克拉夫《结构动力学》习题答案汇总
结构动力学_克拉夫(第二版)课后习题
例题E2-1 如图E2-1所示，一个单层建筑理想化为刚性大梁支承在无重的柱子上。
为了计算此结构的动力特性，对这个体系进行了自由振动试验。
试验中用液压千斤顶在体系的顶部（也即刚性大梁处）使其产生侧向位移，然后突然释放使结构产生振动。
在千斤顶工作时观察到，为了使大梁产生0.20in[0.508cm]位移需要施加20 kips[9 072 kgf]。
在产生初位移后突然释放，第一个往复摆动的最大位移仅为0.16 in[0. 406 cm]，而位移循环的周期为1.4 s。
从这些数据可以确定以下一些动力特性：（1）大梁的有效重量；（2）无阻尼振动频率；（3）阻尼特性；（4）六周后的振幅。
2- 1图E2-1所示建筑物的重量W为200 kips，从位移为1.2 in（t=0时）处突然释放，使其产生自由振动。
如果t=0. 64 s时往复摆动的最大位移为0.86 in，试求(a)侧移刚度k；(b)阻尼比ξ；(c)阻尼系数c。
2-2 假设图2- la 所示结构的质量和刚度为：m= kips ·s 2/in ，k=40 kips/in 。
如果体系在初始条件in 7.0)0(=υ、in/s 6.5)0(=υ&时产生自由振动，试求t=1.0s 时的位移及速度。
假设：(a) c=0（无阻尼体系）； (b) c=2.8 kips ·s/in 。
2-3 假设图2- 1a 所示结构的质量和刚度为：m=5 kips ·s 2/in ，k= 20 kips/in ，且不考虑阻尼。
如果初始条件in 8.1)0(=υ，而t=1.2 s 时的位移仍然为1.8 in ，试求：(a) t=2.4 s 时的位移； (b)自由振动的振幅ρ。
例题E3-1 一种便携式谐振荷载激振器，为在现场测量结构的动力特性提供了一种有效的手段。
用此激振器对结构施以两种不同频率的荷载，并分别测出每种情况下结构反应的幅值与相位。
由此可以确定单自由度体系的质量、刚度和阻尼比。
结构动力学_克拉夫(第二版)课后习题
例题E2-1 如图E2-1所示，一个单层建筑理想化为刚性大梁支承在无重的柱子上。
为了计算此结构的动力特性，对这个体系进行了自由振动试验。
试验中用液压千斤顶在体系的顶部（也即刚性大梁处）使其产生侧向位移，然后突然释放使结构产生振动。
在千斤顶工作时观察到，为了使大梁产生0.20in[0.508cm]位移需要施加20 kips[9 072 kgf]。
在产生初位移后突然释放，第一个往复摆动的最大位移仅为0.16 in[0. 406 cm]，而位移循环的周期为1.4 s。
从这些数据可以确定以下一些动力特性：（1）大梁的有效重量；（2）无阻尼振动频率；（3）阻尼特性；（4）六周后的振幅。
2- 1图E2-1所示建筑物的重量W为200 kips，从位移为1.2 in（t=0时）处突然释放，使其产生自由振动。
如果t=0. 64 s时往复摆动的最大位移为0.86 in，试求(a)侧移刚度k；(b)阻尼比ξ；(c)阻尼系数c。
2-2 假设图2- la 所示结构的质量和刚度为：m= kips ·s 2/in ，k=40 kips/in 。
如果体系在初始条件in 7.0)0(=υ、in/s 6.5)0(=υ&时产生自由振动，试求t=1.0s 时的位移及速度。
假设：(a) c=0（无阻尼体系）； (b) c=2.8 kips ·s/in 。
2-3 假设图2- 1a 所示结构的质量和刚度为：m=5 kips ·s 2/in ，k= 20 kips/in ，且不考虑阻尼。
如果初始条件in 8.1)0(=υ，而t=1.2 s 时的位移仍然为1.8 in ，试求：(a) t=2.4 s 时的位移； (b)自由振动的振幅ρ。
例题E3-1 一种便携式谐振荷载激振器，为在现场测量结构的动力特性提供了一种有效的手段。
用此激振器对结构施以两种不同频率的荷载，并分别测出每种情况下结构反应的幅值与相位。
由此可以确定单自由度体系的质量、刚度和阻尼比。
结构动力学试题及答案
结构动力学试题及答案（本文按试题和答案格式进行编写）试题一：1. 请问什么是结构动力学？2. 简述结构动力学的研究对象和主要内容。
3. 结构动力学分析常用的方法有哪些？4. 结构动力学分析中常用的数学模型有哪些？5. 结构动力学的应用领域有哪些？答案一：1. 结构动力学是研究结构在外力作用下的动态响应及其稳定性的学科。
2. 结构动力学的研究对象是各种工程结构，主要内容包括结构的振动、冲击响应、瞬态响应和稳态响应等。
3. 结构动力学分析常用的方法有模态分析法、频率响应分析法、时程分析法等。
4. 结构动力学分析中常用的数学模型有单自由度体系、多自由度体系、连续体系等。
5. 结构动力学的应用领域广泛，包括建筑结构工程、桥梁工程、风力发电机组、地震工程等。
试题二：1. 结构动力学分析中，模态分析的基本原理是什么？2. 简述模态分析的步骤和计算方法。
3. 常用的模态分析软件有哪些？4. 请问什么是结构的固有频率和阻尼比？5. 结构的模态振型对结构动力响应有什么影响？答案二：1. 模态分析是基于结构的振动特性，通过求解结构的固有频率、模态振型和阻尼比等参数，来研究结构的动力响应。
2. 模态分析的步骤包括建立结构有限元模型、求解结构的固有频率和模态振型、计算结构的阻尼比等。
常用的计算方法有有限元法、拉普拉斯变换法等。
3. 常用的模态分析软件有ANSYS、ABAQUS、MSC.NASTRAN等。
4. 结构的固有频率是结构在无外力作用下自由振动的频率，阻尼比是结构振动过程中能量耗散的程度。
5. 结构的模态振型对结构动力响应有很大影响，不同的模态振型会导致不同的振动特性和反应。
试题三：1. 结构动力学分析中，频率响应分析的基本原理是什么？2. 简述频率响应分析的步骤和计算方法。
3. 频率响应分析和模态分析有什么区别？4. 结构的频率响应函数和传递函数有什么区别？5. 频率响应分析在结构设计中的应用有哪些？答案三：1. 频率响应分析是研究结构在单频激励下的响应特性，通过求解结构的频率响应函数，来获得结构的响应。
[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解
![[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解](https://img.taocdn.com/s3/m/198055225627a5e9856a561252d380eb629423b8.png)
前言结构动力学是比较难学的一门课程，但是你一旦学会并且融会贯通，你就会为成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
结构动力学学习的难点主要有以下两个方面。
1 概念难理解，主要表现在两个方面，一是表达清楚难，如果你对概念理解的很透彻，那么你写的书对概念的表述也会言简意赅，切中要害（克里夫的书就是这个特点），有的书会对一个概念用了很多文字进行解释，但是还是没有说清楚，也有的书受水平限制，本身表述就不清楚。
二是理解难，有点只可意会不可言传的味道，老师讲的头头是道，自己听得云山雾绕。
2 公式推导过程难，一是力学知识点密集，推导过程需要力学概念清析，并且需要每一步的力学公式熟悉；二是需要一定的数学基础，而且有的是在本科阶段并没有学习的数学知识。
克里夫《结构动力学》被称为经典的结构动力学教材，但是也很难看懂。
之所以被称为经典，主要就是对力学的概念表达的语言准确，概念清楚。
为什么难懂呢？是因为公式的推导过程比较简单，省略过多。
本来公式的推导过程既需要力学概念清楚也需要数学公式熟悉，但是一般人不是力学概念不清楚，就是数学公式不熟悉，更有两者都不熟悉者。
所以在学习过程中感觉很难，本学习详解是在该书概念清楚的基础上，对力学公式推导过程进行详细推导，并且有的加以解释，帮助你在学习过程中加深理解和记忆。
达到融会贯通，为你成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
以下黑体字是注释，其它为原书文字。
[美] R∙克里夫《结构动力学》辅导学习详解第1章结构动力学概述… …第Ⅰ篇单自由度体系第2章基本动力体系的组成… …§2-5 无阻尼自由振动分析如上一节所述，有阻尼的弹簧-质量体系的运动方程可表示为mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=p(t)（2-19）其中ν(t)是相对于静力平衡位置的动力反应；p(t)是作用于体系的等效荷载，它可以是直接作用的或是支撑运动的结构。
为了获得方程（2-19）的解，首先考虑方程右边等于零的齐次方程，即mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=0（2-20）mv(t)+kν(t)=0（2-20a）此处公式应该为mv(t)+kν(t)=0，因为该节是无阻尼自由振，而且（2-20）的解，式（2-21）也是公式mv(t)+kν(t)=0的解在作用力等于零时产生的运动称为自由振动，现在要研究的即为体系的自由振动反应。
《结构力学习题集》(下)-结构的动力计算习题及答案
第九章 结构的动力计算一、判断题：1、结构计算中，大小、方向随时间变化的荷载必须按动荷载考虑。
2、仅在恢复力作用下的振动称为自由振动。
3、单自由度体系其它参数不变，只有刚度EI 增大到原来的2倍，则周期比原来的周期减小1/2。
4、结构在动力荷载作用下，其动内力与动位移仅与动力荷载的变化规律有关。
5、图示刚架不计分布质量和直杆轴向变形，图a 刚架的振动自由度为2，图b 刚架的振动自由度也为2。
6、图示组合结构，不计杆件的质量，其动力自由度为5个。
7、忽略直杆的轴向变形，图示结构的动力自由度为4个。
8、由于阻尼的存在，任何振动都不会长期继续下去。
9、设ωω,D 分别为同一体系在不考虑阻尼和考虑阻尼时的自振频率，ω与ωD 的关系为ωω=D 。
二、计算题：10、图示梁自重不计，求自振频率ω。
l l /411、图示梁自重不计，杆件无弯曲变形，弹性支座刚度为k ，求自振频率ω。
l /2l /212、求图示体系的自振频率ω。
