2.3矢量场的通量与散度

3) div(gradu) u.
例6
设 rv
v xi
vv yj zk ,
r
rv ,
v D
q
4 r
3
rv
表示
在原点的点电荷q所产生的静电场的电位移向量，求
(1)div rv;
v (2)divD, (r 0).
解 (1) r
x2
y2
z2
,
r divr
x
y
z
3,
x y z
(2)
D1
q
4 r3
：x 1 y2 ( y, z) Dyz : 0 y 1, 0 z 3
[0 1 y2 y( y )] dydz
Dyz
1 y2
1
1
dydz
dy
3
dz
3
Dyz 1 y2
0 1 y2 0
2
例3 求向量场Av (2xz, yz, z2 )穿过由曲面z x2 y2 和 z 2 x2 y2 所围成立体表面外侧的通量。
v dS
v A
nv0dS
[P(x, y, z)cos(n, x) Q(x, y, z)cos(n, y) R(x, y, z)cos(n, z)]dS
P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dxdz R(x, y, z)dxdy
Gauss公式
设 是空间的有界闭区域，其边界 由有限光滑
(2x,
2 y,
2z)
Dr A,
rr A dS 0,
r r Ò A dS H 3.
2
例2 设是柱面x2 y2 1被平面z 0及z 3所截得在 r r rr
第一卦限内的部分的前侧，求向量场A x i y j z k 穿过的通量.
解 通量 xdydz ydxdz zdxdy
负源(漏洞).
例4 在点电荷q所产生的电场中，任何一点M处的电
位移向量为
r D
q
4 r2
rr0
其中r是点电荷q到点M的距离，rr0是从点电荷q指向点
M的单位向量，设为以点电荷q为球心，以R为半径
的球面，求从内穿出的电通量 e .
解 在球面上单位外法向量nr0 rr0,则电通量
e
乙 Dr
r dS
q
第三节 矢量场的通量与散度
• 1.通量 • 2.散度
能区分出曲面的侧 的曲面叫做双侧曲面. 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
闭曲面分内侧和外侧
曲面还有左侧和右侧，前侧和后侧.
选定了侧的双侧曲面称为定向曲面或有向曲面.
用∑表示选定了某个侧的定向曲面，则选定其相
反侧的定向曲面用∑－表示.
例5 已知函数u沿闭曲面的外法向量的方向导数为 常数C，为围成的区域，A为曲面的面积，证明
div( gradu)dV CA.
散度的性质
r 设A,
Br为向量场， ,
为常数,u
u( x,
源自文库
y,
z)为函数,则
vv
v
v
1) div( A B) divA divB
v
v
v
2) div(uA) gradu A udivA,
则称之为场
Av在点M处的散度,记为
di
v vA(
M
)
，
即
v
di vA( M ) lim
1
v A dS
M ()
( 2.4 )
下面我们建立散度在直角坐标系下的表达式
定理
设
v A
P(
x,
y,
r z)i
Q(
x,
y,
z)
v j
R(
x,
y,
v z)k
C
(1) ,
在点M处的散度
r divA
P
Q
R
.
x y z
任取一典型的微元 Sk , 在其 上任取一点Mk ( xk , yk , zk ) Sk ,
Sk
,
zSn2k,A,k
Sn .
Mk ( xk
,
yk
,
zk
)
设其面积也记成 Sk , 曲面Σ
在点Mk 处的单位法向量
•
n0 (Mk ) cos(n, x),cos(n, y),cos(n, z) o
y
x
看故单做位一k 时细 A间柱( M流体k经，)曲底n0 面(面M微为k )元SSkk，S, k的高流为量Av( Mkk
当 A是电位移向量，则 就是穿过曲面∑的电通量，
当
A
是磁感应强度，则
就是穿过曲面∑的磁通量.
记
v dS
nv0dS
cos(n,
x ),
cos(n, y),
cos(n, z) dS
cos(n, x) dS, cos(n, y) dS, cos(n, z) dS
则 A在单位时间流经曲面∑的通量为
v A
0
0
0
2
d 4 sin cos d
2 r 3dr .
0
0
0
2
或用截面法得
zdV
1z( z2)dz
0
1
2
z[ (2
z 2 )]dz
4
4
2
.
