2013年中考数学解题方法及提分突破训练：配方法专题

解题方法及提分突破训练：配方法专题

把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．

配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．

运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．

一 真题链接

1. （2011湖北荆州，3，3分）将代数式x 2+4x-1化成（x+p ）2+q 的形式（ ）

A 、（x-2）2+3

B 、（x+2）2-4

C 、（x+2）2-5

D 、（x+2）2+4

2.（2011辽宁本溪，4，3分）一元二次方程2104

x x -+=的根（ ） A ．1211,22

x x ==- B ．122,2x x ==- C ．1212x x ==- D ．121

2x x ==

3. （2011甘肃兰州，10，4分）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）

A ．2(1)6x +=

B ．2(2)9x +=

C ．2(1)6x -=

D ．2

(2)9x -= 4. （2011江苏南京，19，6分）解方程x 2﹣4x +1=0．

二 名词释义

把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式2222()

a a

b b a b ±+=±可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b

c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了

另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．

例 解方程2210x x +-=．

解：方程两边都除以2，得21022x x +-=，移项，得2122

x x +=， 配方，得2111216216x x ++=+，即219416x ⎛⎫+= ⎪⎝

⎭．开方，得12112x x ==-，．

通过本例可以归纳出用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：

1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；

2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式；

4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解． “配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．

三 典题示例

1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用

在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。

例1、求二次根式322+-a a 中字母a 的取值范围

分析：根据二次根式的定义，必须被开方数大于等于零，再观察被开方数可以发现可以利用配方法求得。 解：2)1(2)12(32222+-=++-=+-a a a a a

因为无论a 取何值，都有0)1(2≥-a 。

所以a 的取值范围是全体实数。

点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。

2．配方法在化简二次根式中的应用

在二次根式的化简中，也经常使用配方法。

例2、化简526- 分析：题中含有两个根号，化简比较困难，但根据题目的结构特征，可以发现526-可以写成2)15(1525-=+-，从而使题目得到化简。 解：15)15(152)5(1525526222+=+=++=++=

- 点评：b a 2+的题型，一般可以转化为

y x y x +=+2)(（其中⎩⎨⎧==+b

xy a y x ）来化简。 3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用

在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。

例3、不管x 取什么实数，322

-+-x x 的值一定是个负数，请说明理由。

分析：本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒小于0，说明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式。

解：2)1(31)12(3)2(322222---=-++--=---=-+-x x x x x x x

∵0)1(2≤--x ，∴02)1(2<---x 。

因此，无论x 取什么实数，322-+-x x 的值是个负数。

点评：证明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式来证明。

例4、不管x 取什么实数，522++x x 的值一定是一个正数，你能说明理由吗？ 分析：要证522++x x 一定是一个正数，只要把它化为“2a +正数”的形式即可。 解：4)1(4)12(52222++=+++=++x x x x x

∵0)1(2≥+x ，∴04)1(2>++x

因此，不管x 取什么实数，522++x x 的值一定是个正数。

点评：证明一个二次三项式恒大于0的方法是通过配方将二次三项式化成 “2

a +正数”的形式来证明。

4．配方法在解某些二元二次方程中的应用

解二元二次方程，在课程标准中不属于考试内容，但有些问题，还是可以利用我们所学的方法得以解决。

例5、解方程052422=+-++y x y x 。

分析：本题看上去是一个二元二次方程的问题，实质上它是一个非负数问题。

解：由052422=+-++y x y x 整理为 0)12()44(22=+-++++y y x x

0)1()2(22=-++y x

∵0)2(2≥+x ，0)1(2

≥-y ，∴02=+x ，01=-y ，

∴2-=x ，1=y 。 点评：把方程05242

2=+-++y x y x 转化为方程组⎩⎨⎧=-=+0102y x 问题，把生疏问题转化为熟悉问题，体现了数学的转化思想，正是我们学习数学的真正目的。

5．配方法在求最大值、最小值中的应用

在代数式求最值中，利用配方法求最值是一种重要的方法。可以使我们很跨求出所要求