自动控制原理 (4)

j 1
m
Ks zi
GsH s
i 1 nr
srs pj
j 1
k 0wenku.baidu.com1,2,
系统开环传递函数为 m
n
G
s
H
s
ss
Ks z
p2 s
p3
args zi arg s pj 2k 1
i1
m
n1
j1
2
3
2k
1
i j 2k 1 k 0,1,2,
i1
j 1
p2
θ2
jω
然而，在没有计算机之前，求解高次代 数方程是很困难的.
为 了 解 决 这 个 问 题 ， 1948 年 伊 文 斯 （W.R.Evans）提出了根轨迹。
所谓根轨迹是指当系统中某一参数的 数值从零至无穷大变化时，闭环系统特征 方程的根在根平面上所描绘的曲线。
应用这些曲线可以分析不同参数情况 下的系统过渡过程特征，以及进一步指出 改善系统过渡过程品质的方向。
第四章 根轨迹法
第一节 前 言
第二节 根轨迹的基本概念 第三节 根轨迹绘制的基本法则 第四节 根轨迹草图绘制举例 第五节 参量根轨迹 第六节 增加极点或零点对根轨迹的影响 第七节 设计实例
闭环系统的特征根与其运动特性是紧密 相关的，如果我们能够确定闭环系统的特 征根，那么就可以掌握瞬态响应的基本特 征。
s1 θ1
m
s pj
K
j 1 n
s zi
i 1
z
p1
0
σ
θ3 p3
K s1 s1 p2 s1 p3 s1 z
取s平面上任一点s1为实验点，画出由零点和极点至 s1的矢量，并计算各矢量的模和辐角，如果下式成立， 则s1是根轨迹上的一个点
1 2 3 2k 1 k 0,1,2,
应用根轨迹曲线研究系统运动特性的 方法，称为根轨迹法。
在根轨迹法中，最常用的变化参数是系统 开环增益K或与之成比例的所谓根轨迹增益K*。 有时也取其他参数为变化参数，但用的不多， 所以以后不特别指明，变化参数均为K或K*。
用根轨迹法不但可以进行系统分析，而且 可以进行系统设计，它是经典控制理论的基本 方法之一。
s2 2 1.707 1 1 j7.07 1 j1 1 j1.414 1 j1.732 1 j2 1 j3 1 j
根据表4－1绘出系统的根轨迹曲线示于图4－2。 分析：由根轨迹曲线可以看出 ：
当K﹡<1时，闭环系统的特征根为两个相异负实数 ； 当K﹡=1时，闭环系统的特征根为两个负实数根重合； 当K﹡>1时，闭环系统的特征根为具有负实部的共轭复数。
G s H s 为系统开环传递函数，而闭环系统的特征方程为
1GsH s 0
G s H s 1
Gs H s 1
GsH se j argGsH s 1 e j2k1
比较式两端的模和幅角，可得
GsHs 1
argGsHs 2K 1
一般开环传递函数可写成
m
K s zi
GsH s
二、辐角条件和幅值条件 高阶系统特征方程的求解遇到困难时，
其根轨迹的画法就不能和上述二阶系统一 样先求出闭环系统的特征根；如果易于求 解，根轨迹就失去了意义。
事实上，高阶系统的根轨迹是用图解 法绘制的。
下面将重点介绍绘制根轨迹的基础－ 辐角条件和幅值条件。
闭环传递函数为
s
1
Gs G s H
s
nr j 1
( pj )
1 pj
s 1
nr
Pj
K K
j1 m
Zi
i 1
m
K s zi
GsH s
i 1 nr
srs pj
j1
由
GsH s 1
m
有
K s zi
i1
nr
1
sr s pj
j 1
nr
sr s pj
则
K
j 1 m
s zi
i 1
如果将积分环节视为 p j 0 的特殊情况，则上式可
i 1 nr
sr s pj
j 1
k 0,1,2,
k 0,1,2,
式中 zi 为开环系统零点，p j 为开环系统极点，K
称为根轨迹增益，它与系统开环增益 K 存在下述
关系：
m
K s zi
GsH s
i 1 nr
sr
s pj
j1
K
m
1
i 1
( zi
)
zi
s 1
sr
解方程(4-1)得
4 1
s1,2 1 1 K
4 2
对(4-2)式取不同的 K 值，得对应 s1,2 的数值列表4-1。
表 4-1 例 4-1 中 K 与 s1,2 的对应值
K 0 0.5 1 1.5
2
3
4
5 10
s1 0 0.293 1 1 j7.07 1 j1 1 j1.414 1 j1.732 1 j2 1 j3 1 j
式中 ,1,2,3 分别为开环系统零、极点至s1所画的各 矢量的辐角。
s1的根轨迹增益由下式确定：
K s1 s1 p2 s1 p3 s1 z
通过上例归纳出根据开环系统传递函数的零极 点绘制根轨迹曲线的步骤如下：
1）在s平面上找出所有满足辐角条件的点， 然后把这些点连接成光滑曲线，这些曲线就
写成
m
s pj
K
j1 n
s zi
i 1
因为 arg Gs H s 2K 1
k 0, 1, 2,
m
n
args zi arg s p j 2k 1 k 0,1,2,
i 1
j 1
令 i args zi , j arg s pj
m
n
i j 2k 1
i 1
是K*由零变至无穷大时的根轨迹。
2）应用辐值条件，对根轨迹上若干所关心 的点计算K*，并标在该点旁边，如果有必要
还可求出相应的K值。
分析： 由上面的步骤不难看出，按照这样的试探法绘
制根轨迹曲线是很复杂的。所以，在一般情况下，先 根据根轨迹的性质绘制草图，然后再对感兴趣的点计 算出精确值。
本章主要介绍根轨迹的基本概念、作图方 法，并通过例题给出用根轨迹分析系统的方法。
根轨迹定义：当系统中某一参数的数值从零至 无穷大变化时，闭环系统特征方程的根在平面 上所描绘的曲线。
根轨迹法定义：应用根轨迹曲线研究系统运动 特性的方法，称为根轨迹法。
本章重点：本章主要介绍根轨迹的基本概念、 作图方法、并通过例题给出用根轨迹分析系统 的方法。
4－1 根轨迹的基本概念
一、 二阶系统的根轨迹 我们先举一个例子来说明根轨迹
例4－1 若二阶系统的结构图如图4－1所示，试 绘 制其根轨迹曲线。
解：根据图4－1得系统闭环传递函数为
s
K
s0.5s 1
K
ss
2K
2
2K
s2
K 2s
K
式中 K 2K，闭环系统特征方程为
s2 2s K 0