量纲分析与相似讲解
第三章量纲分析和相似理论知识讲解
对于第一现象 Fma 对于第二现象 Fma
若此两现象各物理量之间存在下列关系：
导出量纲由基本量纲组合表示，如： 加速度的量纲 [a]=LT-2 力的量纲 [F]=[ma]=MLT-2 任何物理量B的量纲可写成 [B]=MLT。
无量纲量： 指该物理量的量纲为1，用L0M0T0表示，实际是一个数，但与单
纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量。例如角度， 可以用弧长和半径的值来度量，其单位可用弧度表示。但由于与基 本量纲无关，故角度是无量纲的。
2020/7/3
第二节 量纲分析
量纲和谐性原理：量纲和谐性原理又被称为量纲一 致性原理，也叫量纲齐次性原理。指一个物理现 象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程 中每项的量纲应该是和谐的、一致的、齐次的。
• 物理方程量纲的均匀性：一个正确的物理方程， 式中的每项的量纲应该相同，并应采用同一度量 单位。
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物理现象相似 是指除了几何相似之外，在进行物理过程的系
统中，在相应的地点（位置）和对应的时刻，模型 与原型的各相应物理量之间的比例应保持常数。
在两个系统中，所有向量在对应点和 对应时刻方向相同、大小成比例，所 有标量也在对应点和对应时刻成比例
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模型试验的优点： ➢ 经济性好－模型尺寸小 ➢ 针对性强－突出主要因素，略去次要因素 ➢ 数据准确－室内试验 模型试验的应用： ➢ 代替大型结构试验或作为大型结构试验的辅助试验。 ➢ 作为结构分析计算的辅助手段。 ➢ 验证和发展结构计算理论。
1960年第十一届国际大会通过了国际单位制（SI） ，在国际制单位 中202，0/7国/3 际制单位分为三类：⑴基本单位；⑵导出单位；⑶辅助单位。
1)基本单位 第十一届国际计量大会（1954年）和第十四届计量大会，决定
第五章 量纲分析与相似原理ppt课件
或显解一个 参数，如：
f , , . . . ,
或求得一个因变量的表达式。
例1：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差 p 与下 , ,v ,l, 列变量有关：管径 d ，管壁粗糙度 ，试求 p 的 表达式。
解 ： fdv ,,, l ,,, p 0
z 3 a 1 1
为满足量纲的和谐，相应的量纲指数必须相同。因此
M : 1 z a L : 0 x y 3z a T : 2 y a
故 Fk D U D
1 a2 a1 aa
得 x 1 a , y 2 a , z 1 a
l 设 f4 R e ,
l v2 则 h d 2g
例2：已知文丘里流量计是用以测量有压管路的流量，已知压 强降落 p 随流量Q，流体密度 ，液体粘性系数 ，管 壁粗糙高度 ，流量计长度L以及大小直径 D 1 , D 2 变化。 试用 定律求出的压强降落 p 表示的流量公式。 解：函数式为：
f D ,, v , ,, 0 0
（动力量）为基 从各独立影响因素中选取D（几何量），v（运动量）， 本量建立 项：
, , D v D v D v
1 0 a bc 1 1 1 2 a bc 2 2 2 3 a bc 3 3 3
f , Q , DD , ,2 , p 0 1
选取 , Q, D1 为基本变量， 则存在6-3=3个 数
1 Q D p 2 Q D 3 Q D D2
3 3 3 1 2 2 2 1
1
1
1 1
《水力学》课件——第六章 量纲分析与相似理论
• 物理过程的有量纲表达形式为 f (x1, x2,", xn ) = 0 ，其中 m 个物
理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这m
个物理量组合成无量纲量 1, 2,", ， 定理的结论是：物理
过程的无量纲表达形式为 F(
1,
nm
2,", n m =
)0
例 初速为零的自由落体运动位移s
形）得到流动的相似准数：
斯特劳哈尔数
S UT
t
L
弗劳德数
Fr U gL
欧拉数
P
En
U2
雷诺数
Re UL
它们分别是时变惯性力、重力、压差力、粘性力相似的准数。
斯特劳哈尔数
UT St L
表征
位变惯性力 时变惯性力
雷诺数
R UL e
表征
位变惯性力
弗劳德数
Fr U gL
表征 位变惯性力
欧拉数
P
En
U2
粘性力 表征
• 应用 定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物
理量时，既不能遗漏，也不要多列。
ห้องสมุดไป่ตู้6—2 相似理论
一. 流动相似概念
• 本节在量纲分析基础上，讨论两个规模不同的不可压流体流
动的相似问题。这是进行有关流体力学模型试验时必须面对的 问题。
• 几何相似：流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角度
