2019-2020学年浙江省宁波市高三(上)期末数学试卷

2019-2020学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷一、选择题1．（4分）已知集合{|16A x x =<<，}x N ∈，{1B =-，2，3}，那么(A B =I ) A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3，4，5}C ．{2，3}D ．{2，3，4}2．（4分）双曲线22149y x -=的渐近线方程是( )A ．23y x =±B ．32y x =±C ．49y x =±D ．94y x =±3．（4分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“1532S S S +<”是“0d <”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（4分）某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A ．76B ．476C ．72D ．2365．（4分）函数2(1)()ln x x f x ++=的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．6．（4分）已知随机变量X 的分布列是X 1 23P13ab若11()6E X =，则()D X 的值是( ) A ．1736B ．1718 C ．239 D ．2318 7．（4分）已知二项式3(n x x 展开式中二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( ) A ．1B ．1±C ．2D ．2±8．（4分）已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，在椭圆E 上存在点P ，满足212||||PF F F =且2F 到直线1PF 的距离等于b ，则椭圆E 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．349．（4分）已知函数21()||,1()(1)1,1x x a x x x f x e f x +⎧-+-=⎨+--<-⎩…，若函数()2y f x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．[31,2)B ．{}31[1,2)UC ．{}31[1,)+∞U D ．[31,)+∞10．（4分）已知平面四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，BC CD =，AB AD >，现将ABD ∆沿对角线BD 翻折得到三棱锥A BCD '-，在此过程中，二面角A BC D '--、A CD B '--的大小分别为α，β，直线A B '与平面BCD 所成角为γ，直线A D '与平面BCD 所成角为δ，则( ) A ．γδβ<< B ．γαβ<< C ．αδβ<< D ．γαδ<<二、填空题11．（6分）若复数1()z a i a R =+∈，21(z i i =+为虚数单位），则2||z = ；若12z z 为纯虚数，则a 的值为 ．12．（6分）中国古代数学专著《九章算术》有问题：“五只雀，六只燕，共重一斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重”，则雀重两，燕重 两．13．（6分）已知实数x 、y 满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩…„„，且可行域表示的区域为三角形，则实数m 的取值范围为 ，若目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于 ．14．（6分）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos cos 2cos a B b AC c +=，则C = ；又23ABC S ∆=，6a b +=，则c = ．15．（4分）已知a ，b 均为正实数，则1(4)(2)a b ab++的最小值为 ． 16．（4分）从1，2，3，4，5，6这6个数中随机取出5个数排成一排，依次记为a ，b ，c ，d ，e ，则使a b c d e +g g g 为奇数的不同排列方法有 种．17．（4分）已知||||(2)b c k k ==>r r ，0b c =r r g ，若存在实数λ及单位向量a r ，使得不等式1|()||(1)()|12a b b c c b c λλ-+-++--rr r r r r r „成立，则实数k 的最大值为 ．三、解答题18．（14分）已知函数()sin()(0)f x x ωϕϕπ=+<<图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）若()y f x =的图象过1(0,)2，且部分图象如图所示，求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()y f x =是偶函数，将()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，得到()y g x =的图象，求函数22[()]()2xy f g x =+在[0,]2π上的最大值与最小值．19．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AD =，1AB =，PA ⊥平面PCD ，且1PC PD ==，设E ，F 分别为PB ，AC 的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面PAD ；（Ⅱ）求直线DE 与平面PAC 所成角的正弦值．20．（15分）已知等差数列{}n a 满足212a a =，459a a +=，n S 为等比数列{}n b 的前n 项和，122n n S S +=+．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设23,41,n n n na b n c n a ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，证明：123136n c c c c +++⋯+<．