第3章)傅里叶变换的性质
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f 1 ( t ) F1 ( j ) f 2 ( t ) F2 ( j )
频域卷积定理 若 则
式中
F1 ( jω) F2 ( jω) F1 ( jη )F2 ( jω jη )dη
1 f1 ( t ) f 2 ( t ) F1 ( j ) F2 ( j ) 2
序求它们的 傅里叶 变换。
f ( t 3) F ( j )e j 3 根据时移特性：
根据尺度变换，令 a 2 ，得 1 j 3( 2 ) 1
2 F ( j 2 )e 2
f ( 2t 3)
F ( j
2Biblioteka Baidu
)e
j
3 2
再由频移特性得:
e
j 4t
1 4 f ( 2 t 3 ) F ( j )e 2 2
j
3 ( 4 ) 2
五、 对称性
若
f ( t ) F ( j )
F ( jt ) 2f ( )
1 f (t ) F ( j )e j t d 2
，得
则
证明: 傅里叶逆变换式
将上式中的自变量
t 换为 t
1 f ( t ) F ( j )e j t d 2 将上式中 t 的换为 ，将原有的 换为 t ，得
表示时域与频域之
间的对应关系，即
F ( j ) ℱ f t f (t )e
j t
dt
1 j t f (t ) F ( j )e d 2
一、 线性
若
f 2 ( t ) F2 ( j ) 则对于任意常数 a 1 和 a 2
f 1 ( t ) F1 ( j )
F j
1
-2/
2
2/
0
f at 1
t
2
1
0
Fj 3 3
3
6 0 6
t
6
0
6
a3
图 3.3-2 尺度变换
证明： f ( t ) F ( j ) ，则展缩后的信号 f (at ) 的傅里叶 设 变换为:
ℱ [ f (at )]
f t e
j 0 t
f t e
j 0 t
频移特性在各类电子系统中应用广泛，如调幅，同步 解调等都是在频谱搬移基础上实现的。实现频谱搬移
的原理如下图所示：
) 它是将信号 f (t（常称为调制信号）乘以所谓载频信号
cos( 0 t ) 或 sin( 0 t ) ，得到高频已调信号 y(t )，即
a
函数也增大
a 倍）；
a
a
2、可加性 它表明，几个信号之和的频谱函数等于各个信
号的频谱函数之和。
例 求阶跃函数的频谱
1 1 (t ) sgn(t ) 2 2 对上式两边进行傅里叶变换，得 :
ℱ [ (t )] ℱ
1 [ ] 2
ℱ
1 [ sgn(t )] 2
1 1 [ ( t )] ( ) ( ) j ( ) ℱ j
二、 时移特性
时移特性也称为延时特性。它可表述为若 f (t ) F ( j ) 且 t 0 为常数，则有:
f (t t0 ) e e
j t0
j t0
F ( j )
j t 0
F ( j ) F ( j ) e
上式表示，在时域中信号沿时间轴右移（即延 时 t 0 ），其在频域中所有频率“分量”相应 落后一相位 t 0 ，而其幅度保持不变。
1 t
2 2 sgn( ) 2 sgn( ) jt
根据线性性质，时域频域分别乘以
1 j 得： 2
1 j sgn( ) t
六 、卷积定理
时域卷积定理
若
则
f 1 ( t ) F1 ( j ) f 2 ( t ) F2 ( j )
f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( j ) F2 ( j )
a
f (at )e
a
j t
dt
x at 当a 0 时
令
，则 t x , dt 1 dx ,
ℱ
[ f ( at )]
f ( x )e
j
x a
1 dx a
x
1 f ( x )e a 1 F( j ) a a
j
a
dx
当a0 时:
1 F( j ) a a
则对于实常数 a (a 0) ，有 f (at )
上式表明，若信号 f (t ) 在时间坐标上压缩到原来 1 的 ，那么其频谱函数在频率坐标上将展宽
1 倍，同时其幅度减小到原来的 a
a
a
,称为尺度变换
特性或时域展缩特性。
如果信号既有时移又有尺度变换则有：
a
1 f ( at b ) e F( j ) a a 和 b 为实常数，但 a 0 .
