参数方程(圆锥曲线的参数方程)复习进程
高考数学一轮单元复习：第73讲 参数方程
│要点探究
► 探究点3 探究点
例3
直线的参数方程
[2009·无锡模拟 过点 P(－3,0)且倾斜角为 30° 无锡模拟] 无锡模拟 － 且倾斜角为 1 ＝＋ x＝t＋ t ， (t 为参数 相交于 A、B 两点．求 为参数)相交于 、 两点． 的直线和曲线 1 y＝t－ ＝ －t 的长． 线段 AB 的长．
│要点探究
点评】 【点评】曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的 不同形式．一般地， 不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到 普通方程，有利于识别曲线的类型． 普通方程，有利于识别曲线的类型．在参数方程与普通 方程的互化中， 方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持一致． ， 的取值范围保持一致．
│要点探究
福建卷] 变式题 [2009·福建卷 已知直线 L：3x＋4y－12＝0 福建卷 ： ＋ － ＝ 与圆
x＝－ ＋2cosθ， ＝－1＋ ， ＝－ C： ： y＝2＋2sinθ ＝ ＋
(θ 为参数 ．试判断他们的公 为参数)．
共点个数． 共点个数．
│要点探究
解答】 圆的方程可化为(x＋ 【解答】 圆的方程可化为 ＋1)2＋(y－2)2＝4.其圆 － 其圆 心为 C(－1,2)，半径为 2. － ， |3×(－1)＋4×2－12| 7 － ＋ － 由于圆心到直线的距离 d＝ ＝ ＝5 2 2 3 ＋4 <2，故直线 L 与圆 C 的交点个数为 2. ，
π 3π (φ 为参数 ，φ∈[0,2π)且 φ≠ ，φ≠ ； 为参数)， ∈ 且 2 2 (t 为参数 ． 为参数)．
x＝2pt2 ＝ 2 抛物线 y ＝2px(p>0)的一个参数方程为 的一个参数方程为 y＝2pt ＝
高考数学中的圆锥曲线参数方程解析技巧
高考数学中的圆锥曲线参数方程解析技巧圆锥曲线是高考数学中必须掌握的重要知识点，其中参数方程的解析技巧是必须要掌握的难点。
在大学的数学课程中，圆锥曲线是基础课程，而在高考数学中又是重中之重。
在本文中，我们将深入剖析圆锥曲线参数方程解析技巧，让大家掌握这个关键难点。
一、什么是圆锥曲线圆锥曲线，顾名思义，是由圆锥截割而成。
圆锥是一个由两个面围成的几何体，其中面的交线为圆锥曲线。
圆锥曲线包括直线、椭圆、双曲线和抛物线四种类型，其中椭圆和双曲线是常见的类型。
圆锥曲线有两种表示方法，一种是直角坐标系方程，另一种是参数方程。
直角坐标系方程适用于已知圆锥曲线类型的情况，而参数方程则适用于未知曲线类型的情况，因此在高考数学中，参数方程被广泛使用。
二、参数方程的定义和基本形式圆锥曲线参数方程是一组方程，用参数表示曲线上的每一个点的位置。
具体来说，参数方程是一组形如x=x(t)，y=y(t)的方程，其中t为参数。
例如，椭圆的参数方程可以表示为：x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，其中a和b分别是椭圆长半轴和短半轴。
在参数方程中，参数t的值通常在一定范围内变化，以确保曲线上的每一个点都被表示出来。
参数方程具有很强的通用性，可以用来描述各种各样的曲线，而不需要提前知道曲线类型。
三、圆锥曲线参数方程解析技巧1. 确定参数范围在解析参数方程时，首先需要确定参数的取值范围。
这通常涉及到选择一个适合的t值范围，以确保曲线上的每一点都能被表示出来。
例如，对于椭圆的参数方程x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，参数范围应选择在0≤t≤2π之间，以确保整个椭圆都能被表示出来。
2. 求出曲线上任意一点通过参数方程求出曲线上任意一点的方法比较简单，只需要依次代入x(t)和y(t)的值即可得到点的坐标。
例如，对于椭圆参数方程x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，求出椭圆上的某一点P，只需要将t代入x(t)和y(t)的式子中即可得到P(x(t),y(t))的坐标。
参数方程教案
教学过程 一、复习预习1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y at x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜.直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y at x x sin cos 00 （t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是(x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t=221t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜221t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆 12222=+by a y (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数)二、知识讲解考点1. 曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化。
参数方程(圆锥曲线的参数方程)
x＝ON＝
这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。
常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。
在椭圆的参数方程中，通常规定参数θ的范围为
|OA|cosθ＝acosθ，
|OB|sinθ＝bsinθ
φ
O
A
M
x
y
N
B
椭圆的标准方程:
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
x
O
y
探究思考
| t | = | M0M |
M0
M
所以，直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.
