经典弯矩分配法
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B
三、分配系数（μij）
杆ij 的转动刚度与汇交于i 结点的所有杆件转动刚度之 和的比值。
ij
Sij S
(i)
(1)杆端力:
3
1 M
1
4
2
1 1 1
5
M12 4 i12φ1 S12 1
M
13
M
14
3 i13φ1 S13 1 i14φ1 S14 1
(a)
M15 4 i15φ1 S15 1
C ij
M ji M ij
在结点上的外力矩按各杆分配系 数分配给各杆近端截面，各杆远端弯 矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系
4iφA EI
A φA
l
3iφA EI
A φA
l
2iφA 数。
B
CAB=2iA/ 4iA=1/2
0
CAB=0/ 3iA=0
B
iφA EI
A φA
l
-iφA
CAB=-iA/ iA=-1
50kN D
1m
5m
5/6 1/6
MF
25
分传 -20.8 -4.2
1m 50
M
-20.8 +20.8
A
B 20.8
1m
5m
+50 50
C 1m
50kN D M图（kN·m）
11.2 用力矩分配法计算连续梁和 无结点线位移刚架
一、基本概念
1、力矩分配法是一种渐近法。
2、每次只放松一个结点。 3、一般从不平衡弯矩绝对值较大的结点算起。
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
第11章 弯矩分配法和剪力分配法 知识点
力矩分配法基本思想
力矩分配法计算连续梁和无结点线位移刚架
教学基本要求
掌握力矩分配法的基本概念、计算原理、适用条件； 学会单结点的力矩分配与传递并最终会计算杆端 弯距且正确绘制弯矩图。 计算有多个结点的连续梁和刚架
1 2
CB
1 1 1
2
0.667
CD 0.333
例题3: 试用弯矩分配法计算图示刚架，绘弯矩图。
120kN B i=2 A
20kN/m i=1.5 D
i=2
4m
C
2m 3m
4m
结点
B
A
D
C
杆端
BA
AB AC AD DA CA
分配系数
0.39 0.39 0.22
固端弯矩 -86.4 +57.6 0.0 -40.0 0.0 0.0
二、计算步骤
1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 2、计算每个杆端的固端弯矩。
3、逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡，直至结点 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。
4、将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 即得各杆端的最后弯矩。
例2.用力矩分配法计算图示连续梁。
20kN/m
100kN
A
MF-60
EI=1 6m
B EI=2 4m
0.4 0.6 60 -100
C EI=1 D
4m
6m
0.667 0.333 100
分 14.7 配 与 传 1.5 递
0.2
-33.4 29.4 44
-7.3 2.9 4.4
-0.7 0.3 0.4
-66.7 -33.3 22 -14.7 -7.3 2.2
(2)由结点1的平衡条件:
M
M1 0
即: M M12 M13 M14 M15 0
M12
M13
1
M14
M (S12 S13 S14 S15 )1
M15
得:
1
M S12 S13 S14 S15
M (b) S
(3) 代(b)入(a) , 得:
M
12
S12 S
M
μ12 M
（2）计算各杆的固端弯矩，进而求出结点的不 平衡弯矩。
（3）将不平衡弯矩（固端弯矩之和）反号后， 按分配系数、传递系数进行分配、传递。
（4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩 相加，即得各杆的最后弯矩。
例2. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法（EI=常数）。
A
B
C
50kN D
1m
5m
A B
1m 50kN·m C
§11-1 力矩分配法的基本概念
一、杆件的转动刚度S：
表示杆端对转动的抵抗能力，在数值上等于仅使杆端发生单 位转动时需在杆端施加的力矩。
Baidu Nhomakorabea
SAB=4i
1
SAB=i
1
SAB=3i
1
SAB=0
SAB与杆件的线刚度i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆 长）及远端支承有关
二、传递系数（Cij）