• 在两个相似
流动中，对应 的无量纲量是 相同的。
• 不可压流体的流动都受N-S方程的控制，那么
我们怎样来保证两个不同规模的流动是相似的 呢？两个相似的不可压流体流动的无量纲解应 是相等的，这意味着控制流动的无量纲方程和 无量纲边界条件和初始条件应是完全一样的。
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理，而量纲分析则是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
本文将分别介绍相似原理和量纲分析的基本概念和应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两种方法。
首先，我们来介绍相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理。
在流体力学中，相似原理是研究流体流动时的一种重要方法。
根据相似原理，如果两个流体流动问题在某些方面具有相似性，那么它们的流动规律也应该是相似的。
通过建立相似模型，可以通过对模型进行实验来研究真实流体流动问题，这为工程设计和科学研究提供了重要的手段。
在工程设计中，相似原理也有着广泛的应用。
例如，在飞机设计中，通过建立风洞模型来研究飞机在空气中的飞行性能；在建筑设计中，通过建立模型来研究建筑物在风力作用下的受力情况。
相似原理的应用不仅可以帮助工程师更好地理解和预测真实系统的行为，还可以降低实验成本和风险。
接下来，我们来介绍量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
在物理学和工程学中，很多物理现象可以通过物理量之间的关系来描述。
通过对这些物理量的量纲进行分析，可以得到物理现象之间的关系，从而简化问题的分析和求解。
在工程设计中，量纲分析也有着重要的应用。
例如，在流体力学中，通过对流体流动中的速度、密度、长度等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化流体流动问题的分析和求解。
在热力学中，通过对热量、温度、热容等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化热力学问题的分析和求解。
总之，相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
通过对相似原理和量纲分析的理解和应用，可以帮助工程师和科研人员更好地理解和解决实际问题，从而推动科学技术的发展和进步。
量纲分析和相似性
*
* V tV0 * r p t ψ * p = = , V = , t = , r = , ψ* = 2 V0 t0 L L gL ρV 0 V T L2Φ ρ , T* = , M 0 = 0 , a 0 = kRT0 , Φ * = 2 T0 a0 ρ0 V 0 υρ0 * ∂ρ * * * + ∇ ⋅ ( ρ V )=0 ∂t *
l
二、基本量纲 长度：L＝[l] 时间：t＝[t]
质量：M＝[m]
温度：T＝[T]
三、量纲的性质： 1. 任何物理量的量纲都可以由基本量纲的幂指数次方的乘积来表示。 Eg. 力〔F〕＝〔ma〕＝M.L/t2 2. 不独立的量纲都可以由独立量纲的指数幂乘积来表示。 3. 凡是正确的方程或关系式，方程各项的量纲必须相同。
4.3 不可压缩流动无量纲方程 引入：无量纲变量
tV0 * r p V t ψ * * * p = , V = , t = = , r = , ψ* = 2 V0 t0 L L gL ρV 0
连续方程： ∇ ⋅ V = 0
*
*
*2 * * ∂V * 1 *2 * 1 * * * * * * 运动方程： + ∇ ( V / 2 ) − V × ( ∇ × V ) = −∇ p + ∇ V − ∇ψ * Re Fr ∂t
dp / dx µ ε || , −2 −2 3 −1 ρDD / V ρD D V / D D dp / dx µ ε || , −1 2 ρDV D ρD V
2Байду номын сангаас
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析在物理学和工程学领域中，相似原理和量纲分析是两个非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解和解决各种复杂的问题，从流体力学到结构力学，从热传导到电磁场，都可以用相似原理和量纲分析来进行分析和研究。
首先，让我们来看看相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个物体或系统在某些方面具有相似性质。
这种相似性质可以是几何形状、运动状态、流动特性等。
通过相似原理，我们可以将一个复杂的问题简化为一个相似的简单问题，从而更容易地进行分析和解决。
例如，在流体力学中，我们可以利用相似原理将实际的飞机机翼模型缩小到实验室中进行风洞测试，从而得到与实际飞机飞行状态相似的流场特性。
