24.1.4圆周角(2)
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角(第2课时)优秀教学案例
4.反思与评价：我引导学生进行课堂反思，帮助他们发现自己的学习优点和不足，从而提高他们的自我认知和自我调整能力，为他们的持续进步提供了动力。
5.作业小结：我布置了一道具有挑战性的作业，让学生在课后运用所学知识解决实际问题，这样不仅巩固了他们的课堂所学，还提高了他们的解决问题能力。同时，我在下一节课的开始部分让学生分享他们的解题过程和心得，这样既为下一节课的教学做好了铺垫，又让他们从他人的经验中学习到了新的解题策略。
针对这一情况，我设计了本节课的教学案例，以帮助学生更好地理解和运用圆周角定理。在教学过程中，我注重启发学生思考，引导学生通过观察、操作、归纳等方法发现圆周角定理，并与实际问题相结合，让学生在解决实际问题的过程中体会圆周角定理的应用价值。同时，我还注重培养学生的团队协作能力和语言表达能力，使学生在互动交流中不断提高自己的数学素养。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解圆周角定理，掌握圆周角定理的证明过程，能够运用圆周角定理解决实际问题。
2.学会使用圆规和直尺画圆周角，能够准确地找出圆周角所对的两条弧的圆心角。
3.掌握圆周角定理在圆的切割、镶嵌等实际问题中的应用，提高学生的解决问题的能力。
（二）过程与方法
1.观察与操作：通过观察实物和模型，引导学生发现圆周角定理，培养学生的观察能力和操作能力。
五、例亮点
1.情境创设：通过实物和模型展示，以及多媒体动画演示，我成功地激发了学生的学习兴趣，让他们在直观的情境中感受到圆周角定理的实际应用，从而提高了他们的学习积极性。
2.问题导向：我在教学中提出了具有针对性的问题，引导学生进行深入思考，使他们在解决问题的过程中理解和掌握圆周角定理，培养了他们的逻辑思维能力。
24.1.4圆周角(2)
4. 判断:圆上任意两点之间分圆周为两条弧, 这两条弧的度数和为3600( √ )
新课讲解：
若一个多边形各顶点都在同一 个圆上，那么，这个多边形叫做圆 内接多边形，这个圆叫做这个多边 形的外接圆。
D E C B
O
B
C
A
A F
O
D E
补充练习：
若ABCD为圆内接四边形，则下列哪 个选项可能成立（ B ）
D E
80
B C B
100 D O C
(2)四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100° 则∠B=______∠D=______ 50° 130° (3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则 45° ∠A=_____,
练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上
50° 的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿.
24.1.4
圆周角（2）
同弧或等弧所对的圆周角相等。
D
.
A
C
.
O
· .
B
E
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于这条弧所对的圆 心角的一半．
半圆（或直径）所对的圆周 角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径．
C2 C1 C3
A
O
·
B
思考：判断正误： 1.同弧或等弧所对的圆周角相等 （√ ）
课堂练习
(4)梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,
75° ∠B=750,则∠C=_____
圆的内接梯形一定是＿＿＿＿＿梯形。
返回
1、如图，四边形ABCD内接于⊙O,如果 ∠BOD=130°,则∠BCD的度数是（A） A、115° B、130° C、65° D、50° 2、 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，P是
数学人教九年级上册(2014年新编)24-1-4 圆周角(第二课时)(教学设计)
24.1.4 圆周角（第二课时）教授新课师：在同圆或等圆中，同弧所对应的圆周角有什么关系？[多媒体展示]【探索与思考】∠BAC与∠BDC同BC，∠BAC与∠BDC有什么关系？尝试给出证明过程？生：根据圆周角定理可知，∠BAC=12∠BOC, ∠BDC=12∠BOC∴∠BAC=∠BDC师：由此可知：同弧所对的圆周角相等。
师：在同圆或等圆中，两条弧相等，则他们所对应的圆周角有什么关系？[多媒体展示]【探索与思考】弧BC=弧CE，∠BDC与∠CAE有什么关系？尝试给出证明过程？生：连接BO、CO、OE根据圆周角定理可知，∠BDC=12∠BOC,∠CAE=12∠COE 又由弧BC=弧CE可知，∠BOC=∠COE.师：由此可知：等弧所对的圆周角相等。
师：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
师：尝试运用圆周角推论进行计算。
[多媒体展示]典例1 如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝20°，∠APD＝70°，则∠B等于（）A．30° B．35° C．40° D．50°变式1-1 如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（）A．15° B．25° C．30° D．50°变式1-2 如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，弧AB=弧BC,若∠AOB=58°，则∠BDC=____度让学生经历猜想-探究-证明的过程，从而掌握圆周角定理推论的内容。
通过配套例题，举一反三，进而消化本节课所学内容。
【师生互动】鼓励学生积极发言，教师通过引导纠正，最后给出解题过程和答案。
师：根据所学知识回答下面问题。
[多媒体展示]【问题一】如图1，AB为⊙O的直径，它所对的圆周角是多少？【问题二】如图2 ，AB为⊙O的直径，改变C点的位置，它所对的圆周角度数会改变吗？【问题三】如图1，圆周角∠C=90°，连接AB，弦AB经过圆心吗？为什么？生1：90°生2：不变生3：∵∠ACB=90°∴∠AOB=180°∴弦AB过圆心。
24.1.4圆周角(2).