这就是 t 的几何意义，要牢记
x
O
y
分析:
点M是否在直线上
用普通方程去解还是用参数方程去解；
分别如何解.
A
B
M(-1，2)
x
y
O
解：因为把点M的坐标代入直线方程后，符合直线方程，所以点M在直线上.
x
y
O
圆的标准方程:
圆的参数方程:
x2+y2=r2
θ的几何意义是
∠AOP=θ
P
A
θ
椭圆的参数方程:
是∠AOX=φ,
不是∠MOX=φ.
称为点M的离心角
小 结
椭圆的标准方程：
椭圆的参数方程：
——离心角
一般地：
在椭圆的参数方程中，常数a、 b分别是椭圆的长半轴长和短半 轴长. a>b
探究:直线的参数方程形式是不是唯一的
| t | = | M0M |
表示什么曲线?画出图形.
练习:
4
不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为
则直线MA的方程为
高中数学新湘教版精品学案《圆锥曲线的参数方程》
圆锥曲线的参数方程【学习目标】1．知识目标：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义。
2．能力目标：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程。
3．德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
【学习重难点】圆锥曲线的参数方程的定义和方法。
【知识链接】复习1：圆的参数方程及参数的几何意义是什么？圆22=r 2r>0的参数方程：圆-a 2-b 2=r 2的参数方程：其中参数的几何意义为：复习2：圆的参数方程是怎样推导出来的呢？【学习指导】分组讨论学习法、探究式【学习过程】一、自主学习：（预习）椭圆 的参数方程为的几何意义是什么？双曲线 的参数方程为________________________抛物线的参数方程是_____________________，其中at tan 1= 二、合作探究：参数方程的推导过程是怎样的？12222=-b y a x )0(12222>>=+b a b y a x ϕ,,b a三、巩固练习A 类1．椭圆 的两个焦点坐标是（ ）2．双曲线23tan (6sec x y φφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）的两焦点坐标是 。
3．参数方程所表示的曲线为（ ） A ．抛物线的一部分 B ．一条抛物线C ．双曲线的一部分D ．一条双曲线B 类1．已知某条曲线的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1(21)1(21a a y a a x 其中a 是参数，则该曲线是（ ） A 线段 B 圆 C 双曲线的一部分 D 圆的一部分2．设α0v s m V o /100=6πα=()sin cos sin cos x y θθθθθ=+⎧⎨=⋅⎩为参数为抛物线上的动点，给定点，点P 分线段的比为2：1，则点P 的轨迹方程为 。
2cos ()sin x y θθθ⎧=⎨=⎩为参数223641y x +=24y x =|cos sin |22(02)12x y θθθπθ⎧=+⎪⎪<<⎨⎪=⎪⎩（1+sin ）1(1,)21(1,)21(1,)2-1(1,)2-22y x =0(1,0)M -0M M 为参数）ϕϕϕ(sin 5cos 3⎩⎨⎧==y x )3,0(),3,0.(-A )0,4(),0,4.(-C )0,5(),0,5.(-D )4,0(),4,0.(-B5．已知椭圆⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x θ为参数，求（1）6πθ=时对应的点P 的坐标（2）直线OP 的倾斜角6．A 点椭圆长轴一个端点，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA=90°，其中O 为椭圆中心，求椭圆离心率e 的取值范围。
圆锥曲线的参数方程 课件
已知圆 O1：x2＋(y－2)2＝1 上一点 P 与双曲线 x2 －y2＝1 上一点 Q，求 P、Q 两点距离的最小值．
【分析】 圆具有对称性，可转化为用参数法求 Q 到圆心的 距离的最小值．
【解】 设 Q(sec θ，tan θ)， 易知 O1(0,2)， 则|O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2 ＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4) ＝2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3. 当 tan θ＝1，即 θ＝4π时，|O1Q|2 取最小值 3， 此时有|O1Q|min＝ 3. ∴|PQ|min＝ 3－1.
圆锥曲线的参数方程
1．椭圆的参数方程 普通方程 ax22＋by22＝ 1(a>b>0)
ay22＋bx22＝ 1(a>b>0)
参数方程 x＝acos φ， y＝bsin φ (φ
为参数) x＝bcos φ， y＝asin φ (φ
为参数)
问题探究：椭圆的参数方程xy＝＝abcsions
φ， φ
中的参数 φ 与圆的
双
曲线ax22
－
y2 b2
＝
1(a>0
，b>0)的参数
方程为
x＝asec y＝btan
φ， φ.
