([)(t t Y Y t Y t Y n n Dn Dnnn n n Dn n n ωξωωωξω-++=7）求在几何坐标中的位移反应通过正规坐标变换求几何坐标表示的位移式)()()()(2211t Y t Y t Y t V n n φφφ+++=显然，它反映了各个振型贡献的叠加。
因此命名为振型叠加法。
8）弹性力反应抵抗结构变形的弹性力)()()(t Y k t kv t f s φ==当频率、振型从柔度形式的特征方程中求出时，可以采用另一种弹性力的表达式。
结构动力学思考题解答by李云屹
结构动⼒学思考题解答by李云屹结构动⼒学思考题made by 李云屹思考题⼀1、结构动⼒学与静⼒学的主要区别是什么结构的运动⽅程有什么不同主要区别为：(1)动⼒学考虑惯性⼒的影响，静⼒学不考虑惯性⼒的影响；(2)动⼒学中位移等量与时间有关，静⼒学中位移等量不随时间变化；(3)动⼒学的求解⽅法通常与荷载类型有关，静⼒学⼀般⽆关。
运动⽅程的不同：动⼒学的运动⽅程包括位移项、速度项和加速度项；静⼒学的平衡⽅程只包括位移项。
2、什么是动⼒⾃由度什么是静⼒⾃由度区分动⼒⾃由度和静⼒⾃由度的意义是什么动⼒⾃由度：确定结构体系质量位置的独⽴参数；静⼒⾃由度：确定结构体系在空间中的⼏何位置的独⽴参数。
意义：通过适当的假设，当静⼒⾃由度数⼤于动⼒⾃由度数时，使⽤动⼒⾃由度可以减少未知量，简化计算，提⾼计算效率。
3、采⽤集中质量法、⼴义坐标法和有限元法都可以使⽆限⾃由度体系简化为有限⾃由度体系，它们所采⽤的⼿法有什么不同4、在结构振动的过程中引起阻尼的原因有哪些(1)材料的内摩擦或材料变形引起的热耗散；(2)构件连接处或结构构件与⾮结构构件之间的摩擦；(3)结构外部介质的阻尼。
5、在建⽴结构运动⽅程时，如考虑重⼒的影响，动位移的运动⽅程有⽆改变如果满⾜条件： (1)线性问题；(2)重⼒的影响预先被平衡；则动位移的运动⽅程不会改变，否则会改变。
思考题⼆1、刚度系数k ij 和质量系数m ij 的直接物理意义是什么如何直接⽤m ij 的物理概念建⽴梁单元的质量矩阵[M]k ij ：由第j ⾃由度的单位位移所引起的第i ⾃由度的⼒； m ij ：由第j ⾃由度的单位加速度所引起的第i ⾃由度的⼒。
依次令第j （j=1,2,3,4）⾃由度产⽣单位加速度，⽽其他的⼴义坐标处保持静⽌，使⽤平衡⽅程解出第i ⾃由度上的⼒，从⽽得到m ij ，集成得到质量矩阵[M]。
2、如何⽤刚度矩阵和质量矩阵，以矩阵的形式表⽰多⾃由度体系的势能和动能{}[]{}1=T u M u {}[]{}1=2TV u K u3、建⽴多⾃由度体系运动⽅程的直接动⼒平衡法和拉格朗⽇⽅程法的优缺点是什么 (1)直接动⼒平衡法：优点：概念直观，易于通过各个结构单元矩阵建⽴整体矩阵，便于计算机编程。
结构动力学思考题解答
结构动力学思考题made by 李云屹思考题一1、结构动力学与静力学的主要区别是什么？结构的运动方程有什么不同？主要区别为：(1)动力学考虑惯性力的影响，静力学不考虑惯性力的影响；(2)动力学中位移等量与时间有关，静力学中位移等量不随时间变化；(3)动力学的求解方法通常与荷载类型有关，静力学一般无关。
运动方程的不同：动力学的运动方程包括位移项、速度项和加速度项；静力学的平衡方程只包括位移项。
2、什么是动力自由度？什么是静力自由度？区分动力自由度和静力自由度的意义是什么？动力自由度：确定结构体系质量位置的独立参数；静力自由度：确定结构体系在空间中的几何位置的独立参数。
意义：通过适当的假设，当静力自由度数大于动力自由度数时，使用动力自由度可以减少未知量，简化计算，提高计算效率。
3、采用集中质量法、广义坐标法和有限元法都可以使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们所采用的手法有什么不同？4、在结构振动的过程中引起阻尼的原因有哪些？(1)材料的内摩擦或材料变形引起的热耗散；(2)构件连接处或结构构件与非结构构件之间的摩擦；(3)结构外部介质的阻尼。
5、在建立结构运动方程时，如考虑重力的影响，动位移的运动方程有无改变？如果满足条件：(1)线性问题；(2)重力的影响预先被平衡；则动位移的运动方程不会改变，否则会改变。
思考题二1、刚度系数k ij和质量系数m ij的直接物理意义是什么？如何直接用m ij的物理概念建立梁单元的质量矩阵[M]？k ij：由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力；m ij：由第j自由度的单位加速度所引起的第i自由度的力。
