量纲分析与相似讲解

L ML3LT 2
LT 2
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§5.1 量纲和谐原理
量纲和谐原理的重要性： a、一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验 物理方程或经验公式的正确性和完整性。 b、根据量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。
c、可用来建立物理方程式的结构形式。为科学地组 织实验过程、整理实验成果提供理论指导。
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［A］= L2 ［ρ］= ML-3
[ F ]= MLT -2
3
§5.1 量纲和谐原理
量纲公式:
不可压缩流体中，某一物理量q的量纲[q］都可用
3个基本量纲的指数乘积形式表示
[q] M LT
几何学量纲： = 0，0，=0
分 类
运动学量纲： = 0，0，0
动力学量纲：0，0，0
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§5.1 量纲和谐原理
得
a 1,b 1,c 1
(6)整理方程式
N K QH
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§5.2 量纲分析法
二、布金汉（Buckingham）定理（定理）
若某一物理过程包含n个物理量，即
f (q1, q2, q3 qn ) 0
其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量）
则该物理过程可由n个物理量构成的n－m个无量纲项所表达的
§5.2 量纲分析法
一、瑞利法（Rayleigh） 瑞利法是量纲和谐原理的直接应用。
具体分析步骤如下：
1、 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量；
2、 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：
qi Kq1aq2b
qp n1
3、 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物
理量的指数a，b，……p，代入指数方程式即得各物理量之间
第5章 量纲分析和相似原理
§5.1 量纲和谐原理 §5.2 量纲分析法 §5.3 相似理论基础 §5.4 相似定理 §5.5 模型实验
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§5.源自文库 量纲和谐原理
一、量纲的概念 单位（Unit） ：量度各种物理量数值大小的标准量，
称单位。如长度单位为m或cm等。——“量”的表征。
量纲（Dimension）：撇开单位的大小，表征物理量的 性质和 类别。 如长度量纲为[L]。 ——“质”的表征。
(2)写出指数乘积关系式
N K aQbH c
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§5.2 量纲分析法
(3)写出量纲式 [N ] [ ]a[Q]b[H ]c
(4)以基本量纲（M、L、T）表示各物理量量纲
ML2T 3 (ML2T 2 )a (L3T 1)b (L)c
(5)根据量纲和谐原理求量纲指数 M : 1 a L : 2 2a 3b c T : 3 2a b
应用范围：对相关物理量个数 n 没有限制，应用 更为普遍。 选择基本变量的原则：
1）基本变量与基本量纲相对应。即若各物理量中基本量纲 （M，L，T）出现三个，那么基本变量也选三个；倘若 基本量纲只出现两个，则基本变量只须选择两个。
2）选择基本变量时，应选择重要的变量。换句话说，不要 选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多数 项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。
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§5.1 量纲和谐原理
三、量纲和谐原理 （Theory of Dimensional Homogeneity）
凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都
必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能
成立。这称为量纲和谐原理。
例：
z1
p1
g
a1v12 2g
z2
p2
g
a2v22 2g
h
ML1T 2 (LT 1 )2
二、无量纲量
当 0
则 ［q］= 1
无量纲量可由两个具有相同量纲的物理量相比得到；
可由几个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲
指数为零得到。
特点：
Re vd
(1)无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性；
(2)不受运动规模的影响，模型与原型常用同一无量纲数；
(3)在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲 量。
3）不能有任何两个基本变量的量纲是完全一样的，换言之，
基本变量应在每组量纲中只能选择一个。
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例 用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式0。已 知0与液体的密度 ，液体的动力沾滞系数 ，圆管直径D， 管壁材料的粗糙度以及管中断面平均流速有关。
解
f（D、 v 、 、 0 、 、）=0
从各独立影响因素中选取D（几何量）、 （运动量）、
关系式来描述 ，即
F (1, 2
nm) 0
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§5.2 量纲分析法
定理的解题步骤：
（1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响 这个现象的各个物理量及其关系式：
f (q1, q2, q3 qn ) 0
（2）确定基本变量：从n个物理量中选取m个基本物理量，
一般取m=3，如q1、 q2、 q3。在管流中，一般选d，， 三 个作基本变量，而在明渠流中，则常选用H， ， 。
的关系式。
qi q1a q2b
q p n1
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§5.2 量纲分析法
应用范围：一般情况下，要求相关物理量个数 n 不超 过4个，待求量纲指数不超过3个。
【例4-1】求水泵输出功率的表达式
(1)确定关系式 找出同水泵输出功率N相关的物理量，包括单位
体积水的重量γ=ρg、流量Q、扬程H，即
f (N , ,Q, H ) 0
（动力量）为基本量建立（6-3 ） 项：
1
0 Da1 vb1 c1
, 2
Da2 vb2 c2
, 3
Da3 vb3 c3
对 1 ： [ML-1T-2 ] [L] a1[LT-1] b1[ML ]-3 c1
L : 1 a1 b1 3c1
T : 2 b1
M :1 c1
a1 0 b1 2
（3）基本变量依次与其余物理量组成π项，即
1
q4 q q q a1 b1 c1
1 23
2
q5 q q q a2 b2 c2
1 23
……
qn
n3
an3 bn3 cn3
q q q 1 2 3
（4）满足π为无量纲项，定出上面各项中基本量的指数ai , bi , ci
（5）整理方程式
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§5.2 量纲分析法
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§5.1 量纲和谐原理
基本量纲（Fundamental Dimension）：具有独 立性的，不能由其他量纲推导出来的量纲叫做 基本量纲。不可压缩流体运动中一般取质量M、 量 长度L、时间T、即[M- L-T]为基本量纲体系。 纲
导出量纲（Derived Dimension）:是指由基 本量纲导出的量纲。