概率论与数理统计总结

第一章随机事件与概率

第一节随机事件及其运算

1、随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象

2、样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω｝，其中

ω表示基本结果，又称为样本点。

3、随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表

示,Ω表示必然事件，∅表示不可能事件.

4、随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。

5、时间的表示有多种：

（1）用集合表示，这是最基本形式

（2）用准确的语言表示

（3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示

6、事件的关系

（1）包含关系:如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事

件B发生，则称A被包含于B，记为A⊂B；

（2）相等关系：若A⊂B且B⊃A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。

（3）互不相容:如果A∩B=∅,即A与B不能同时发生,则称A与B互不相容

7、事件运算

（1）事件A与B的并:事件A与事件B至少有一个发生,记为 A∪B。

(2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生,记为A∩ B或AB。

(3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生，记为 A－B。用交并补可以表示为。

（4)对立事件:事件A的对立事件（逆事件），即“A不发生”,记为.

对立事件的性质：。

8、事件运算性质：设A，B,C为事件，则有

(1）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA

（2）结合律：A∪（B∪C)=(A∪B）∪C=A∪B∪C A(BC）=（AB)C=ABC

（3)分配律：A∪(B∩C）＝(A∪B)∩(A∪C)、A（B∪C)＝(A∩B）∪(A∩C)= AB

∪AC

（4）棣莫弗公式（对偶法则）：

9、事件域：含有必然事件Ω，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域，又称为σ代数。具体说,事件域ξ满足：

（1）Ω∈ξ;

(2）若A∈ξ，则对立事件∈ξ；

（3)若A n∈ξ,n=1,2，···，则可列并ξ。

10、两个常用的事件域：

（1）离散样本空间（有限集或可列集）内的一切子集组成的事件域；

(2）连续样本空间（如R、R2等）内的一切博雷尔集（如区间或矩形）逐步扩展而成的事件域.

第二节概率的定义及其确定方法

1、概率的公理化定义:定义在事件域ξ上的一个实值函数P（A）满足：

（1)非负性公理：若A∈ξ，则P（A）≥0；

（2)正则性公理：P(Ω)＝1

（3）可列可加性公理：若A,，A2，···，A3互不相容，则有

，

即，则称P（A）为时间A的概率，称三元素(Ω，ξ，P）为概率空间

2、确定概率的频率方法：（是在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得频率的一种方法）

它的基本思想是：

（1）与考察事件A有关的随机现象可大量重复进行；

（2）在n次重复试验中，记n(A）为事件A出现的次数，称

f n（A)=，为事件A出现的频率；

（3）频率的稳定值就是概率；

（4）当重复次数n较大时，可用频率作为概率的估计值。

3、确定概率的古典方法:

它的基本思想是:

（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n个；

（2）每个样本点发生的可能性相等(等可能性）;

（3）若事件A含有k个样本点,则事件A的概率为

P(A)=.

4、确定概率的几何方法：

它的基本思想是:

（1）如果一个随机现象的样本空间充满某个区域，其度量（长度、面积、体积等)大小可用S n表示；

（2）任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的；

（3）若事件A为中某个子区域，且其度量为S A,则事件A的概率为

P（A)= 。

5、确定概率的主观方法：一个事件A的概率P（A)使人们根据经验,对该事件发生的可能性

大小所做出的个人信念。

6、概率是定义在事件域ξ上的集合函数,且满足三条公理。前三种确定概率的方法自动满足

三条公理，而主观方法确定概率要加验证,若不满足三条公理就不能称为概率。

第三节概率的性质：

1、P(Φ）＝0

2、有限可加性：若有限个事件A,，A2，···，A3互不相容,则有

，

3、对立事件的概率：对任一事件A，有

4、减法公式（特定场合）:若AB，则P(A－B）＝P(A）－P(B）

5、单调性:若AB，则P（A）P（B）

6、减法公式（一般场合）:对任意两个事件A、B,有P（A－B)＝P（A）－P(AB）

7、加法公式：对任意两个事件A、B，有P(A+B）=P（A）+P（B）—P(AB).

对任意n个事件A1,A2，···，A n，有

8、半可加性:对任意两个事件A、B,有.

9、事件序列的极限：

（1）对ξ中任一单调不减的事件序列,称为可列并为极限{F n｝的极限事件，记为。

（2）对ξ中任一单调不增的事件序列,称为可列交为极限｛E n}的极限事件，记为。

若，则称概率P是上连续的

10、概率的连续性:若P为事件域ξ上的概率，则P既是上连续的，又是下连续的

11、若P是ξ上满足P(Ω)=1的非负集合函数，则P是可列可加性的充要条件是P具有

有限可加性和下连续性。

第四节条件概率

1、条件概率：设A、B是两个事件，若P（A）〉0，则称P（A｜B)=为事件B发生条件下，

事件A发生的条件概率.

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

2、乘法公式:

（1）若P(B)〉0，P（AB)=P（B）P(A|B）

（2）若P(A1A2…A n—1）>0，则有

…………。

3、全概率公式：设事件互不相容，且,如果，则对任一事件A有，i=1,2,···，n.

。

4、贝叶斯共公式:设事件，，…,互不相容，且，如果P（A）>0，,则

，i=1,2，…n。

此公式即为贝叶斯公式.，（，，…，），通常叫B i的先验概率.，（，，…，），通常称为

B i的后验概率.

第五节独立性

1、两个事件的独立性：如果满足,则称事件、是相互独立的，简称A与B独立。否则称A

与B不独立或相依。

若事件、相互独立，且，则有

2、若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。

必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。

Ø与任何事件都互斥。

3、多个事件的独立性：设有n个事件A1，A2，···，A n，如果对任意的1

I

则称此n个事件A1，A2，···，A n相互独立。

4、若n个事件相互独立，则其任一部分与另一部分也相互独立。特别把其中部分换为对立

事件后，所得诸事件亦相互独立。

5、试验的独立性:假如实验E1的任一结果(事件）与试验E2的任一结果（事件)都是相互独

立的事件，则称这两个试验相互独立。