接下来，让我们来了解一下量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理现象的方法。
在自然界中，存在着很多不同的物理量，它们之间可能存在着某种关系。
通过量纲分析，我们可以找到这些物理量之间的关系，并且可以得到一些重要的结论。
例如，在热传导问题中，通过量纲分析可以得到热传导方程中的无量纲参数，从而可以简化和统一热传导问题的分析和解决方法。
相似原理和量纲分析在工程实践中有着广泛的应用。
例如，在设计新型飞机时，我们可以利用相似原理来进行风洞测试，从而验证飞机的飞行性能；在设计新型建筑结构时，我们可以利用量纲分析来研究结构的受力特性，从而优化结构设计。
这些方法不仅可以帮助我们更好地理解和解决实际工程中的问题，还可以节约时间和成本，提高工程设计的效率和质量。
总之，相似原理和量纲分析是物理学和工程学中非常重要的概念，它们可以帮助我们简化复杂问题，找到物理量之间的关系，从而更好地理解和解决各种实际问题。
在工程实践中，我们可以充分利用这些方法来提高工程设计的效率和质量，推动科学技术的发展。
希望大家能够深入学习和理解这些方法，将它们运用到实际工程中，为社会发展做出更大的贡献。
量纲分析与相似原理
量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理是一种在工程领域常用的分析方法，用于研究物理量之间的关系和相似性。
通过量纲分析，可以确定物理量之间的依赖关系，从而简化问题的求解过程，提高工程设计的效率。
相似原理则是利用量纲分析的结果，通过建立相似模型来研究实际问题，从而获得与实际情况相似的结果。
在进行量纲分析时，首先需要明确问题中涉及的物理量，包括基本物理量和派生物理量。
基本物理量是不可再分的物理量，例如长度、质量、时间等。
派生物理量是由基本物理量组合而成的物理量，例如速度、加速度、力等。
在量纲分析中，我们通常使用方程式来表示物理量之间的关系，例如 F = ma，其中 F 表示力，m 表示质量，a 表示加速度。
接下来，我们需要确定问题中的基本物理量及其单位。
单位是表示物理量大小的标准，例如长度的单位可以是米，质量的单位可以是千克。
在量纲分析中，我们通常使用方括号 [] 表示物理量的量纲，例如 [F] 表示力的量纲。
根据国际单位制的规定，基本物理量的量纲可以表示为 [L] 表示长度的量纲，[M] 表示质量的量纲，[T] 表示时间的量纲。
在进行量纲分析时，我们需要根据物理量之间的关系，确定它们的量纲式。
量纲式是表示物理量之间关系的方程式，其中物理量的量纲用方括号表示。
例如在力学中，根据牛顿第二定律 F = ma，我们可以得到 [F] = [M][L][T]^-2，表示力的量纲是质量乘以长度再除以时间的平方。
通过量纲分析，我们可以确定物理量之间的依赖关系。
在确定依赖关系时，我们需要注意量纲式中的常数，例如在牛顿定律中的常数就是 1。
通过分析量纲式中的常数，我们可以确定物理量之间的比例关系，从而简化问题的求解过程。
相似原理是在量纲分析的基础上建立的。
在研究实际问题时，我们通常无法直接进行实验或观测，而是通过建立相似模型来模拟实际情况。
相似模型是在尺寸、速度、时间等方面与实际情况相似的模型。
通过量纲分析，我们可以确定相似模型与实际情况之间的比例关系，从而将实际问题转化为相似模型的求解。
第五讲 量纲分析与相似性
第五讲 量纲分析和相似性1、量纲分析的概念在建模过程中，必须对影响行为的变量进行标识和分类，随后，还必须在那些加以考虑的变量之间确定适当的关系。
对单个因变量而言，这个步骤会形成某个未知的函数：12(,,,)n y f x x x = ，其中，(1,2,,)i x i n = 表示影响所研究的现象的各种各样的因素。
在某些场合，以自然定律或先前的经验以及数学模型的结构为基础，使用若干假设就能够发现依赖与选定因素的函数f 的性质。
但在另一些场合，特别是对于那些用来预测某些物理现象的模型，由于问题固有的复杂性，我们会发现建立一个可解的或易于处理的简化模型相当困难，甚至不可能。
此时，在某些实例中，我们或许可以进行一系列的实验来确定因变量y 与自变量的不同取值之间的相互关联。
在这种情形下，我们通常作成图形或表格，并且使用适当的曲线拟合或插值方法来对自变量的适当范围预测y 的函数值。
量纲分析是一种方法，它有助于确定所选变量之间的关系，也会大幅度降低必备实验数据的总量。
它依据如下的前提：物理量都有量纲，而且物理定律不随量纲单位的变化而改变。
因此，所研究的现象可以用变量之间量纲正确的方程来加以描述。
量纲分析提供关于模型的定量信息。
当我们在建立模型过程中必须进行实验时，这种方法尤其重要。
因为在确定模型应该包含或忽略某个特定因素的正确性检验方面，在降低为了预测要做的实验次数方面，以及借助于提供可以替换的参数值来改善结果的实用性方面，量纲分析都是很有帮助的。
业已表明，量纲分析在物理学和工程领域是有用的。
如今，量纲分析在生命科学、经济学和运筹学也发挥着作用。
2、乘积的量纲物理学研究是建立在抽象概念——诸如质量、长度、时间、速度、加速度、力、能量、功和压力等基础上的。
对每个抽象概念指定一个度量单位。