第三章 连续信号与系统的实频域分析
主讲人：史洪宇
复习
1、傅里叶变换——非周期信号的频谱 2、几种常用的非周期信号的频谱
3.3 傅里叶变换的性质
任一信号可以有两种描述方法： 时域的描述 频域的描述 本节将研究在某一域中对函数进行某种运算，在另一 域中所引起的效应。 为简便，用
f ( t ) F ( j )
则：
2 g 2 ( t ) 2 Sa ( )
)
取 2 1 ，即 2
1 g 2 ( t ) Sa ( ) 2
根据傅里叶变换的对称性质:
Sa ( t ) 2 1 g2 ( ) g2 ( ) 2
Sa ( t )
, g 2 ( ) 0,
证明：若 f (t ) F ( j ) ，则延迟信号的傅里叶变换为 令 x t t 0 ，则上式可以写为
ℱ [ f (t t0 )]
f ( t t 0 )e
j t
dt
ℱ
[ f ( t t 0 )]
f ( x )e
j t0
j t0
j b a
显然，尺度变换和时移特性是上式的两种特殊情况， 1 当 b 0 时得 f (at ) F ( j ) ，当 a 1 时得 a a
f (t t0 ) e
j t0
F ( j )
f ( t ) F ( j ) F ( j )
f t g t
g t
1
- /2
2
y( t ) f ( t ) cos( 0 t )
1
0
/2
t
0
t
2
根据线性和频移特性，高频脉冲信号 y (t ) 的频谱函数
( 0 ) ( 0 ) Y ( j ) Sa[ ] Sa[ ] 2 2 2 2
显然，若信号 f (t ) 的频谱为F ( j ) ，则高频已调信号
f 3 t
1
1
1
2 1 0 1 t 1 0 1 t
0
2
t
a
1
b
c
例
如已知信号 f (t ) 的傅里叶变换为
j 4t
F ( j， )
求信号 e
f ( 3 2t ) 的傅里叶变换。
f t 3 f 2t 3 e j 4 t f 2t 3 的顺 解:按
2
o
t
4 －
o 2 －
4
－
(a)
(b)
(a) f(t)的波形； (b) 相位谱
解
三、 频移特性
频移特性也称为调制特性。它可表述为:
若 f ( t ) F ( j ) 且 0 为常数，则
f ( t )e
j 0 t
F [ j ( 0 )]
上式表明:将信号 f t 乘以因子e j0t ,对应于将频谱 函数沿 轴右移 0 ;将信号 f t 乘以因子 e j0t,对 应于将频谱函数沿 轴左移 0 。
，有
a1 f 1 ( t ) a2 f 2 ( t ) a1 F1 ( j ) a2 F2 ( j )
傅里叶变换的线性性质可以推广到有多个信号的情况。
线性性质有两个含义： 1、齐次性 它表明，若信号 f (t ) 乘以常数 （即信号增大 倍），则其频谱函数也乘以相同的常数 （则其频谱
可见，当用某低频信号 f (t )去调制角频率为 0 的 余弦（或正弦）信号时，已调信号的频谱是包络线 f (t ) 的频谱 F ( j )一分为二，分别向左和向右搬移
0 ， 在搬移中幅度谱的形式并未改变。
双边带抑制载波调幅DSB-SC AM
四、 尺度变换
尺度变换特性为 ：若
f ( t ) F ( j )
j ( x t0 )
dx
e
f (x)e
F ( j )
j x
dx
e
同理可得：
ℱ[ f (t t0 )] e
f (t t0 ) e
j t 0
F ( j )
F ( j )
j t0
例
1
求图 (a)所示信号的频谱函数。
f (t)
－ 2
( )
时域卷积定理证明如下：根据卷积积分的定义
f1 ( t ) f 2 ( t )
其傅里叶变换为
f1 ( ) f 2 (t )d
f ( ) f ( t )d e j t dt ℱ [ f1 (t ) f 2 (t )] 1 2
的偶函数，故有
(t ) 1
1( t ) 2 ( )
sin t 例 求取样函数 Sa ( t ) 的频谱函数。 t 解: 我们已知，宽度为 ，幅度为 1 的门函数 g (t ) 的频谱函数为 Sa ( )，即 2