21．（15分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>过点(1,2)Q ，F 为其焦点，过F 且不垂直于x 轴的直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，动点P 满足PAB ∆的垂心为原点O ． （1）求抛物线E 的方程；（2）求证：动点P 在定直线m 上，并求PABQABS S ∆∆的最小值． 22．（15分）已知函数()f x alnx x b =-+，其中a ，b R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）使不等式()f x kx xlnx a --…对任意[1a ∈，2]，[1x ∈，]e 恒成立时最大的k 记为c ，求当[1b ∈，2]时，b c +的取值范围．2019-2020学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（4分）已知集合{|16A x x =<<，}x N ∈，{1B =-，2，3}，那么(A B =I ) A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3，4，5}C ．{2，3}D ．{2，3，4}【解答】解：因为集合{|16A x x =<<，}{2x N ∈=，3，4，5}， 所以{2A B =I ，3}． 故选：C ．2．（4分）双曲线22149y x -=的渐近线方程是( )A ．23y x =±B ．32y x =±C ．49y x =±D ．94y x =±【解答】解：已知双曲线22149y x -=令：22049y x -=即得到渐近线方程为：23y x =±故选：A ．3．（4分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“1532S S S +<”是“0d <”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：化简条件：由1532S S S +<，得1115102(33)a a d a d ++<+，即0d <， 所以“1532S S S +<”是“0d <”的充要条件． 故选：C ．4．（4分）某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A．76B．476C．72D．236【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：由已知三视图得到几何体是三棱柱挖去一个三棱锥，所以几何体的体积为11123(22)2(11)12326V=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=．故选：D．5．（4分）函数2(1)()ln x xf x++=的图象大致是()A．B．C ．D ．【解答】解：由于()f x 是奇函数，故排除A ，B ； 当x →+∞，()0f x →，排除C ． 故选：D ．6．（4分）已知随机变量X 的分布列是X 1 23P13ab若11()6E X =，则()D X 的值是( ) A ．1736 B ．1718C ．239D ．2318【解答】解：由1231P P P ++=，得23a b +=①． 由111()2336E X a b =++=②，得3232a b +=，联立①②，得12a =，16b =． 所以2221111117()()(())149()326636D X E X E X =-=⨯+⨯+⨯-=．故选：A ．7．（4分）已知二项式3(n x x展开式中二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( ) A ．1B ．1±C ．2D ．2±【解答】解：根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有232n =， 可得5n =，则二项式的展开式为5153()(r r r r T C x x-+=，其常数项为第4项，即35C g （a ）3， 根据题意，有35C g （a ）380=， 解可得，2a =；故选：C ．8．（4分）已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，在椭圆E 上存在点P ，满足212||||PF F F =且2F 到直线1PF 的距离等于b ，则椭圆E 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34【解答】解：1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，在椭圆E 上存在点P ，满足212||||PF F F =且2F 到直线1PF 的距离等于b ，可得：22c a +=，所以222()4a c c b -=-，可得2210e e +-=， 解得12e =． 故选：B ．9．（4分）已知函数21()||,1()(1)1,1x x a x x x f x e f x +⎧-+-=⎨+--<-⎩…，若函数()2y f x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A．1,2)B．}1[1,2)UC．}1[1,)+∞U D．1,)+∞【解答】解：由题意，函数21()||,1()(1)1,1x x a x x x f x e f x +⎧-+-=⎨+--<-⎩…可转化为2221222,0()2,1021,1x x ax a x f x ax a x e a a x +⎧-+⎪=-+-<⎨⎪++--⎩…„„． 函数()2y f x =-恰有两个零点，即分段函数()y f x =的图象与直线2y =有两个交点． ①当0a <时，分段函数()f x 在R 上连续且单调递增，此时分段函数()y f x =的图象与直线2y =最多只有1个交点，不满足题意；②当0a =时，121,1()0,102,0x e x f x x x x +⎧-<-⎪=-<⎨⎪⎩„…，图象如下：此时分段函数()y f x =的图象与直线2y =也只有1个交点，不满足题意；③当0a >时，分段函数()f x 在(-∞，1]-为增函数，在[1,]2a -上为减函数，在[,)2a+∞上为增函数．