依次令第j（j=1,2,3,4）自由度产生单位加速度，而其他的广义坐标处保持静止，使用平衡方程解出第i自由度上的力，从而得到m ij，集成得到质量矩阵[M]。
2、如何用刚度矩阵和质量矩阵，以矩阵的形式表示多自由度体系的势能和动能？{}[]{}1=2TT u M u {}[]{}1=2TV u K u3、建立多自由度体系运动方程的直接动力平衡法和拉格朗日方程法的优缺点是什么？ (1)直接动力平衡法：优点：概念直观，易于通过各个结构单元矩阵建立整体矩阵，便于计算机编程。
华科土木结构动力学-作业题汇总精选全文完整版
《结构动力学》课后习题1试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆件自身的质量和轴向变形。
(a)4个动力自由度(b)2个动力自由度(c)2个动力自由度(d)2个动力自由度m（e ）3个动力自由度（f ）3个动力自由度(g)2个动力自由度(h)3个动力自由度(i)2个动力自由度(j)1个动力自由度m（k ）2个动力自由度（l ）2个动力自由度2试比较下列图式结构（a ）、（b）固有频率的大小，并说明理由。
解：（a ）结构滑动铰支座刚度无穷大，而（b ）结构由于二力杆可以轴向变形，所以（a ）结构刚度大于（b ）结构刚度；而两结构质量相等，根据ω=可以知道，（a ）结构故固有频率大于（b）结构固有频率。
m（a ）（b ）3下图为刚性外伸梁，C 处为弹性支座，刚度系数为k ，梁端A ，D 处分别有m 和质量m /3，同时梁受集中荷载F P (t )的作用，试建立刚性梁的运动方程。
解：单自由度体系，设刚性梁转角为ϕm(t)(my )(y )3A A D D F ϕϕϕϕδδδ=-⋅+-⋅+ （1）其中A y l ϕ=2D y l ϕ= 设刚梁顺时针转动为正①当在A 处作用单位力F=1时,2()3C F =↓234329A l k klϕδ=+÷=+②当在D 处作用单位力F=1时,4()3C F =↑438329A l k klϕδ=+÷=+③当作用F p （t ）时，(t)()3p C F F =↑(t)2(t)3329p p FF F l k kl ϕδ=÷=代入（1）式得：2(t)4m 8(m )((2)9399p F l l kl kl klϕϕϕ=-⋅+-⋅⋅+整理得：2(t)28279p F m k klϕϕ+=4求图示结构的自振频率ωEI =∞kθlθm解：如图所示，该体系只有一个自由度。
设固定支座处出为原点，距离原点x处的质点（mdx ）位移为x θ，惯性力为()mdx x mx dx θθ''-=- 。
克拉夫《结构动力学》习题答案汇总
第二章 自由振动分析2-1（a ） 由例22T π=22()W K T gπ= 因此 max ()()D t kT νν= 其中 k=0、1、2……T D =0.64sec 如果ξ 很小，T D =T∴ 222200()49.9/0.64sec 386/sec kipsk kips in in π==⇒ 50/k kips in = （b ）211lnln n n v v v v δ+≡=δξ=→=1.2ln 0.3330.86δ==0.0529ξ==0.33320.05302δπξξπ=→==⇒ 5.3%ξ= (a ’)D ω=2T πω=T T =249.950/1k kips in ξ==- (c)2c m ξω=W m g=2T πω=4c T gπωξ=T T =241W c Tg πξξ=- 2240.05292000.64sec386/sec 10.0529kipsc in π=-0.539sec/c kips in =⋅ T=T D0.538sec/c kips in =⋅ ⇒0.54sec/c kips in =⋅2-22k mω=→4.47ω== (1/sec ) (0)(0)()sin (0)cos tD D Dv v t et v t ξωξωνωωω-⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∴ (0)(0)()sin (0)(0)(0))cos t D D D v v t e t v v v t