g ( t ) Sa (
ℱ
[ f ( at )]
f ( x )e
x j a
1 dx a
a x
1 f (at ) F( j ) a a
1 f ( x )e a 1 F( j ) a a
j
dx
若令
a 1 ，得
f ( t ) F ( j )
f ( t ) cos( 0 t ) 或 f ( t ) sin( 0 t ) 的频谱函数为：
1 1 f ( t ) cos( 0 t ) F [ j ( 0 )] F [ j ( 0 )] 2 2 1 1 f ( t ) sin( 0 t ) jF [ j ( 0 )] jF [ j ( 0 )] 2 2
1 1
其波形如下图所示 ：
1/2 g2(t) 1/2
Sa() 1
-1 0 1 Sa(t)
1
t
0
g2()
0
t
-1 0 1
图 3.3-1 函数 Sa(t) 及其频谱
例
求函数
1 t
的频谱函数。
解：函数
2 我们已知： sgn( t ) j
由对称性并考虑到 sgn( ) sgn( ) ，得
证明:
f (t )e
j 0t
e
jt
dt
F j 0
f (t )e
j 0 t
dt
f t e
同理:
j 0 t
F j 0 F j 0 F j 0
练习： 如下图（a）所示的函数是宽度为 2 的门函数， f1 (t ) g2 (t )其傅里叶变换 F1 ( j ) 2 Sa ( ) 2 sin ， 即 求图（b）和（c）中函数 f 2 ( t ) 和 f 3 ( t )的傅里叶变换。
f1 t g2 t f 2 t
1 f ( ) F ( jt )e j t dt 2
2f ( ) F ( jt )e
j t
dt
上式表明，时间函数 F ( jt ) 的傅里叶变换为 2 f ( ) 。 例如: 时域冲激函数 (t ) 的傅里叶变换为频域的 常数 1 ( ) ；由对称性可得，时域的常数 1( t ) 的傅里叶变换为 2 ( )，由于 ( ) 是
频域卷积定理 若 则
式中
F1 ( jω) F2 ( jω) F1 ( jη )F2 ( jω jη )dη
1 f1 ( t ) f 2 ( t ) F1 ( j ) F2 ( j ) 2
序求它们的 傅里叶 变换。
f ( t 3) F ( j )e j 3 根据时移特性：
根据尺度变换，令 a 2 ，得 1 j 3( 2 ) 1
2 F ( j 2 )e 2
f ( 2t 3)
F ( j
2Biblioteka Baidu
)e
j
3 2
再由频移特性得:
e
j 4t
1 4 f ( 2 t 3 ) F ( j )e 2 2
j
3 ( 4 ) 2
五、 对称性
若
f ( t ) F ( j )
F ( jt ) 2f ( )
1 f (t ) F ( j )e j t d 2
，得
则
证明: 傅里叶逆变换式
将上式中的自变量
t 换为 t
1 f ( t ) F ( j )e j t d 2 将上式中 t 的换为 ，将原有的 换为 t ，得
表示时域与频域之
间的对应关系，即
F ( j ) ℱ f t f (t )e
j t
dt
1 j t f (t ) F ( j )e d 2
一、 线性
若
f 2 ( t ) F2 ( j ) 则对于任意常数 a 1 和 a 2
f 1 ( t ) F1 ( j )
F j
1
-2/
2
2/
0
f at 1
t
2
1
0
Fj 3 3
3
6 0 6
t
6
0
6
a3
图 3.3-2 尺度变换
证明： f ( t ) F ( j ) ，则展缩后的信号 f (at ) 的傅里叶 设 变换为:
ℱ [ f (at )]
f t e
j 0 t
f t e
j 0 t
频移特性在各类电子系统中应用广泛，如调幅，同步 解调等都是在频谱搬移基础上实现的。实现频谱搬移
的原理如下图所示：
) 它是将信号 f (t（常称为调制信号）乘以所谓载频信号
cos( 0 t ) 或 sin( 0 t ) ，得到高频已调信号 y(t )，即
a
