分式不等式的解法

a2 若 2, 即a 0时, 解集为： a 1
a2 若 < 2, 即a < 0时, a 1

a 1
a2 < x < 2} 解集为： {x | a 1
a2 {x | x 2或x < } 综上：(1)当a>1时,原不等式的解集为： a 1
a2 {x | 2 < x < } (2)当0<a<1时,原不等式的解集为： a 1
f ( x) 0 f ( x) < 0 f ( x) 0 f ( x) g ( x) 0 或 g ( x) g ( x) 0 g ( x) < 0
3、运用“序轴标根法”解分式不等式时的注意点： (1)x的系数必须是正数(2)分清空 实点(3)奇穿偶不穿。
Ⅱ.分式不等式等价变形后，如果是高次不等式，应结合序轴标 根法求解！注意点: （1）x的系数必须是正数； （2）分清空实点； （3）奇穿偶不穿。
( x 1)( x 2) (1) : <0 2x 1 ( x 1)( x 2) ( 2) : 0 2x 1
( x 1) ( x 2) (3) : 2x 1
f ( x) 0 f ( x) < 0 f ( x) 0 f ( x) g ( x) 0 或 g ( x) g ( x) 0 g ( x) < 0
求解分式不等式时每一步的变换必须都是等价变
换！
练一练：
1.
7x 3 5 2 x 1
2.
x3 0 3 2x
2
3源自文库
0
3x 5 练一练： 2 2 x 2x 3 3x 5 3x 5 解： 2 2 2 20 x 2x 3 x 2x 3
( 2 x 1)(x 1) 2x2 x 1 0 2 0 ( x 3)(x 1) x 2x 3
例2：解不等式 解：
2
2
x 3x 2 <0 2 x 2x 3
2
(1) 2 ( 2)
x 3x 2 x 3x 2 < 0 x 3x 2 0 或 2 <0 2 2 x 2x 3 x 2x 3 0 x 2 x 3 < 0
②字母取不同范围的数得到不同的解集都必须全部写出来。
练一练：
ax 1 x2
课堂小结
1、主要的数学思想：等价转化、分类讨论 2、分式不等式的主要类型及其等价转化：
f ( x ) g ( x ) 0 f ( x) 0 f ( x) 0 f ( x) 0 或 g ( x) g ( x) 0 g ( x ) < 0 g ( x) 0
(a R)
(1)当a2>a,即：a>1或a<0时,解集为：{x|a<x<a2} （2）当a2=a即：a=0或a=1时，解集为：x∈φ （3）当a2<a即:0<a<1时,解集为:{x|a2<x<a} 综上： (1) 当a>1或a<0时, 原不等式解集为：{x|a<x<a2}} （2）当a=0或a=1时，原不等式解集为：x∈φ （3）当0<a<1时, 原不等式解集为:{x|a2<x<a}
(2 x 1)(x 1)(x 3)(x 1) 0 ( x 3)(x 1) 0
+
-3
o
-
-1
+
1/2
-
1
o
+
1 所以原不等式的解集为: {x | 3 < x 1或 x < 1} 2
xa <0 例3：解关于x的不等式: 2 xa
解：原不等式可变为：（x-a）（x-a2）<0
a2 当a 1时有 ( x 2)( x )0 a 1 a2 1 此时 1 a 1 a 1 < 2 a2 } ∴原不等式解集为：{ x | x 2或x <
1o
a 1
a ( x 1) 1( a 1) 例4:解关于x的不等式： x2
解： ( x 2)[(a 1) x 2 a] 0 a2 o )<0 2 当a < 1时有( x 2)( x a 1 a2 a2 若 2, 即0 < a < 1时, 解集为： {x | 2 < x < } a 1
{x | 1 < x < 1或2 < x < 3}
由此可知，原不等式的解集是
不等式组（1）的解集是 不等式组（2）的解集是

原不等式的解 以下过程同 集就是上面的 学来完成 两个不等式组 的解集的并集
{x | 1 < x < 1或2 < x < 3}
例2：解不等式
2
x 3x 2 <0 2 x 2x 3
x 1 1 2x 1
x 2
所以原不等式的解集为 1 { x | x 或x 2} 2
Ⅰ. 解分式不等式重要的是等价转化，尤其是含“≥”或“≤”转换。
f ( x ) g ( x ) 0 f ( x) 0 f ( x) 0 f ( x) 0 或 g ( x) g ( x) 0 g ( x ) < 0 g ( x) 0
x 1 解： 1 2x 1

( x 2)(2 x 1) 0 2 x 1 0
所以原不等式的解集为:
1 { x | x 或x 2} 2
例1 ：解不等式
1 解：当2 x 1 0，即x 时 2 原不等式可化为 x 1 2x 1 1 则x 2 x 2 此时， 1 当2 x 1 < 0，即 x < 时 x>-1/2与 X≥-2与 X>-1/2 2 x≤-2是什 是什么关系呢？ 么关系呢？ 原不等式可化为 x 1 2x 1 则x 2
4、解含有字母的分式不等式必须分清：
必须分清对字母分类讨论的依据；最后要下结论。
再 见
作 业：
1、解关于x的不等式： 3x 5 3 x x 3 ⑴ 2 1 ⑶ 3 ⑵ 2 x 2x 3 2 x x2 1 x 1 a ⑷ 0 < x <1 ⑸ x2 x
( x a)(x b) 2、已知关于x的不等式 0 xc 的解为 1 x < 2或x 3, 求不等式 xc 0的解集。 ( x a)(x b)
练一练：
ax 0 1 x
a ( x 1) 例4:解关于x的不等式： 1( a 1) x2
移项 通分 解不等式 解： a ( x 1) 1 ( a 1) x (2 a ) 0 x2 x2 ( x 2)[(a 1) x 2 a ] 0
(3)当a=0时,原不等式的解集为：

小结：
a2 < x < 2} (4)当a<0时,原不等式解集为： {x | a 1
１．本题对 a实施了两次讨论，第一次就“a>1,a<1” 分类 讨论，第二次在“a<1”的前提下，又就与2的关系进行分 类讨论。 ２．解含字母的分式不等式：
①必须分清对字母分类讨论的依据
2
( x 1)(x 2) x 3x 2 <0 解： 2 < 0 ( x 1)(x 3) x 2x 3
( x 1)(x 1)(x 2)(x 3) < 0
+
-1
o
-
1
o
+
o
2
-
o
3
+
由序轴标根法可得原不等式的解集为:
{x | 1 < x < 1或2 < x < 3}
第一轮复习:不等式
—— 解分 式 不等式
秭归县屈原高中 张鸿斌
复 习 指 导 解分式不等式的关键就 是如何等价转化（化归） 所给不等式！
例1：解不等式
x 1 1 2x 1
x 1 x2 x2 1 0 0 0 2x 1 2x 1 2x 1
2 0 x 2 0 x 或 1 >0 < 0 2 x 1 0 2x 1<0