24.1.4 圆周角（2）自主学习、课前诊断一、温故知新：1.什么是圆心角和圆周角？2.圆周角定理及其推论的内容是什么？二、设问导读：阅读课本P87-88完成下列问题： 1.概念理解：（1）圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在________上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的__________.(2)你是怎样区分“内接”“外接”的？例如，在课本图24.1-15，四边形ABCD 是⊙O 的___________,⊙O 是四边形ABCD 的____________. 2.性质探究：（1）图24.1-17中，∠A 和∠C 都是圆周角吗？它们所对的圆心角分别是什么，有什么关系？可以得到什么结论？ （2）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角________. 用符号表示为：四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，则 __________+__________=180°， __________+__________=180°.三、自学检测：1.如图，已知⊙O 的内接四边形ABCD ， ∠A=50°，∠B =100°，则∠C=________, ∠D=________.其理由是________________.2.如图,四边形ABCD 内接于⊙O ，△ACD 是等边三角形，则∠ABC 的度数为（ ） A.120° B.135° C. 140° D.150°3.如图，在⊙O 中，∠CBD=30° , ∠BDC=20°,求∠A.互动学习、问题解决一、导入新课 二、交流展示学用结合、提高能力一、巩固训练：1.在⊙O 中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_ ______.2.如图，在直径为AB 的半圆中，O 为圆心，C ，D 为半圆上的两点，∠COD=50°，则∠CAD=______.·OB ACD3.如图，圆心角∠AOC=100°，则∠ABC=__________.4.如图，正方形ABCD内接于圆，点P在AD⌒上，则∠APD的度数为（）．A.135°B.5.如图，BD是⊙O的直径，圆周角∠A =30︒，则∠CBD的度数是 ( ）A．30︒ B．45︒ C．60︒D．80︒6.如图，四边形ABCD内接于圆，BD平分∠ABC,且AB∥CD .求证:CD⌒=CB⌒.二、当堂检测：1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．A．69°B．42°C．48°D．38°2.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB为直径，点C是BD⌒的中点，若∠ABC=50°，求∠BCD、∠ADC、∠DAB的度数。
24.1.4圆周角2
圆周角
南寨中学：谢世明
回 忆
1.什么叫圆周角? 顶点在圆上，两边都和圆 相交的角叫圆周角 2. 圆心角、弧、弦、圆周角四个量之 间关系有个什么结论？ 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、圆周角有一 组量相等，那么它们所对应的其余三给量都分别相等。同 弧(或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半．
O
110
P
x
B
A
解：由题意得 2x =110o ∴x =55o
能力练习:
1、如图，在⊙O中，ABC=50°， 则∠AOC等于（ D ） A、50°； B、80°； C、90°； D、100°
A B O C
2、如图，△ABC与A、B重 合，则∠BPC等于（ B ） A、30°； B、60°； C、90°； D、45°
O
·
D
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
2 2 AD BD AB 10 5 2(cm) 2 2
1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求, ∠C和 ∠A的度数。
像四边形ABCD这样，所有的顶点都在同一个 圆上 的多边形，叫做圆内接多边形，这个圆叫做这 个多边形的外接圆。 圆内接四边形的对角互补