ξωξωνξωωξωξωωω-⎛⎫⎡⎤+⎧⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=-++-⎨⎬⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎣⎦⎝⎭()22(0)(0)()(0)cos sin D t D D Dv v t e v t t ξωξωξωωνωωω-⎛⎫⎡⎤++ ⎪⎣⎦=- ⎪ ⎪⎝⎭D ω=→()(0)cos (0)(0)sin t D D D t e v t v v t ξωωνωξωωω-⎛⎫⎡⎤=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()(0)cos tD D t ev t t ξωνωω-⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭0.055922(2)(4.47)c cc m ξω=== (a) c=0→0ξ=→D ωω=∴ 5.6(1)sin 4.470.7cos 4.47 1.384.47v t in ==+=- (1) 5.6cos 4.47 4.47(0.7)sin 4.47 1.69/sec v t in ==-=⇒(1) 1.4v in =-,(1) 1.7/sec v in = (b)c=2.8→0.0559(2.8)0.157ξ==4.41D ω== (1/sec ) (0.157)(4.41)5.60.7(0.157)(4.47)(1)sin 4.410.7cos 4.414.41t e ν-⎡+⎤⎛⎫==+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1)0.764t in ν==-(0.157)(4.41)(1) 5.6cos 4.41 4.41t e ν-⎛⎫== ⎪⎝⎭(1) 1.10/sec t in ν==⇒(1)0.76v in =-,(1) 1.1/sec v in =第三章 谐振荷载反应3-1根据公式有 ()()21sin sin 1R t w t wt ββ⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦0.8wwβ== ()()2.778sin 0.8sin1.25R t wt wt=-将t ω以80°为增量计算)(t R 并绘制曲线如下：80° 160° 240° 320° 400° 480° 560° 640° 720° 800° 00.547 1.71 -0.481 -3.214 0.357 4.33 -0.19 -4.9244.9241.25w w =tω)(t R3-2解：由题意得：22m kips s in =⋅ ， 20k kips in = ， (0)(0)0v v == ，w w =3.162w rad ===8wt π=（a ）0c =()()1sin cos 2R t wt wt wt =-将8wt π=代入上式得：()412.566R t π=-=- （b ）0.5c k s =⋅0.50.0395222 3.162c c c c mw ξ====⨯⨯()()(){}1exp 1cos exp sin 2R t wt wt wt wt ξξξξ=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦将8wt π=代入上式得：()7.967R t =- （c ） 2.0c k s =⋅2.00.1582223.162c c c c mw ξ====⨯⨯()()(){}1exp 1cos exp sin 2R t wt wt wt wt ξξξξ=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦将8wt π=代入上式得：() 3.105R t =-3-3解：（a ）：依据共振条件可知：10.983sec w w rad =====由2L T V w π==得：10.9833662.96022wL V ft s ππ⨯===（b ）：()()()122max2221212tgo v v ξββξβ⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥-+⎣⎦1w w β==0.4ξ= 1.2go v in =代入公式可得：max 1.921tv in =（c ）：2L T V w π=='45min 66V h ft s ==226611.51336V w rad s ec L ππ⨯'===11.5131.04810.983w w β'===0.4ξ=代入数据得 ：()()()122max22212=1.85512tgov v in ξββξβ⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥-+⎣⎦3-4解：按照实际情况，当设计一个隔振系统时，将使其在高于临界频率比β=在这种情况下，隔振体系可能有小的阻尼。