只要各个度量单位是彼此相容的，物理定律F m a =就会成立。
因而，如果质量用千克，加速度用每平方米来度量，则力就必须用牛顿。
相似性原理和量纲分析
拓展应用领域
随着相似性原理研究的不断深入，其 应用领域也将不断拓展，为更多领域 提供新的思路和方法。
02
量纲分析基本原理
量纲的定义与作用
量纲的定义
量纲是描述物理量性质的一种分类， 表示物理量所属的种类，如长度、时 间、质量等。
03
关注新兴技术的发展 与应用
关注计算机模拟、人工智能等新兴技 术的发展动态，及时将其应用于相似 性原理和量纲分析的研究中，提高其 研究水平和实用性。
THANKS
感谢观看
成为制约其应用的瓶颈之一。
发展趋势与前景展望
多学科交叉融合
随着学科交叉的深入发展，相似性原理和量纲分析有望在更多领域发挥作用，如生物医学、环境科学、社会科学等。
高精度数值模拟与实验技术的结合
随着计算机技术的进步，高精度数值模拟方法将为相似性原理和量纲分析提供更准确、更全面的数据支持，同时与实 验技术的结合将进一步提高其预测能力和实用性。
02
指导实验设计
03
促进模型建立
通过相似性原理，可以指导实验 设计，使得实验结果具有可比性 和可预测性。
相似性原理有助于建立数学模型， 从而更深入地理解物理现象的本 质。
Hale Waihona Puke 量纲分析在相似性原理中的应用
确定相似准则
01
通过量纲分析，可以确定影响物理现象的相似准则，进而建立
相似模型。
推导相似关系
02
利用量纲分析，可以推导出不同物理量之间的相似关系，为实
根据物理量的定义和性质，列出其对应的量 纲表达式。
验证结果
通过比较运算结果与已知物理量的量纲是否 一致，验证分析的准确性。
第六章 量纲分析和相似原理_图文
（2）普适性。
第六章 量纲分析和相似原理——量纲分析
5
（二）量纲和谐原理
1、量纲和谐原理（Theory of Dimensional Homogeneity）
凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，
即：只有方程两边的量具有相同的量纲，方程才能成立。这称为量纲和
谐原理。
2、 量纲和谐原理的重要性
1 ( , ) D Re
可见：量纲分析可以建立各物理量间的关系，要确定 数量关系还要通过实验以确定公式中的系数。 同时，量纲分析还给出了试验途径。
第六章 量纲分析和相似原理——量纲分析
10
2、布金汉（Buckingham）定理
（1）定理：对于某个物理现象，如果存在n个变量互为函数，即
解：函数式为：
p f ( , Q , D1 , , D2 , L, )
y1 z1
选取 、Q、D1为基本变量，则存在8-3=5个 数
1 p /( Q D1 )
x1
2 /( Q D1 )
x2 y2 z2
3 D2 /( Q D1 )
x3 y3 z3
f ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Lp , u, D, , , , g ) 0
p / L 1 x1 y1 z 1 u D
的个数N()=n-m=7-3=4。取u， D， 为基本量，则与⊿p/L的π 1 为：
1= ⊿p/L /(u x1Dy1 z1 )= [ML-2T-2]/{[L T-1 ] x1 [L ]y1 [ML-3 ]z1 }
3、基本量纲（Primary Dimension）：具有独立性的，不 能由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取长度 [L]、时间[T]、质量[M]。 4、导出量纲（Derived Dimension）:是指由基本量纲导出的量 纲。
第五章相似理论与量纲分析课件
压力P、重力G等。设作用在模型与原型流动对应流
体质点上的外力分别为Tm、Pm、Gm和Tp、Pp、Gp，
则
Tm Tp
Pm Pp
Gm Gp
Fm Fp
kF
式中F为合外力，kF称为力的比尺。将F＝ma＝ρVa 代入上式，得
kF
Fm Fp
mm am mpap
mVm am pVp a p
kkVka
Km
Kp
令 Ma v 为无量纲数，称为马赫数。上式可用马
c
赫数表示为
Mam Map
上式称为马赫相似准则。当可压缩气流流速接近 或超过声速时，实现流动相似要求相应的马赫数 相等。
5.1.3 模型实验 模型实验是根据相似原理，制成与原型几何相似的 模型进行实验研究，并以实验结果预测原型将要发 生的流动现象。 1. 模型律的选择
基本量纲是指具有独立性的，不能由其它基本量 纲的组合来表示的量纲。对不可压缩流体，基本量纲 共有三个：长度量纲L、时间量纲T和质量量纲M。
导出量纲是指由基本量纲组合来表示的量纲。 除长度、时间、质量和温度，其它物理量的量纲均为 导出量纲。
任意一个物理量x的量纲都可以用L、T、M这三 个基本量纲的指数乘积来表示，即
二、弗劳德相似准则 当流动受重力G作用时，由动力相似条件有
Gm ρmlm2vm2
Gp ρplp2vp2
Fm
Fp
ρmlm2vm2 ρplp2vp2
重力 G gV gl3
代入上式整理，约简后得
vm2 vp2 gmlm gplp
令 Fr v2 为无量纲数，称为弗劳德数。 gl
