第二章 静电场和稳恒磁场.

有 r >> l ，那么可以认为偶极子 − pr 到场点的距离等于 r − l cosθ
偶极子 − pr 在场点产生的电势为:
φ2
=
−1 4πε 0
p (r − l cosθ )2
cosα ′ ,其中 cosα ′ = cosϕ sinθ ′
= cosϕ
r
r − l cosθ
sinθ
那么场点的电势为：
解：
r E
=
−∇φ
=
−∇(
1
4πε 0
pr ⋅ err r2
)
= − 1 [ pv × ∇ × err + ( pr ⋅ ∇) err ]
4πε 0
r2
r2
= − 1 ( pr ⋅ ∇) err
4πε 0
r2
3．一对电量相等的正负电荷相距为 l ，求该系统在远处的电场强度。
解：具有偶极矩
pv z
=
r ql
σ
0 erz
球外电势为φ = 1 pr ⋅ rr 4πε 0 r 3
= R3 σ 0 cosθ 3ε 0 r 2
r 8．将一个半径为 R，介电常数为ε的无限长圆柱形均匀电介质放入均匀外电场 E0 中，圆
r 柱轴线与 E0 垂直。试求介质极化电荷所产生的电势和电场强度。 解：令柱外电势为φ1 ，柱内电势为φ2 ，由第 5 题容易知道它们的通解分别为：
电动力学习题解答参考
∫ 1．对电场强度的表示式
r E
=
1
4πε 0
V
ρ(rr′)(rr − rr′) rr − rr′ 3
dV
′
第二章 静电场和稳恒电磁场
进行直接微分。证明
∇
×
r E
=
0及 ∇
⋅
r E
=
ρ
ε0
∫ 证明：
∇
×
r E
=
1
4πε 0
v
ρ
(rv
′)∇
×
|
(rr − rr′) rr − rr′ |3
解：要求的定解问题为 ∇2φ = 0 (r > R)
φ |r=R = a(1 + cosθ )2
φ |∞ = 0
∞
∑ 根据题目条件，场具有轴对称性，那么φ 的通解为φ = (anr n + bn / r n+1 )Pn (cosθ ) n=0
代入边界条件解得：
φ
=
A0 r
+
A1 r2
P1 (cosθ ) +
∞
∑ φ1 = a0 + b0 ln r + [(amr m + bm / r m ) cos mθ + (cmr m + dm / r m ) sin mθ ] (r > R) m=1 ∞
∑ φ2 = a0 + b0 ln r + [(amr m + bm / r m ) cos mθ + (cmr m + dm / r m ) sin mθ ] (r < R) m=1 -3-
假定球外距球心为 b = R 2 处有一电量 q′ = − R q 的点电荷。
a
a
球壳本身带电，其上电势并不为 0，球内电势φ2
|r=R = φ1 |r=R =
1 4πε 0
q+Q R
那么 φ 2
=
1 4πε 0
q+Q R
+
1 4πε 0
[a 2
+ r2
q − 2ar cosθ ]1/ 2
−
1 4πε 0
两个（相等的）半球壳，为了使这两个半球壳不至于分开，需要加多大的外力？ 解：易知球壳内部电场强度为 0，球外电势满足的定解问题为：
∇2φ = 0 (r > R)
φ |r=R = C
φ |∞ = −E0r cosθ
求得球壳外电势 φ
=
−E0r
cosθ
+
E0 R3 r2
cosθ
球壳上的电荷面密度为 σ
=
的电偶极子产生的电势为
φ
=
q 4πε 0
1 ( r+
−
1 )
r−
在远场处 1 r+
−1 r−
≈
1 r2
l cosθ
，故要求的电势为 φ
=
ql cosθ 4πε 0r 2
电场强度
r E
=
−∇φ
=
−∇(
1
ql cosθ )
4πε 0 r 2
-1-
电动力学习题解答参考
= 1 3ql cosθerr − qlerz
∫−
ε0