济南大学高等结构动力学试题答案
济 南 大 学 试 卷考试科目：高等结构动力学 考试日期： 姓名：一、单项选择题1．图示体系作动力计算时，内力和位移动力系数相同的体系是： CA B ：C D ：2．结构体系的动力特性主要指： DA ：频率B ：振型C ：阻尼D ：频率、振型及阻尼3．图示体系（EI= 常数）的自振频率 为： B A ：)2/(33mL EI B: )4/(33mL EI LC ：)/(33mL EID ：)/(3mL EIL4．设一个两自由度体系，两个质点的质量相同，其两个主振型正确的是： A A ：Φ1={1 0.5}T Φ2={0.5 −1}T B: Φ1={−1 1}T Φ2={ 1 −1}T C: Φ1={1 1}T Φ2={ −1 −1}T D: Φ1={1 −0.5}T Φ2={0.5 −1}T二、填空题1． 在结构控制中，AMD （active mass damper ） 系统如图所示。
其中，质量块的作用是：提供惯性力 以抵消部分地震作用 弹簧的作用是：调整AMD 自身频率使之与结构被控频率接近，达到较好控制效果阻尼器的作用是：为AMD 提供阻尼，减小结构振动，控制质量块的运动范围，改善AMD 的减振效果 ；设作动器作用于质量块的力为F P （t ），质量块的质量为m T ，弹簧刚度为K T ，阻尼器粘阻系数为C T ，受控结构受到的AMD 系统的控制力为F U （t ）。
则，质量块的动平衡方程为：)(t F y K y C ym P T T T T T T =++ ；受控结构在AMD 处受到的控制力F U （t ）=)(t F y K yC P T T T T -+ 。
2．如图所示体系质点1的质量为m 1，质点m 2由弹簧与质点1相连，梁的刚度为EI ，梁长为L ，动荷载为Psin θt ，式中θ已知。
为消除m 1在动荷载作用下引起的振动，则弹簧的刚度K=22θm 。
L/2 L/2三、如图2层框架结构，梁与楼板平面内的质量各为120吨，梁的刚度为无穷大，各柱的抗弯刚度EI 均为4×104 kNm 2，在2层楼面处有动荷载F P sin θt ，F P =5 Kn ，θ=2.5 rad/s ，不计阻尼，求最大动力位移和最大动力弯矩图。
结构动力学复习题全解
-------------------------------------（7）
C cr 2m
，Cc r= 2mω（此式为确定临界阻尼的公式）
当为一般情况时，n =
C C C cr = ⋅ = ξω 2 m C cr 2 m
式中，ξ=
C 称为阻尼比。 C cr
对钢筋混凝土结构ξ< 5% ，一般取 3% 对钢结构ξ= 1% — 2% 3）当 n <ω时（弱阻尼） 此时，记 ω d = ω − n
例题2试建立图示结构的振动方程质点的质量都是m动力自由度为1即质点两个的水平位移忽略转动惯量及杆件的轴向变形侧移刚度k的求法用位移法计算质点有侧移为1无阻尼的自由振动振动方程acostbsint有阻尼的自由振动振动方程时强阻尼方程5的解为
结构动力学
*本章讨论结构在动力荷载作用下的反应。 **学习本章注重动力学的特征------惯性力。 *结构动力计算的目的在于确定结构在动力荷载作用下的位移、内力等量值随时间变化 的规律，从而找出其最大值作为设计的依据。 *动力学研究的问题：动态作用下结构或构件的强度、刚度及稳定性分析。 一、 本章重点 1．振动方程的建立 2．振动频率和振型的计算 3．振型分解法求解多自由度体系 4．最大动位移及最大动应力 二、 基础知识 1．高等数学 2．线性代数 3．结构力学 三、 动力荷载的特征 1．大小和方向是时间 t 的函数 例如：地震作用，波浪对船体的作用，风荷载，机械振动等 2．具有加速度，因而产生惯性力 四、 动力荷载的分类 1．周期性动力荷载 例如：①机械运转产生的动力荷载，②打桩时的锤击荷载。 P（t） P（t）