上式可用弗劳德数表示为
K
西数表示为
Cam Cap
上式称为柯西相似准则，该式表明两流动弹性力 相似时，模型与原型流动的柯西数相等。柯西数的 物理意义在于它反映了流动中惯性力和弹性力之比。 对于液体，柯西相似准则只应用在压缩性显著起作 用的流动中，例如水击现象。
相似理论与量纲分析
前后驻点
上下侧点
其他点
• 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。
柱面上：
柱面外：
流场中 还与无量纲半径 有关
·
C
·
D
A
B
a
量纲分析法
对于复杂的流动,常用量纲分析法和实验相结合进行研究。
01
量纲分析法是根据量纲齐次性原理寻求物理量之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准则。
02
01
03
04
水力学中任何物理量C的量纲可写成
当α、β、γ不全为0时，C称为有量纲量。
=[ M ][ L ][ T ]
当α、β、γ全部为0时，C称为无量纲量或无量纲数。
9.4.2 有量纲量和无量纲量
有量纲量
水力学中的有量纲量可分为三类： 几何学的量，α＝γ＝0，β≠0； 运动学的量， α＝0， γ ≠0； 动力学的量， α ≠0。
粘性力比尺
02
要满足惯性力相似，必须满足CT=CI，即
01
即
02
雷诺数Re反映了惯性力与粘性力之比：
01
要满足重力相似，必须满足CG=CI，即
02
即
佛汝德数Fr反映了惯性力与重力之比：
01
要满足动水总压力相似，必须满足CP=CI，即
02
即
欧拉数的物理意义
欧拉数Eu反映了动水总压力与惯性力之比：
例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度 、管内流体密度、流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式。 解： 所求解问题的原隐函数关系式为 f(p, d, l, , , , v)=0 有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M 、T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式 F(1, 2, 3, 4)=0 从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而 其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示
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3）不能有任何两个基本变量的量纲是完全一样的，换言之，
基本变量应在每组量纲中只能选择一个。
13
例 用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式0。已 知0与液体的密度 ，液体的动力沾滞系数 ，圆管直径D， 管壁材料的粗糙度以及管中断面平均流速有关。
解
f（D、 v 、 、 0 、 、）=0
从各独立影响因素中选取D（几何量）、 （运动量）、
（动力量）为基本量建立（6-3 ） 项：
1
0 Da1 vb1 c1
, 2
Da2 vb2 c2
, 3
Da3 vb3 c3
对 1 ： [ML-1T-2 ] [L] a1[LT-1] b1[ML ]-3 c1
L : 1 a1 b1 3c1
T : 2 b1
M :1 c1
a1 0 b1 2
5
§5.1 量纲和谐原理
三、量纲和谐原理 （Theory of Dimensional Homogeneity）
凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都
必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能
成立。这称为量纲和谐原理。
例：
z1
p1
g
a1v12 2g
z2
p2
g
a2v22 2g
h
ML1T 2 (LT 1 )2
第5章 量纲分析和相似原理
§5.1 量纲和谐原理 §5.2 量纲分析法 §5.3 相似理论基础 §5.4 相似定理 §5.5 模型实验
1
§5.1 量纲和谐原理
一、量纲的概念 单位（Unit） ：量度各种物理量数值大小的标准量，
称单位。如长度单位为m或cm等。——“量”的表征。
量纲（Dimension）：撇开单位的大小，表征物理量的 性质和 类别。 如长度量纲为[L]。 ——“质”的表征。
应用范围：对相关物理量个数 n 没有限制，应用 更为普遍。 选择基本变量的原则：
1）基本变量与基本量纲相对应。即若各物理量中基本量纲 （M，L，T）出现三个，那么基本变量也选三个；倘若 基本量纲只出现两个，则基本变量只须选择两个。
2）选择基本变量时，应选择重要的变量。换句话说，不要 选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多数 项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。