(φ
为参数)
3．抛物线的参数方程 普通方程
参数方程
y2＝2px(p>0)
x＝2pt2， y＝2pt
(t 为参数)
y2＝－2px(p>0)
x＝－2pt2， y＝2pt
(t 为参数)
x2＝2py(p>0)
x＝2pt， y＝2pt2
示同一个椭圆．同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参
第二讲 参数方程 章末复习方案 课件(人教A选修4-4)
代入方程 y2＝4x 整理得 t2sin 2α＋4(sin α－cos α)t－8＝0①
∵点 P(3,2)是弦 AB 的中点，由参数 t 的几何意义可知，方 程①的两个实根 t1、t2 满足关系 t1＋t2＝0 sin α－cos α＝0 π ∴0≤α＜π，∴α＝4. ∴|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t2 －4t1t2＝
能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆 锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题． [例 8] AB 的长． 已知点 P(3,2)平分抛物线 y2＝4x 的一条弦 AB，求弦
[解]
设弦 AB 所在的直线方程为 (t 为参数)，
x＝3＋tcos α y＝2＋tsin α
(t 为参数且 t2>3)
在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方 程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法．但将曲 线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注 意 x，y 的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使 得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．
7 10 直线 l 的方程为 x－3y＋2＝0， 则曲线 C 上到直线 l 距离为 10 的 点的个数为 A．1 C．3 B．2 D．4 ( )
[解析]
曲线 C 的标准方程为：(x－2)2＋(y＋1)2＝9，
它表示以(2，－1)为圆心，半径为 3 的圆， |2＋3＋2| 因为圆心(2， －1)到直线 x－3y＋2＝0 的距离 d＝ ＝ 10 7 10 10 7 10 7 10 且 3－ 10 < 10 ，故过圆心且与 l 平行的直线与圆相交的 两点为满足题意的点．
法二：将直线参数方程代入圆方程得 t2－t＋1－a＝0 设方程两根为 t1、t2，则 3 Δ＝1－4(1－a)>0⇒a>4. t1＋t2＝1，t1· ＝1－a.(*) t2 由参数 t 的几何意义知 |PA| t1 1 |PA| t2 1 |PB|＝－t2＝2或|PB|＝－t1＝2. t1 1 由t ＝－2，解得 a＝3. 2
圆锥曲线解题技巧之参数方程的运用如何通过参数方程解决圆锥曲线问题
圆锥曲线解题技巧之参数方程的运用如何通过参数方程解决圆锥曲线问题圆锥曲线是数学中的一个重要概念，涉及到许多解题技巧和方法。
其中，参数方程是解决圆锥曲线问题的一种有效途径。
本文将探讨如何通过参数方程来解决圆锥曲线问题，并讨论一些常见的参数方程运用技巧。
一、参数方程的基本概念参数方程是用参数表示自变量和因变量之间的关系的方程。
在圆锥曲线中，我们可以使用参数方程将自变量（通常用参数t表示）与因变量（例如x和y）表示的关系联系起来。
通过引入参数，我们可以简化对曲线的描述和计算，从而更方便地解决问题。
二、参数方程解决圆锥曲线问题的步骤通过参数方程解决圆锥曲线问题，一般需要经过以下几个步骤：1. 确定参数的范围：首先，需要确定参数的取值范围，通常通过题目中给出的条件进行限定。
例如，要求参数t在区间[0,2π)内取值。
2. 寻找参数与自变量之间的关系：其次，需要确定自变量（例如x 和y）与参数t之间的关系。
这一步可以通过直接给出参数方程或者通过已知条件与参数方程的关系来推导得到。
3. 消去参数得到方程：通过已知条件和参数方程的关系，我们可以消去参数，从而得到只涉及自变量的方程。
消去参数的过程通常是通过代数运算来完成的。
4. 分析并解决问题：最后，根据已经得到的方程，可以进行进一步的分析和解决问题。
这一步可以通过几何和代数方法相结合，根据需要进行计算和推导，得到问题的解答。
三、参数方程的运用技巧在通过参数方程解决圆锥曲线问题时，可以运用一些技巧来简化计算和分析过程。
以下是一些常见的参数方程运用技巧：1. 参数代换：有些圆锥曲线问题中，可以通过适当的参数代换来简化参数方程。
例如，当遇到椭圆或双曲线的参数方程中包含平方项并且系数相等时，可以通过合适的代换将其转化为标准形式。
2. 对称性利用：在分析参数方程时，可以利用曲线的对称性来简化计算和推导。
对称性可以是关于x轴、y轴或原点的对称性。
通过观察曲线的对称性，可以推断出曲线的性质，从而进行进一步的分析。
第2讲-圆锥曲线的参数方程
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
离公式得到关于 θ 的函数，转化为求函数的最值．
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
【自主解答】
x＝－4＋cos t， (1)由 y＝3＋ sin t，
当 堂 双 基 达 标
课 前 自 主 导 学
cos t＝x＋4， 得 sin t＝y －3.