&(t ) ， & &(t ) 为质点运动加速度，惯性力与运动方向相反。 y y FI= − m&
结构动力学习题+讲解
&&(t ) + （ω2 – n2 ）S (t) = 0 --------------------------------------------（5） S
1．当 n >ω时（强阻尼） 方程（5）的解为： S (t) = A1sh n − ω t +A2ch n − ω t
2 2 2 2
从而，方程（4）的解为：
若时间 t 不是从 0 开始，而是从τ开始的，则（9）式写为：
y (t ) =
p∆t sinω（t-τ） mω
---------------------------------------（10）
写作： ，记ω2 =
K m
，2n =
C ，又可写作： m
& &(t ) + 2n y & (t ) +ω2 y (t ) = 0 y
利用常数变易法，令 y (t ) = e
− nt
---------------------------------------------（4）
S (t ) 代入方程（4）中 得：
K/2 VBA
48i/7L
2
A
取横梁为研究对象，Σ X=0，得：K= 4）振动方程
24 EI L3
即，
&(t ) - K y(t ) + Psinθt = 0 y - 2 m& &(t ) + y 2 m&
24 EI y(t ) = Psinθt L3
一、 无阻尼的自由振动
振动方程
&(t ) +K y (t ) = 0 ， m& y & &(t ) + y K y (t ) = 0 m
结构动力学课后答案
结构动力学课后答案1.结构动力学是什么？结构动力学是力学领域中实验和理论上探讨结构动态行为方面的分支。
它讨论物体及其某种结构体系的运动特性，以洞察内部活动以及如何令该结构体系受到外力的影响，从而确定结构的性质，推断出其可能存在的破坏模式，以及分析出它将如何受到外力和其他外来因素的影响。
2.结构动力学主要包括哪些内容？结构动力学主要包括：(1)动力学方程——研究结构在外力作用下的运动情况；(2)振型理论：研究结构被动力激励时发生的振动行为；(3)稳定分析：研究结构稳定性；(4)低频动力学：完善弹性动力学；(5)控制力学：考虑施加力的时间变化，以便更准确的研究结构的动态行为。
3.什么是动力学方程？动力学方程是由牛顿第二定律推出的，用于描述结构受到力学影响时的动态行为，主要是用于定义影响结构的外力矩，内力矩以及外力与内力之间的相互作用，以及结构运动的加速度等因素。
根据力学方程，我们能够确定结构对外力的反应，从而有助于推测出可能存在的破坏模式以及抗破坏做出相应的措施。
4.什么是振型理论？振型理论是一种实验和理论研究，用于探讨结构被动力激励的情况下，结构的振动行为。
振型研究的目的是为了确定激励结构的物理特性，如其固有振型，以及自激振型在特定频率下的振幅。
振型理论可以作为一种鉴定有关领域物理属性的重要工具，其研究成果在工程中有着重要的应用，如结构安全性的分析，隔震技术的应用等。
5.什么是稳定分析？稳定分析是指对结构的稳定性进行多维度分析的过程，以期深入地研究结构的力学性质以及受到外力的影响，从而可以准确地预计出特定条件下结构的动态性能，从而设计出满足特定力学要求的合理结构。
其常用技术包括稳振型矩阵法、最大振幅法、偶联杆法、稳定椭圆法等。
6.什么是低频动力学？低频动力学是一种补充性弹性动力学理论，它完善了一般弹性动力学理论在低频谱中所提出的不准确性，它完善了原始方程，能够很好地模拟结构在低频范围内的动力行为，是结构动力学分析的重要补充，在结构设计和控制方向具有多重应用。
结构动力学参考答案
m u + c u + ku = Pu (t ) 2.13 一根均匀杆，图 P2.13 其单位体积质量密度 ρ ，并具有顶部质量 M，应 用假定法ψ ( x) = x L 来推导该系统轴向自由振动的运动方程。假定 AE = 常数。 解：
.. 1 EA ( ρAL + M ) u + u = P(t ) 3 L
结构动力学习题 参考答案
1
2.3 一根刚梁 AB，用力在弹簧 BC 上去激励它，其 C 点的运动规定为 Z（t）,如 图 P2.3. 按 B 点的垂直运动 u 来确定系统的运动方程，假定运动是微小的。 解： 4M u + 3c u + (3k1 + 12k 2 )u = 12k 2 Z (t )
.. .