(2)写出指数乘积关系式
N K aQbH c
9
§5.2 量纲分析法
(3)写出量纲式 [N ] [ ]a[Q]b[H ]c
(4)以基本量纲（M、L、T）表示各物理量量纲
ML2T 3 (ML2T 2 )a (L3T 1)b (L)c
(5)根据量纲和谐原理求量纲指数 M : 1 a L : 2 2a 3b c T : 3 2a b
二、无量纲量
当 0
则 ［q］= 1
无量纲量可由两个具有相同量纲的物理量相比得到；
可由几个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲
指数为零得到。
特点：
Re vd
(1)无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性；
(2)不受运动规模的影响，模型与原型常用同一无量纲数；
(3)在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲 量。
（3）基本变量依次与其余物理量组成π项，即
1
q4 q q q a1 b1 c1
1 23
2
q5 q q q a2 b2 c2
1 23
……
qn
n3
an3 bn3 cn3
q q q 1 2 3
（4）满足π为无量纲项，定出上面各项中基本量的指数ai , bi , ci
（5）整理方程式
12
§5.2 量纲分析法
§5.2 量纲分析法
一、瑞利法（Rayleigh） 瑞利法是量纲和谐原理的直接应用。
具体分析步骤如下：
1、 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量；
2、 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：
qi Kq1aq2b
qp n1
3、 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物
理量的指数a，b，……p，代入指数方程式即得各物理量之间
关系式来描述 ，即
F (1, 2
nm) 0
11
§5.2 量纲分析法
定理的解题步骤：
（1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响 这个现象的各个物理量及其关系式：
f (q1, q2, q3 qn ) 0
（2）确定基本变量：从n个物理量中选取m个基本物理量，
一般取m=3，如q1、 q2、 q3。在管流中，一般选d，， 三 个作基本变量，而在明渠流中，则常选用H， ， 。
2
§5.1 量纲和谐原理
基本量纲（Fundamental Dimension）：具有独 立性的，不能由其他量纲推导出来的量纲叫做 基本量纲。不可压缩流体运动中一般取质量M、 量 长度L、时间T、即[M- L-T]为基本量纲体系。 纲
导出量纲（Derived Dimension）:是指由基 本量纲导出的量纲。
的关系式。
qi q1a q2b
q p n1
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§5.2 量纲分析法
应用范围：一般情况下，要求相关物理量个数 n 不超 过4个，待求量纲指数不超过3个。
【例4-1】求水泵输出功率的表达式
(1)确定关系式 找出同水泵输出功率N相关的物理量，包括单位
体积水的重量γ=ρg、流量Q、扬程H，即
f (N , ,Q, H ) 0
L ML3LT 2
LT 2
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§5.1 量纲和谐原理
量纲和谐原理的重要性： a、一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验 物理方程或经验公式的正确性和完整性。 b、根据量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。
c、可用来建立物理方程式的结构形式。为科学地组 织实验过程、整理实验成果提供理论指导。
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［A］= L2 ［ρ］= ML-3
[ F ]= MLT -2
3
§5.1 量纲和谐原理
量纲公式:
不可压缩流体中，某一物理量q的量纲[q］都可用
3个基本量纲的指数乘积形式表示
[q] M LT
几何学量纲： = 0，0，=0
分 类
运动学量纲： = 0，0，0
纲和谐原理
得
a 1,b 1,c 1
(6)整理方程式
N K QH
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§5.2 量纲分析法
二、布金汉（Buckingham）定理（定理）
若某一物理过程包含n个物理量，即
f (q1, q2, q3 qn ) 0
其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量）
则该物理过程可由n个物理量构成的n－m个无量纲项所表达的