ACM 筛素数总结

【总结】关于求素数的说【两种筛法】
（学习小结，请无视）
素数大家都很熟了，不多说了，这里只想说一下求素数。

当然先是唯一素因子分解定理：合数a仅能以一种方式，写成如下的乘积形式：a=p1e1p2e2…prer
其中pi为素数，p1<p2<…<pr，且ei为正整数
对于一个整数n，当其在小于sqrt（n）范围里有一个约数，那么必然在大于sqrt（n)的范围里有对应的另一个Eratosthenes（埃拉托斯特尼筛法）都是到sqrt（n）的范围。

①。

试除法判素数
对于大于1的正整数a，如果a具有小于或等于sqrt（a）的素因子，则a为合数，否则a为素数。

因此，可用区间[2,sqrt(a)]内的数去试除a，只要有一个数能整除a ，则a为合数，否则a为素数。

这种判断素复杂度O(sqrt(n)).
IsPrime(a)
for(i=2;i*i<=a;i++)
if(a%i==0)
return a为合数
return a为素数
②。

Sieve Of Eratosthenes（埃拉托斯特尼筛法）
可以筛出2~n 范围里的所有素数。

1)将所有候选数2~n放入筛中;
2)找出筛中最小数P，P一定为素数。

3)宣布P为素数，并将P的所有倍数从筛中筛去;
4)重复2)至3)直到筛空.
其实，当P>sqrt(n)时筛中剩下的数就已经都是素数了。

//用数组prime[MAXN]记录是否为素数；
//prime[i]为0表示i为素数，否则为合数
int prime[MAXN]={0};
for(i=2;i*i<=n;i++)
{
if(prime[i]==0)
{
for(j=i+i;j<=n;j+=i)
prime[j]=1;
}
}
③。

线性筛法
对于Sieve Of Eratosthenes，普通的筛法如果是一个合数，那么会被多次筛掉，比如6,当2作为素数时筛掉一线性筛法保证所有合数只被筛掉一次
具体详见《ftfish利用积性函数的优化》，讲到了积性函数（对于正整数n的一个算术函数f(n)，当中f(1)=1且称它为积性函数。

）
for(int i = 2; i < maxn; i ++){
if (!fg[i]) prim[np++] = i; //如果没被筛掉，那么就是素数
for(int j = 0; j < np && i*prim[j] < maxn; j ++){
//注意i不是素数的时候也筛
fg[i*prim[j]] = 1;
if (i % prim[j] == 0)break;
//这一步保证了筛法是线性的，这是整个算法的关键
}
}
摘：
利用了每个合数必有一个最小素因子。

每个合数仅被它的最小素因子筛去正好一次。

所以为线性时间。

代码中体现在：
if(i%prime[j]==0)break;
prime数组中的素数是递增的,当i 能整除prime[j]，那么i*prime[j+1] 这个合数肯定被prime[j] 乘以某个数筛因为i中含有prime[j], prime[j] 比prime[j+1] 小。

接下去的素数同理。

所以不用筛下去了。

在满足i%pr[j]==0这个条件之前以及第一次满足改条件时,pr[j]必定是pr[j]*i的最小因子。