1-3-2集合的基本运算

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3.2 全集与补集
【课标要求】 1.了解全集、补集的含义及其符号表示. 2. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义, 会求给定子集的 补集. 3.能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理 解抽象概念的作用. 【核心扫描】 1.理解全集、补集的概念.(重点) 2.会计算集合的交、并、补混合运算.(难点) 3.补集思想的应用.(方法)

mm
-4m 设 全 集 U = {m|Δ = 3 ≤-1或m≥2.

2
- 4(2m + 6)≥0} =
若方程 x2-4mx+2m+6=0 的两根 x1、x2 均非负,则 m∈U, x1+x2=4m≥0, x x =2m+6≥0 1 2
【示例】 已知集合 A={x|x2-4mx+2m+6=0}, B={x|x<0}, 若 A∩B≠∅,求实数 m 的取值范围. [思路分析] A∩B≠∅说明集合 A 是由方程 x2-4mx+2m+6=0 ①的实根组成的非空集合,并且方程①的根有:(1)两负根;(2) 一负根一零根;(3)一负根一正根,共三种情况.分别求解十分 麻烦,这时我们从求解问题的反面考虑,采用补集思想,即先 由 Δ≥0, 求出全集 U, 然后求方程①两根均为非负时 m 的取值 范围,最后再利用“补集”求解.
∵mm
3 ⇒m≥ , 2
3 ≥ 在 U 中的补集为{m|m≤-1}, 2
∴实数 m 的取值范围为{m|m≤-1}.
方法点评 本题运用了“补集思想”. 对于比较复杂、 比较抽象、 难于从正面入手的数学问题,在解题时,调整思路从问题的反 面入手,探求已知和未知的关系,这样能化难为易、化隐为显, 从而将问题解决,这就是补集思想的应用,也是处理问题的间 接化原则的体现.
(3)∁UA 表示 U 为全集时 A 的补集,如果全集换成其他集合(如 R)时,则记号中“U”也必须换成相应的集合(即∁RA). (4)求集合 A 的补集的前提是“A 是全集 U 的子集”.
2.解决集合问题的方法 集合问题大都比较抽象, 解题时要尽可能借助 Venn 图、 数轴或 直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化,利于 将题设条件转化.
b=3, 2 a +2a-3=5,
① ②
将②式变形为 a2+2a-8=0, 解得 a=-4 或 a=2.
a=-4, ∴ b=3 a=2, 或 b=3.
方法技巧
补集思想
补集思想作为一种思想方法,给我们研究问题开辟了新思路, 今后要有意识地去体会并运用.在顺向思维受阻时,改用逆向 思维,可能会“柳暗花明”.我们平日说的“正难则反”这一 策略就是对补集思想的具体应用,从这个意义上讲,补集思想 具有转换研究对象的功能,是转化思想的又一体现.
【题后反思】正确理解条件(∁UA)∪B={1,3,4,5}是解题的关键, 解决此类问题时, 可以借助 Venn 图辅助求解, 结合已知条件明 确一些元素的具体分布区域.
【训练 3】 (1)已知全集 U={1,2,3,4,5},A={x|x2-5x+q=0, x∈U},求∁UA; (2)设 U={2,3,a2+2a-3},A={b,2},∁UA={5},求实数 a 和 b 的值.
题型二 交、并、补的综合运算 【例 2】 已知全集 U={x|x≤4},集合 A={x|-2<x<3},B= {x|-3<x≤3}.求∁UA,A∩B,∁U(A∩B),(∁UA)∩B. [思路探索] 画出数轴,结合数轴可解答本题.