4
4.17 在振动的结构上一个点，已知其运动为 Ζ = Ζ1 cos(Ω1t ) + Ζ 2 cos(Ω 2 t ) =
0.05 cos ( 60π t ) + 0.02 cos(120π t ) 。
（a）用一加速度计其阻尼因数 ξ = 0.70 和 20 KHz 共振频率来确定振动记录 w p (t ) 。 (b) 加速度计是否会引起有效幅值或相位畸变？ 解： （a） w p (t ) = w p1 (t ) + w p 2 (t ) = 6.339 × 10 −11 A1 cos 60π (t − 1.1145 × 10 −5 ) + 6.339 × 10 −11 A2 • cos 120π (t − 1.1146 × 10 −5 ) （b） w p (t ) = C[ A1 cos Ω1 (t − τ ) + A2 cos Ω 2 (t − τ )] A1 , A2 分别表示 Z1 , Z 2 的加速度幅值，所以输出 w p (t ) 与加速度输 入成正比，所以不会发生幅值畸变或相位畸变。 5.2 运送一件仪器设备重 40 1b，是用泡沫包装在一容器内。该容器的有效刚度 k=100 1b/in，有效阻尼因数 ξ = 0.05 ，若整个容器和它的包装以垂直速度 V=150 in/s 碰撞在地面上，求泡沫包装在仪器设备的最大总应力。 （如图 P5.2 所示） 解： f max = 451.739 (1b) 6.5 例 题 4.3 中的 车辆 ， 已知 k = 400 × 10 3 , m = 1200kg , ξ = 0.4。 当满 载时以
结构动力学习题
结构动力计算习题习题9－1图示各系统的动力自由度为多少？都是什么？m m m m m m mm（1） （2） （3） （1）①△1x =△2x （2）①△1x =△2x =△3x （3）①△1y =△3y ②△1y ②△1y ②△2y ③△2y ③△3ymmmmmmmmm（4） （5） （6） （4）①△1x （5）①△1y （6）①△1y ②△1y =△2y ②△2x ②△2x ③△3y ③△2y =△3y ③△2y =△3ym m mm mm mm（7） （8） （9） （10） （7）①△1x =△2x （8）①△1x （9）①△1x （10）①△1x ②△2y ②△1y ②△2x ②△2x ③△2x ③△2y ④△2ym m mm m m mm m（11） （12） （13）（11）①△1x =△2x =△3x （12）①△1x =△2x =△3x =△4x （13）①△1x =△2x②△2y ②△1y ②△1y③△4y ③△2ym mm mm mmm（14） （15） （16） （17） （14）①△1x （15）①△1x （16）①△1x （17）①△1x =△2x ②△2x ②△1y ②△1y ②△2y ③△2x ③△2x ④△2y习题9－2图示各系统作强迫振动，已知激振力的频率与系统的自振频率之比，试求系统的动力系数β和最大动弯矩m ax d M 。
2l ltF θsin m2llmFFlM 图（1）32=ωθ， 2211ωθβ-=599411=-=， Fl M d 59m ax =tF θsin mlmlM 图FFl（2）32=ωθ， 2211ωθβ-=33211=-=， Fl M d 3m ax =ltF θsin lmM 图FFl /2（3）53=ωθ， 2211ωθβ-=255311=-=， 45m ax Fl M d = tF θsin mlmlM 图FFl（4）21=ωθ， 2211ωθβ-=22111=-=， Fl M d 2m ax =l /2tF θsin l /2mM 图FFl /4（5）32=ωθ， 2211ωθβ-=33211=-=， 43m ax FlM d =l l /2tF θsin mll /2mFFl /2M 图（6）21=ωθ， 2211ωθβ-=344111=-=， 32max Fl M d =llmtF θsin llmM 图FFl（7）43=ωθ， 2211ωθβ-=44311=-=， Fl M d 4m ax =mtF θsin ll /2M 图FFl /2Fl /2（8）31=ωθ， 2211ωθβ-=233111=-=， 43m ax Fl M d = mtF θsin ll /2mM 图F Fl /2Fl /2（9）31=ωθ， 2211ωθβ-=899111=-=， 169m ax Fl M d = 习题9－3求图示各系统的自振频率。