l l0.5l 0.513、求图示体系的自振频率ω。
EI = 常数。
ll 0.514、求图示结构的自振频率ω。
l l15、求图示体系的自振频率ω。
EI =常数，杆长均为l 。
16、求图示体系的自振频率ω。
杆长均为l 。
17、求图示结构的自振频率和振型。
l /2l /2l /18、图示梁自重不计，W EI ==⨯⋅2002104kN kN m 2,，求自振圆频率ω。
B2m2m19、图示排架重量W 集中于横梁上，横梁EA =∞，求自振周期ω。
EIEIW20、图示刚架横梁∞=EI 且重量W 集中于横梁上。
求自振周期T 。
EIEIWEI 221、求图示体系的自振频率ω。
各杆EI = 常数。
a aa22、图示两种支承情况的梁，不计梁的自重。
求图a 与图b 的自振频率之比。
l /2l/2(a)l /2l /2(b)23、图示桁架在结点C 中有集中重量W ，各杆EA 相同，杆重不计。
求水平自振周期T 。
结构动力学1~15
《结构动力学》习题答案1~151． 1简述求多自由度体系时程反应的振型叠加法的主要步骤 答1）建立多自由度体系的运动方程)()()()(t p t kv t v c t vm =++ 2）进行振型和频率分析对无阻尼自由振动，这个矩阵方程能归结为特征问题)(ˆ2t p vm k =-ω 由此确定振型矩阵φ和频率向量ω 3）求广义质量和荷载依次取每一个振型向量n φ，计算每一个振型的广义质量和广义荷载n T n nm Mφφ= )()(t p t p Tn n φ=4）求非耦合运动方程用每个振型的广义质量、广义力、振型频率n ω和给定的振型阻尼比n ξ就能写出每一个振型的运动方程2)(2)(ωωξ++t Y t Y n n n n nn nMt P t Y )()(=5）求对荷载的振型反应根据荷载类型，用适当的方法解这些单自由度方程，每一个振型的一般动力反应表达式用Duhamel 积分给出ττωτωξτωd t t P M t Y Dn n n tn nn n )(sin )](exp[)(1)(0---=⎰写出标准积分形式τττd t h P t Y n tn n )()()(0-=⎰式中)](exp[)(sin 1)(τωξτωωτ---=-t t M t h n n Dn nn n 10<<n ξ6）振型自由振动每一个振型有阻尼自由振动反应的通式为)exp[]sin )0()0(cos )0([)(t t Y Y t Y t Y n n Dn Dnnn n n Dn n n ωξωωωξω-++=7）求在几何坐标中的位移反应通过正规坐标变换求几何坐标表示的位移式)()()()(2211t Y t Y t Y t V n n φφφ+++=显然，它反映了各个振型贡献的叠加。
因此命名为振型叠加法。
8）弹性力反应抵抗结构变形的弹性力)()()(t Y k t kv t f s φ==当频率、振型从柔度形式的特征方程中求出时，可以采用另一种弹性力的表达式。
结构动力计算课后习题答案
结构动力计算课后习题答案结构动力计算课后习题答案在学习结构动力学这门课程时，我们经常会遇到各种各样的习题。
这些习题旨在帮助我们巩固所学的知识，并提供实践的机会。
在这篇文章中，我将为大家提供一些结构动力计算课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 计算一个简支梁的固有频率。
答案：简支梁的固有频率可以通过以下公式计算：f = (1/2π) * √(k/m)其中，f为固有频率，k为刚度，m为质量。
在简支梁的情况下，刚度k等于弹性模量E乘以截面面积A除以长度L。
质量m等于密度ρ乘以截面面积A除以长度L。
2. 计算一个悬臂梁的固有频率。
答案：悬臂梁的固有频率可以通过以下公式计算：f = (1/2π) * √(3k/m)在悬臂梁的情况下，刚度k等于弹性模量E乘以截面面积A的三次方除以长度L的四次方。
质量m等于密度ρ乘以截面面积A除以长度L。
3. 计算一个简支梁的振动模态。
答案：简支梁的振动模态可以通过以下公式计算：f_n = (n^2 * v) / (2L)其中，f_n为第n个振动模态的频率，v为波速，L为长度。
n为振动模态的序号，从1开始。
4. 计算一个悬臂梁的振动模态。
答案：悬臂梁的振动模态可以通过以下公式计算：f_n = (2n-1) * (v/4L)其中，f_n为第n个振动模态的频率，v为波速，L为长度。
n为振动模态的序号，从1开始。
5. 计算一个简支梁的最大挠度。
答案：简支梁的最大挠度可以通过以下公式计算：δ_max = (5qL^4) / (384EI)其中，δ_max为最大挠度，q为均布载荷，L为长度，E为弹性模量，I为截面惯性矩。
6. 计算一个悬臂梁的最大挠度。
答案：悬臂梁的最大挠度可以通过以下公式计算：δ_max = (qL^4) / (8EI)其中，δ_max为最大挠度，q为均布载荷，L为长度，E为弹性模量，I为截面惯性矩。
以上是一些常见的结构动力计算课后习题的答案。
通过解答这些习题，我们可以更好地理解结构动力学的概念和原理，提高我们的计算能力和问题解决能力。
结构动力计算课后习题答案
结构动力计算课后习题答案结构动力计算是土木工程和机械工程领域中的一个重要分支，它涉及到结构在动力作用下的响应分析。
这门课程的课后习题通常要求学生运用所学的理论，解决实际工程问题。
以下是一些可能的习题答案示例，请注意，这些答案是基于假设的习题内容，实际的习题答案应根据具体的题目来确定。
习题1：单自由度系统的动力响应假设有一个单自由度系统，其质量为m，阻尼系数为c，刚度系数为k。
系统受到一个简谐激励F(t) = F0 * sin(ωt)，其中F0是激励力的幅值，ω是激励频率。
求系统的稳态响应。
答案：对于单自由度系统，其运动方程可以表示为：\[ m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = F_0 \sin(\omega t) \]稳态响应可以通过求解上述方程的特解来获得。
特解的形式为：\[ x(t) = X \sin(\omega t + \phi) \]其中，振幅X和相位角φ可以通过以下公式计算：\[ X = \frac{F_0}{\sqrt{(\omega^2 m - \omega^2)^2 +(c\omega)^2}} \]\[ \phi = \arctan\left(\frac{c\omega}{\omega^2 m -\omega^2}\right) \]习题2：多自由度系统的模态分析考虑一个两自由度系统，其质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵分别为：\[ M = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix},\quad K = \begin{bmatrix} k_1 & k_c \\ k_c & k_2\end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} c_1 & 0 \\ 0 & c_2\end{bmatrix} \]求系统的自然频率和模态形状。
最新结构动力学(硕)答案
《结构动力学》试题（硕）一、名词解释：（每题3分，共15分）约束 动力系数 广义力 虚功原理 达朗贝原理 二、简答：（每题5分，共20分）1. 为什么说自振周期是结构的固有性质？它与结构哪些固有量有关？2. 阻尼对自由振动有什么影响？减幅系数的物理意义是什么？3. 简述用振型叠加法求解多自由度体系动力响应的基本原理及适用条件分别是什么？答：振型叠加法的基本原理是利用了振型的正交性，既对于多自由度体系，必有：T m n m φφ=，Tm n k φφ=（式中m φ、n φ为结构的第m 、n 阶振型，m 、k 为结构的质量矩阵和刚度矩阵）。
利用正交性和正规坐标，将质量与刚度矩阵有非对角项耦合的N 个联立运动微分方程转换成为N 个独立的正规坐标方程（解耦）。
分别求解每一个正规坐标的反应，然后根据叠加V=ΦY 即得出用原始坐标表示的反应。
由于在计算中应用了叠加原理，所以振型叠加法只适用于线性体系的动力分析。
若体系为非线性，可采用逐步积分法进行反应分析。
4. 什么是结构的动力自由度？动力自由度与静力自由度的区别何在？答：动力自由度是指结构体系在任意瞬时的一切可能变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目。
静力自由度是指确定体系在空间中的位置所需的独立参数的数目。
前者是由于系统的弹性变形而引起各质点的位移分量；而后者则是指结构中的刚体由于约束不够而产生的刚体运动。
三、计算（每题13分，共65分）1. 图1所示两质点动力体系，用D ’Alembert 原理求运动方程。
图12.图2所示，一长为l，弯曲刚度为EI的悬臂梁自由端有一质量为m的小球，小球又被支承在刚度为k2的弹簧上，忽略梁的质量，求系统的固有频率。
图23.图3所示，一重mg的圆柱体，其半径为r，在一半径为R的弧表面上作无滑动的滚动，求在平衡位置(最低点)附近作微振动的固有频率。
图34.图4所示三层钢架结构，假定结构无阻尼，计算下述给定初始条件产生的自由振动。
结构动力学试题及答案
结构动力学试题及答案一、选择题1. 在结构动力学中，下列哪项不是描述结构动力响应的参数？A. 自然频率B. 阻尼比C. 静力平衡D. 模态阻尼2. 以下哪个不是结构动力学分析中的常用方法？A. 模态分析B. 时域分析C. 频域分析D. 静力分析二、简答题1. 简述结构动力学中模态分析的目的和重要性。
2. 描述阻尼对结构动力响应的影响。
三、计算题1. 假设一个单自由度系统，其质量为m，刚度为k，初始位移为x0，初始速度为v0。
若外力为F(t) = F0 * sin(ωt)，求该系统在任意时间t的位移响应。
答案一、选择题1. 正确答案：C. 静力平衡解析：静力平衡是静力学的概念，与结构动力学无关。
2. 正确答案：D. 静力分析解析：静力分析是分析结构在静载荷作用下的响应，而结构动力学分析动态载荷下的结构响应。