推
论
直径（或半圆）所对的圆周角是 直角， 90°的圆周角所对的弦是 直径．
巩固练习
1、判断： （1）等弧所对的圆周角相等. （ √ ） （2）相等的圆周角所对的弧也相等.（ X ） 。 （3）90 的角所对的弦是直径。 （ ）X （4）同弦所对的圆周角相等。 （X）
A
B C
C
O
A
O E
B
基础练习、
C
A P
人教版数学九年级上册 24.1.4 圆周角(第二课时)说课课件(共21张PPT)
说课内容
1 2 3 4 5
教材分析 教学目标 重点难点 教学过程 反思生成
教材分析
1. 本节课在教材所处的地位和作用：
圆内接四边形是在研究圆周角之 后的学习内容，从圆内接四边形 的四个角都是圆周角引入，它是 在圆中探求角的相等或互补时常 用的一个重要定理，是学生后续 学习的基础。
教学重点和难点
教学重点
教学难点
圆内接四边形的性质探索及应用
圆内接四边形的性质探索
教法与学法
教法：演示法，引
导启发式教学法
学法：观察、操作与数
学思考归纳相结合；自 主学习与小组合作探究 相结合
教学过程
1
课前热身，引入新知 2 合作探究，获取新知 3 师生合作，应用新知 4 课堂小结，提炼新知 5 课堂检测，体验成功
教学目标
教学目标
知识目标
技能目标
情感目标
通过观察图形认识圆 内接多边形和多边形 的外接圆；探索圆内 接四边形的性质定理 并运用它探求角之间 的关系．
经历圆内接四边形性 质定理的探索过程， 体会从特殊到一般、 数形结合、分类、归 纳、转化等数学思想 方法，发展学生的推 理能力．
鼓励学生敢于实践， 勇于发现，大胆探索， 认识数学的内在联系， 增强学习数学的兴趣。
四边形的外接圆： 图，△ABC是⊙O的 △ABC的外角平分线并
圆内接四边形的性质内：接三角形。 （1）若AD是
交⊙O于点D，连接BD， CD，上述结论还成立吗？
∠BAC的角平分线, 请你补全图形，若结论
交⊙O于点D．
成立，则给出证明；若
求证：BD=CD 结论不成立，则说明理
由。
反思
成功之处：本节课从回顾圆周角定理及推论入手，引入圆
九年级数学人教版上册24.1.4圆周角第2课时圆内接四边形教学设计
2.学生在几何证明过程中的逻辑思维能力，注重培养学生严谨的推理和证明习惯。
3.学生在解决圆内接四边形问题时，对图形的观察和分析能力，引导学生运用性质解决问题。
4.关注学生的学习兴趣和积极性，激发学生的学习动力，提高课堂参与度。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：圆内接四边形的性质及其应用。
2.难点：圆内接四边形对角互补的证明过程及其在实际问题中的应用。
（二）教学设想
1.对于重点内容的处理：
a.采用直观演示和动态图示相结合的方式，让学生形象地理解圆内接四边形的性质。
b.通过典型例题的讲解，引导学生运用性质解决实际问题，巩固重点知识。
4.教师对本节课的教学进行总结，指出学生的优点和不足，鼓励学生继续努力。
五、作业布置
为了巩固学生对圆内接四边形性质的理解和应用，以及提高学生的解题能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：
（1）判断以下图形是否为圆内接四边形，并说明理由。
（2）已知圆内接四边形ABCD，求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。
6.教学拓展：
a.引导学生探究圆内接四边形的性质在生活中的应用，提高学生的应用意识。
b.激发学生对几何学的兴趣，鼓励学生参加数学竞赛和课外活动，拓展知识面。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.复习导入：通过提问方式复习圆周角定理，引导学生回顾圆周角的概念及其性质。在此基础上，提出问题：“圆内接四边形是否具有特殊的性质？”引发学生思考，为新课的学习做好铺垫。
b.计算题：计算圆内接四边形的对角线长度或角度。
c.应用题：运用圆内接四边形的性质解决实际问题。
圆周角(2)
你会证明吗？
在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧 相等
A D F B
O
C E
中学数学网（群英 学科）收集提供
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°, 求∠A的大小.
