相交线ppt

生活中常见的互相垂直的例子
例2 如图．直线AB、CD相交于点O， OE⊥AB于O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°， 求∠AOC、 ∠ EOF、 ∠ COF的度数． E 解: 因为AB⊥OE （已知） D
所以 ∠EOB=90°(垂直的定义) 因为∠DOE= 50° （已知） B A O 所以 ∠DOB=40°(互余的定义) C F 所以∠AOC= ∠DOB=40°（对顶角相等） 又因为OB平分∠DOF 所以∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义） 所以∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130° 所以∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100° (邻补角定义)
随堂练习
1．判断
（1）有公共顶点且相等的两个角是对顶 角．（ × ） （2）两条直线相交，有两组对顶角．（ √ ）
2．如右图直线AB、CD交于点O，OP为 射线，那么（ C ）
A．∠AOC和∠BOC是对顶角 B．∠BOC和∠AOP是对顶角 C．∠BOC和∠AOD是对顶角
D．∠AOC和∠DOP是对顶角 C B O A P D
因为OP平分∠BOC， 所以∠BOP=
1 2
1 2∠AOD
= ×126°
＝63°.
生活中的垂线
生 活 中 的 垂 线
C 当∠BOD＝90°时．
90° ； ∠AOD＝_______
A O
B
90° ； ∠AOC＝_______
90° ； ∠BOC＝_______
D
此时我们说，AB与CD互相垂直．
C
新课导入
生 活 中 的 相 交 直 线
生 活 中 的 相 交 直 线
知识要点
相交线的定义
2
O ●
3 4
二线四角图
1
有一个公共点的两条直线形成相交直线．
请你画出任意两条相交直线，看看这 四个角有什么关系?
两条相交直线形成的小于平角的角有几个?
如图1所示，∠1与∠2有什么特点？
A
2 1
3 O 4
D
B
C ∠1与∠2有一条公共边OA，它们的另一 边互为反向延长线．
知识要点
邻补角
如果两个角有一条公共边，它们的另一边 互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角．
A 1 2 O 4 D 3 B
C
图中互为邻补角的有：∠1与∠2， ∠2与∠3， ∠3与∠4， ∠1与∠4．
判断两个角是不是邻补角：
（1）有一个公共顶点； （2）有一条公共边．
特
征
课堂小结 性 相 同
质
点
不 同 点
①两条直线相 对顶 ①都是两条 ①有无公共边 交形成的角； 直线相交而 角相 ②有公共顶点; 成的角； 等 ②两直线相 ③没有公共边 ②都有一个 交时，对顶 ①两条直线相 公共顶点； 角只有两对 交而成； 邻补 邻补角有四 ②有公共顶点; 角互 ③都是成对 对 ③有一条公共 补 出现的 边
C
判断两个角是不是对顶角：
（1）两个角是由两条直线相交而形成的 （由两条直线相交保证了所形成的角有公 共顶点）；
（2）两个角的两边无公共边．
下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？
1
1
1
2
2
2
A
1 C
2 O 4
D 3 B
A
2 O
D
O 4 B
C
对顶角是成对出现的．上图中，∠2和∠4它们 是相互的，∠2是∠4的对顶角， ∠4是∠2的对顶 角，而单独的一个∠2或一个单独的∠4都不能叫 对顶角．
一对邻补角一定互补吗？ 一对互补的角一定是邻补角吗？ A 2 O 4 D A 1 B C O C O 4
1
C
3
B
图中，∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4，∠1 和∠4都是邻补角，它们是相互的、成对出现的， 如∠2是∠3的邻补角，∠1是∠4的邻补角，单独的 一个∠1或单独的一个∠4都不能叫邻补角．
下列图中∠1、∠2还是邻补角吗？
m
图中m与n互相垂直， 其 中，m叫n的垂线， n叫m的 垂线，垂足为O．
┓
n
O
垂直的表示：
用“⊥”和直线字母表示垂直
m ┓ O n
例如，如图，m、n互相垂直， 垂足 为O，则记为： m⊥n或n⊥m．
若要强调垂足，则记为：a⊥b， 垂足为O．
垂直的书写形式：
A
O
D
如图，当直线AB与CD相交于O点， ∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O．
书写形式1：
因为∠AOD=90°（已知） 所以AB⊥CD（垂直的定义）
C
B
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那 么，∠AOD=90°． 书写形式2：因为AB⊥CD （已知） 所以∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
判断两条直线互相垂直的关键：
只要找到两条直线相交时四个交角 中一个角是直角．
1
2
1
2
1
2
如图1所示，∠1与∠3有什么特点？ A
1 C
2 O 4
D
3 B
∠1与∠3是直线AB与CD相交得到的， 它们有一个公共顶点O，没有公共边．
知识要点
对顶角
如果一个角的两边是另一个角的两边的反向 延长线，那么这两个角互为对顶角． A
右图中互为对顶角的为：
1
2 O 4
D 3 B
∠1与∠3； ∠2与∠4．
3．如图，直线a，b相交于点O，若∠1＝ 40°，则∠2＝（ D ）
A．60°
B．100° C．120°
D．140°
1
O
2
a
b
2．直线AB、CD交于点O，OP是∠BOC的 平分线，已知∠AOC=54°．求∠BOP的度数． P B 解： 由邻补角的定义可得： C ∠BOC＝180°－∠AOC ＝180°－54° O A ＝126°； D
2 组对顶角． 两条直线相交，有____
6 组对顶角． 三条直线相交于一点，有____
12 组对顶角． 四条直线相交于一点，有____
n（n－1）组对顶角． ｎ条直线相交于一点，有_________
A
1 C
2 O 4
D 3 B
∠1与∠2互补， ∠2 与∠3互补
∠ 1＝ ∠ 3 ∠2＝∠4
（同角的补角相等）
当∠BOD＝α°（ α≠90°）时． ∠AOD＝（ 180－ α ）° ∠AOC＝（ α ）° A ∠BOC＝（ 180－ α ）°
O
B
D
当α ≠90°时，AB与CD不垂直，此时我们说 AB与CD斜交．
两条直线相交
斜交
垂直——相交的特殊情况
┓
知识要点
垂直
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角 是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫 另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．
对顶角相等．
知识要点
对顶角性质
对顶角相等.
例：如图所示，直线m，n相交， ∠1＝60°，求∠2，∠3，∠4的度数．
解：由邻补角的定义，可得：
来自百度文库∠2＝180°－∠1
＝180°－60° ＝120°；
1 4
2 3 m n
由对顶相等，可得：
∠3＝∠1＝60°， ∠4＝∠2＝120°．
角的 名称 对 顶 角 邻 补 角