函数也增大
a 倍）；
a
a
2、可加性 它表明，几个信号之和的频谱函数等于各个信
号的频谱函数之和。
例 求阶跃函数的频谱
1 1 (t ) sgn(t ) 2 2 对上式两边进行傅里叶变换，得 :
ℱ [ (t )] ℱ
1 [ ] 2
ℱ
1 [ sgn(t )] 2
1 1 [ ( t )] ( ) ( ) j ( ) ℱ j
二、 时移特性
时移特性也称为延时特性。它可表述为若 f (t ) F ( j ) 且 t 0 为常数，则有:
f (t t0 ) e e
j t0
j t0
F ( j )
j t 0
F ( j ) F ( j ) e
上式表示，在时域中信号沿时间轴右移（即延 时 t 0 ），其在频域中所有频率“分量”相应 落后一相位 t 0 ，而其幅度保持不变。
1 t
2 2 sgn( ) 2 sgn( ) jt
根据线性性质，时域频域分别乘以
1 j 得： 2
1 j sgn( ) t
六 、卷积定理
时域卷积定理
若
则
f 1 ( t ) F1 ( j ) f 2 ( t ) F2 ( j )
f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( j ) F2 ( j )
a
f (at )e
a
j t
dt
x at 当a 0 时
令
，则 t x , dt 1 dx ,
ℱ
[ f ( at )]
f ( x )e
j
x a
1 dx a
x
1 f ( x )e a 1 F( j ) a a
j
a
dx
当a0 时:
1 F( j ) a a
则对于实常数 a (a 0) ，有 f (at )
上式表明，若信号 f (t ) 在时间坐标上压缩到原来 1 的 ，那么其频谱函数在频率坐标上将展宽
1 倍，同时其幅度减小到原来的 a
a
a
,称为尺度变换
特性或时域展缩特性。
如果信号既有时移又有尺度变换则有：
a
1 f ( at b ) e F( j ) a a 和 b 为实常数，但 a 0 .
第三章 连续信号与系统的实频域分析
主讲人：史洪宇
复习
1、傅里叶变换——非周期信号的频谱 2、几种常用的非周期信号的频谱
3.3 傅里叶变换的性质
任一信号可以有两种描述方法： 时域的描述 频域的描述 本节将研究在某一域中对函数进行某种运算，在另一 域中所引起的效应。 为简便，用
f ( t ) F ( j )
则：
2 g 2 ( t ) 2 Sa ( )
)
取 2 1 ，即 2
1 g 2 ( t ) Sa ( ) 2
根据傅里叶变换的对称性质:
Sa ( t ) 2 1 g2 ( ) g2 ( ) 2
Sa ( t )
, g 2 ( ) 0,
证明：若 f (t ) F ( j ) ，则延迟信号的傅里叶变换为 令 x t t 0 ，则上式可以写为
ℱ [ f (t t0 )]
f ( t t 0 )e
j t
dt
ℱ
[ f ( t t 0 )]
f ( x )e
j t0
j t0
j b a
显然，尺度变换和时移特性是上式的两种特殊情况， 1 当 b 0 时得 f (at ) F ( j ) ，当 a 1 时得 a a
f (t t0 ) e
j t0
F ( j )
f ( t ) F ( j ) F ( j )
f t g t
g t
1
- /2
2
y( t ) f ( t ) cos( 0 t )
1
0
/2
t
0
t
2
根据线性和频移特性，高频脉冲信号 y (t ) 的频谱函数
( 0 ) ( 0 ) Y ( j ) Sa[ ] Sa[ ] 2 2 2 2
显然，若信号 f (t ) 的频谱为F ( j ) ，则高频已调信号
f 3 t
1
1
1
2 1 0 1 t 1 0 1 t
0
2
t
a
1
b
c
例
如已知信号 f (t ) 的傅里叶变换为
j 4t
F ( j， )
求信号 e
f ( 3 2t ) 的傅里叶变换。
f t 3 f 2t 3 e j 4 t f 2t 3 的顺 解:按
2
o
t