二、简答题1. 模态分析的目的在于识别结构的自然振动特性，包括自然频率、阻尼比和模态形状。
它的重要性在于：- 预测结构在动态载荷下的响应。
- 为控制结构的振动提供基础数据。
- 优化设计，提高结构的抗震性能。
2. 阻尼对结构动力响应的影响主要表现在：- 减少振动幅度，提高结构的稳定性。
- 改变系统的自然频率和模态形状。
- 影响系统的动态响应时间。
三、计算题1. 单自由度系统的位移响应可以通过以下步骤求解：- 写出系统的动力学方程：m * d²x/dt² + c * dx/dt + k * x = F(t)- 应用初始条件：x(0) = x0, v(0) = v0- 应用外力：F(t) = F0 * sin(ωt)- 通过傅里叶变换或拉普拉斯变换求解方程。
- 应用逆变换得到位移响应的解析解或数值解。
位移响应的一般形式为：x(t) = X * cos(ωt - φ) + Y *sin(ωt - φ)，其中X和Y是与系统参数和初始条件有关的常数，φ是相位角。
具体的数值需要根据系统参数和初始条件进行计算。
结构动力学习题解答(一二章)
第一章 单自由度系统1。
1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1、 牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：(1） 对系统进行受力分析，得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率.2、 动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1) 对系统进行受力分析和动量距分析；（2) 利用动量距定理J ∑=M θ，得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法：适用范围:所有的单自由度系统的振动.解题步骤:（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T —U ； （2)由格朗日方程θθ∂∂-∂∂∂LL dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零，即0)(=+dtU T d ,进一步得到系统的运动微分方程；(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤.用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法和共振法。
方法一：衰减曲线法.求解步骤：(1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A .（2)由对数衰减率定义 )ln(1+=i iA A δ， 进一步推导有 212ζπζδ-=，因为ζ较小， 所以有πδζ2=。
结构动力学习题解答(三四章)
第三章 多自由度系统3.1试求图3-10所示系统在平衡位置附近作微振动的振动方程。
图３－１０解：〔1〕系统自由度、广义坐标图示系统自由度N=2，选x1、x2和x3为广义坐标； 〔2〕系统运动微分方程根据牛顿第二定律，建立系统运动微分方程如下：;)(;)()(;)(34233332625323122222121111x K x x K x m x K x K x x K x x K xm x x K x K xm ---=------=---= 整理如下;0)(;0)(;0)(3432333332653212222212111=++-=-++++-=-++x K K x K xm x K x K K K K x K xm x K x K K xm 写成矩阵形式;000)(0)(0)(00000321433365322221321321⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+++--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x K K K K K K K K K K K K x x x m m m 〔1〕 〔3〕系统特征方程设)sin(,)sin(,)sin(332211ϕωϕωϕω+=+=+=t A x t A x t A x 代入系统运动微分方程〔1〕得系统特征方程;000)(0)(0)(321234333226532222121⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+++---+A A A m K K K K m K K K K K K m K K ωωω〔2〕 〔4〕系统频率方程系统特征方程〔2〕有非零解的充要条件是其系数行列式等于零， 即;0)(0)(0)(234333226532222121=-+---+++---+ωωωm K K K K m K K K K K K m K K展开得系统频率方程;0))(())(()))(())(()((21212323432223432265322121=-+--+--+-+++-+ωωωωωm K K K m K K K m K K m K K K K m K K进一步计算得;0;0)()())()(()))(())((())()()(()()()()())(()())(())(())()(())(())(()))(()()())((())(())(()))(())(()((02244662123432265324321236532214321231233224316532214332216321231232123232243226321421434322124321243165322165324323653221653243212121232343222343421221265322165322121212323432223432265322121==++++-+-+++++++++++-++-+++++++++++-=++-++--++++++-++++++++-++++-+++++=-+--+--+++-+++-++++=-+--+--+-+++-+a a a a K K K K K K K K K K K K K K m K K K K K K K K K K m m m K m K m m K K K K m m K K m m K K m m m m m K K K K m K K K K m m m m m K K m m K K K K K K m m m K K K K m K K K K K K m K K K K K K K K K K K K K K m K K K m K K K m K K m m K K m K K K K m K K K K K K m K K K m K K K m K K m K K K K m K K ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω (3)其中;3216m m m a -= ;)()()(316532214332214m m K K K K m m K K m m K K a +++++++=;))(())((36532214321231233222m K K K K K K K K K K m m m K m K a ++++-++-+=);()())()((21234322653243210K K K K K K K K K K K K K K a +-+-+++++=求解方程〔3〕得系统固有频率;)3,2,1(),,,,,,,,,(654321321==i K K K K K K m m m f i i ω 〔4〕 〔5〕系统固有振型 将系统固有频率代入系统特征方程〔2〕得系统固有振型， 即各阶振型之比：)3(3)3(1)3(3)3(2)3(1)3(2)2(3)2(1)2(3)2(2)2(1)2(2)1(3)1(1)1(3)1(2)1(1)1(21,1;1,1,1,1A A A A A A A A A A A A ======γγγγγγ 〔5〕 〔6〕系统振动方程)sin()sin()sin()sin()sin()sin(33)3(1)3(3)3(1)3(2)3(122)2(1)2(3)2(1)2(2)2(111)1(1)1(3)1(1)1(2)1(133)3(3)3(2)3(122)2(3)2(2)2(111)1(3)1(2)1(1321ϕωγγϕωγγϕωγγϕωϕωϕω+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧t A A A tA A A tA A A t A A A t A A A t A A A x x x 〔6〕在方程〔6〕中含有6个待定常数：)1(1A 、)2(1A 、)3(1A 、1ϕ、2ϕ和3ϕ。
克拉夫《结构动力学》习题答案汇总