x →-∞Q ，2()21f x a a →+-且()2f x =恰有两个零点，(1)2f ∴-=，或221()2()22a a a f a f ⎧+-<⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或2221()2()2212a a a f a f a a ⎧+->⎪⎪⎨⎪<+-⎪⎩„， 解得31a =-，或12a <„． 故选：B ．10．（4分）已知平面四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，BC CD =，AB AD >，现将ABD ∆沿对角线BD 翻折得到三棱锥A BCD '-，在此过程中，二面角A BC D '--、A CD B '--的大小分别为α，β，直线A B '与平面BCD 所成角为γ，直线A D '与平面BCD 所成角为δ，则( ) A ．γδβ<<B ．γαβ<<C ．αδβ<<D ．γαδ<<【解答】解：如图，因为AB AD >，所以点A 在BD 上的投影点H 靠近点D ，由翻折的性质，知点A '在底面的投影点在AH 所在的直线上，如图设为点O ，则A FO α'∠=，A EO β'∠=，A BO γ'∠=，A DO δ'∠=，由最大角原理知：γα<，δβ„，当且仅当D 与E 重合时，取到等号；而tan A O OB γ'=，tan A OODδ'=， 如图易得，OB OD >，所以tan tan γδ<，即γδ<； 又tan A OOFα'=，tan A O OE β'=，由图易得，OF OE >，所以αβ<； 综上可得：γαβ<<， 故选：B ． 二、填空题11．（6分）若复数1()z a i a R =+∈，21(z i i =+为虚数单位），则2||z =12z z 为纯虚数，则a 的值为．【解答】解：复数的概念与计算2||z =； 若12z z 为纯虚数，则121(1)101z z a a i a a =-++⇒-=⇒=， 1．12．（6分）中国古代数学专著《九章算术》有问题：“五只雀，六只燕，共重一斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重”，则雀重3219两，燕重 两． 【解答】解：设雀重x 两，燕重y 两，则互换后458x y y x +=+=， 解得：3219x =，2419y =，故答案为：3219；2419． 13．（6分）已知实数x 、y 满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩…„„，且可行域表示的区域为三角形，则实数m 的取值范围为 2m > ，若目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于 ． 【解答】解：作出可行域如图，则要为三角形需满足(1,1)B 在直线x y m +=下方， 即11m +<，2m >；目标函数可视为y x z =-，则z 为斜率为1的直线纵截距的相反数，该直线截距最大在过点A 时，此时1min z =-，直线:1PA y x =+，与:21AB y x =-的交点为(2,3)A ，该点也在直线:AC x y m +=上， 故235m =+=， 故答案为：2m >；5．14．（6分）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos cos 2cos a B b A C c +=，则C =3π；又23ABC S ∆=6a b +=，则c = ． 【解答】解：Qcos cos sin cos sin cos sin()1sin sin a B b A A B B A A B c C C+++===，2cos 1C ∴=，∴1cos 2C =， 0C π<<Q ，∴3C π=；Q 13sin 232ABC S ab C ∆===，8ab ∴=，又6a b +=Q （可消元求出边a 、)b2222212cos ()2(1cos )628(1)122c a b ab C a b ab C ∴=+-=+-+=-⨯+=，∴23c =故答案为：3π，2315．（4分）已知a ，b 均为正实数，则1(4)(2)a b ab++的最小值为 82 ． 【解答】解：Q 141(4)(2)28282882a b a b ab a b++=++++…当且仅当a =b故答案为：16．（4分）从1，2，3，4，5，6这6个数中随机取出5个数排成一排，依次记为a ，b ，c ，d ，e ，则使a b c d e +g g g 为奇数的不同排列方法有 180 种．【解答】解：（分类讨论：先选后排）若a b c g g 为奇数，d e g 为偶数时，有323336A A ⨯= 种； 若a b c g g 为偶数，d e g 为奇数时，有2334144A A ⨯= 种； 故a b c d e +g g g 为奇数的不同排列方法有共36144180+=种， 故答案为：180．17．（4分）已知||||(b c k k ==>r r ，0b c =r r g ，若存在实数λ及单位向量a r，使得不等式1|()||(1)()|12a b b c c b c λλ-+-++--rr r r r r r „成立，则实数k 的最大值为 ． 【解答】解：原题等价于1|()||(1)()|12mina b b c c b c λλ⎧⎫-+-++--⎨⎬⎩⎭rr r r r r r „．如图，1|()||(1)()|2a b b c c b c λλ-+-++--rr r r r r r1|[(1)]||[(1)]|||||2a b c c b c AP EP λλλλ=--++--+=+r r r r r r，(A 为单位圆上的点，a OA =u u u r r ，b OB =u u u r r ，c OC =u u ur r ，P 为BC 上一点，E 为OC 中点）， 由将军饮马模型，作E 关于BC 对称点E '，则(||||)||||1min AP EP E A OE '''+==-11==-，∴11k-⇒剟．∴实数k ．．三、解答题18．（14分）已知函数()sin()(0)f x x ωϕϕπ=+<<图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）若()y f x =的图象过1(0,)2，且部分图象如图所示，求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()y f x =是偶函数，将()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，得到()y g x =的图象，求函数22[()]()2xy f g x =+在[0,]2π上的最大值与最小值．