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利用虚位移原理，设 B 处产生竖向虚位移 δY
& (t )δY − kY (t )δY − 1 m lY &&(t ) δY × 2 − 1 m l 2Y &&(t ) δY × 2 + pf (t ) l 1 δY = 0 δW = −cY 2 2 12 l 23 2 && & (t ) + kY (t ) = 1 pf (t )l m lY (t ) + cY 3 6
题图
23 l 3 = 1536 EI
则系统的自振频率
ω=
1 1536 EI = mδ 23ml 3 1 1536 EI = 2 ω 1536 EI − 23ml 3ω 2 1− ω2 1536 EI 23l 3 ⋅ ⋅F 1536 EI − 23ml 3ω 2 1536 EI
代入 y1 ，经整理得：
广义质量 m* =
m 3
广义劲度 k * =
广义阻尼 c* = c
广义载荷 F * (t ) =
5、试列出图(a)与(b)所示系统的运动方程，并计算各系数(不考虑阻尼的影响) (a)
F(t)
m
m
EI 常数
l
[解] 取质体的水平位移为 Y ，水平虚位移为 δY 质体上的惯性力
广义质量 m* =
3 4 3 m2 + m1 广义劲度 k * = k B 16 3 4
广义载荷 F * (t ) = 0
广义阻尼 c* = 0
第二章 单自由度系统的振动
1、试计算图示各结构的自振频率。设各杆的质量略去不计。 (a) 解： 求单位力作用下的位移 δ ，如答图 利用图乘法：
3 1 1 l 2 l l δ= × l × × × × 3 = EI 2 2 3 2 4 EI
q( x, t ) = q x f (t ) 3l
EI = ∞
[解] 取 D 点向上的位移为 Y
q( x, t ) = q x f (t ) 3l
EI = ∞
设 y1 为中间变量。 k1 弹簧的力为 k1 y1 − Y
1 3
梁 AB ：
∑M ∑M
A
=0
1 Y q f (t ) ⋅ 3l ⋅ l − k1 y1 − ⋅ 2l = 0 2 3 && 3l 1 && 2Y & Y Y 2 Y k1 y1 − l − m − m(3l ) − c ⋅ 2l − k 2Y ⋅ 3l = 0 3 2 2 12 3l 3
题图
k1 k 2 k3 值的计算参考位移法中的形常数
系统总劲度：
k = ∑ ki =
27 EI 2 h3
答图
其自振频率：
ω=
k 27 EI 2 = M Mh 3
(f) 解：考虑质体有单位垂直位移时的系统劲度
k1 =
12 EI1 (l1 / 2)3
k2 =
12 EI 2 (l2 / 2)3 48E l I + l I ll
2 2 1 l12 l2 l12 k1 + l2 k2 = 1 / m + 3 2 3EI (l + l ) (l + l ) k k mδ 1 2 1 2 1 2
(e) 解，考虑质体水平单位位移时的系统劲度。
k1 = k3 = k2 =
12 EI 2 h3
3EI 2 h3
F (t ) = F sin ω t
y0 =
l3 3EI 3EI ml 3
题图
系统自振频率 ω =
动力系数 µ =
1 3EI = 2 ω 3EI − ml 3ω 2 1− ω2 3EI l3 Fl 3 ⋅ ⋅ F = 3EI − ml 3ω 2 3EI 3EI − ml 3ω 2
Fs = kY (t )
利用虚位移原理，设 B 处产生竖向虚位移 δY
1 & 1 &&(t ) 1 δY − 9 m l 2Y &&(t ) δY − 1 c Y & δY + lq(t ) 3 δY − kY (t )δY = 0 δW = − c1Y (t ) δY − 3 m l Y 2 (t ) 2 2 4 4 8 2l 2 2 4 考虑到 δY 的任意性，上式可以简化为：
EI = ∞
m
[解] 取 B 处的竖向位移 Y 为基本未知量，则其他各个力处相应的位移均可以用 Y 及其导数 进行表示。如图。