第二章 自由振动分析2-1（a ） 由例22T π=22()W K T gπ= 因此 max ()()D t kT νν= 其中 k=0、1、2……T D =0.64sec 如果ξ 很小，T D =T∴ 222200()49.9/0.64sec 386/sec kipsk kips in in π==⇒ 50/k kips in = （b ）211lnln n n v v v v δ+≡=δξ=→=1.2ln 0.3330.86δ==0.0529ξ==0.33320.05302δπξξπ=→==⇒ 5.3%ξ= (a ’)D ω=2T πω=T T =249.950/1k kips in ξ==- (c)2c m ξω=W m g=2T πω=4c T gπωξ=T T =241W c Tg πξξ=- 2240.05292000.64sec386/sec 10.0529kipsc in π=-0.539sec/c kips in =⋅ T=T D0.538sec/c kips in =⋅ ⇒0.54sec/c kips in =⋅2-22k mω=→4.47ω== (1/sec ) (0)(0)()sin (0)cos tD D Dv v t et v t ξωξωνωωω-⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∴ (0)(0)()sin (0)(0)(0))cos t D D D v v t e t v v v t ξωξωνξωωξωξωωω-⎛⎫⎡⎤+⎧⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=-++-⎨⎬⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎣⎦⎝⎭()22(0)(0)()(0)cos sin D t D D Dv v t e v t t ξωξωξωωνωωω-⎛⎫⎡⎤++ ⎪⎣⎦=- ⎪ ⎪⎝⎭D ω=→()(0)cos (0)(0)sin t D D D t e v t v v t ξωωνωξωωω-⎛⎫⎡⎤=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()(0)cos tD D t ev t t ξωνωω-⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭0.055922(2)(4.47)c cc m ξω=== (a) c=0→0ξ=→D ωω=∴ 5.6(1)sin 4.470.7cos 4.47 1.384.47v t in ==+=- (1) 5.6cos 4.47 4.47(0.7)sin 4.47 1.69/sec v t in ==-=⇒(1) 1.4v in =-,(1) 1.7/sec v in = (b)c=2.8→0.0559(2.8)0.157ξ==4.41D ω== (1/sec ) (0.157)(4.41)5.60.7(0.157)(4.47)(1)sin 4.410.7cos 4.414.41t e ν-⎡+⎤⎛⎫==+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1)0.764t in ν==-(0.157)(4.41)(1) 5.6cos 4.41 4.41t e ν-⎛⎫== ⎪⎝⎭(1) 1.10/sec t in ν==⇒(1)0.76v in =-,(1) 1.1/sec v in =第三章 谐振荷载反应3-1根据公式有 ()()21sin sin 1R t w t wt ββ⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦0.8wwβ== ()()2.778sin 0.8sin1.25R t wt wt=-将t ω以80°为增量计算)(t R 并绘制曲线如下：80° 160° 240° 320° 400° 480° 560° 640° 720° 800° 00.547 1.71 -0.481 -3.214 0.357 4.33 -0.19 -4.9244.9241.25w w =tω)(t R3-2解：由题意得：22m kips s in =⋅ ， 20k kips in = ， (0)(0)0v v == ，w w =3.162w rad ===8wt π=（a ）0c =()()1sin cos 2R t wt wt wt =-将8wt π=代入上式得：()412.566R t π=-=- （b ）0.5c k s =⋅0.50.0395222 3.162c c c c mw ξ====⨯⨯()()(){}1exp 1cos exp sin 2R t wt wt wt wt ξξξξ=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦将8wt π=代入上式得：()7.967R t =- （c ） 2.0c k s =⋅2.00.1582223.162c c c c mw ξ====⨯⨯()()(){}1exp 1cos exp sin 2R t wt wt wt wt ξξξξ=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦将8wt π=代入上式得：() 3.105R t =-3-3解：（a ）：依据共振条件可知：10.983sec w w rad =====由2L T V w π==得：10.9833662.96022wL V ft s ππ⨯===（b ）：()()()122max2221212tgo v v ξββξβ⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥-+⎣⎦1w w β==0.4ξ= 1.2go v in =代入公式可得：max 1.921tv in =（c ）：2L T V w π=='45min 66V h ft s ==226611.51336V w rad s ec L ππ⨯'===11.5131.04810.983w w β'===0.4ξ=代入数据得 ：()()()122max22212=1.85512tgov v in ξββξβ⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥-+⎣⎦3-4解：按照实际情况，当设计一个隔振系统时，将使其在高于临界频率比β=在这种情况下，隔振体系可能有小的阻尼。
结构动力学习题答案
结构动力学习题答案结构动力学学习题答案结构动力学是土木工程中的一个重要分支，它研究结构在受到外部荷载作用下的响应和变形规律。
在学习结构动力学的过程中，我们经常会遇到一些复杂的问题和难题。
下面我将为大家提供一些常见结构动力学学习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门学科。
1. 什么是结构的固有频率？结构的固有频率是指结构在没有外部激励作用下，自由振动时的频率。
它是结构的固有特性之一，与结构的质量、刚度和几何形状有关。
固有频率越高，结构的振动越快。
2. 如何计算结构的固有频率？计算结构的固有频率需要先求解结构的固有振型和固有频率。
常用的方法有模态分析法和有限元法。
模态分析法是通过求解结构的特征方程得到结构的固有频率和振型；有限元法则是将结构离散化为有限个单元，通过求解单元的振动特征得到整体结构的固有频率和振型。
3. 结构的固有频率对结构有何影响？结构的固有频率与结构的动态特性密切相关。
当外部激励频率接近结构的固有频率时，会引起共振现象，使结构的振幅急剧增大，从而可能导致结构的破坏。
因此，在结构设计和抗震设计中，需要合理选择结构的固有频率，以避免共振现象的发生。
4. 什么是结构的阻尼？结构的阻尼是指结构在振动过程中能量损耗的程度。
阻尼可以分为线性阻尼和非线性阻尼。
线性阻尼是指结构的阻尼与结构的振幅成正比，非线性阻尼则是指结构的阻尼与结构的振幅不成正比。
5. 如何考虑结构的阻尼？在结构动力学分析中，通常会考虑结构的阻尼对结构响应的影响。
常用的阻尼模型有粘滞阻尼模型和柱塞阻尼模型。
粘滞阻尼模型是指结构的阻尼与结构的速度成正比；柱塞阻尼模型是指结构的阻尼与结构的速度平方成正比。
根据结构的实际情况和要求，可以选择适当的阻尼模型进行分析。
6. 结构的地震反应分析中常用的方法有哪些？在结构的地震反应分析中，常用的方法有等效静力法、响应谱法和时程分析法。
等效静力法是一种简化的方法，将地震作用等效为静力作用进行计算；响应谱法是一种基于地震响应谱的方法，通过将地震作用转化为结构的响应谱进行计算；时程分析法是一种基于地震时程的方法，通过模拟地震过程对结构进行动力响应分析。
结构动力学习题答案
结构动力学习题答案结构动力学学习题答案结构动力学是一门研究结构在外部力作用下的运动和响应的学科。
在学习结构动力学时，学生通常会遇到各种各样的学习题，这些学习题既考验了学生对知识的掌握程度，又帮助他们加深对结构动力学理论的理解。
下面我们就来看一些结构动力学学习题的答案。
1. 什么是结构动力学？结构动力学是研究结构在外部力作用下的振动特性和响应的学科。
它主要研究结构在地震、风载等外部力作用下的动力响应，以及结构的振动特性和控制。
2. 结构的自由振动频率如何计算？结构的自由振动频率可以通过结构的刚度矩阵和质量矩阵来计算。
首先需要求解结构的特征值和特征向量，然后根据特征值来计算结构的自由振动频率。
3. 结构的阻尼比对结构动力学有什么影响？阻尼比是衡量结构在振动过程中能量损失的比例。
阻尼比越大，结构的振动响应越快速衰减；阻尼比越小，结构的振动响应越慢。
因此，阻尼比对结构的振动特性和稳定性有着重要的影响。
4. 结构的地震响应如何进行分析？结构的地震响应可以通过有限元分析、时程分析和频率响应分析等方法进行。
这些方法可以帮助工程师评估结构在地震作用下的受力情况，从而指导结构的设计和加固。
5. 结构的振动控制方法有哪些？结构的振动控制方法包括主动控制、被动控制和半主动控制等。
主动控制是通过外部激励来控制结构的振动；被动控制是通过阻尼器、减震器等被动装置来控制结构的振动；半主动控制则是结合了主动和被动控制的特点，通过智能控制系统来控制结构的振动。
通过以上学习题的答案，我们可以看到结构动力学是一个复杂而又有趣的学科，它涉及到结构的振动特性、动力响应和振动控制等多个方面。
通过对这些学习题的学习和理解，我们可以更好地掌握结构动力学的理论知识，为今后的工程实践打下坚实的基础。
结构动力学参考答案
m u + c u + ku = Pu (t ) 2.13 一根均匀杆，图 P2.13 其单位体积质量密度 ρ ，并具有顶部质量 M，应 用假定法ψ ( x) = x L 来推导该系统轴向自由振动的运动方程。假定 AE = 常数。 解：
.. 1 EA ( ρAL + M ) u + u = P(t ) 3 L
结构动力学习题 参考答案
1
2.3 一根刚梁 AB，用力在弹簧 BC 上去激励它，其 C 点的运动规定为 Z（t）,如 图 P2.3. 按 B 点的垂直运动 u 来确定系统的运动方程，假定运动是微小的。 解： 4M u + 3c u + (3k1 + 12k 2 )u = 12k 2 Z (t )
.. .