【解答】解：由题意得，2T ππω==，所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+．（Ⅰ）由于1(0)2f =，则1sin 2ϕ=，又0ϕπ<<， 则56πϕ=，或6πϕ=（舍去），故5()sin(2)6f x x π=+． （Ⅱ）由于()sin(2)y f x x ϕ==+是偶函数，则(0)sin 1f ϕ==±， 又0ϕπ<<，所以2πϕ=，()sin(2)cos22f x x x π=+=，将()cos2y f x x ==的图象向左平移6π个单位长度，得到()cos(2)3y g x x π==+的图象， 故2213332[()]()2cos cos(2)1cos2cos221cos222322x y f g x x x x x x x xπ=+=++=++=+3113(cos2sin 2)13cos(2)26x x x π=+-=++． 因为[0,]2x π∈，72666x πππ+剟， 所以5()(0)2max f x f ==，5()()1312min f x f π==-．19．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AD =，1AB =，PA ⊥平面PCD ，且1PC PD ==，设E ，F 分别为PB ，AC 的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面PAD ；（Ⅱ）求直线DE 与平面PAC 所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 为平行四边形，F 是AC 中点， 所以F 是BD 中点，所以1//2EF PD ，因为EF ⊂/平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD ． （Ⅱ）解法一：（几何法）因为DE ⊂平面PBD ，平面PBD ⋂平面PAC PF =， 所以直线DE 与平面PAC 的交点即为DE 与PF 的交点，设为G ，1PC PD CD ===，所以PCD ∆为等边三角形，取PC 中点O ， 则DO PC ⊥，因为PA ⊥平面PCD ，所以平面PAC ⊥平面PCD ， 平面PAC ⋂平面PCD PC =，DO PC ⊥，所以DO ⊥平面PAC ， 所以DGO ∠是直线DE 与平面PAC 所成角，因为E ，F 分别为PB ，AC 的中点，所以G 是PBD ∆的重心，在Rt PAD ∆中，3PA =，所以2PB AC ==，在平行四边形ABCD 中，6BD =， 在PBD ∆中，4161cos 2214BPD +-∠==-⨯⨯，在PED ∆中，2511211cos 2DE EPD =+-⨯⨯⨯∠=，所以10DE所以2103DG DE ==，又因为3OD =，所以3sin 3020OD DGO DG ∠==，即直线DE 与平面PAC 所成角的正弦值为33020． 解法二：（向量法）取PC 中点O ，则1//2OF PA ，因为PA ⊥平面PCD ，所以OF ⊥平面PCD ， 因为1PC PD CD ===，所以PCD ∆为等边三角形， 所以OD PC ⊥，此时OD ，OF ，OP 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，1(0,0,)2P ，3(,0,0)D ，在Rt PAD ∆中，3PA =，所以3(0,,0)F ，由12FE DP =u u u r u u u r ，得331(,,)4E -，所以333(3,,)44DE =-u u u r ，平面PAC 的法向量为3(,0,0)OD =u u u r ，所以3cos ,3020||||DE OD DE OD DE OD 〈〉==-u u u r u u u ru u u r u u u r g u u ur u u u r g ， 所以3sin |cos ,|3020DE OD θ=〈〉=u u u r u u u r ，即直线DE 与平面PAC 所成角的正弦值为33020．20．（15分）已知等差数列{}n a 满足212a a =，459a a +=，n S 为等比数列{}n b 的前n 项和，122n n S S +=+．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设23,41,n n n na b n c n a ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，证明：123136n c c c c +++⋯+<．【解答】解：（1）（基本量法求等差等比通项）等差数列{}n a 的公差设为d ， 212a a =，459a a +=，可得112a d a +=，1279a d +=，解得11a d ==，可得n a n =；由122n n S S +=+得122n n S S -=+，2n …， 两式相减整理得12n n b b +=，可得公比12q =， 由11112()22b b b +=+，解得11b =，∴112n n b -=；（2）证法1:（应用放缩和错位相减求和证明不等式） 122331,,44211,,n n n n na b n n n c n n a n -⎧⎧⋅⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数， 123n n C c c c c =+++⋯+，1321k k A c c c -=++⋯+，242k k B c c c =++⋯+，0131321()4444k k k A --=++⋯+，2131321()44444k k k A -=++⋯+，两式相减整理得12311(1)331112132124(1)(1)14428244414k k k k k k k A -----=+++⋯+-=+--， 可得55110(2)3346k k A k =-+<， 又因为2(2)(21)(21)k k k >-+，∴222111*********()24(2)21335212126k B k k k =++⋯+<-+-+⋯-<=-+． 