1 d 1 & Y = c1Y (t ) 2 dt 2 1 && &&(t ) Fi1 = m ⋅ 3l Y (t ) = 3 m l Y 4 4 Fd1 = c1 M1 = J Fd 2 = c2 &&(t ) 1 && 1 2Y 9 2 1 2Y (t ) &&(t ) = m (3l )(3l ) = m l 2Y 4 l 12 4 l 8 1 d & 1 & Y (t ) = c2Y (t ) 2 dt 2
2、图示 L 型刚架，其单位质量 m ， BA 、 BC 两杆的 EI = ∞ ，刚架所受的载荷以及约束 见图。试求广义单自由度系统的 m * 、 k * 、 c * 、 F * (t ) ，写出其运动方程。
Fd q( x, t ) = p
m EI = ∞
C Mi2 Fi2 Fi1 A l
x f (t ) l l
&& ， Fi1 = Fi 2 = mY
两柱的侧移劲度相等为： k =
3i 3EI = 3 (单位位移下的水平剪力) l2 l
忽略顶部横梁部分的轴向变形 如图：
Fi1 F(t) Fs1 m m Fs2 Fi2
取
∑F
x
=0：
F (t ) − Fi1 − Fi 2 − Fs1 − Fs 2 = 0 && − 2kY = 0 F (t ) − 2mY && + 6 EI Y = F (t ) 2mY l3
梁 CD ：
C
=0
由上两式消去中间变量 y1 ：
&& + 4 cY & + 3k Y = 3 qf (t )l mY 2 3 4
广义质量 m* = m 广义劲度 k * = 3k 2
3 qlf (t ) 4 4、图示结构系统， AB 、 CD 两杆 EI = ∞ ，略去 AB 的质量， CD 杆的总质量为 m ，系统
广义阻尼 c* = 广义载荷 F * (t ) = 所受载荷及约束如图，试求此广义单自由度系统的 m * 、 k * 、 c * 、 F * (t ) ，写出其运动 方程。
q(t) A
4 c 3
k1
EI = ∞
B k2 C D c l/2
l
l
l/2
[解] 取 B 点向上的位移 Y ，
q(t) A y1 B Fs2 Mi C Y Fc
题图
其自振频率：
ω=
1 4 EI 2 EI = = mδ ml 3 l ml
答图
(b) 解 如答图 利用图乘法求单位力情况下的位移 δ ，
m EI1=∞ EI2 l
δ=
1 1 2 lh 2 × l × h× h = EI 2 2 3
ω=
1 3EI 2 = mδ mh 2l
F (t ) = F sin ω t
受迫振动的振幅：
ymax = µ y0 F =
(b) 利用图乘法求质体在单位力作用下的垂直位移。 可利用力法或位移法画出单位力作用下的弯矩图。
δ1 =
1 1 l l 2 13 l 1 l l 5l + × × × × × × × EI 2 2 4 3 64 2 2 4 48
广义质量 m* = 2m 广义阻尼 c* = 0 (b) 广义劲度 k * =
6 EI l3
广义载荷 F * (t ) = F (t )
EI = ∞
[解] 取 m1 的竖向位移为 Y
∑M
A
=0
3 && l 3 && 4 l = 0 m2 Y + k B Y ⋅ l + m1Y 8 2 4 3
4 && 3 3 + k BY = 0 m2 + m1 Y 3 4 16
2 ml 3 广义劲度 k * = k 广义阻尼 c* = c 1 广义载荷 F * (t ) = pf (t )l 6
广义质量 m* = 3、图示结构系统， AB 、 CD 两杆 EI = ∞ ，略去 AB 的质量， CD 杆的总质量为 m ，系统 所受载荷及约束如图，试求此广义单自由度系统的 m * 、 k * 、 c * 、 F * (t ) ，写出其运动 方程。
(d) 单位力作用下可知：
l2 l Fs 2 = 1 l1 + l2 l1 + l2 l2 l1 δ1 = δ2 = (l1 + l2 )k1 (l1 + l2 )k2 Fs1 =
令 δ M 为梁无限刚度时的质体垂直位移
k1 Fs1
题图 m 1 EI k2 Fs2 答图
δM
l = δ1 + (δ 2 − δ1 ) 1 l1 + l2 l1 l2 l2 l1 + − (l1 + l2 )k1 (l1 + l2 )k1 (l1 + l2 )k2 (l1 + l2 ) l 2k + l 2k = 1 1 22 2 (l1 + l2 ) k1k2 =