4
4.17 在振动的结构上一个点，已知其运动为 Ζ = Ζ1 cos(Ω1t ) + Ζ 2 cos(Ω 2 t ) =
0.05 cos ( 60π t ) + 0.02 cos(120π t ) 。
（a）用一加速度计其阻尼因数 ξ = 0.70 和 20 KHz 共振频率来确定振动记录 w p (t ) 。 (b) 加速度计是否会引起有效幅值或相位畸变？ 解： （a） w p (t ) = w p1 (t ) + w p 2 (t ) = 6.339 × 10 −11 A1 cos 60π (t − 1.1145 × 10 −5 ) + 6.339 × 10 −11 A2 • cos 120π (t − 1.1146 × 10 −5 ) （b） w p (t ) = C[ A1 cos Ω1 (t − τ ) + A2 cos Ω 2 (t − τ )] A1 , A2 分别表示 Z1 , Z 2 的加速度幅值，所以输出 w p (t ) 与加速度输 入成正比，所以不会发生幅值畸变或相位畸变。 5.2 运送一件仪器设备重 40 1b，是用泡沫包装在一容器内。该容器的有效刚度 k=100 1b/in，有效阻尼因数 ξ = 0.05 ，若整个容器和它的包装以垂直速度 V=150 in/s 碰撞在地面上，求泡沫包装在仪器设备的最大总应力。 （如图 P5.2 所示） 解： f max = 451.739 (1b) 6.5 例 题 4.3 中的 车辆 ， 已知 k = 400 × 10 3 , m = 1200kg , ξ = 0.4。 当满 载时以
结构动力学试题及答案
结构动力学试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 结构动力学中，动力响应分析通常不包括以下哪一项？A. 自振频率分析B. 模态分析C. 静力分析D. 动力放大系数分析答案：C2. 在结构动力学中，下列哪一项不是确定结构动力特性的基本参数？A. 质量B. 刚度C. 阻尼D. 材料强度答案：D3. 单自由度振动系统的动力平衡方程中，下列哪一项是正确的？A. m\(\ddot{x}\) + c\(\dot{x}\) + kx = F(t)B. m\(\ddot{x}\) + c\(\dot{x}\) + kx = 0C. m\(\ddot{x}\) + c\(\dot{x}\) + kx = FD. m\(\ddot{x}\) + c\(\dot{x}\) + kx = F(t) - F答案：A4. 对于多自由度振动系统，下列哪一项不是求解动力响应的方法？A. 模态叠加法B. 直接积分法C. 能量守恒法D. 振型分解法答案：C5. 在结构动力学中，阻尼比通常用来描述阻尼的相对大小，其定义为：A. 临界阻尼比B. 阻尼比C. 阻尼比的倒数D. 阻尼比的平方答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 结构动力学中，当外力作用频率与结构的_________相等时，结构会发生共振。
答案：自振频率2. 多自由度振动系统的振型是指系统在自由振动时的_________。
答案：位移分布模式3. 动力响应分析中，_________是指在给定的外力作用下，结构的响应随时间变化的过程。
答案：动力响应4. 在结构动力学中，_________是指结构在动力作用下，其响应与外力作用的关系。
答案：动力特性5. 阻尼比越大，结构的_________越小，振动衰减越快。
答案：振幅三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述结构动力学中模态分析的目的和意义。
答案：模态分析的目的是确定结构的自振频率和振型，意义在于了解结构的动力特性，为结构设计提供依据，以及评估结构在动力作用下的安全性和稳定性。
结构动力学习题解答
ω2 =
1 192 EI EI = = 13.86 , ρ2 = 1 3 mδ 11 ml ml
l/4 P=1 3l/16
δ11 =
1 1 3l l 2 l 1 5l l 1 l ( × × × × − × × × × ) EI 2 16 2 3 2 2 32 2 3 2 7l 3 = 768 EI
结构力学Ⅱ
习题解答
14-14 试求图示刚架的 自振频率和主振型
m 正对称
l/2 m l/2 l/2 l/2 反对称
14-14 试求图示刚架的自振频率和主振型
l/8 P=1 l/8
l/8 P=1
2 1 l l 2 l 1 l l 1 l ( × × × × − × × × × ) δ 11 = EI 2 8 2 3 4 2 8 2 3 4 Mp l3 = 192 EI
FI0 = 1
ql 12
反对称
y2 = δ11 (− m&&2 ) + δ12 y
4l 4 δ12 = 768EI
q sin θt 2
ql 2 32
7l 3 δ11 = 768EI
l/2
P=1
7 ml 3 2ql 4 0 ( 2− ) FI 1 = θ 768EI 768EI 1
FI02 =
2ql 9
kθ1 − Py1 = 0
代入几何关系
k k 2 y1 − y2 − Py1 = 0 a a k k − y1 + 2 y2 − Py2 = 0 a a
k k 2 P − 4 P + 3( ) = 0 a a k 3 a k P= , 故PCR = k a a
2
2
5ql 2 96
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第二章 自由振动分析2-1（a ） 由例22T π=22()W K T gπ= 因此 max ()()D t kT νν= 其中 k=0、1、2……T D =0.64sec 如果ξ 很小，T D =T∴ 222200()49.9/0.64sec 386/sec kipsk kips in in π==⇒ 50/k kips in = （b ）211lnln n n v v v v δ+≡=δξ=→=1.2ln 0.3330.86δ==0.0529ξ==0.33320.05302δπξξπ=→==⇒ 5.3%ξ= (a ’)D ω=2T πω=T T =249.950/1k kips in ξ==- (c)2c m ξω=W m g=2T πω=4c T gπωξ=T T =241W c Tg πξξ=- 2240.05292000.64sec386/sec 10.0529kipsc in π=-0.539sec/c kips in =⋅ T=T D0.538sec/c kips in =⋅ ⇒0.54sec/c kips in =⋅2-22k mω=→4.47ω== (1/sec ) (0)(0)()sin (0)cos tD D Dv v t et v t ξωξωνωωω-⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∴ (0)(0)()sin (0)(0)(0))cos t D D D v v t e t v v v t ξωξωνξωωξωξωωω-⎛⎫⎡⎤+⎧⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=-++-⎨⎬⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎣⎦⎝⎭()22(0)(0)()(0)cos sin D t D D Dv v t e v t t ξωξωξωωνωωω-⎛⎫⎡⎤++ ⎪⎣⎦=- ⎪ ⎪⎝⎭D ω=→()(0)cos (0)(0)sin t D D D t e v t v v t ξωωνωξωωω-⎛⎫⎡⎤=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()(0)cos tD D t ev t t ξωνωω-⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭0.055922(2)(4.47)c cc m ξω=== (a) c=0→0ξ=→D ωω=∴ 5.6(1)sin 4.470.7cos 4.47 1.384.47v t in ==+=- (1) 5.6cos 4.47 4.47(0.7)sin 4.47 1.69/sec v t in ==-=⇒(1) 1.4v in =-,(1) 1.7/sec v in = (b)c=2.8→0.0559(2.8)0.157ξ==4.41D ω== (1/sec ) (0.157)(4.41)5.60.7(0.157)(4.47)(1)sin 4.410.7cos 4.414.41t e ν-⎡+⎤⎛⎫==+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1)0.764t in ν==-(0.157)(4.41)(1) 5.6cos 4.41 4.41t e ν-⎛⎫== ⎪⎝⎭(1) 1.10/sec t in ν==⇒(1)0.76v in =-,(1) 1.1/sec v in =第三章 谐振荷载反应3-1根据公式有 ()()21sin sin 1R t w t wt ββ⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦0.8wwβ== ()()2.778sin 0.8sin1.25R t wt wt=-将t ω以80°为增量计算)(t R 并绘制曲线如下：80° 160° 240° 320° 400° 480° 560° 640° 720° 800° 00.547 1.71 -0.481 -3.214 0.357 4.33 -0.19 -4.9244.9241.25w w =tω)(t R3-2解：由题意得：22m kips s in =⋅ ， 20k kips in = ， (0)(0)0v v == ，w w =3.162w rad ===8wt π=（a ）0c =()()1sin cos 2R t wt wt wt =-将8wt π=代入上式得：()412.566R t π=-=- （b ）0.5c k s =⋅0.50.0395222 3.162c c c c mw ξ====⨯⨯()()(){}1exp 1cos exp sin 2R t wt wt wt wt ξξξξ=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦将8wt π=代入上式得：()7.967R t =- （c ） 2.0c k s =⋅2.00.1582223.162c c c c mw ξ====⨯⨯()()(){}1exp 1cos exp sin 2R t wt wt wt wt ξξξξ=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦将8wt π=代入上式得：() 3.105R t =-3-3解：（a ）：依据共振条件可知：10.983sec w w rad =====由2L T V w π==得：10.9833662.96022wL V ft s ππ⨯===（b ）：()()()122max2221212tgo v v ξββξβ⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥-+⎣⎦1w w β==0.4ξ= 1.2go v in =代入公式可得：max 1.921tv in =（c ）：2L T V w π=='45min 66V h ft s ==226611.51336V w rad s ec L ππ⨯'===11.5131.04810.983w w β'===0.4ξ=代入数据得 ：()()()122max22212=1.85512tgov v in ξββξβ⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥-+⎣⎦3-4解：按照实际情况，当设计一个隔振系统时，将使其在高于临界频率比β=在这种情况下，隔振体系可能有小的阻尼。
对于小阻尼 ： ()211TR β=-又因为： max 0.0050.03t go v TR v == 联立求的： 27β=2220125.6w f rad ππ==⨯=又因为：w ww β===联立得：222125.68004.6703867w W k kips in g β⨯===⨯3-5解：按照实际情况，当设计一个隔振系统时，将使其在高于临界频率比β=在这种情况下，隔振体系可能有小的阻尼。
对于小阻尼 ： ()211TR β=-又因为： max 50700t go v TR v == 联立求的： 215β=221275.36w f rad ππ==⨯=又因为：w w w β===联立得：22275.3665006.37638615w W k kips g β⨯===⨯3-6(a)由图3-17有，max s f k =ρ，则in lbf inlbff k s /260015.0390max===ρ(b)由方程3-66有22ρπξk E Deq =，由图3-17有221ρk E S=， 因为ωξm c 2=，所以，又因为，故 0713.0)29(4264=⋅⋅⋅==in lbf inlbf E E S D eq ππξωξm c eq eq 2=222ρωπξm E Deq =)/(78.36)15.0(/102622in s rad lbf in s rad inlbf E c Deq ⋅⋅=⋅⋅==πρωπ (c)由方程3-78有ξβζ2=，3-7(a)公式同题3.6(b)(b)公式同题3.6(c)(c)通过题3.6与题3.7的比较可知，ζ与ω无关，故滞变阻尼机理更合理。