r=a
∂φ dl ∂r
=
λ
φ |r=a = C
φ |∞ = −E0r cosθ
根据题目条件，场与 z 无关，那么φ 的通解为：
∞
∑ φ = a0 + b0 ln r + [(amr m + bm / r m ) cos mθ + (cmr m + dm / r m ) sin mθ ] m=1
πε
0
E02
R
2
14．有一个半径为 R 的薄导体球壳，带电量为 Q。壳内距中心为 a (< R) 处有一点电荷 q.求
壳上的电荷分布。
解：根据高斯定理可知球外电场强度
r E
=
1
q + Q ，那么若确定无穷远处电势 为 0，可
4πε 0 r 2
得球外电势 φ1
=
1 4πε 0
q+Q r
对于球内的电势φ2 可以用电像法求得。考虑到导体球面上电势处处相等，由电像法可
[b 2
+ r2
Rq / a − 2br cosθ ]1/ 2
球壳上电荷分步 σ
=
ε
0
(
∂φ2 ∂r
−
∂φ1 ∂r
)
|r
=
R
= 1 [q +Q −
q(R − a cosθ )
− Rq / a(b cosθ − R)
4π R 2 [a 2 + R 2 − 2aR cosθ ]3/ 2 [b2 + R 2 − 2bR cosθ ]3/ 2
度。
∫ 解：磁偶极矩 mr
=
1 rr ×αrdS 2 r=a
=
4πa 3 3
α 0erz
磁感应强度
r B
=
−
µ0 4π
(mr
⋅ ∇)
rr r3
=
µ0α 0a 3 3r 3
(2 cosθerr
+ sinθerθ
)
-6-
0，作用在球壳上电荷的电场为
r E
=
3 2
cosθE0err
-4-
电动力学习题解答参考
第二章 静电场和稳恒电磁场
∫ r
那么电场作用在一个半球壳上的力 F =
Erσds
0<θ <π / 2
考虑到对称性
∫ F
=
π /2 0
3 2
cos 2
θE 0 err
3ε 0
cosθE0 R2πR sinθdθ
=
9 4
19． 一半径为 a 的无限长接地圆柱形导体，一线电荷密度为 λ 的无限长直线放在圆柱外且
与圆柱轴线平行，带电直线与圆柱轴线的距离为 d，求圆柱外任一点的电势。 解：如图，选择 A 点的电势为 0，则直线在场点 Q 产生的电势为
ϕ1
=
−
λ 2πε 0
ln
(ρ 2
+
d
2
− d
2ρd −a
cosθ )1/ 2
A3 r3
P2 (cosθ ) ，其中 A0
=
4R 3
a，
A1
=
2R 2a ， A0
=
2R2 3
a
7．已知半径为 R 的球壳表面电荷面密度为σ = σ 0 cosθ ，求电偶极矩及球外电势。
∫ 解：电偶极矩 pr = σrvdS r=a = ∫∫σ 0 cosθ ⋅ rrr 2 sinθdθdφ
=
4πR 3 3
−ε 0
∂φ ∂r
|r=R
= 3ε 0 E0 cosθ
球外的电场强度
r E
=
−∇φ
=
∇(E0r cosθ
−
E0 R 3 r2
cosθ )
=
(E0
cosθ
+
2
E0 R 3 r3
cosθ )err
+ (−E0
sinθ
+
E0 R3 r3
sinθ )erθ
球壳外边界
r E
|r=R
=
3
cosθE0err
因为球壳内部电场强度为
φ
= φ1
+ φ2
=
p cosϕ sinθ 4πε 0
1 ( r2
−
r
)=− 1
(r − l cosθ )3
4πε 0
3 pl sinθ cosθ cosϕ r3
r 5．半径为 a 的无限长导体圆柱，带线电荷密度为λ，置于均匀电场 E0 中，电场和圆柱体轴
线垂直，求柱外电势。
解：要求的定解问题为 ∇2φ = 0 (r > a)
R2 r
E0 cosθ
，φ2
=
ε ε
−ε0 + ε0
E0r cosθ
r 柱外、柱内电场强度为： E1