全微分和热力学

2014届本科毕业论文

全微分与热力学

姓名：高盼

系别：物理与电气信息学院

专业：物理学

学号：100314015

指导教师：王保玉

2014年2月9日

目录

摘要与关键字................................................................ II

0 引言....................................................... 错误!未定义书签。

1 全微分函数的基本性质....................................... 错误!未定义书签。

2 热力学基本方程及辅助热力学方程 (3)

2.1 物态方程 (3)

2.2 态函数内能U和熵S (4)

2.3 热力学基本微分方程 (5)

3 内能、焓、自由能及吉布斯函数的全微分和麦克斯韦关系 (5)

4 麦克斯韦关系的简单应用 (7)

4.1 熵的一般关系式 (7)

4.2 内能的一般关系式 (9)

4.3 焓的一般关系式 (10)

4.4 定压比热与定容比热的关系 (13)

摘要............................................................................................................................................................ II 关键词............................................................................................................................................................ II 参考文献. (14)

致谢 (15)

全微分与热力学

摘要

基本热力学状态函数及其辅助函数许多都是不可测量，必须将它们与可测量联系起来才便于确定，但数学推导过于复杂。本文从四个热力学基本方程出发, 利用函数全微分性质，对比研究可得出八个对应系数关系式，再对其二次微分得出四个麦克斯韦关系式，方便对热力学系统进行研究。

关键词

热力学基本方程；全微分；麦克斯韦关系；不可测量；可测量；热力学系统

Total differential and thermodynamics

Abstract

Many basic thermodynamic state function and the auxiliary function are measured, they must be linked with measurable just easy to determine, but the mathematical deduction is too complex.In this paper, in four fundamental equations of thermodynamics, the total differential properties, functions comparative study can be concluded that eight corresponding coefficient relation, again the second time differential draw four maxwell's equation, is convenient to study thermodynamics system.

Key words

The thermodynamic basic equations; Total differential; Maxwell relations; Immeasurability; Measurability; Thermodynamic system

0 引言

热力学是研究热能与其他形式能量的转换规律的科学，着重阐述工质的热力学性质、基本热力

过程以及热工转换规律，最终找出提高能量利用效率的方法，从而促进为人类文明的进步。[1]

热力学函数全微分关系式的推证，是要把热力学体系不易测量的热力学函数的全微分用实验易于测量的物理量如P 、V 、T 、S 、等温膨胀系数、等温压缩系数、等体热容、等压热容等表示出来，这样就可

以研究热力学系统求解实际问题了，如工质的性质、最大功的计算等。[2]

在这方面已有许多教材和报告给出证明，但是其中的数学推导步骤过于复杂，对于初学者来说很难接受。我作为一个学生，站在学生的角度，在在不失科学性的前提下，用尽量简单的数理知识总结出“四-八-四”关系式，通过此式，同学们不仅轻松接受，而且对热力学基本方程及其完整的微分性质有更加清晰的理解。此外熵、内能和焓的一般关系式中均含有定压比热或者定容比热，定压比热的测定较易，因此我们要设法找到两个比热的关系，从而由定压比热计算出定容比热，以避开实验测定定容比热的困难，最后根据利用“四-八-四”关系式导出基本热力学函数，就可以对热力学系统进行研究了。

1全微分函数的基本性质

设函数(,)z f x y =在点(,)x y 的某邻域内有定义，如果函数在点(,)x y 的全增量

z (,)(,)f x x y y f x y ∆=+∆+∆- 可以表示为 z ()A x B y O ρ∆=∆+∆+

其中A 、B 不依赖于y x ∆∆、而仅与y x 、有关，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微分，而

x A B y ∆+∆称为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记作dz 即

z y x z z d dx dy x y ⎛⎫∂∂⎛⎫

=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭[3]

状态函数的全微分性质状态参数，当我们强调它们与独立变量的函数关系时，常称它们为状态函数。从数学上说，状态函数必定具有全微分性质。这一数学特性十分重要，利用它可导出一系列

很有实用价值的热力学关系式。下面我们扼要介绍全微分的一些基本定理。

[4]

设函数),(y x f z

=具有全微分性质

z y x

z z d dx dy x y ⎛⎫∂∂⎛⎫

=+ ⎪ ⎪

∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 则必然有

（1） 互易关系

令式（1）中

()1,y z f x y x ∂⎛⎫

=

⎪∂⎝⎭， ()2,x

z f x y y ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