A
B
C
●
O
2.求下列各图中的∠α
100°
O
α
50° 35°
80°
O
α
O
α
（3）
O
α
（ 4）
（1）
（2）
中学数学网（群英 学科）收集提供
4.试找出下图中所有相等的圆周角。
D
∠2=∠7
A 1
8 7
6
C
2 3
B
∠1=∠4
∠3=∠6
4
5
∠5=∠8
中学数学网（群英 学科）收集提供
5.已知⊙O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
圆心角为60度
O
圆周角为 30 度
或 150 度
B
A
6.一弦分圆为1：4两部分，则这弦所对 的圆周角是 360或 1440 。
小结评学
本节课你有什么收获？ 有关圆的问题常添加直径所对圆周角的 辅助线，将有关问题转化为解直角三角形 的问题。 布置作业：P88T6 P89T15
检测固学
• 书中第90页13、14题
y C Q M P B x
A O D
6、如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，且 ∠ACB的外角平分线交于⊙O 于E，EF⊥BD于F. ⑴探索EO与AB的位置关系，并予以证明.⑵ 当△ABC的形状发生改变时，(BF+CF)：AC的 值是否发生改变？若不变，请求出该值；若 改变，请求出其变化范围. D E F C O A B
人教版九年级数学上册教案-24.1.4 圆周角2带教学反思
24.1.4 圆周角第1课时圆周角定理及推论教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们A所对的其余各组量都分别相等．刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题． 二、探索新知问题：如图所示的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在EF 所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”（1）设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如图所示 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=12∠AOC （2）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．CC老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．（3）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成证明．老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=12∠AOD-12∠COD=12∠AOC现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 三、巩固练习1．教材P92 思考题． 2．教材P93 练习． 四、应用拓展例2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：sin a A =sin b B =sin c C=2R ． 分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin b B =2R ，sin cC=2R ，即sinA=2a R ，sinB=2b R ，sinC=2cR，因此，十分明显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=BC DC ，即2R=sin aA同理可证：sin b B =2R ，sin cC =2R∴sin a A =sin b B =sin cC=2R五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．~。
初中数学人教版九年级上册《24142圆周角(2)》教案
人教版数学九年级上24.1.4.2圆周角（2）教学设计一、复习旧知1、还记得圆周角的定义吗？2、请你说出圆周角定理及推论。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.二、探究新知活动1，抢答：1.你能用三角尺画出下面这个圆的圆心吗？2.填空：如图，∠BAC=55°，∠CAD=45°，则∠DBC=_____°，∠BDC=_____°，∠BCD=______°3.如图，BD是⊙O的直径，∠ABC=130°则∠ADC=______°活动2：讨论请看我们做的抢答习题第2、3题，同学们有没有发现什么规律，请大家以小组为单位讨论后发言。
学生小组1回答：这个四边形的四个顶点，点A，点B，点C，点D都在⊙O上。
学生小组2回答：这个四边形的对角和是180°。
学生小组3回答：……学生小组4回答：……教师总结：同学们真是火眼金睛，找到的特点很多。
这个四边形有一个特点，四边形的四个顶点，点A，点B，点C，点D都在⊙O上，我们把这个四边形叫做圆内接四边形（板书：⊙O叫做四边形ABCD的外接圆）师：出示圆内接三角形图片，并指出：这是一个三角形，这个三角形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个三角形叫做圆内接三角形，把这个圆叫做这个三角形的外接圆.师：出示圆内接五边形图片，并指出：这是五边形，这个五边形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个五边形叫做圆内接五边形，把这个圆叫做这个五边形的外接圆.师：（出示圆内接六边形图片）归纳总结：现在，同学们能总结出“圆内接多边形”的定义了吗？一般地说，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.刚才有同学说习题中的四边形的对角和是180°，我们再来看圆内接四边形有什么性质。