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
x＝3cos θ 若本例的参数方程为 y＝5sin θ
，(θ 为参数)，则如何求
当 堂 双 基 达 标
椭圆的普通方程和焦点坐标？
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
课 前 自 主 导 学
义是什么？
1 π 3 【提示】 sec φ＝ ，其中 φ∈[0,2π)且 φ≠2，φ≠2π. cos φ
3．类比 y2＝2px(p>0)，你能得到 x2＝2py(p>0)的参数方
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
程吗？
【提示】
x＝2pt， 2 y ＝ 2 pt .
课 前 自 主 导 学
设抛物线 y2＝2px 的准线为 l，焦点为 F，顶点 为 O，P 为抛物线上任一点，PQ⊥l 于 Q，求 QF 与 OP 的交 点 M 的轨迹方程．
【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．
(p>0，t 为参数，t∈R)}
2020高考数学一轮复习 坐标系与参数方程第2讲 参数方程教案 理 选修4-4
第2讲 参数方程【2020年高考会这样考】考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题． 【复习指导】复习本讲时，应紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.基础梳理1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝ft ，并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量．(2)圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．(3)圆锥曲线的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)．抛物线y2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．双基自测1． 极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( )．A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝xρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝x ρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆．又∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线．答案 D2．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线4x ＋ky ＝1垂直可得－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案 －6 3．二次曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________．解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 29＝1左焦点为(－4,0)．答案 (－4,0)4．(2020·广州调研)已知直线l的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为________．解析 将直线l的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t 化为普通方程得，y ＝1＋2x ，圆ρ＝22sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝2，圆心(0，2)到直线y ＝1＋2x 的距离为2－11＋4，因为该距离小于圆的半径，所以直线l 与圆C 相交． 答案 相交5．(2020·广东)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．解析 由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)得，x 25＋y 2＝1(y ≥0)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得，x＝54y 2，∴5y 4＋16y 2－16＝0. 解得：y 2＝45或y 2＝－4(舍去)．则x ＝54y 2＝1又θ≥0，得交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，255考向一 参数方程与普通方程的互化【例1】►把下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t .[审题视点] (1)利用平方关系消参数θ； (2)代入消元法消去t .解 (1)由已知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x －3，sin θ＝2－y ，由三角恒等式cos 2 θ＋sin 2θ＝1,可知(x －3)2＋(y －2)2＝1，这就是它的普通方程． (2)由已知t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中， 得y ＝5＋32(2x －2)，即3x －y ＋5－3＝0就是它的普通方程． 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．【训练1】 (2020·陕西)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α， ①y －1＝sin α， ②①2＋②2得：x 2＋(y －1)2＝1. 答案 x 2＋(y －1)2＝1考向二 直线与圆的参数方程的应用【例2】►已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(其中t为参数，α为直线l 的倾斜角)．(1)当α＝2π3时，求圆上的点到直线l 距离的最小值；(2)当直线l 与圆C 有公共点时，求α的取值范围．[审题视点] (1)求圆心到直线l 的距离，这个距离减去圆的半径即为所求；(2)把圆的参数方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程代入得关于参数t 的一元二次方程，这个方程的Δ≥0.解 (1)当α＝2π3时，直线l 的直角坐标方程为3x ＋y －33＝0，圆C 的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d ＝232＝3，圆的半径为1，故圆上的点到直线l 距离的最小值为3－1.(2)圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α＋3sin α)t ＋3＝0，这个关于t 的一元二次方程有解，故Δ＝4(cos α＋3sin α)2－12≥0，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥34，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32或sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≤－32.又0≤α＜π，故只能sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32，即π3≤α＋π6≤2π3，即π6≤α≤π2. 如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．【训练2】 已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t 消参数后得普通方程为2x ＋y －6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ消参数后得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离为d ＝|2×2＋0－6|22＋1＝255，所以所求弦长为222－⎝⎛⎭⎪⎫2552＝855. 