把全集 U 和集合 A,B 在数轴上表示如下:
由图可知,∁UA={x|x≤-2 或 3≤x≤4}, A∩B={x|-2<x<3}, ∁U(A∩B)={x|x≤-2 或 3≤x≤4}, (∁UA)∩B={x|-3<x≤-2 或 x=3}.
此类问题,当集合中元素个数较少时,可借助 Venn 图;当集合 中元素无限时,可借助数轴,利用数轴分析法求解.
【训练 1】 设 U=R, A={x|a≤x≤b}, UA={x|x>4 或 x<3}, ∁ 求 a,b 的值. 解 ∵A={x|a≤x≤b},
∴∁UA={x|x>b 或 x<a}. 又∁UA={x|x>4 或 x<3},∴a=3,b=4.
3.补集的性质 (1)A∪(∁UA)= U ,A∩(∁UA)= ∅ ; (2)∁UU= ∅ ,∁U∅= U ; (3)A⊆B⇔∁UA⊇∁UB,A⊆B⇔A∩(∁UB)=∅. 4.补集的运算律 (1)∁U(∁UA)= A ; (2)∁U(A∩B)= (∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)= (∁UA)∩(∁UB) .
自学导引 1.全集的概念 在研究某些集合的时候, 这些集合往往是某个给定集合的子集, 这个给定的集合叫做 全集 ,常用字母 U 表示. 2.补集的概念
设 U 是全集,A 是 U 的一个子集(即 A⊆U),则由 U 中所 有 不属于A的元素 组成的集合,叫作 U 中子集 A 的补集, 记作 ∁UA ,即∁UA= {x|x∈U,且x∉A} .
想一想:有同学认为“补集就是从一个集合中扣掉一些元素后 剩下的部分”,这种说法是否正确? 提示 这种说法是错误的.要研究补集就得先知道全集,全集 是相对于所研究的问题而言的一个相对概念,它含有与所研究 的问题有关的各个集合的全部元素,因此,全集因研究的问题 不同而不同.补集是以全集为前提加以定义的,因此,它们是 相互依存不可分割的两个概念.
名师点睛 1.补集及全集概念的理解 (1)理解补集概念时,应注意补集∁SA 是对给定的集合 A 和 S(A ⊆S)相对而言的一个概念,一个确定的集合 A,对于不同的集 合 S,补集不同.如:集合 A={正方形},当 S={菱形}时,∁SA ={一个内角不等于 90° 的菱形};当 S={矩形}时,∁SA={邻边 不相等的矩形}. (2)全集是相对于研究的问题而言的,如我们只在整数范围内研 究问题, Z 为全集; 则 而当问题扩展到实数集时, R 为全集, 则 这时 Z 就不是全集.
→ 得出n的值 → 得出m+n的值
[规范解答] ∵U={1,2,3,4,5},∁UA∪B={1,3,4,5}, ∴2∈A,又 A={x|x2-5x+m=0}, ∴2 是关于 x 的方程 x2-5x+m=0 的一个根,(3 分) 得 m=6 且 A={2,3},(6 分) ∴∁UA={1,4,5}.而∁UA∪B={1,3,4,5}, ∴3∈B,又 B={x|x2+nx+12=0}, ∴3 一定是关于 x 的方程 x2+nx+12=0 的一个根.(9 分) ∴n=-7 且 B={3,4},∴m+n=-1.(12 分)
{1,2,7,8},A∩U={1,2,3},U∩(A∪B)={1,2,3,4,5,6}, (2)A∩B=∅; ∵A∪B={x|x 是锐角三角形或钝角三角形}, ∴∁U(A∪B)={x|x 是直角三角形}.
题型三
有关补集的综合问题
【例 3】 已知全集 U={1,2,3,4,5}.A={x|x2-5x+m=0},B ={x|x2+nx+12=0},且∁UA∪B={1,3,4,5},求 m+n 的值. 【解题流程】 由∁UA∪B={1,3,4,5},得2∈A → 得出m的值及集合A → 得到集合B中一个具体元素
题型一
补集定义的应用
【例 1】 已知全集 U,集合 A={1,3,5,7,9},∁UA={2,4,6,8}, ∁UB={1,4,6,8,9},求集合 B. [思路探索] 由题意,结合定义,画出 Venn 图,由图可帮助解 题.
解 如图所示,借助 Venn 图, 得 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, ∵∁UB={1,4,6,8,9}, ∴B={2,3,5,7}. 规律方法 根据补集定义, 借助 Venn 图, 可直观地求出全集,
解 (1)设 x1、x2 为方程 x2-5x+q=0 的两根,则 x1+x2=5, 5 ∴x1≠x2(否则 x1=x2=2∉U,这与 A⊆U 矛盾). 而由 A⊆U,知 x1、x2∈U,又 1+4=2+3=5, ∴q=4 或 q=6. ∴∁UA={2,3,5}或∁UA={1,4,5}.
(2)由题意,利用 Venn 图,可得方程组
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规律方法
求解用不等式表示的数集间的集合运算时,一般要
借助于数轴,此法的特点是简单直观,同时要注意各个端点的 画法及取到与否.
【训练 2】 (1)设 U={x|x 是小于 9 的正整数},A={1,2,3},B ={3,4,5,6},求∁UA,∁UB,A∩U,U∩(A∪B). (2)设全集 U={x|x 是三角形}, A={x|x 是锐角三角形}, B={x|x 是钝角三角形},求 A∩B,∁U(A∪B). 解 (1)易得 U={1,2,„,8},∴∁ UA={4,5,6,7,8};∁ UB=
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