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角(第2课时)教学设计
（一）导入新课
1.教学活动设计：
-利用多媒体展示生活中含有圆周角的物体，如时钟、风扇、自行车轮等，引导学生观察并思考这些物体上的圆周角特点。
-提问学生：“你们知道什么是圆周角吗？圆周角有哪些特点？”激发学生对圆周角的兴趣。
2.教学目的：
-通过生活中的实例，让学生感知圆周角的存在，为新课的学习做好铺垫。
2.自主探究，构建概念：
-让学生通过画圆、量角等活动，直观感受圆周角的特点。
-引导学生通过小组合作，探讨圆周角的定义，推导圆周角定理及推论。
-教师适时给予提示和引导，帮助学生理解圆周角的性质和定理。
3.实践应用，巩固知识：
-设计具有挑战性的练习题，让学生独立完成，巩固圆周角的知识。
-通过实际案例，如园林设计、道路规划等，让学生运用圆周角知识解决实际问题。
-对本节课学习的圆周角的定义、定理、推论进行梳理和归纳。
-总结圆周角知识在实际生活中的应用。
2.教学方法：
-学生分享学习体会，总结圆周角知识的关键点。
-教师点评学生的发言，强调重点知识，并对本节课进行总结。
五、作业布置
为了巩固学生对圆周角知识的掌握，提高学生的应用能力和思维能力，特布置以下作业：
1.基础知识巩固：
-激发学生的好奇心，引导学生积极思考，为新知的探究奠定基础。
（二）讲授新知
1.教学内容：
-圆周角的定义：从圆上任意两点分别向圆内引两条不重合的射线，所形成的角叫做圆周角。
-圆周角定理：ห้องสมุดไป่ตู้周角的度数等于它所对圆弧的度数的一半。
-圆周角推论：圆内接四边形的对角互补。
2.教学方法：
-采用讲解、演示、举例等教学方法，让学生理解圆周角的定义及性质。
24.1.4 第2课时 圆内接四边形 初中数学人教版数学九年级上册课件
∴ ∠C = 180°- ∠CBD - ∠BDC = 130°；
O
∴ ∠A = 180°- ∠C = 50°；
B
D
（圆内接四边形对角互补）
C
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
5. 已知 ∠OAB = 40°，求 ∠C 的度数.
解：延长 AO 至 D，交圆心于点 D，连接 BD；
D
O
∵ ∠OAB = 40°且 AD 是直径，
O B
( (
( (
∵ BCD 和BAD 所对的圆心角之和为 360°，
C
D
又 ∠BCD 和 ∠BAD 分别为 BCD 和BAD 所对的圆周角，
∴ ∠BCD + ∠BAD = 180°； 同理，∠ABC + ∠ADC = 180°.
总结：圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
学习目标
概念剖析
典型例题
形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
A 如图：
四边形 ABCD 为 ⊙ O 的内接四边形；
B
O
⊙ O 为四边形 ABCD 的外接圆.
C
D
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
问题 1：如图，圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
A
猜想：∠A + ∠C = 1＿80＿°＿，∠B + ∠D = ＿1＿80＿°． B
当堂检测
课堂总结
（一）圆内接四边形的性质
例 1：如图所示，已知四边形 ABCD 为 ☉O 的内接四边形，∠ADE 为四
边形 ABCD 的一个外角. 求证：∠ABC = ∠ADE.
初三数学(人教版)24.1.4圆周角(2)-1教学设计
问题1:请同学们观察这四个角，思考这些圆周角的大小关系.
这四个圆周角按位置可以分两类，角的顶点在弦的上方，或者在弦的下方.其中两对角的关系：∠B=∠F，∠D=∠E.
问题2:能否用学过的知识加以证明呢？
通过观察我们可以发现，∠B和∠F的顶点在弦的上方，它们都对着同一条弧：劣弧ADC，由圆周角定理的第一条推论可知，同弧所对的圆周角相等，所以∠B=∠F.
∠D和∠E的顶点在弦的下方，都对着同一条优弧ABC.所以同理可得：∠D=∠E.
问题3: ∠B与∠D的关系呢？也相等吗？
不一定相等.只有当弦AC是直径时，由圆周角定理的第二条推论：直径所对的圆周角都是直角，∠B与∠D相等.当弦AC不是直径时，∠B与∠D 不相等.
我们来研究此时∠B和∠D的数量关系.
问题就变成了研究这个四边形的一组对角之间的关系.在研究这个问题之前，我们先来观察四边形ABCD有什么特点？
它的四个顶点都在圆上，四个内角都是圆周角，四条边都是圆的弦.我们把这样的四边形叫做圆内接四边形.什么样的四边形呢？
引出圆内接四边形的定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.。
九年级数学上册 24.1.4 圆周角(2)教案 新人教版(2021-2022学年)
一、复习旧知
１、圆周角的定义；
２、圆周角定理及推论。
(教师提出问题，学生思考作答）
二、探究新知
1。
例 4 :如图，⊙O直径AB为10cｍ，弦AＣ为6ｃm,∠ACB的平分线交⊙O于Ｄ,求BC、AD、BD的长.
