《电路分析》二阶电路教案

dp2 d ( p2 p1)
dp2
U0 (e p1t p1te p1t ) U0et (1 t)
iL
(t)
C
duC dt
U0 L
tet
tm
1
3)临界阻尼时的响应曲线
U0
I0
uC(t )
iL(t )
O 1/
t
临界阻尼情况的响应曲线
3、欠阻尼情况
1)欠阻尼的条件
当
R
2
1 ，即R 2
L
2L LC
C
R（2 4L
C
）
时，p1、p2为一对共轭复数，其实部为
负数。
此时固有频率为不相等的负实数。
2)欠阻尼时的响应
令： R 2L
2
1
R
2
LC 2L
则微分方程的特征根：
p1 j
p2 j
与 及 0之间存在三角关系：
0 2 2 0
arctg
0 cos
uR
Ri
RC
duC dt
uR
L
di dt
LC
d 2uC dt 2
所以，电路方程为：
LC d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
三、二阶电路微分方程的求解
方程
LC d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
的特征方程为: LCp 2 RCp 1 0
特征根为：
p R
R
2
1
2L 2L LC
p2 p1
3)过阻尼时的响应曲线
U0
uC(t ) I0
iL(t )
O
tm
t
非振荡放电过程的响应曲线
2、临界阻尼情况
1)过阻尼的条件
当
R
2
1
，即 R 2
L （R 2
L）
2L LC
C
C
时，p1、p2为相等的负实数。
此时固有频率为不相等的负实数。
2)临界阻尼时的响应
当特征根为相等的负实数时，方程 的解的形式为:
解出 A1,A2
得出:
uC (t)
U0 p1 p2
( p1e p2t
p2e p1t )
iL (t) C
duC dt
CU0 p1 p2 p1 p2
(e p1t
e p2t )
U0
(e p1t e p2t )
L( p1 p2 )
diL dt
p1e p1t
p2e p2t
0
tm
p1
1
p2
ln
其中：
p1
R 2L
R
2
1
2L LC
R p2 2L
R
2
1
2L LC
•由特征根的性质（不等的实数、相等的实
数或共轭的复数）确定通解的具体形式。
•再据电路的初始条件即可得出通解中的待 定系数。
四、二阶电路特征根的讨论
1、过阻尼情况——非振荡放电过程
1)过阻尼的条件
当
R 2L
2
1 LC
+ (d)
二、二阶电路的微分方程
uC (0 ) uC (0 ) U 0
iL (0 ) iL (0 ) 0
S（t=0）
R
iL( t )
+
+ uL(t) -
+
uC(t)
uL(t)
_
_
i
R、L、C 串联的二阶电路
列写电路方程为 uC uR uL 0
其电路电流为： i C duC
dt
因此：
第七章 二阶电路
❖ 重点： 1．电路微分方程的建立 2 ．特征根的重要意义 3 ．微分方程解的物理意义 ❖ 难点： 1 ．电路微分的解及其物理意义 2 ．不同特征根的讨论计算
7.0 知识复习
一、二阶齐次微分方程的通解形式
ay''by'c 0
其特征方程为：
ap 2 bp c 0
特征根：
b b2 4ac
U0 uC(t ) U 0 0 e t
O
-
2
t
iL(t )
振荡放电过程的响应曲线
3)无阻尼的情况
无阻尼情况是欠阻尼的一种特殊情况。
当 R 0 时， 0， 0
，
1， LC
2
此时的响应为：uC
(t)
U0
s in (0 t
) 2
iL
(t)
U0 0 L
sin
0t
U
0
C L
sin 0t
•由此可见，u(t)i(t)和均为正弦函数， 电路的响应为等幅振荡响应，称为系统 的固有频率；
0 sin
根据欧拉公式：
e j cos j sin
e j cos j sin
e e j(t )
j (t )
sin(t )
j2
cos(t ) e j(t) e j(t) 2
可将特征根写为：
p1 0e j， p2 0e j
因此：
uC (t)
U0 p1 p2
uC (t) ( A1 A2t)e pt
其中：
R p1 p2 p 2L
非振荡放电过程的解为：
u *C
(t)
U0 p1 p2
( p1e p2t
p2e p1t )
令：p1
p2
p
Fra Baidu bibliotek
R 2L
取极限，根据罗必塔法则：
d ( p1e p2t p2e p1t )
uC (t)
U0
lim
p2 p1
dt
， duC
I0
dt t 0
C
，
且电路的初始条件 iL (0 ) I 0 ，
有
uC (0 ) U 0
同时
iL (0 ) iL (0 ) 0
i C duC dt
, duC
I0 0 0
dt t 0
C
C
初始条件为： uC (0 ) U 0
du C
0
dt t 0
代入: uC (t) A1e p1t A2e p2t
p1,2 2a
4a
当特征方程有不同的实根p1、p2时:
y A1e p1t A2 e p2t
当特征方程有相同的实根p时:
y ( A1 A2t)e pt
当特征方程有共轭的复根 p1,2 j :
y e( j)t et ( A1 cos t A2 sin t)
二、欧拉公式
e j cos j sin
( p1e p2t
p2 e p1t )
U0 j2
0 e j e ( j)t
e e j ( j)t 0
U 00
e t
e j(t )
e j (t ) j2
U 00 e t sin(t )
iL
(t)
iC
(t)
C
duc (t) dt
U0 L
e t
s in t
3)欠阻尼时的响应曲线
，即
R
2
L （R2 4L
C
C
）
时，p1、p2为不相等的负实数。
此时固有频率为不相等的负实数。
2)过阻尼时的响应
当特征根为不相等的实数时，方程的 解的形式为:
uC (t) A1e p1t A2e p2t
其中：
p1
R 2L
R
2
1
2L LC
R p2 2L
R
2
1
2L LC
而 i C duC
e j cos j sin
e e j(t )
j (t )
sin(t )
j2
cos(t ) e j(t) e j(t) 2
7.1 二阶电路的零输入响应
一、二阶电路中的能量振荡
理想二阶电路-----即R=0，无阻尼情况
+ U0
C
L
_
(a)
-
i
C
L
(b)
C
L
i (c)
_
C
L
U0