1-3-2集合的基本运算

自学导引 1．全集的概念 在研究某些集合的时候， 这些集合往往是某个给定集合的子集， 这个给定的集合叫做 全集 ，常用字母 U 表示． 2．补集的概念
设 U 是全集，A 是 U 的一个子集(即 A⊆U)，则由 U 中所 有 不属于A的元素 组成的集合，叫作 U 中子集 A 的补集， 记作 ∁UA ，即∁UA＝ {x|x∈U，且x∉A} ．
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活页限时训练
b＝3， 2 a ＋2a－3＝5，
① ②
将②式变形为 a2＋2a－8＝0， 解得 a＝－4 或 a＝2.
a＝－4， ∴ b＝3 a＝2， 或 b＝3.
方法技巧
补集思想
补集思想作为一种思想方法，给我们研究问题开辟了新思路， 今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向 思维，可能会“柳暗花明”．我们平日说的“正难则反”这一 策略就是对补集思想的具体应用，从这个意义上讲，补集思想 具有转换研究对象的功能，是转化思想的又一体现．
此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助 Venn 图；当集合 中元素无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．
【训练 1】 设 U＝R， A＝{x|a≤x≤b}， UA＝{x|x＞4 或 x＜3}， ∁ 求 a，b 的值． 解 ∵A＝{x|a≤x≤b}，
∴∁UA＝{x|x＞b 或 x＜a}． 又∁UA＝{x|x＞4 或 x＜3}，∴a＝3，b＝4.
【示例】 已知集合 A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}， B＝{x|x＜0}， 若 A∩B≠∅，求实数 m 的取值范围． [思路分析] A∩B≠∅说明集合 A 是由方程 x2－4mx＋2m＋6＝0 ①的实根组成的非空集合，并且方程①的根有：(1)两负根；(2) 一负根一零根；(3)一负根一正根，共三种情况．分别求解十分 麻烦，这时我们从求解问题的反面考虑，采用补集思想，即先 由 Δ≥0， 求出全集 U， 然后求方程①两根均为非负时 m 的取值 范围，最后再利用“补集”求解．
3．补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝ U ，A∩(∁UA)＝ ∅ ； (2)∁UU＝ ∅ ，∁U∅＝ U ； (3)A⊆B⇔∁UA⊇∁UB，A⊆B⇔A∩(∁UB)＝∅. 4．补集的运算律 (1)∁U(∁UA)＝ A ； (2)∁U(A∩B)＝ (∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝ (∁UA)∩(∁UB) ．
名师点睛 1．补集及全集概念的理解 (1)理解补集概念时，应注意补集∁SA 是对给定的集合 A 和 S(A ⊆S)相对而言的一个概念，一个确定的集合 A，对于不同的集 合 S，补集不同．如：集合 A＝{正方形}，当 S＝{菱形}时，∁SA ＝{一个内角不等于 90° 的菱形}；当 S＝{矩形}时，∁SA＝{邻边 不相等的矩形}． (2)全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研 究问题， Z 为全集； 则 而当问题扩展到实数集时， R 为全集， 则 这时 Z 就不是全集．
【题后反思】正确理解条件(∁UA)∪B＝{1,3,4,5}是解题的关键， 解决此类问题时， 可以借助 Venn 图辅助求解， 结合已知条件明 确一些元素的具体分布区域．
【训练 3】 (1)已知全集 U＝{1,2,3,4,5}，A＝{x|x2－5x＋q＝0， x∈U}，求∁UA； (2)设 U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{b,2}，∁UA＝{5}，求实数 a 和 b 的值．
规律方法
求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要
借助于数轴，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的 画法及取到与否．
【训练 2】 (1)设 U＝{x|x 是小于 9 的正整数}，A＝{1,2,3}，B ＝{3,4,5,6}，求∁UA，∁UB，A∩U，U∩(A∪B)． (2)设全集 U＝{x|x 是三角形}， A＝{x|x 是锐角三角形}， B＝{x|x 是钝角三角形}，求 A∩B，∁U(A∪B)． 解 (1)易得 U＝{1,2，„，8}，∴∁ UA＝{4,5,6,7,8}；∁ UB＝