(教师引导学生独立思考，理清题意，整理思路,教师规范板书)
2.自学课本8７、88页,注意理解蓝体字
回答：什么是圆内接多边形？什么叫多边形的外接圆？圆内接四边形的性质是什么？
(学生带着问题自学课本，同伴交流后,教师提问，师生共同评价)
三、当堂训练
1、完成课本88页,练习3、5
2、如图24－1-２３,在⊙O 的内接四边形ＡBCD
中,∠BＣD=１30°，则∠BOD的度数是＿_________．
３、如图２4—1-２0,已知BD是⊙O 的直径，⊙O 的弦AC⊥BＤ于点Ｅ，若∠ＡＯD=６0°,则∠DBC 的度数
为:
4、如图 24-１—19 是中国共产主义青年团团旗上的图
案，点Ａ,B,Ｃ,D,E五等分圆,则∠A＋∠B+∠C＋∠D+∠Ｅ＝
５、如图24－１-21，已知四边形ABCD内接于⊙O,∠BOD＝８0°，求∠BAD 和∠BCD 的度数．
四、课堂小结
1、定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角
都等于它的内对角.
2、利用圆周角定理解题应注意哪些问题?
五、课后作业
习题２4．１作业本：第5题、第8题
学案:Ｐ82、P85巩固训练。
ﻬ。
人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角(二) 教案
数学学科课时教学设计
课时
它是学生已经掌握圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题基础上，对圆内接四边形的性质进行探索，在圆的有关说理、作图、计算中有应用，是角度转换的重要方法。
学生已经掌握圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题
展知识应用、拓展迁移：投影展示，学生说出解
决问题方法、思路；拓展迁移：学生板书并讲
解
（教师不代讲、少干预，引导恰当，用短语激励
学生，对学生明显错误的地方可及时纠正）
各小组派代表发
言，组内补充。
其
他小组帮助解决
发言小组提出的
共同疑难，展示时
有补充、有纠错、
有质疑、有挑战。
评展示结束后，教师精讲。
1、强调圆内接四边形性质的几何语言描述。
2、圆内接四边形性质的应用。
全体学生认
真听讲，适时通过
红笔做好笔记，并
和老师一起思考
总结归纳
检
ppt投影出堂测两道题，教师留给学生足够的时
间进行思考，并简单加以点拨。
所有学生必做
堂测设计在⊙O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并延长至D，使CA=CD，连接DB 并延长交⊙O于点E，连接AE.
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）求证：AE=DE
板书设计
教学反思
检查结果及修改意见：合格不合格
组长（签字）：
检查日期：年月日。
24.1.4(2)圆周角---圆周角定理推论
24.1.4（2）圆周角---圆周角定理推论一．【知识要点】1.圆周角定理推论:（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
二．【经典例题】，D，E分别是半径OA，OB的中点，求证:CD＝CE.1.如图，AC BC2.已知A,B,C,D是☉O上的四个点.(1)如图1,若∠ADC=∠BCD=90°,AD=CD,求证:AC⊥BD;(2)如图2,若AC⊥BD,垂足为E,AB=2,DC=4,求☉O的半径.3.已知:如图,AC=BC=CD,过三点A,C,D的⊙O交AB于点F.求证:CF平分∠BCD.4.如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是AB 上两点，AB=13，AC=5。
（1）如图（1），若点P 是AB 的中点，求PA 的长。
（2）如图（2），若点P 是BC 的中点，求PA 的长.5.如图，⊙O 的半径为1，A,P,B,C 是⊙O 上的四个点，∠APC=∠CPB=60°。
（1）试判断△ABC 的形状：_____ 。
（2）试探究线段PA 、PB 、PC 之间的数量关系，并证明你的结论。
（3）当点P 位于AB 的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积。
6.如图，⊙C 经过原点O ，并与两坐标轴交于A 、D 两点，已知∠OBA =30°，点D 的坐标为（0，3），求点A 的坐标及圆心C 的坐标.7．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长为（）A．7 B．C．D．98．(2020绵阳期末第24题)如图，圆的内接五边形ABCDE中，AD和BE交于点N，AB和EC 的延长线交于点M，CD∥BE，BC∥AD，BM＝BC＝1，点D是的中点．（1）求证：BC＝DE；（2）求证：AE是圆的直径；（3）求圆的面积．三．【题库】【A】1.如图,若AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,∠ABD=58°,则∠BCD= ( )A.116°B.32°C.58°D.64°2.