3-8（原版英文书中为求D E 的值）由方程3-66有22ρπξk E eq D ⋅=，当k 与ρ不变时，若)(ωξξeq eq ≠，则)(ωD D E E ≠, 由题3.7可知%2.141426.00713.022==⨯==ξζ0713.0)29(4264=⋅⋅⋅==in lbf inlbf E E S D eq ππξ)/(39.18)15.0(/202622in s rad lbf in s rad inlbf E c Deq ⋅⋅=⋅⋅==πρωπ%2.141426.00713.022==⨯==ξζ)(ωD D E E =第五章 对冲击荷载的反应5-1解：(a)25.36 rad/sec ω=== 120.15T =0.248 sec0.6050.50.248t T πω===> *21/t πωωω=+120.94 rad/sec 0.15t ππω===20.94===0.82625.36ωβω ()*2=0.136 sec 20.94125.36/20.94t π=+(b)[]**0max 2215001(sin sin )sin(20.940.136)0.8489 in 110001(0.826)p v t t k ωβωβ=-=⨯=--,max max 10000.8489848.9 1S f kv b ==⨯=又10max 0.605 0.85 t pv D in T k=∴==5-2解： 设无阻尼(a)011()(/) 0< (1)mv kv p t p t t t t +==<cos sin c p v A t B t v Et F ωω=+=+带入（1）得：0011() 0 t pk Et F p F E t kt ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭01p p tv k t =01=cos sin c p p tv v v A t B t k t ωω+=++0011(0)0 -p p v B B kt k t ωω=+== 0111v()(sin t) p t t k t t ωω=- 1 t t ≥当2011111121()sin sin()1sin cos()2p t v t t t t t t kt t ωωωω⎡⎤⎛⎫=-+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦（b ）1 :t t <<当0()2001112()1cos sin 2p p t v t t kt kt ωω=-= sin0 0,1,222ttn n ωωπ∴=→==±±max max 10121322sin()/3333v R t p k t ππ==--= max 23R →=解：(a)110 242T t t t ππωω<<=== 0cos (1)mv kv p t ω+=cos sin cos sin c p v A t B t v Et t Ft t ωωωω=+=+带入（1）得：000 22p pE F m k ωω=== 0cos sin sin 2c p p v v v A t B t t t kωωωω=+=++[]0(0)0(0)sin(0)(0)cos(0)020v A p v B kB ωωω===++== 0sin 2p v t t kωω=0011 ()sin 2224p p t t v t k kπππωωωω⎛⎫⎛⎫>== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()001()sin sin 22222p p v t k k πππωωωωωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 01v()sin cos 224p t t t k πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(b) max 1max 00 sin /2v tt t R t p k ωω<<== 1max 11 sin cos =024t t R t t t t t πωω>=+-≥解： (a)110.15t T = ,查表得：D=0.5 0,max max 00.3954015.8 S kp f v k D p D k k====⨯= (b)10max 010101112()()0.150.3532222t p v p t dt p t p t T m k k Tωπω====⨯⨯=⎰ ,max max 0.353207.06 S f v k k ==⨯=5-5解：1max 001()()t tv p t dt p t dt m ω==⎰⎰1012340()(424)53t tp t dt p p p p p ∆=++++=⎰max v =S,max max =0.3954015.8 k f v k =⨯= max ,max 15015.82370 S M d f k ft =⨯=⨯=⋅第六章6-1Solution:2ωπ==0.10.06366/0.2521F in lb m τωζπ∆===⨯⨯ 0.1sec τ∆= 2/k lb in π= (5)(2)(4)=⨯ (11)(9)(10)=- (7)(2)(3)=⨯ (12)(11)()F v t =⨯= (9)(6)(3)=⨯ (13)(12)()s K f t =⨯= (10)(8)(4)=⨯0.10.03183/0.2522F in lb m τωζπ∆===⨯⨯0.1sec τ∆=2/k lb in π=(5)(2)(4)=⨯ (7)(2)(3)=⨯ (11)(7)3-104=⨯⨯（） (12)(11)()F v t =⨯=(13)(12)()s K f t =⨯=0.10.02122/0.2523F in lb m τωζπ∆===⨯⨯0.1sec τ∆=2/k lb in π=(6)(2)(4)5=⨯⨯（） (9)(2)(3)5=⨯⨯（） (12)(8)3-114=⨯⨯（） (13)(12)()F v t =⨯=(14)(13)()s K f t =⨯=6-2Solution:30/rad s ω=20.209T s πω==0.0050.000277/3302F ft kips m τωζ∆===⨯⨯(5)(2)(4)=⨯ (14)(13)()F v t =⨯= (9)(2)(3)=⨯ (15)(14)()s K f t =⨯=(13)(8)3-124=⨯⨯（）6-3Solution:=5%=0.05ξ22700/K kips ft =exp()0.9925Mult t ξω=-∆= 0.0050.000277/3302F ft kips m τωζ∆===⨯⨯(5)(2)(4)=⨯ (9)(2)(3)=⨯ (13)(8)3-124=⨯⨯（） (14)(13)()F v t =⨯=(15)(14)()s K f t =⨯=6-4Solution:6.325/rad s ω= 0.4=0.158220.2 6.325c m ξω==⨯⨯ exp(2)exp(-20.158 6.3250.12)0.787t ξω-∆=⨯⨯⨯= 4exp()4exp(-0.158 6.3250.12) 3.548t ξω-∆=⨯⨯⨯⨯=-20.123.16210/0.2 6.3253F ft kips m τωζ∆===⨯⨯⨯(5)(2)(4)=⨯ (8)(6)(5)=⨯ (10)(2)(3)=⨯ (12)(11)(10)=⨯(14)(9)(3)-134=⨯⨯（）（） (15)(14)()F v t =⨯=第七章7-1由题意可知：h=0.12s等效刚度：K ̃(t)=K(t)+3c ℎ+6mℎ2=101.33 kips in ⁄ΔP ̃n=ΔP+[6mℎ2v̇(t)+3v̈(t )m ]+C[3v̇(t)+ℎ2v̈(t)] =ΔP+11.2v̇(t)+0.624v̈(t )Δv̇(t)=3ℎΔv(t)-3v̇(t)-ℎ2v̈(t)=25Δv-3v̇(t)-0.06v̈(t ) 加速度：v̈(t)=1m [P(t)-C v̇(t)-kv(t)] =10.2[P(t)-0.4v̇(t)-8v(t)] Δv̇=ΔP̃(t)k̃(t)又v(0)=v̇(0)=v̈(0)=0v(t)=v(t-Δt)+ Δv(t-Δt) v̇(t)=v̇(t −Δt)+ Δv̇(t −Δt)则由以上公式并结合题意可得下表:7-2由题意知：当|v|>1 in 时 K=0 其他公式同7-1 则有： K ̃(t)=K(t)+3c ℎ+6m ℎ2=K(t)+93.33 ΔP ̃n=ΔP+[6mℎ2v̇(t)+3v̈(t )m ]+C[3v̇(t)+ℎ2v̈(t)] =ΔP+11.2v̇(t)+0.624v̈(t )Δv̇(t)=3ℎΔv(t)-3v̇(t)-ℎ2v̈(t)=25Δv-3v̇(t)-0.06v̈(t ) 加速度：v̈(t)=1m [P(t)-C v̇(t)-kv(t)] =10.2[P(t)-0.4v̇(t)-8v(t)] Δv̇=ΔP̃(t)k̃(t) v(0)=v̇(0)=v̈(0)=0v(t)=v(t-Δt)+ Δv(t-Δt) v̇(t)=v̇(t −Δt)+ Δv̇(t −Δt)7-3K=dfs dv =d12[23v−13(2v3)3]dv=8-329v 2 则K ̃(t)=101.33-329v 2 其余方程如7-1有 h=0.12s ΔP̃n=ΔP+[6m ℎ2v̇(t)+3v̈(t )m ]+C[3v̇(t)+ℎ2v̈(t)]=ΔP+11.2v̇(t)+0.624v̈(t )Δv̇(t)=3ℎΔv(t)-3v̇(t)-ℎ2v̈(t)=25Δv-3v̇(t)-0.06v̈(t )加速度：v̈(t)=1m [P(t)-C v̇(t)-kv(t)] =10.2[P(t)-0.4v̇(t)-8v(t)] Δv̇=ΔP̃(t)k̃(t) v(0)=v̇(0)=v̈(0)=0v(t)=v(t-Δt)+ Δv(t-Δt) v̇(t)=v̇(t −Δt)+ Δv̇(t −Δt)接上表第八章广义单自由度体系8-1解：21.720T L==带入数据得：T=1.776 sec*4*334()21.771sec32m mLTEIkLππ⎫=-⎪⎪==⎬⎪=⋅⎪⎭3=2,rm rt I trgTππ==把带入得：8-2 解：[]2*2=(x)(x)(L)Lm m dx mψψ+⎰From 例题 E 8-3b可得：[][]422**300*2()()=0.228; ''()=320.228L L EIm m x x dx mL k EI x dxLWm mL Igπψψ==∴=+⎰⎰3*22222492*340010 1b0.2281101sec /20017430 1sec /32.22 /sec16510 1 62780 1/32(200 )m b ft ft b ft ft b ftk b ftft π⨯=⋅⨯+=⋅⨯⋅==（ ）22 3.311 sec 3.31sec T T ====*4*3334()2232r W m rtL g g T E k tr L ππππ⎫=-+⎪⎪=⎬⎪=⋅⋅⎪⎭8-3解：8-4 解：0202() ()8S I mL f kz t M I z t Lα=-=-=-0M=∑()() ()22S f S L LM f kz t ==-01()4I M mLz t =-()2F LM F =8-5解：[]1201()2()()(1)()s s f k y t f k y t z t f c z t =-=-+=-- 0AM=∑[][]1212()1()()2(2)()()(2)1()()2()()0 1 2s s P f s f s M p t LM f L ky t L M f L k y t z t L p t L ky t L k y t z t L ===-==-+--+=因此：（）B0M =∑ [][]20220()()()()22()()()22()12/211()()()()0 2226s D f s f D I L LM f k y t z t L LM f cz t L z t M I m L L k y t z t L cz t m z t L α==-+=-=-=-=-⋅-+--⋅=因此：（） ****12551,,,()()622m m c c k k p t p t ====-由式（），（）可得： 8-6解：42*200333(x)22140LLx x m m dx m dx mL L L ψ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()2*''Lk EI dx ψ=⎰3221()(3)2x x x L L ψ=-223'()(2)2x x x L Lψ=-2213''()(66)(1)2x xx L L L Lψ=-=- *343300993(1)(1)(1)3LL EIL x x EIx EI k d L L L LL L ⎡⎤=---=--=⎢⎥⎣⎦⎰ *3()()8Lp t p x dx pL ψ==⎰8-7解：****33 G EIk k k k L=-= (a)[]222*003'()22LLGd L x k N x dx N dx dx x L ψ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫==-⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎰⎰22*23036325LG x x Nk N dx L L L ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭⎰***2325G EI k k k N L L ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭(a)[]2*2342001'()N(1-)()()()4L L G L q L L L k N x dx dx x Lxx x ψ⎡⎤==-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰*2345209N 513N()2()()()=L 448L L G L L L L k dx xx x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎰ ***2318G EI k k k N L L ⎛⎫∴=-=-⎪⎝⎭8-8解：（a ）2222222222222222=sinsincos sin sin sin sin cos sin sin cos cos xyaax y x y x a a a x a a a ax y x y ya a a y a a a ax y x y a a a y xππψψπππψππππψψπππψππππψψπππψ∂∂==-=-∂∂∂∂==-=-∂∂∂∂==∂∂∂∂[]222*20(,)(,)sin 4aA xarm r x y x y dA r dx a πψ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰22222*22222222242222222()2(1)()()=()A A A k D dAx y x y x y dA dA x y a a a ψψψψψνψψπππψψ⎡⎤∂∂∂∂∂=+--⋅-⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦∂∂+-=∂∂⎰⎰⎰其中： (b)22224422222242()=()()4A A AdA dA dA x y a a a aψψππππψψψ∂∂⋅--==∂∂⎰⎰⎰222200=cos cos 0a a A x y dA dxdy x y a a a ψπππ∂=∂∂⎰⎰⎰ 222200=cos cos 0a a A x y dA dxdy x y a a aψπππ∂=∂∂⎰⎰⎰444*2222(1)(1)42D k D D a a aπππνν=--=+*22(,)(,)sinsin4sinsinaaAaaxyp p x y x y dA p dxdyaaxya pp dx dy aaππψπππ====⎰⎰⎰⎰⎰8-9解：22241()-333A x r r r πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()45195x x r x L L ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭ 4514265A()9=3333x x x L L ππ⎡⎤⎡⎤=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4265265150200 1b/ft 333x x r A L L ρππ⎡⎤⎛⎫==⨯-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭2*202652001cos 32L Lx x m r dx dx L L πψπ⎛⎫⎛⎫==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰12265()1cos 1.80823426()51cos 13.66732L x y y L y y L ππ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()*0122004228.3 kips 3x m y y y π∆⎛⎫=++= ⎪⎝⎭[]2*0()''()L k EI x x dx ψ=⎰ 02853x r L=-228533x x I L π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2''(x)cos 22x L L ππψ⎛⎫= ⎪⎝⎭*03.44()L k z x dx =⎰322()85cos 32x x z x L L π⎛⎫=- ⎪⎝⎭0(0)650.96z z == 1()19.012Lz z == 2()0z z L ==*83.4 kip/ft k =8-10解：02(,)()sin ()34v x t x z t L L x x x ψωψ=⎡⎤⎛⎫∴=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦[]222max 0030124()''()2L EI v z EI x x dx z Lψ==⎰ 222L/22222max010101/2/2117T 2(34)34222235L L L L z m dx m z mL m x x ωω⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎩⎭⎰由以上两式可得：23148EI =1L 2mL m ω∴⎛⎫+ ⎪⎝⎭(a)(b)8-1133()3()12PL x x x EIL L ν⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦0(,)()sin x t x Z t νψω= ∴3()3()x xx L Lψ=-22max 001()()2LnZ EI x x dx νψ⎡⎤=⎣⎦⎰2223max00123()2Ld x x Z EI dx dx L L ν⎧⎫⎡⎤=-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎰ 22232max000663036112363Lx EI Z EI dx Z EI L Z L L L ν===⎰()*[]222max001()()2LT Z m x x dx ωψ=⎰ 22'200()[()]()i Li i i m m x x dx m I ψψψ*=++∑∑⎰22_2233max010123()3(1)12L x x T Z m dx m L L ω⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎡⎤=-+-⎨⎬⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎰ 22246max010129()6()()42Lx x x T Z m dx m L L L ω-⎧⎫⎡⎤=-++⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎰ 22max0116123()()4257T Z m L L L m ω-⎧⎫⎡⎤=-++⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ 22max0116824255T Z m L m ω-⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭**⎛⎫⎪⎝⎭由()*和**⎛⎫⎪⎝⎭：233112466834243535EI EI L m L m L m L m ω--==⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∴2T =(a) 22T ==2T =(b)如果1903m L -≡, 2T =14T m m L m α-=+ 2T m m L -=∴22T ==22π=∴229335α+=1735α=⇒1748.6%35α==8-1221232sec /m m m m kips in ====⋅12311400/23k k k k kips in ====(0)(0)(0)0()sin i i t Z t νψω=(0)11ψ=,(0)22/3ψ=,(0)31/3ψ=,(0)01Z = (a)002322(0)2(0)(0)2(0)max11141(1)2299i i i T Z m Z m ωψω=⎡⎤⎡⎤⎡⎤==++⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 02(0)2(0)max 11429T Z m ω⎡⎤=⎣⎦ ()* 002322(0)(0)(0)(0)max111123()22999i i i v Z k Z k ψ=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=∆=++⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 02(0)(0)max1629vZ k ⎡⎤=⎣⎦ **⎛⎫ ⎪⎝⎭由()*和**⎛⎫ ⎪⎝⎭：200R k m ω=20020.679sec R T π== ⇒2000.679sec R T =(0)20(0)2(0)0i i i i i p m v z m ωωψ==21m v kω∆=22532m v kω∆= 2323m v k ω∆=(1)(1)34(0)(0)(1)4(0)00max001112314(1)2235315i i i i v Z Z m Z Z m ωψψω--===++∑ (1)4(0)40max0167245v Z Z m ωω-= ***⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由()*和***⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭：(0)2001(1)070286767R Z k m Z ω-==20020.687sec R T π== ⇒2000.687sec R T = （c ）0022(1)32(1)6(1)6(1)max111916(1)2225225i ii TZ m Z m ωψω-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 02(1)6(1)max13222225T Z m ω⎡⎤=⎣⎦****⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由***⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭和****⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭：(0)2011(1)033567322161R Z k m Z ω-==21120.689sec R T π== ⇒2110.689sec R T =8-132123111sec /23m m m m kips in ====⋅123800/k k k k kips in ====（a ）02(0)2(0)max141(1)2()3()299T Z m m m ω⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 02(0)2(0)max 12029T Z m ω⎡⎤=⎣⎦ ()* 0022(0)(0)(0)max111111()299923vZ k Z k ⎡⎤⎡⎤=++=⎣⎦⎣⎦ **⎛⎫⎪⎝⎭由()*和**⎛⎫ ⎪⎝⎭：200320R k m ω=20040.574sec R T π== ⇒2000.574sec R T =21m v kω∆= (1)22(1)011203m v Z k ωωψ-== 22532m v kω∆= 22173mv k ω=2323m v k ω∆= → 23103m v kω=(1)11ψ=,(1)21720ψ=,(1)312ψ=,(1)0203m Z k -=（b ）00(1)(1)4(0)max121711(1)2()()3()()232032vZ Z m m m ω-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦ 00(1)(1)4(0)max 179230v Z Z m ω-= ***⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由()*和***⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭：(0)2001(1)020012001020237237793R