双曲函数间的关系

双曲正弦
函数名 符号 双曲正弦
表达式 定义域
奇偶性
e x e x 2 (, )
奇函数
单调递增
e x e x lim x + 2 e x e x lim x - 2
shx
单调性
极限
+
-
双曲正弦
函数图像
shx
双曲正弦
值域
(, )
x x e e ' e e ' ( ) (shx) 2 2 chx x x
反双曲余弦
archx
y ln( x x 2 1)
[1, )
单调递增 无
奇偶性
反双曲余弦
值域 导数
[0, )
(archx)
1
'
(ln( x x2 1))'
1 2x (1 ) 2 2 2 x x 1 x 1 1 2 x 1
双曲正切
函数名 符号
表达式 定义域 奇偶性
sh( x y) shxchy chxshy
sh 2 x 2 shxchx
ch( x y) chxchy shxshy
ch( x y) chxchy shxshy
ch2 x ch2 x sh2 x
ch2 x sh2 x 1
sin 2 x 2sin x cos x
双曲函数 间的关系
双曲函数及其性质
双曲正弦
hyperbolic sine
e x e x shx 2 e x e x chx 2
双曲余弦
hyperbolic cosine
双曲正切
shx e x e x hyperbolic tangent thx x x chx e e
'
(, )
1 1 1 x (1 x) (1 x) 2 2 1 x 2 1 x (1 x)
双曲函数的图像
chx
e
x
ex
s hx thx
双曲函数的图像
chx
x
e 2
e 2
x
thx s hx
双曲函数间的关系
sh( x y) shxchy chxshy
1
-1
双曲正切
函数图像
thx
双曲正切
值域 导数
(1,1)
' ' shx ( shx ) chx shx ( chx ) ' (thx)' ( ) 2 chx ch x
1 ch x sh x 2 2 ch x ch x
2 2
双曲正切的反函数
e x -e x y x x e e e y -e y x y e e y
u e y 0,()舍去
y ln( x x2 1)
e y =x+ x2 1
x (, )
双曲正弦与反双曲正弦的图像
shx arshx
反双曲正弦
函数名 符号
表达式 定义域 奇偶性
反双曲正弦
arshx
y ln( x x 2 1)
(, )
奇函数
单调性
双曲正切
thx
e x e x e x e x (, )
奇函数
双曲正切
单调性
e x e x e x e x
单调递增
2e x 2 1 x x 1 2x e e e 1
极限
e x e x lim x + e x e x
e x e x lim x - e x e x
1 1 x ln 2 1 x
双曲正切与反双曲正切的图像
arthx thx
反双曲正切
函数名 符号
表达式 定义域 奇偶性
反双曲正切
arthx
y 1 1 x ln 2 1 x
(1,1)
奇函数
单调性
单调递增
反双曲正切
值域 导数
1 1 x ' 1 1 (1 x )' (arthx) ( ln ) 2 1 x 1 x 2 1 x 1 x ' ' 1 1 x (1 x) (1 x) (1 x)(1 x) 2 2 1 x (1 x)
cos 2 x cos2 x sin 2 x
sin( x y) sin x cos y cos x sin y
sin( x y) sin x cos y cos x sin y
cos( x y) cos x cos y sin x sin y
cos( x y) cos x cos y +sin x sin y
cos2 x+sin 2 x 1
ue
y
u 2 2 xu 1 0
2 x 4 x2 4 u 2
x x2 1
e y =x+ x2 -1
x [1, )
u e y 1,()舍去
y ln( x+ x2 -1)
双曲余Hale Waihona Puke Baidu与反双曲余弦的图像
chx
archx
反双曲余弦
函数名 符号
表达式 定义域 单调性
因为函数为偶函数，所以只需讨论 [0, ) 上的情况. 设 0 x1 x2 ,
x2 x2 x1 x1 e e e e 1 则 = （(e x2 e x1）（ e x2 e x1）） 2 2 2 x1 x2 1 1 1 x2 x1 1 e e x x = （(e e ）（ x2 x1 ）） = （(e 2 e 1） x1 x2 ） 2 e e 2 e e
令 u ey
( x (-， +), y (-11)) ， ( x (-11), ， y (-， +))
1 u u =x 1 u u
2
u2 1 =x 2 u 1
1 x u 1 x
x (1,1)
(1 x)u x 1
2
1 x u 1 x
1 x y ln 1 x
1 x2 1 x1 = (e e ）(1- x1 +x2 ） 0 2 e
[0, ) (,0]
单调递增 单调递减
双曲余弦
函数图像
chx
双曲余弦的反函数
e x e x y 2 e y e y x 2
令
( x 0, y 1) ( x 1，y 0)
u 1 2x u
单调递增
反双曲正弦
值域 导数
(, )
(arshx)
1
'
(ln( x x2 1))'
1 2x (1 ) 2 2 2 x x 1 x 1 1 2 1 x
双曲余弦
函数名 符号
表达式 定义域 奇偶性
双曲余弦
chx
e x e x 2 (, )
偶函数
双曲余弦的单调性
导数
双曲正弦的反函数
e x e x y 2 e y e y x 2
令 ue
y
( x (-， +), y (-， +)) ( x (-， +), y (-， +))
u 1 2x u
u 2 2 xu 1 0
2 x 4 x2 4 u x x2 1 2