小王想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（）A. B. C. D.【B 】1.如图，点O 是⊙O 的圆心，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB =30°，弦AB =3cm ，则△ABO 的周长是___________cm2.如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 在上． （1）若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，，求AB 的长．5OA =3．(2020绵阳期末第9题)如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在直径AB 一侧的圆上（异于A ，B 两点），点E 在直径AB 另一侧的圆上，若∠E ＝42°，∠A ＝60°，则∠B ＝（ ） A ．62° B ．70°C ．72°D ．74°OCAB【C】1.（绵阳2019年第25题本题满分14分）如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD ＝4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．求证：△DEF是等腰直角三角形；2．已知，如图所示，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°。
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A P B C
例 如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点， 如图⊙ 两点， 经过点A的直线CD与⊙O1 交于点C，与 ⊙O2 交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E，与⊙O2 交于点F。 求证：CE∥DF 求证：
D A 1 C E O1 B O 2 F
C
证明： 证明： 以AB为直径作⊙O， 为直径作⊙ ， 为直径作 ∵AO=BO， CO= 1AB, ，
2
A · O B
∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 在 上 为直径, 又∵AB为直径 为直径 ∴∠ACB=
1 ×180°= 90°. 2
为直角三角形. ∴ △ABC 为直角三角形
拓展练习
如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上 的点。（1）求证∠P＜ ∠AQB （2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有 A 怎样的关系？为什么？
2.若ABCD为圆内接四边形，则下列 2.若ABCD为圆内接四边形， 为圆内接四边形 B ） 哪个选项可能成立（
（A）∠A∶∠ ∶∠ ∶∠ ＝ 1∶2∶3∶4 ∶∠B∶∠ ∶∠D ） ∶∠ ∶∠C∶∠ ∶ ∶ ∶ ∶∠B∶∠ ∶∠D （B）∠A∶∠ ∶∠ ∶∠ ＝ 2∶1∶3∶4 ） ∶∠ ∶∠C∶∠ ∶ ∶ ∶ ∶∠B∶∠ ∶∠D （C）∠A∶∠ ∶∠ ∶∠ ＝ 3∶2∶1∶4 ） ∶∠ ∶∠C∶∠ ∶ ∶ ∶ ∶∠B∶∠ ∶∠D （D）∠A∶∠ ∶∠ ∶∠ ＝ 4∶3∶2∶1 ） ∶∠ ∶∠C∶∠ ∶ ∶ ∶
课本 练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 求证 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） ．（提示 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆 ） 1 已知： 边上的中线， 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， CO= AB 为 边上的中线 且 2 求证： 为直角三角形. 求证： △ABC 为直角三角形
Q O B p
3、圆内接梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=75°, 圆内接梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=75° ABCD 则∠C= ° 4、已知四边形ABCD内接于⊙O,且 已知四边形ABCD内接于⊙ 且 ABCD内接于 A:∠B:∠ =2:3:4， 的度数. ∠A:∠B:∠C =2:3:4，求∠D的度数. 圆的内接四边形ＡＢＣＤ ＡＣ ＡＢＣＤ中 ＡＣ垂 5、圆的内接四边形ＡＢＣＤ中,ＡＣ垂 直平分ＢＤ ＢＡＣ=40 °， ＢＤ,∠ 直平分ＢＤ ∠ＢＡＣ 则∠ＢＣＤ＝ ° 四边形ABCD内接于⊙O, 、CD的 内接于⊙ 6、四边形 内接于 O,BA、 的 延长线交于P,AD=２cm 延长线交于 ２cm,BC=３cm ＰＡ ３cm,ＰＡ cm， ＰＣ的长 的长. ＝４cm，求ＰＣ的长.
