第七讲矩形波导

2 a

2


1 b

2
七、TE10波单模存在条件
十分明显，第二模式是λc20=22. 86mm。因此， 单模传输
22.86mm＜＜45.72mm
6.55GC
＜f＜13.10GC
(14-6)
H 20
H01 H ,E
11 11
H 30
H ,E 21 21
H 10
? 单 模
c
2

m
2


n
2
a b
六、矩形波导中的简正波
传输模
e jz
E
2
＜cmn
2
1




c
0
z
雕落模
＞cmn
e z
2 c
1


c

2
六、矩形波导中的简正波
注意到雕落模(也称截止模)，它是一种快速衰 减的振荡模式。也就是说，在不同的z处，有同一相 位。
m
a
x
cos
n
b
y ez
Ez 0

H
x



k
2 c
m
a
H
0
sin
m
a
x
cos
n
b
y ez
H y


k
2 c
n
b
H
0
cos
m
a
x
sin
n
b
y ez
通过对偶可得到TM波的解：
(12-20)
任何情况的可能解，只能在简正波中去找，具 体场合所不同的仅仅是比例和组合系数，事实上， 这样就把求复杂场函数的问题变换成求各个模式的 系数。
三、矩形波导的解
这种思想，最早起源于矢量分析，任何空间矢量
方向与大小均 不相同，但是
建立x，y，z
坐标系之后，
z
(x,y,z) r
任一(三维)矢 量即归结为三
六、矩形波导中的简正波
Maxwell 方程通解
矩形波导 TTM Emmnn波 波
传输波 雕落波
六、矩形波导中的简正波
矩形波导的求解是典型的微分方程法，通解表明： 在z方向它有广义传输线功能，即是入射波和反射波 的迭加；在xy方向由于边界条件限制形成很多分立的 TEmn波(Ez=0)和TMmn波(Hz=0)。在物理上称之为离 散谱。有限边界构成离散谱。
则矩形波导的横向解是

2
H (x,
x 2
y)


2
H (x,
y 2
y)


k
2 c
H
(x,
y)
y
(12-17)
z
b x
em
a
0
图 12-2 矩形波导坐标系
二、矩形波导的横向解
再令H(x，y)可分离变量，即H(x，y)=X(x)Y(y)
1 X
2X x 2

1 Y
2Y y 2


k
2 c
(12-19)
下面的主要任务是利用边界条件确定kx，ky，和kc。 请注意：H0与激励强度有关。
二、矩形波导的横向解
根据横向分量可以用纵向分量表示，有
Ex
j Hz kc2 y
H0
j
k
2 c
ky
cos( k x
x

x
)sin(k y
y

y
)ez
Ey
j Hz
k
kx

m
a
,
m整数
ky

n
a
,
n整数
三、矩形波导的解
最后得到TE波的解
Hz

H0
cos
m
a

cos
n
b

e
z
Ex


j
k
2 c
n
b
H
0
cos
m
a
x
sin
n
b
y ez
Ey


j
k
2 c
m
a
H
0
sin

a
x e jz
Hx

j
k
2 c


a

H
0
sin

a
x e jz
Hz

H0
cos

a
x
cos(t

z)
Ey


k2


a

H
0
sin

a
x sin(t

z)
Hx



k
2 c


a

H
0
sin

EHzz

E(x, y)Z(z) H (x, y)W (z
)
且
2


2 t

2 Z 2
(12-3) (12-4) (12-5)
一、矩形波导的求解思路
Leabharlann Baidu
代入可知
t2E(x, y) E(x, y)

1 Z(z)

2Z (z)
z2

k2

0
(12-6)
由于其独立性，上式各项均为常数

第七讲
矩形波导
波导的一般解采用纵向分量法，其流图如下所示， 上式也称Helmholtz方程
出发点 无源区中 Maxwell 方程
支配方程 2E k2E 0 2H k2H 0
纵向分量方程 2Ez k2Ez 0 2Hz k2Hz 0
图 7-1 波导一般解流图
2 c
x
H0
j
k
2 c
kx
sin( k x
x

x
)cos(k y
y

y
)ez
二、矩形波导的横向解
边界条件
x=0， x=a， Ey=0 y=0， y=b， Ex=0
x 0, Ey 0, 可得x 0 x a, Ey 0, 可得kxa m
y 0, Ex 0, 可得 y 0 y a, Ex 0, 可得k y a n
1

0

H H
x y

kc2

0
j
0
j
0
0
j

j
0


x Ex y


0
0



Hx x Hx

y
注意到Ez和Hz的横向函数要依赖具体的边界条件。
还令每项都是常数(Constant)，可得
1 X
2X x 2


k
2 x
1 2Y Y y 2


k
2 y
k
2 x

k
2 y

k
2 c
(12-18)
二、矩形波导的横向解
一般可写出： X Acos(kx x x )
总的可写出
Y Bcos(ky y y )
Hz H0 cos(kx x x )cos(k y y y )ez
m—x方向变化的半周期数； n—y方向变化的半周期数。 矩形波导中TE波和TM波的全部集体构成简正波。
六、矩形波导中的简正波
简正模(或简正波)理论包含三个方面： 1. 完备性 矩形波导中不论放置什么障碍物和边界条件，它
们里边存在的是TEmn和TMmn模式，而且，它们也只 能存在TEmn和TMmn模式，具体情况所不同的仅仅是 各种模式的比例与组合。
TE10波单模存在条件是
cmn ＜＜c10
(14-2)
其中，λc10=2a，次最大的λcmn将与a/b之比值有关。
七、TE10波单模存在条件
对于标准波导 a / b 2.2
(14-3)
在这种情况下 cmn
2a m2 4.84n2
(14-4)
其中，m，n取任意正整数，显然，对式(14-4)，
三、矩形波导的解
其中，
k
2 c