所以222111324(2)6k B k =++⋯+<，∴10313666n k k C A B =+<+=． 证法2:（应用放缩和裂项求和证明不等式） 令11()4n n d an b -=+，11214n n n n d d +--=-化简整理得：1841()394nn d n -=-+，∴1155110(2)3346k k k A d d k +=-=-+<，2222111111111221231223(1)n T n n n n=+++⋯+<+++⋯=-<⨯⨯-⨯，22221111111224(2)242n T n n =++⋯+<-<， 所以222111324(2)6k B k =++⋯+<，∴10313666n k k C A B =+<+=． 21．（15分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>过点(1,2)Q ，F 为其焦点，过F 且不垂直于x 轴的直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，动点P 满足PAB ∆的垂心为原点O ． （1）求抛物线E 的方程；（2）求证：动点P 在定直线m 上，并求PABQABS S ∆∆的最小值． 【解答】解：（1）(1,2)Q 代入22y px =解得1p =， 可得抛物线的方程为24y x =； （2）证法1:（巧设直线）证明：设:1l ty x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立24y x =，可得2104y ty --=，则有121244y y t y y +=⎧⎨=-⎩，可设2112:()x AP y y x x y -=--，即21344y y x y =-+，同理123:44y BP y x y =-+，解得(3,3)P t -， 即动点P 在定直线:3m x =-上，211221|||34|322||1|2|2||2PABQABAB d S d t t S d t t AB d ∆∆+====+…当且仅当t =时取等号．其中1d ，2d 分别为点P 和点Q 到直线AB 的距离． 证法2:（利用向量以及同构式）证明：设:1(0)l x my m =+≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立24y x =，可得2440y my --=，则有121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，21001(,)4y PA x y y =--u u u r ，222(,)4y OB y =u u u r ，又O 为PAB ∆的垂心，从而0PA OB =u u u r u u u r g ，代入化简得：20202304x y y y ++=，同理：20101304x y y y ++=，从而可知，1y ，2y 是方程200304xx y x ++=的两根，所以01200000012044333124y y y m x y mx y m x x y y x ⎧+=-=⎪=-=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-=-⎩⎩⎪==-⎪⎩，所以动点P 在定直线:3m x =-上，211221|||34|322||1|2|2||2PABQABAB d S d m m S d m m AB d ∆∆+====+…，当且仅当m =时取等号．其中1d ，2d 分别为点P 和点Q 到直线AB 的距离． 22．（15分）已知函数()f x alnx x b =-+，其中a ，b R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）使不等式()f x kx xlnx a --…对任意[1a ∈，2]，[1x ∈，]e 恒成立时最大的k 记为c ，求当[1b ∈，2]时，b c +的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）()1(0)af x x x'=->， 当0a „时，()0f x '<， ()f x ∴在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x '在(0,)+∞上单调递减，f '（a ）0=， ()f x ∴在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞单调递减；（Ⅱ）()(1)()f x xlnx a a lnx x xlnx bf x kx xlnx a k x x+++-++--⇒=厔． [1a ∈Q ，2]，[1x ∈，]e ，∴(1)1a lnx x xlnx b lnx x xlnx bx x+-+++-++…， 令21()()lnx x xlnx b lnx x bg x g x x x +-++-+-'=⇒=， 由（Ⅰ）()p x lnx x b ⇒=-+-在(1,)+∞上递增；（1）当p （1）0…，即1b =时[1x ∈，]e ，()0()0p x g x '⇒厖， ()g x ∴在[1，]e 上递增；()min c g x g ∴==（1）22b b c b =⇒+==．（2）当p （e ）0„，即[1b e ∈-，2]时[1x ∈，]e ，()0()0p x g x '⇒剟， ()g x ∴在[1，]e 上递减；∴2214()()[,2]min b b c g x g e b c b e e e e e++===⇒+=+∈++．（3）当p （1）p （e ）0<时，()p x lnx x b =-+-在上递增； 存在唯一实数0(1,)x e ∈，使得0()0p x =，则当0(1,)x x ∈时()0()0p x g x '⇒<⇒<．当0(x x ∈，)e 时()0()0p x g x '⇒>⇒>．∴0000000011()()min lnx x x lnx b c g x g x lnx x x +-++====+． ∴00000011b c lnx x lnx x x x +=++-=+．此时00b x lnx =-． 令11()()10()x h x x lnx h x h x x x-'=-⇒=-=>⇒在[1，]e 上递增，(1b ∈，01)(1,)e x e -⇒∈， ∴1(2,)b c e e+∈+．综上所述，4[2,2]b c e +∈+．。