杆件远端弯矩与近端弯矩之比称为传递系数。
重点
力矩分配法的基本概念；分配系数的计算； 单结点的力矩分配与传递计算。 力矩分配法计算两个结点的连续梁和无侧移刚架
难点
单结点的力矩分配计算原理。 力矩分配法计算两个结点的连续梁和无侧移刚架
线性代数方程组的解法
直接法 渐近法 近似法
力矩分配法
理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：渐近法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
-1.5 -0.7
M -43.6 43.6
A
92.6 -92.6 92.6
90
B
41.3 -41.3
0
41.3 200
CM图（kN·m）D
iAB
1 6
21 iBC 8 4
iCD
1 6
B SBA
4
1 6
2 3
S BC
4
1 4
1
2
BA
1
3
2
3
0.4
BC 0.6
C SCB
4
1 4
1
SCD
3
1 6
1、解题思路
P1
(a) A MAB
MBA B MBC
P2 C
MCB
(b) A MfAB
MB P1
P2 C
MfBA B MfBC
MfCB
MfBA
MB MfBC
MB
M
f BA
M
f BC
(c) A MABc
M'
C MBAμ B MBCfμ MCBc
M MB
2、解题步骤
（1）在刚结点上加上刚臂（想象），使原结构 成为单跨超静定梁的组合体，计算分配系数。
M12 4 i12φ1 S12 1
M M
13 14
3 i13φ1 S13 1 i14φ1 S14 1
(a)
M13
S13 S
M
μ13 M
M
14
S14 S
M
μ14 M
M15 4 i15φ1 S15 1
M
15
S15 S
M
μ15 M
四、用力矩分配法计算具有一个结点角位移的结构
分配传递 -3.43 -6.86 -6.86 -3.83
无剪力分配法：适于特殊的有侧移刚架。
回顾位移法
求系数和自出项
解位移未知量 计算各杆的杆端弯矩
位移法：附加刚臂承担的约束力矩RIP＝一60(负号表示绕结点 反时针转), 通过转动B点实际位移φ1消去附加刚臂的存有，从 而还原到原结构。
另一种办法消去附加刚臀的存在: 在B点叠加—个反向约束力矩 -RIP＝60 即：固定加放松还原到原结构。 新的问题：反向力矩（-RIP＝60）应该如何分配到BA和BC端 (近端)呢?又应该如何传递到远端（AB,CB)?这就是力矩分配法 要研究的内容。
三、分配系数（μij）
杆ij 的转动刚度与汇交于i 结点的所有杆件转动刚度之 和的比值。
ij
Sij S
(i)
(1)杆端力:
3
1 M
1
4
2
1 1 1
5
M12 4 i12φ1 S12 1
M
13
M
14
3 i13φ1 S13 1 i14φ1 S14 1
(a)
M15 4 i15φ1 S15 1
C ij
M ji M ij
在结点上的外力矩按各杆分配系 数分配给各杆近端截面，各杆远端弯 矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系
4iφA EI
A φA
l
3iφA EI
A φA
l
2iφA 数。
B
CAB=2iA/ 4iA=1/2
0
CAB=0/ 3iA=0
B
iφA EI
A φA
l
-iφA
CAB=-iA/ iA=-1
50kN D
1m
5m
5/6 1/6
MF
25
分传 -20.8 -4.2
1m 50
M
-20.8 +20.8
A
B 20.8
1m
5m
+50 50
C 1m
50kN D M图（kN·m）
11.2 用力矩分配法计算连续梁和 无结点线位移刚架
一、基本概念
1、力矩分配法是一种渐近法。
2、每次只放松一个结点。 3、一般从不平衡弯矩绝对值较大的结点算起。
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
第11章 弯矩分配法和剪力分配法 知识点
力矩分配法基本思想
力矩分配法计算连续梁和无结点线位移刚架
教学基本要求
掌握力矩分配法的基本概念、计算原理、适用条件； 学会单结点的力矩分配与传递并最终会计算杆端 弯距且正确绘制弯矩图。 计算有多个结点的连续梁和刚架
1 2
CB
1 1 1
2
0.667
CD 0.333
例题3: 试用弯矩分配法计算图示刚架，绘弯矩图。
120kN B i=2 A
20kN/m i=1.5 D
i=2
4m
C
2m 3m
4m
结点
B
A
D
C
杆端
BA
AB AC AD DA CA
分配系数
0.39 0.39 0.22
固端弯矩 -86.4 +57.6 0.0 -40.0 0.0 0.0
二、计算步骤
1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 2、计算每个杆端的固端弯矩。