k
2 x

k
2 y


m
a

2


n
b
2
(12-21)
上面称为TEmn波
m——表示x方向变化的半周期数
(即小→大→小)
n——表示y方向变化的半周期数。
三、矩形波导的解
关于简正波的讨论：
以矩形波导为例，尽管在z方向它们只可能是入
射波加反射波(即还是广义传输线)，但是由于横向 边界条件它们由 TEmn和TMmn波组成并且它们只能由 TEmn和TMmn波组成(后者，我们称之为完备性)，矩形 波导中这些波的完备集合——即简正波。
1 Z(z)

2Z (z)
z2


2

t2
E
(
x,
y)
E(x, y)

kc2

0
(12-7)
kc2 2 k 2
Ez E(x, y)ez
H z

H (x,
y )e z
一、矩形波导的求解思路
并有
Ex
Ex

Ey


Hx
图 12-4 TE10波场结构
五、TE10波的参数
(1) TE10波的截止特性
截止波数 截止波长
kc2

k
2 x

k
2 y


m
a
2



n
b
2



a
2

c

2
kc
2a
截止频率
fc

kc
2

a
2
1
2a
c c
2a
(4)群速υg
C ＞C
1



2a

2
g

c2
p
c
1



2a

2
＜C
(12-25) gp C2
五、TE10波 的参数
(5)波型阻抗

Et Ht

Ey Hx

0

g



1

1



2a

2
(12-29)
注记：在TE10波各参数中唯独波型阻抗要特别讨论。
六、矩形波导中的简正波
2. 正交性
简正模中各个模式是相互正交的，也就是说， 它们之间没有功率和能量交换，即各模式相互独立， 在Fourier分析中表明


a sin m
0 a
x
scions
l
a
x dx

0



b sin n
0 b
y scions
0
y
个系数
x
r

xi

yj

zk
图 12-3 Vector Analysis
四、TE10波
矩形波导中频率最低模式，也即我们要工作的传输
主模式即TE10波，m=1，n=0，若传播常数无耗γ=jβ。
Hz

H0
cos

a
x e jz
Ey


j

k
2 c


a

H
0
sin
p
b
y dy 0
ml m p
(14-1)
这就保证了每一模的独立性。
六、矩形波导中的简正波
3. 传输模和雕落模
由于频率的选择，每一种模都有可能成为传输模 或雕落模。
截止波数
kc
k
2 x

k
2 y

m
2

n
2


2
a b
截止波长
二、矩形波导的横向解
在矩形波导中存在TE和TM两类波，请注意矩形波
导中不可能存在TEM波(推而广之，任何空心管中都不 可能存在TEM波)。
这里以TE波为例作出讨论，即Ez=0，对于纵向分
量只须讨论Hz，计及

2 t

2 x 2

2 y 2

2 t
H
(
x,
y
)
H (x, y)

k
2 c

0
二、矩形波导的横向解
取m=2，n=0比n=1，m=0的λc要大。因此，除TE10波 之外，第二模是20模
此时TE10波单模存在条件是： a＜＜2a (14-5)
七、TE10波单模存在条件
［ 例 1 ］ BJ-100 波 导 ， a×b=22.86×10.16mm2， 求 单 模传输的波长范围和频率范围。 ［解］已经知道单模传输条件是
五、TE10波的参数
(2)波导波长λ g
g
=
1

c
2
＞
1



2a
2
设传播常数
2 g



2

2


2 c

2


2 g

2
(12-24)
五、TE10波的参数
(3)相速υp
p
工 作 区
截
止 区 域
10 2图0 1340-140 50mm
八、高次模
对于矩形波导用作传输线时，TE10波是主模，传 输模。其它模式都是高次模，雕落模。在均匀波导中 不出现任何高次模，但是一旦波导中有不均匀性，则 在不均匀性周围就有高次模存在。
其它分量用
Ez , H , 表示
Ex f1Ez , H
Ey

f2 Ez , H
Hx

f3Ez , H

H
y

f4 Ez , H
一、矩形波导的求解思路
1. 纵向分量方程
2 E

2
H
z z

k 2Ez k2Hz
0 0
假定Ez(或Hz)可分离变量，也即
当然，雕落模式没有功率和能量传播。 当模式不同，但却有相同的kc，我们称为简并模 式。最后显示的是TEmn和TMmn是简并(Degeneration) 的。
七、TE10波单模存在条件
当b<a时，m=1，n=0的λc最大。(或者说fc最低)
TE10波——称为矩形波导的主模(或者优势模)， 在绝大多数传输的应用场合我们都希望只传输TE10 波，而其它模式都成雕落模而不传输。
a
x sin(t
z)
四、TE10波
场结构的画法上要注意： •场存在方向和大小两个不同概念，场的大小是以 力线密度表示的 •同一点不能有两根以上力线 •磁力线永远闭合，电力线与导体边界垂直 •电力线和磁力线相互正交
x
四、TE10波
yy
x
b
xa
00 Ey
z
0
z
xa
00
z H
0
z
0 Hz
λcmn＜λ＜2a
c10 2a 45.72mm c20 a 22.86mm c01 2b 20.32mm
七、TE10波单模存在条件
c11
2
18mm

1 a
2


1 b
2
c 30

2a 3
15.25mm
c21
2
15.10mm