考向三 圆锥曲线的参数方程的应用【例3】►求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆x 24＋y 2＝1所得的弦长．[审题视点] 把直线方程用参数表示，直接与椭圆联立，利用根与系数的关系及弦长公式可解决．解由条件可知直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，代入椭圆方程可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t 24＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋22t 2＝1， 即52t 2＋32t ＋1＝0.设方程的两实根分别为t 1、t 2，则由二次方程的根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－625，t 1t 2＝25，则直线截椭圆的弦长是|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6252－4×25＝ 425.普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系x ＝f (t )(或y ＝φ(t ))，再代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝φ(t )(或x ＝f (t ))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．【训练3】 (2020·南京模拟)过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t (t 为参数)相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．解 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s (s 为参数)，又曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t (t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4，将直线的参数方程代入上式，得s2－63s ＋10＝0，设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2.∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10.∴|AB |＝|s 1－s 2|＝s 1＋s 22－4s 1s 2＝217.如何解决极坐标方程与参数方程的综合问题从近两年的新课标高考试题可以看出，对参数方程的考查重点是直线的参数方程、圆的参数方程和圆锥曲线的参数方程的简单应用，特别是利用参数方程解决弦长和最值等问题，题型为填空题和解答题．【示例】► (本题满分10分)(2020·新课标全国)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.第(1)问：利用代入法；第(2)问把曲线C 1、曲线C 2均用极坐标表示，再求射线θ＝π3与曲线C 1、C 2的交点A 、B 的极径即可． [解答示范] (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2. 由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(5分)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(10分)很多自主命题的省份在选考坐标系与参数方程中的命题多以综合题的形式命题，而且通常将极坐标方程、参数方程相结合，以考查考生的转化与化归的能力．【试一试】 (2020·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．[尝试解答] 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从 而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.。
圆锥曲线的参数方程 课件
规律技巧 利用双曲线的参数方程，可以求目标函数的最 值，这是常见题型的解题方法，一定要熟练掌握．
点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，不是OM的旋转角，
而圆的参数方程中的θ是半径OM的旋转角，椭圆参数方程中的φ称
为点M的离心角．
思考探究2
抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程
x＝2pt2， y＝2pt
(t为
参数)中参数t的几何意义是什么？
提示 由抛物线参数方程的推导过程可知，参数t表示抛物线
【例2】
已知A、B分别是椭圆
x2 36
＋
y2 9
＝1的右顶点和上顶
点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方
程．
【解】 如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐 标公式可知：
(φ为参数)．通常规定参数φ的取值范围为
[0,2π)．
(2)双曲线ay22－bx22＝1的参数方程为xy＝ ＝batsaencφφ， (φ为参数)．
(3)另三种情况抛物线的参数方程如下：
普通方程
参数方程
y2＝－2px(p>0)
x＝－2pt2， y＝2pt
(t为参数)
x2＝2py(p>0)
x＝2pt， y＝2pt2
上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.
名师点拨 1.圆、椭圆、双曲线的参数方程
圆、椭圆、双曲线的参数方程如下表：
点所在的 x2＋y2＝r2
曲线
ax22＋by22＝1
ax22－by22＝1
参数方程
x＝rcosθ， y＝rsinθ
圆锥曲线的参数方程
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为： 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=
x y
.
二、讨论学案
尝试练习：若6题选择普通方程如何解决？哪 种解法更方便。
巩固提高：6题中的
4
是参数方程中的
y2 100
1
练习2：已知椭圆的参数方程为
x 2cos
y
sin
(
是
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为
（ 2 ），焦点坐标是（( 3, 0)），离心率是
（ 3 ）。 2
一、圆锥曲线的参数方程的推导
2、（1）双曲线的参数方程的推导
（2）双曲线的参数方程中参数的几何意义
以原点O为圆心，a,b为半径作同心圆C1，C2，设A 为C1上任一点，作直线OA，过点A作圆C1的切线 AA，与x轴交于A，，过圆C2与x轴的交点B作圆C2 的切线BB，与直线OA交于点B，，过点A，，B，分 别作y轴和x轴的平行线A，M，B，M交于点M，设
2
2
说明：
o B A' x
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
⑵se双c2曲线的1参t数an方2 程相可比以较由而方得程到，ax22所以by22双曲1与线三的角参恒数等方式程
的实质是三角代换.
1.双曲线 为_____.
x
y
3sec tan
(为参数)的渐近线方程
一、圆锥曲线的参数方程的推导
y 1t
2.2圆锥曲线的参数方程课件-高二A版数学(文)人教选修4-4
所以, 矩形ABCD最大面积为160
D BA
2
AF
1
1
C
OF
B2
B
1
A XX
2
y
(为参数）
10sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x2 64
y2 100
1
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 2，π3. (1)求点A，B，C，D的直角坐标；
例2 已知A，B分别是椭圆 3x62 ＋y92 ＝1的右顶点和上顶点，动点 C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程.