Z k m m Z kω-===20020.624sec R T == ⇒2000.624sec R T = （c ）02(1)(1)6max128912324004T Z m m m ω-⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 02(1)(1)6max16392200T Z m ω-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ****⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由***⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭和****⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭：(0)2011(1)079(20)179(20)203(639)3(639)3R Z m Z k ω-== 21179639R kmω=21120.632sec R T == ⇒2000.632sec R T =第十章 结构特性矩阵的计算10-1由公式(10-21)有dxx x x EI k j i Loij )()()(''''ψψ⎰=， 所以 dxx x x EI k L o )()()(''3''223ψψ⎰=其中322)(2)(3)(L x Lx x -=ψ ,23)1()(L x x x -=ψ ,故32''2126)(L x L x -=ψ，L L x x 46)(2''3-=ψ,20200238)23(2)21(6)1(L EIdx L x L L x L L x EI k L-=--+=⎰10-2由公式(10-28)有dxx x x m m j i Loij )()()(ψψ⎰=， 所以 dxx x x m m L o )()()(3223ψψ⎰=其中322)(2)(3)(L x Lxx -=ψ，23)1()(L xx x -=ψ，故22322321)1(]23[)1(L mdx L x x L x L x L x m m Lo =--+=⎰）（）（10-3由公式(10-34b)有 dxx x t f t p i Li )()()()(0ψχ⎰=， 所以dxx x t f t p L )()()()(202ψχ⎰=其中，tp L xt f x t x p ωχsin )2()()(),(+==，L x x +=2)(χ ,t p t f ωsin )(=，322)(2)(3)(L xLxx -=ψ，故tL p dx L x L x L x t p t p Lωωsin 2027]23[)2(sin )(23202=-+=⎰）（）（10-4由公式(10-42)有dxx x x N k j i LoGij )()()(''ψψ⎰=， 所以dxx x x N k L o G )()()('3'223ψψ⎰=，其中，322)(2)(3)(L x L x x -=ψ，23)1()(L x x x -=ψ，则322'66)(2L x L x x -=ψ，)1(2)1()(2'3L x L x Lxx ---=ψ，故202327)]1(2)1)[(1(6)2(N dx L x L x L x L x L x L L x N k L o G -=-----=⎰10-5由公式(10-22)有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧43212234321233233336633662v v v v L L L L L LL L L L L L L EI f f f f s s s s ，故 3026)2/(226233311L EI L EI L EI k =+=L L EIk 32321-= L L EI L L EIk 623)2/(223331-=-=L L EIk 32312-=LL EI L L EI L L EI k 6222)2/3(2)2/3()3(23232322=+=23233222)2/3()2/3()3(2L L EI L L EI k ==L L EI L L EIk 623)2/(223313-=-=23232322)2/3()2/3()3(2L L EI L L EI k ==2323233362)2/(2)2/(22)2/3(2)2/3()3(2L L EI L L EI L L EI k =+=故刚度矩阵[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=2222362626363302L L L L L L L L L EI K 10-6根据质量矩阵系数式（10-29）有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧432122224321432213341322221315654132254156420v v v vL L L L L L L L L L L L L m f f f f I I I I故当11=v时： 4.147842023215642028.015642011L m L m LmL m m =++=L Lm m 2242021-=L L m L Lmm 4.442022242028.031-=-= 当12=v时：L Lm m 2242012-=22222314202344202324420L L m L L mL L m m =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2232481420233420232L L m L L m m -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 当13=v时：L L m L Lmm 4.442022242028.013-=-= 2223481420233420232L L m L L m m -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 222334.274202344202322442028.0L L m L L m L L m m =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=故质量矩阵[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=22225484058840562044088440295688400L L L L LL L LL m M10-7根据式（10-32）有：4,3,2,1,)(),()(0==⎰i dxx t x p t p i Li ψ其中)(x iψ根据式（10-16）选取如下：321)(2)(31)(L x Lx x +-=ψ，322)(22)(3)(L xL x x =ψ23)1()(L x x x -=ψ，)1()(24-=L xL x x ψ)(81])2/(2)2/(31)[(23])21(2)21(31)[()2(),()2()()(322/0322/1011t L p dx L x L x t p t L p dx L x t x p L x t p t P L L LLζζζψψ=+--+-==-==⎰⎰)(16123)4/13/22/1(23)()(81])2/3()2/3(22/3[23)()(81)2/31()()121(4)()]([),()]2()[()(222/3032222/302/332/3042t L p L L t p t L p dx L x L x L x Lt p t L p dx L x x t p L t L p dx x t x p Lx t p t P L L L L L ζζζζζζζψψ=+-+-=+-+-=-+-=--=--=⎰⎰⎰)(325)3141(2)(43)3141(23)(23)12/(2/)(23)12/3(2/3)()]([),()]([),()(22/022/3022/42/02/2/342/302/33t L p L t L p L t L p dx L x L x t p dx L xL x t p dx x t x p dx x t x pt P L L L L L L L L ζζζζζψψ-=---=---=-+--=⎰⎰⎰⎰故{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=L L t PL t P 524)(321)(ζ 10-8(a)[][][][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=θθθθk k k k L L L L L L L L L EI K t t tt 2222312858151051020根据公式（10-47）有[][][][][]t t tt t k k k k k θθθθ1--= 故：[]331222233311655510128815]510[20L EIL L L EI L L L L L EI L L L EIL EI k t -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=-(b)单自由度无阻尼方程为;0)()(=+t kv t v m 0)(11655)(303=-t v L EIt vL m即0)(11611)(63=-t v LEIt vL m第十一章11-1解：mmmk2k3kv 1=1v 2=1v 3=1k 11=kk 21=-kk 31=0k 12=-k k 22=3k k 32=-2kk 13=0k 23=-2k k 33=5k-3k此框架的质量与刚度矩阵为：()2112/1ks in ⎡⎤⎢⎥=⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦m ()()40040001104001200800/400/13208002000025k in k in --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦k（a ）由公式（11-6）得：[][]()2110400/1320025Bk m k in B Bω---=---=-- (2200B ω=) ()()()()()1355410B B B B B -------=3291860B B B -+-=解得：B 1= 0.4158 B 2 =2.293 B 3=6.29则：ω1=9.119rad/s ω1=9.119rad/s ω1=9.119rad/s （b ）B 1= 0.415812310.415810130.4158200250.4158v v v --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦则10.5840.253⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1Φ B 2 =2.2931231 2.2931013 2.29320025 2.293v v v --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦则11.2930.955⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2Φ B 3=6.291231 6.291013 6.2920025 6.29v v v --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦则15.298.20⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3Φ （c ）1231110.584 1.293 5.290.2530.9558.20⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ΦΦΦΦ210.5840.2532001111 1.2930.9550200.584 1.293 5.29/1 5.298.200020.2530.9558.20ks in ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦T Φm Φ210.5840.25311121 1.2930.9550.584 1.293 5.29/1 5.298.200.2530.9558.20ks in ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦1.4050.0030.01520.003 3.5840.0090.0150.00996.224⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦21.4050020 3.5840/0096.224ks in ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦故可知Φ对mass 满足直交条件。