高中数学选修1-1教学设计-立体几何中的向量方法第一课时

§3.2.1直线的方向向量与平面的法向量

【学情分析】：

教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过这些知识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示，并且用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直的位置关系,可以比较顺利地进行教学.

【教学目标】：

（1）知识与技能：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系.

（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。

（3）情感态度与价值观：开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势.

【教学重点】：

平面的法向量.

【教学难点】：

用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直关系.

【教学过程设计】：

答案：（1）垂直；（2）平行；（3）相交，交角的余弦为

247

2

29

。

四、训练与

提高

1．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果

(2,1,4)

AB=-，(4,2,0)

AD=，(1,2,1)

AP=--

（1）求证：AP是平面ABCD的法向量；

（2）求平行四边形ABCD的面积．

（1）证明：∵(1,2,1)(2,1,4)0

AP AB

⋅=--⋅--=，

(1,2,1)(4,2,0)0

AP AD

⋅=--⋅=，

∴AP AB

⊥，AP AD

⊥，又AB AD A

=，AP⊥平面ABCD，

∴AP是平面ABCD的法向量．

（2）222

||(2)(1)(4)21

AB=+-+-=，222

||42025

AD=++=，

∴(2,1,4)(4,2,0)6

AB AD

⋅=--⋅=，

∴

63105

cos(,)

105

2125

AB AD==

⨯

，

∴

932

sin1

10535

BAD

∠=-=，

∴||||sin86

ABCD

S AB AD BAD

=⋅∠=．

引导学生进行应

用.

对法向量作理解.

巩固以往知识，培

养运算技能.

五、小结1．点、直线、平面的位置的向量表示。

2．线线、线面、面面间的平行与垂直关系的向量表示。

反思归纳

六、作业A，预习课本105～110的例题。

B，书面作业:

1，

2，

练习与测试：

（基础题）

1，与两点和所成向量同方向的单位向量是。

解：向量，它的模

则所求单位向量为。

2，从点沿向量的方向取长为6的线段，求点坐标。

解：设点坐标为，由题设有；

)4,4

,6(

),

5,2,2

(

)1(-

=

-

=v

u

)4,4

,2

(

),

2

,2,1(

)2(-

-

=

-

=v

u

)4

,1,3

(

),

5,3

,2(

)3(-

-

=

-

=v

u

的一个单位法向量。

求平面

已知点

ABC

C

B

A),5,0,0(

),0,4,0(

),0,0,3(

.

),0,1

,1

(

),1,0,1(

,

的大小。

所成的锐二面角的度数

求这两个平面

的法向量分别是

若两个平面

-

-

=

=v

u

β

α

由 可得

。则

，于是所求坐标为

。

3，设直线l ，m 的方向向量分别为)1,0,3(),3,2,1(-==b a ，判断l ，m 的位置关系。 解：因为（1，2，3）（-3，0，1）=0，所以两直线垂直。

4，设平面βα,的法向量分别为)12,6,2(),6,3,1(-=--=v u ，判断平面βα,的位置关系。 解：易知所给二法向量平行，故平面βα,平行。 （中等题）

5，已知空间四点坐标分别为A （1，0，0）、B （1，1，0）、E （1，1/2，1）、F （0，1/2，0），求平面AEF 的单位法向量。 解：

设平面AEF 的法向量为

则有

为平面AEF

的单位法向量。

6，如图所示建立坐标系，有

分别求平面SAB 与平面SDC 的法向量，并求出它们夹角的余弦。

解：因为y 轴

平面SAB ，所以平面SAB 的法向量为

设平面SDC 的法向量为，

由