想一想：有同学认为“补集就是从一个集合中扣掉一些元素后 剩下的部分”，这种说法是否正确？ 提示 这种说法是错误的．要研究补集就得先知道全集，全集 是相对于所研究的问题而言的一个相对概念，它含有与所研究 的问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究的问题 不同而不同．补集是以全集为前提加以定义的，因此，它们是 相互依存不可分割的两个概念．
3．2 全集与补集
【课标要求】 1．了解全集、补集的含义及其符号表示． 2． 理解在给定集合中一个子集的补集的含义， 会求给定子集的 补集． 3．能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理 解抽象概念的作用． 【核心扫描】 1．理解全集、补集的概念．(重点) 2．会计算集合的交、并、补混合运算．(难点) 3．补集思想的应用．(方法)
题型一
补集定义的应用
【例 1】 已知全集 U，集合 A＝{1,3,5,7,9}，∁UA＝{2,4,6,8}， ∁UB＝{1,4,6,8,9}，求集合 B. [思路探索] 由题意，结合定义，画出 Venn 图，由图可帮助解 题．
解 如图所示，借助 Venn 图， 得 U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， ∵∁UB＝{1,4,6,8,9}， ∴B＝{2,3,5,7}． 规律方法 根据补集定义， 借助 Venn 图， 可直观地求出全集，
{1,2,7,8}，A∩U＝{1,2,3}，U∩(A∪B)＝{1,2,3,4,5,6}， (2)A∩B＝∅； ∵A∪B＝{x|x 是锐角三角形或钝角三角形}， ∴∁U(A∪B)＝{x|x 是直角三角形}．
题型三
有关补集的综合问题
【例 3】 已知全集 U＝{1,2,3,4,5}．A＝{x|x2－5x＋m＝0}，B ＝{x|x2＋nx＋12＝0}，且∁UA∪B＝{1,3,4,5}，求 m＋n 的值． 【解题流程】 由∁UA∪B＝{1，3，4，5}，得2∈A → 得出m的值及集合A → 得到集合B中一个具体元素
解 (1)设 x1、x2 为方程 x2－5x＋q＝0 的两根，则 x1＋x2＝5， 5 ∴x1≠x2(否则 x1＝x2＝2∉U，这与 A⊆U 矛盾)． 而由 A⊆U，知 x1、x2∈U，又 1＋4＝2＋3＝5， ∴q＝4 或 q＝6. ∴∁UA＝{2,3,5}或∁UA＝{1,4,5}．
(2)由题意，利用 Venn 图，可得方程组
∵mm
3 ⇒m≥ ， 2
3 ≥ 在 U 中的补集为{m|m≤－1}， 2
∴实数 m 的取值范围为{m|m≤－1}．
方法点评 本题运用了“补集思想”． 对于比较复杂、 比较抽象、 难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路从问题的反 面入手，探求已知和未知的关系，这样能化难为易、化隐为显， 从而将问题解决，这就是补集思想的应用，也是处理问题的间 接化原则的体现．
解
mm
－4m 设 全 集 U ＝ {m|Δ ＝ 3 ≤－1或m≥2.

若方程 x2－4mx＋2m＋6＝0 的两根 x1、x2 均非负，则 m∈U， x1＋x2＝4m≥0， x x ＝2m＋6≥0 1 2
题型二 交、并、补的综合运算 【例 2】 已知全集 U＝{x|x≤4}，集合 A＝{x|－2＜x＜3}，B＝ {x|－3＜x≤3}．求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B. [思路探索] 画出数轴，结合数轴可解答本题．
解
把全集 U 和集合 A，B 在数轴上表示如下：
由图可知，∁UA＝{x|x≤－2 或 3≤x≤4}， A∩B＝{x|－2＜x＜3}， ∁U(A∩B)＝{x|x≤－2 或 3≤x≤4}， (∁UA)∩B＝{x|－3＜x≤－2 或 x＝3}．
→ 得出n的值 → 得出m＋n的值
[规范解答] ∵U＝{1,2,3,4,5}，∁UA∪B＝{1,3,4,5}， ∴2∈A，又 A＝{x|x2－5x＋m＝0}， ∴2 是关于 x 的方程 x2－5x＋m＝0 的一个根，(3 分) 得 m＝6 且 A＝{2,3}，(6 分) ∴∁UA＝{1,4,5}．而∁UA∪B＝{1,3,4,5}， ∴3∈B，又 B＝{x|x2＋nx＋12＝0}， ∴3 一定是关于 x 的方程 x2＋nx＋12＝0 的一个根．(9 分) ∴n＝－7 且 B＝{3,4}，∴m＋n＝－1.(12 分)
(3)∁UA 表示 U 为全集时 A 的补集，如果全集换成其他集合(如 R)时，则记号中“U”也必须换成相应的集合(即∁RA)． (4)求集合 A 的补集的前提是“A 是全集 U 的子集”．
2．解决集合问题的方法 集合问题大都比较抽象， 解题时要尽可能借助 Venn 图、 数轴或 直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，利于 将题设条件转化．