1）延长EF,是否有 ）延长 是否有 ∠E=∠BAD＝ ∠1 ？ ∠ ＝ 2) 延长 延长DF, 能否证明 3) ∠E＝∠２＝∠3？ ＝ ？
D A C O1 E B
A C O1 E B
2
O2 F
D
1
M
O2 3 F
D A
O
B
C
如图： 如图：圆内接四边形ABCD中，
∵ BAD+BCD=360°
∴∠A＋ ∴∠A＋∠ C＝ 180° A °
D
同理∠ 同理∠B＋∠D＝180° 180°
定理 B
O
C
圆的内接四边形的对角互补。 圆的内接四边形的对角互补。
1.(1)四边形 四边形ABCD内接于⊙O，则 内接于⊙ ， 四边形 内接于 180° 若 ° 180° ∠A+∠C=______ ∠B+∠ADC=_______;若 ∠ ° ∠ 80° ° ∠B=80°，则∠ADC=____ ∠CDE=______ ° 100° °
O
B C
D
2已知：如图，四边形ABCD是 已知：如图， 圆的内接四边形并且ABCD是 平行四边形。 平行四边形。 求证：四边形ABCD 求证：四边形ABCD 是矩形。 是矩形。 A B
O
D
C
例题
如图， 直径AB为 例 如图，⊙O直径 为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平 直径 ， 为 ， 的平 分线交⊙ 于 ， 的长． 分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 的长 是直径， 解：∵AB是直径， 是直径 C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． ° 在Rt△ABC中， △ 中
24.1.4
圆周角（ 圆周角（2）
• 回顾：圆周角定理及推论？ 回顾：圆周角定理及推论？ • 思考：判断正误： 思考：判断正误： 1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ √ ） 同弧或等弧所对的圆周角相等（ 同弧或等弧所对的圆周角相等 2.相等的圆周角所对的弧相等（ × ） 相等的圆周角所对的弧相等（ 相等的圆周角所对的弧相等 3.90°圆周角所对的弦是直径（ √ ） °圆周角所对的弦是直径（ 4.直径所对的角等于 °（ × ） 直径所对的角等于90° 直径所对的角等于 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于 °（√ ） 长等于半径的弦所对的圆周角等于30° 长等于半径的弦所对的圆周角等于
新课讲解： 新课讲解：
若一个多边形各顶点都在同一 若一个多边形各顶点都在同一 个圆上，那么， 个圆上，那么，这个多边形叫做圆 内接多边形， 内接多边形，这个圆叫做这个多边 形的外接圆。 形的外接圆
D B E C B
O
C
A A F
O
D E
如图，四边形ABCD为 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边 ABCD 为四边形ABCD的外接圆。 ABCD的外接圆 形；⊙O为四边形ABCD的外接圆。
(4)梯形 梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, 内接于⊙ 梯形 内接于 ∥
75° ° ∠B=750,则∠C=_____ 则
A D O B C
圆的内接梯形一定是＿＿＿＿＿梯形。 圆的内接梯形一定是＿＿＿＿＿梯形。 ＿＿＿＿＿梯形
返回
3、如图，四边形ABCD内接于⊙O,如果 、如图，四边形 内接于⊙ 如果 内接于 的度数是（ ∠BOD=130°,则∠BCD的度数是（ ） °则 的度数是 A A、115° B、130° 、 ° 、 ° O C、65° D、50° 、 ° 、 ° D B 4. 如图，等边三角形 如图，等边三角形ABC内 内 C
证明两条直线平行的方法很多， 证明两条直线平行的方法很多，但常用的还是 通过证明同位角相等、内错角相等、 通过证明同位角相等、内错角相等、同旁内角 互补等方法。 互补等方法。刚才我们通过同旁内角互补证明 了CE ∥ DF，想一想还能否通过同位角相等或 ， 者内错角相等证明结果？ 者内错角相等证明结果？
A 80 D E B C B A
100
D C
O
(2)四边形 四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100° 内接于⊙ ， 四边形 内接于 ° 则∠B=______∠D=______ 50° ∠ 130° ° ° (3)四边形 四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则 内接于⊙ 四边形 内接于 ∠ 则 45° ° ∠A=_____,
B = AB − AC = 10 −6 =8 A C
2 2 2 2
O
B
∵CD平分∠ACB， 平分∠ ， 平分
∴ A D=∠ C . ∠C B D
∴AD=BD. 又在Rt△ 又在 △ABD中，AD2+BD2=AB2， 中
D
2 2 ∴A = B = D D A = B ×10 =5 2(cm ) 2 2
连结AB 连结AB ABFD是 ABEC接四边形 ∠F＋∠1＝180°、∠1＝∠E ∠F＋ 180° ∠E＋ ∠E＋∠F＝180° 180° CE∥DF
A 1 O 1 E B O 2 F D
C
巩固练习： 巩固练习：
如图， 1、如图，四边形ABCD为⊙O 的内接 四边形， 100° 四边形，已知∠BOD＝100°，求 的度数。 ∠BAD及∠BCD的度数。 A