解 由题意知A(6,0)，B(0,3).由于动点C在椭圆上运动， 故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
圆锥曲线复习
O
X
三、双曲线 1、 定义：平面上到两个 定点的距离之差的绝对值 等于定长的点的轨迹是双 曲线。 定点叫双曲线的焦点，定 长等于双曲线的实轴的长。
2、标准方程 2
2 y x 1 2 2 a b
O
2 a
2 x
2 y 2 b
1
Y
2 ( x h) 2 a
2 ( y k ) 2 b
右焦点F2的距离为7，求P到左准线 的距离。 Y
P1 P P2
F1
L1
O F2
L2
X
例2、若点A的坐标为(3, 2)，F为 抛物线 y2 = 2x 的焦点，点M在抛 物线上移动,求|MA|+|MF|的最小值.
Y M1
M
A(3,2)
O
F
X
L
2 y x 例3、P为椭圆 2 2 1上一点,F2 为 a b
X
1
O
(h,k)
Y
2 ( y k ) 2 a
2 ( x h) 2 b
1
X
O
(h,k)
2 y 2 a
3、渐近线
2 b 2 x
b 1 x a y b yax
2 y 2 bຫໍສະໝຸດ 2 a2 x
1
4、共轭双曲线
定义:以已知双曲线的虚轴为实 轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原 双曲线的共轭双曲线。 (1)原来的实轴要变为虚轴，虚轴 要变为实轴，应交换x2和y2的符号； (2)变化后虚轴长2a，实轴长2b, 因此分母不变。
2
其一个焦点，求证以F2P为直径的圆 与以它长轴为直径的圆相切。
Y P N M
F1 O F2 X
例4、若过椭圆 a2 + b2 = 1(a＞b＞0)的左焦点F 1 、 倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，且 |AF1|=2|BF1|，求椭圆的离心率。
三步走,轻松掌握参数方程
理解辨析三步走，轻松掌握参数方程江苏省姜堰中学 王志华（225500）参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线不同于普通方程的另一种形式。
学习参数方程有助于我们进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变。
做到以下几个方面能够帮助我们轻松地学好参数方程。
第一步：理解参数方程的概念，体会参数的“媒介”作用一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标y x 和都是某个变量t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ， 反过来，对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 所确定的点P ),(y x 都在曲线C 上，那么方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。
学习参数方程时，要注意“参数思想”的渗透，重点体会参数的“媒介”作用。
在运用参数方程解题时如何选择恰当的参数是关键。
高中阶段研究的常见曲线的参数方程包括：（1）直线的参数方程过定点),(000y x M ，倾斜角为α的直线l 参数方程为：⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）； （2）圆的参数方程圆心为),(000y x M ，半径为r 的圆的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ是参数）；特别地当圆心在原点时，其参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ是参数）。
（3）椭圆的参数方程 椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）。
第二步：重视参数方程与普通方程互化中的等价性参数方程作为选考内容，试题内容涉及参数方程与普通方程的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及它们在解题中的应用。
由于该内容在高考中的特殊性，一般为容易题或中等题，以考查基础知识、基本运算为主。
圆锥曲线参数方程
圆锥曲线参数方程在直角坐标系中，如果某曲线c（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线求曲线的方程1 轻易法步骤（1）建系：创建适度的坐标系，用有序实数对（x,y）则表示曲线上任一一点m的座标；（2）设点：写出适合条件的p（m）的集合p={m|p(m)}；（3）则表示:用座标则表示条件p(m)，列举方程f(x,y)=0；（4）化简：化方程f(x,y)=0为最简形式；（5）下结论：表明以化简后的方程的意指座标的点都在曲线上。
化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明。
另外，也可以根据情况省略（2），直接列出曲线方程。
2 定义法1）如果能够确定动点的轨迹满足某一直曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出方程。
2）如果动点的轨迹与圆锥曲线有关，则可以运用圆锥曲线定义谋增派点的轨迹方程。
3 相关点代入法如果所求轨迹中的动点，随着另一动点的运动而运动，而另一动点存有在某条未知曲线上，常设法利用轨迹中的动点座标（x,y)，则表示未知曲线上动点的座标（x1,y1)，再将它代入未知曲线的方程即可。
4参数法如果很难打听增派点座标满足用户的关系，可以利用中间变量——参数，创建再生制动点座标x，y之间的联系，然后解出参数获得曲线方程。
步骤一般为导入参数——创建参数方程——解出参数，获得等价的普通方程。
5交轨法如果所求轨迹上的动点，就是两条颤抖曲线的交点，需用两曲线的方程阿提斯鲁夫尔谷Champsaur。