3、逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡，直至结点 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。
4、将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 即得各杆端的最后弯矩。
例2.用力矩分配法计算图示连续梁。
20kN/m
100kN
A
MF-60
EI=1 6m
B EI=2 4m
0.4 0.6 60 -100
C EI=1 D
4m
6m
0.667 0.333 100
分 14.7 配 与 传 1.5 递
0.2
-33.4 29.4 44
-7.3 2.9 4.4
-0.7 0.3 0.4
-66.7 -33.3 22 -14.7 -7.3 2.2
(2)由结点1的平衡条件:
M
M1 0
即: M M12 M13 M14 M15 0
M12
M13
1
M14
M (S12 S13 S14 S15 )1
M15
得:
1
M S12 S13 S14 S15
M (b) S
(3) 代(b)入(a) , 得:
M
12
S12 S
M
μ12 M
（2）计算各杆的固端弯矩，进而求出结点的不 平衡弯矩。
（3）将不平衡弯矩（固端弯矩之和）反号后， 按分配系数、传递系数进行分配、传递。
（4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩 相加，即得各杆的最后弯矩。
例2. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法（EI=常数）。
A
B
C
50kN D
1m
5m
A B
1m 50kN·m C
§11-1 力矩分配法的基本概念
一、杆件的转动刚度S：
表示杆端对转动的抵抗能力，在数值上等于仅使杆端发生单 位转动时需在杆端施加的力矩。
Baidu Nhomakorabea
SAB=4i
1
SAB=i
1
SAB=3i
1
SAB=0
SAB与杆件的线刚度i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆 长）及远端支承有关
二、传递系数（Cij）
杆件远端弯矩与近端弯矩之比称为传递系数。
重点
力矩分配法的基本概念；分配系数的计算； 单结点的力矩分配与传递计算。 力矩分配法计算两个结点的连续梁和无侧移刚架
难点
单结点的力矩分配计算原理。 力矩分配法计算两个结点的连续梁和无侧移刚架
线性代数方程组的解法
直接法 渐近法 近似法
力矩分配法
理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：渐近法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
-1.5 -0.7
M -43.6 43.6
A
92.6 -92.6 92.6
90
B
41.3 -41.3
0
41.3 200
CM图（kN·m）D
iAB
1 6
21 iBC 8 4
iCD
1 6
B SBA
4
1 6
2 3
S BC
4
1 4
1
2
BA
1
3
2
3
0.4
BC 0.6
C SCB
4
1 4
1
SCD
3
1 6
1、解题思路
P1
(a) A MAB
MBA B MBC
P2 C
MCB
(b) A MfAB
MB P1
P2 C
MfBA B MfBC
MfCB
MfBA
MB MfBC
MB
M
f BA
M
f BC
(c) A MABc
M'
C MBAμ B MBCfμ MCBc
M MB
2、解题步骤
（1）在刚结点上加上刚臂（想象），使原结构 成为单跨超静定梁的组合体，计算分配系数。
M12 4 i12φ1 S12 1
M M
13 14
3 i13φ1 S13 1 i14φ1 S14 1
(a)
M13
S13 S
M
μ13 M
M
14
S14 S
M
μ14 M
M15 4 i15φ1 S15 1
M
15
S15 S
M
μ15 M
四、用力矩分配法计算具有一个结点角位移的结构
分配传递 -3.43 -6.86 -6.86 -3.83
无剪力分配法：适于特殊的有侧移刚架。
回顾位移法
求系数和自出项
解位移未知量 计算各杆的杆端弯矩
位移法：附加刚臂承担的约束力矩RIP＝一60(负号表示绕结点 反时针转), 通过转动B点实际位移φ1消去附加刚臂的存有，从 而还原到原结构。
另一种办法消去附加刚臀的存在: 在B点叠加—个反向约束力矩 -RIP＝60 即：固定加放松还原到原结构。 新的问题：反向力矩（-RIP＝60）应该如何分配到BA和BC端 (近端)呢?又应该如何传递到远端（AB,CB)?这就是力矩分配法 要研究的内容。