4 －
o 2 －
4
－
(a)
(b)
(a) f(t)的波形； (b) 相位谱
解
三、 频移特性
频移特性也称为调制特性。它可表述为:
若 f ( t ) F ( j ) 且 0 为常数，则
f ( t )e
j 0 t
F [ j ( 0 )]
上式表明:将信号 f t 乘以因子e j0t ,对应于将频谱 函数沿 轴右移 0 ;将信号 f t 乘以因子 e j0t,对 应于将频谱函数沿 轴左移 0 。
，有
a1 f 1 ( t ) a2 f 2 ( t ) a1 F1 ( j ) a2 F2 ( j )
傅里叶变换的线性性质可以推广到有多个信号的情况。
线性性质有两个含义： 1、齐次性 它表明，若信号 f (t ) 乘以常数 （即信号增大 倍），则其频谱函数也乘以相同的常数 （则其频谱
可见，当用某低频信号 f (t )去调制角频率为 0 的 余弦（或正弦）信号时，已调信号的频谱是包络线 f (t ) 的频谱 F ( j )一分为二，分别向左和向右搬移
0 ， 在搬移中幅度谱的形式并未改变。
双边带抑制载波调幅DSB-SC AM
四、 尺度变换
尺度变换特性为 ：若
f ( t ) F ( j )
j ( x t0 )
dx
e
f (x)e
F ( j )
j x
dx
e
同理可得：
ℱ[ f (t t0 )] e
f (t t0 ) e
j t 0
F ( j )
F ( j )
j t0
例
1
求图 (a)所示信号的频谱函数。
f (t)
－ 2
( )
时域卷积定理证明如下：根据卷积积分的定义
f1 ( t ) f 2 ( t )
其傅里叶变换为
f1 ( ) f 2 (t )d
f ( ) f ( t )d e j t dt ℱ [ f1 (t ) f 2 (t )] 1 2
的偶函数，故有
(t ) 1
1( t ) 2 ( )
sin t 例 求取样函数 Sa ( t ) 的频谱函数。 t 解: 我们已知，宽度为 ，幅度为 1 的门函数 g (t ) 的频谱函数为 Sa ( )，即 2
g ( t ) Sa (
ℱ
[ f ( at )]
f ( x )e
x j a
1 dx a
a x
1 f (at ) F( j ) a a
1 f ( x )e a 1 F( j ) a a
j
dx
若令
a 1 ，得
f ( t ) F ( j )
f ( t ) cos( 0 t ) 或 f ( t ) sin( 0 t ) 的频谱函数为：
1 1 f ( t ) cos( 0 t ) F [ j ( 0 )] F [ j ( 0 )] 2 2 1 1 f ( t ) sin( 0 t ) jF [ j ( 0 )] jF [ j ( 0 )] 2 2
1 1
其波形如下图所示 ：
1/2 g2(t) 1/2
Sa() 1
-1 0 1 Sa(t)
1
t
0
g2()
0
t
-1 0 1
图 3.3-1 函数 Sa(t) 及其频谱
例
求函数
1 t
的频谱函数。
解：函数
2 我们已知： sgn( t ) j
由对称性并考虑到 sgn( ) sgn( ) ，得
证明:
f (t )e
j 0t
e
jt
dt
F j 0
f (t )e
j 0 t
dt
f t e
同理:
j 0 t
F j 0 F j 0 F j 0
练习： 如下图（a）所示的函数是宽度为 2 的门函数， f1 (t ) g2 (t )其傅里叶变换 F1 ( j ) 2 Sa ( ) 2 sin ， 即 求图（b）和（c）中函数 f 2 ( t ) 和 f 3 ( t )的傅里叶变换。
f1 t g2 t f 2 t
1 f ( ) F ( jt )e j t dt 2
2f ( ) F ( jt )e
j t
dt
上式表明，时间函数 F ( jt ) 的傅里叶变换为 2 f ( ) 。 例如: 时域冲激函数 (t ) 的傅里叶变换为频域的 常数 1 ( ) ；由对称性可得，时域的常数 1( t ) 的傅里叶变换为 2 ( )，由于 ( ) 是