椭圆的参数方程
复习：参数方程化为普通方程的步骤
步骤： 1、消掉参数(代入消元，三角变形，配 方消元) 2、写出定义域（x的范围） 注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x,y前后的取值范围保持一致。
圆的普通方程 (x x0 )2 ( y y0 )2 r2
则圆的参数方程
x {
x0
cos 5 ,sin 2 5 从而有
5
5
x 4 cos 4 5 , y 2 3 sin 4 15
5
5
4、设P(x, y)是椭圆2x2 3y2 12上的一个动点， 求x 2y的取值范围。
5、若圆x2 y2 4,则圆上的点到 直线y x ３距离的最大值是 _________
解：椭圆的方程可化为x2 y2 1, 64
是OM的旋转角，参数是半径OM的旋转角。
例1、当参数变化时，动点P(3cos , 2sin )所
确定的曲线必过 ( B ) A、点(2,3), B、点(3, 0)
C、点(1,3), D、点(0, )
2
它的焦距是多少？
25
练习：已知圆的方程为x2 y2 4x cos 2 y sin 3cos2 0, (为参数)，那么圆心的轨迹的普通
它的一个参数方程为
{x 6 os (为参数，0 2 ) y 2sin
x 2 y 6 cos 4sin 22 cos( ) cos( ) [1,1]
x 2y [ 22, 22]
r
cos
(为参数)
y y0 r sin
的几何意义：旋转角
二、圆锥曲线的参数方程 1、椭圆的参数方程
由例4我们得到了椭
圆x a
2 2
y2 b2
1(a
圆锥曲线的参数方程
圆锥曲线的参数方程教学过程：一、复习引入：1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
1圆222r y x =+参数方程__________________ （θ为参数）（2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：_______________ （θ为参数）2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。
3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？二、讲解新课：1椭圆的推导：椭圆12222=+by a x 参数方程 ___________ （θ为参数） 2双曲线的参数方程：双曲线12222=-by a x 参数方程 _________ （θ为参数） 3抛物线的参数方程：抛物线Px y 22=参数方程______________ （t 为参数） 关于参数几点说明：（1）参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。
（2）同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样（3）在实际问题中要确定参数的取值范围一、 典型例题：例1．已知椭圆⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x θ为参数 求 （1）6πθ=时对应的点22194x y +=3cos x θ=θ2y t =t 22194x y +=，使点M 到直线2100x y +-=距离最小，并求出最小距离。
例3．AB 为过椭圆1162522=+y x 中心的弦，1F ，2F 为焦点，求△ABF 1面积的最大值。
例4．2021年揭阳一模理已知曲线C 的参数方程为23,2 1.x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）,则过曲线C 上横坐标为1的点的切线方程为 ．变式训练：2021年江门一模文若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线⎩⎨⎧==ty t x 442t 为参数上,则=||PF _____．例5、过P （0，1）到双曲线122=-y x 最小距离三、小 结：1、选择适当的参数写出曲线的参数方程2、使用参数式来求解最值问题。
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如图,以原点为圆心,分别以a, b(a>b>0)为半径作两个圆,
点B是大圆半径OA与小圆的交点, 过点A作AN⊥Ox,垂足为N, 过点B作BM⊥AN,垂足为M, 设以Ox为始边，OA为终边的角为θ， 点M的坐标是(x, y)。
y
A BM O Nx
那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。
由于点A, B均在角θ的终边上，由三角函数的定义有:
3、求双曲线{ x 2 3 sec 的两个焦点坐标。
y 4 3 tan
(2 15, 0)
42、双曲线{xy3tsaenc (为参数)的渐近线方程为_______
y 1 x 3
例2
如
图，
设
M
为
双
曲
线
x a
2 2
y2 b2
1a, b
0上任意一点,
O为原点,过点M 作双曲线两渐近线的平行线 ,分别与两渐
1
练习
O是坐标原点，P是椭圆
x y
3 2
cos (为 参 数) sin
上
离心角为-π/6所对应的点，那么直线OP的倾角的正切值
是
.
解：把
6
代入椭圆参数方程
x y
3 2
cos sin
可得P点坐标 ( 3
3 ,
1)
2
所以直线OP的倾角的正切值是:
tan 1 2 3
33
9
2
例1、如图，在椭圆 x2 y2 1 上求一点M，使M到
x2 y2
例2、已知椭圆 100 64 1 有一内接矩形ABCD，
求矩形ABCD的最大面积。
Yy
D
B2 A
A1 F1
C
O F2
B
B1
A2 XX
双曲线的参数方程
研究双曲线
x2 y2 1(a 0, b 0)
②
的参数方程
a2 b2
以原点O为圆心, a, b(a>0, b>0)为半径分别作y同心圆C1,C2.