设为闭曲面的外侧，流量
Q
Ò vr
r dS
表示从内穿
出的正流量与从外穿入的负流量的代数和.
若Q 0, 则称内有正源(泉源)，若Q 0, 则称内有
可近似地
) nv0( Mk ),
② 求和 单位时间流 经Σ的流量：
n
n
A(M k
) n0 (M k
)Sk
k 1
③ 取极限
S 0，取极限得到
流量 的精确值
A
n0
A
M dS
S
定义
设
vv A A(x, y, z)
是一向量场，∑是场中的一
定向曲面，称
A
n0
dS
为向量场 A流经曲面∑的通量.
(1)
v A
(
x
,
y
,
z
)
(
Ax
,
Ay
,
Az
)
Ax x
Ay y
Az z
v divA;
vv
v
v
(2) ( A B) A B;
v
v
v
(3) (uA) u A u A;
(4) (u) u;
vv
vv
(5) A dS ( A)dV .
出的通量.
解法1
记
r1
r
2
,
1r表示r平面部r 分r，
表示锥面部分，
2
则通量 Ò A dS A dS A dS,
1
2
1在xoy面上的投影区域D : x2 y2 H 2 , rr
A dS xdydz ydxdz zdxdy Hdxdy H 3
1
曲面
2的外法1 向量nr
1 ()
v A
r dS
表示单位时间从单位体积流出
( 2.2 )
的平均流量，称为
A
在场A的在平点M均处源的强源，的 强越度小，，令(2.2收)就缩能到越M好,记地成近似描M述,
所得极限
lim
M
1
( )
vr A dS
( 2.3 )
就可用来刻划
v A
在点M处的源的强度。
定义
设
v A
是一个向量场,若极限(2.3)存在且与无关，
则
A
Gauss公式可写成
vv
v
A dS (divA)dV
( 2.6 )
它有明显的物理意义，设
v A
为不可压缩的稳定的流速
场，(2.6)右端的三重积分表示单位时间 内所产生的
流体的总量，而左边的曲面积分表示单位时间流体通
过 的边界曲面流向外侧的流量，二者应当相等。所 以(2.1)和(2.6)又称为散度定理.
4
1 r2
rr0 nr0dS
q
4 R2
Ò dS
q
4 R2
4
R2
q.
2.散度
设
v A
v A(
x,
y,
z)
C
(1)是一个不可压缩的稳定的流速场，
对于场中任一点M，在点M的某邻域作一张包围M的光
滑封闭曲面 ，取外侧，记 所围的区域为 ，这时，
,
A dS
表示单位时间从
经
流向外侧的流量，
而
()
解 设 表示曲面 z x2 y2 和 z 2 x2 y2 所
围立体，其表面外侧为 ，则
所求通量为
n
z
v A
v dS
2xzdydz
yzdzdx
z2dxdy
由Gauss公式
(2z z 2z)dV zdV
Dxy O
y
x
利用球坐标系，
2
d 4 d
2 r cos r 2 sin dr
x,
D2
q
4 r3
y,
D3
q
4 r3
z,
D1 x
q
4
r3
x 3r2 r6
x r
q
4
r2
3x2 r5 ,L
,
r divD
D1
D2
D3
0.
x y z
r
r
r
r
r
例7 设 A 2xyz2 i (x2z2 cos y) j 2x2 yz k，求divA.
利用Hamilton的算子 ，散度及其性质可表述为
注意：∑ 与∑－是不同的曲面.
∑ n
∑－
n
1.通量
实例: 流向曲面一侧的流量.
r
设A(x, y, z) P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)表示流体的
流速场，∑为场中的一片定向曲面，欲求单位时间内 流体由曲面负侧经曲面∑流向正侧的流量。
①分割 把曲面Σ细分成小块 S1
或分片光滑的曲面所组成，取外侧，
r A( x,
y,
z)
P(
x,
y,
z),
Q(
x,
y,
z),
R(
x,
y,
z)
C
(1) ( )
则
Pdydz Qdzdx Rdxdy
(
P x
Q y
R )dV . z
(2.1)
例1 设曲面是由锥面 x2 y2 z2与平面 z H (H 0)所 r
围 成的闭曲面的外侧，求向量场A (x, y, z)从闭曲面内穿