所以, 从③消去参数 后得到点M的轨迹的普通方程为②,
这是中心在原点, 焦点在x轴上的双曲线.
通常规定参数的范围为 0,2 , 且 , 3 .
2
2
事实上
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' |
| OA |
cos
a
cos
a •sec,
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
x2 y2 a2 b2 1
椭圆的参数方程:
x y
a cos b sin
(为参数)
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
y
B O
Aφ
M
Nx
是∠AOX=φ, 不是∠MOX=φ. 圆的标准方程: x2+y2=r2
称为点M的离心角
y P
圆的参数方程:
x r cos y r sin
(为参数)
θ的几何意义是 ∠AOP=θ
圆锥曲线的 参数方程
椭圆的参数方程
复习 圆的参数方程
1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:
x
y
r r
cos sin
(为参数）
2.圆心为(a, b),半径为r的圆的参数方程:
x
y
a b
r r
cos sin
(为参数）
3.椭圆的标准方程：
x2 y2 a2 b2 1
它的参数方程是什么样的？
(1) x2 y2 1 49
(1)
x 2 cos y 3sin
(2) x2 y2 1 16
(2)
x cos y 4sin
把下列参数方程化为普通方程
(3)
x y
3 cos 5sin
(4)
x y
8 cos 10 sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x2 64
y2 100
求点M的轨迹方程, 并说出点M的轨迹。
因 为 点A在 圆C1上, 由圆的参数方程得点 y
A的坐标为a cos, bsin ,
B'
所以OA acos,bsin, AA` x acos,asin 因为OA AA`,
所以OA AA` 0,从而
AM
OB
x A'
a cos x a cos a sin 2 0.解得 x a .记
x＝ON＝|OA|cosθ＝acosθ，
常在这数 椭是圆a中、的心b参分在数别原方是点程椭O,
y＝NM＝ |OB|sinθ＝bsinθ
M的
参
数
方
程
为
x y
a b
cos sin
圆中焦的，点长通在半常x轴规轴上定长的参和椭数短圆θ半的的轴范
长围参。为数方程。[0, 2 ) (为 参 数)
椭圆的标准方程:
设A为圆C1上任一点, 作直线OA, 过A作圆C1的切线AA'与x交于点A', 过圆C2与x轴的交点B作圆C2的 切线BB'与直线OA交于点B'。
B'
AM
OB
x A'
过点A', B'分别作y轴, x轴的平行线A'M, B'M交于点M, 设OA与OX所成角为φ(φ∈[0, 2π),φ≠π/2,φ≠3π/2)
1
cos
sec ,则x a sec .
cos
因 为 点B`在 角的 终 边 上,
由三角函数定义有tan y ,即y b tan.所 以,点M的 轨 迹 的 参 数 方 程 为
b
x a sec ,
y b tan. 为参数
因为 1 cos 2
sin2 cos 2
1,
即sec2 tan 2 1,
近线交于A, B两点.探求平行四边形MAOB 的面积 ,由此可
以发现什么结论?
y
A
M
O
x
B
解 双曲线的渐近线方程为y b x.
a
不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为
所以M的轨迹方程是
x
y
a sec b tan
(为参数)
消去参数后，得
x2 a2
-
y2 b2
=1,
这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
练习:
x t1
1.已知参数方程
y
t
t 1
(t
是参数,
t
>0)
t
化为普通方程, 画出方程的曲线.
2.参数方程
x y
a b
sec tan
(是参数,
2
)
2
表示什么曲线?画出图形.
θ
O
A x
小结
椭圆的标准方程：
x2 a2
y2 b2
1
x2 y2 b2 a2 1
椭圆的参数方程：
x y
a cos b sin
x bcos
y
a
sin
在椭圆的参数方程中，常数a、 b分别是椭圆的
长半轴长和短半 轴长. a>b
——离心角
一般地： 0,2
练习 把下列普通方程化为参数方程.
94
直线 l：x+2y-10=0的距离最小.
y
解：因为椭圆的参数方程为
x 3cos y 2sin
( 为参数)，
O
x
所以可设点M的坐标为 (3cos, 2sin) M
由点到直线的距离公式，得点M到直线的距离为
dmin 5
例1、如图，在椭圆 x2 y2 1 上求一点M，(1)使
94
M到直线 l ：x+2y-10=0的距离最小.