完整版第7讲分式方程和无理方程的解法

第七讲分式方程和无理方程的解法

初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法. 本讲将要学习可化为一元 .次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法•并且只要求掌握 的分式方程的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；

(2) 了解无理方程概念,

、可化为一元二次方程的分式方程

1 .去分母化分式方程为一兀二次方程

分析：去分母，转化为整式方程.

解：原方程可化为:

1 4x

x 2 (x 2)( x 2)

2

方程两边各项都乘以 x 4 :

(x 2) 4x 2(x 2) x 2

4

2

2

即3x 6 x 4 , 整理得：x 3x 2 0

解得：x 1或x 2.

能产生的增根，就是使分式方程的分母为 0的根.因此我们只要检验一元二次方程的根， 是 否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为 0•若为0，即为增根；若不为 0,即为原 方程的解.

2 •用换元法化分式方程为一元二次方程

2

x

2

【例2】解方程(

)

x 1

把x 2代入x 2

4 ，等于0,所以x 2是增根.

所以，原方程的解是 x

1

说明：

(1)去分母解分式方程的步骤：

①把各分式的分母因式分解；

②在方程两边同乘以各分式的最简公分母；

③去括号， 把所有项都移到左边，合并同类项；

④解一兀二次方程； ⑤验根.

4，不等于0，所以x 1是原方程的解;

(2)验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大•而分式方程可

(1)不超过三个分式构成

【例1】解方程

1

F_2

4x 2 x 2 4 x 2

检验：把x 1代入x 2

分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，

解方程很困难•但注意到方程的结构

2

特点，设y ，即得到一个关于 y 的一元二次方程•最后在已知 y 的值的情况下，用

x 1

..5

2

检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为

1 CE

所以，x 2 , x

都是原方程的解.

2

说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出 y 的值, 的值.

(1)当y 1时，

2

x 2x 1 2

小

x 2x

2 .

x 1

x

1 ；

;

2

2

x 1

3

⑵当y

2

x 2

2x

3

8x 2

16x

2 2

3x 3 5x

16x 3 0 x 3或 x

~

8

x 1 8

5

检验：把把各根分别代入原方程的分母， 各分母都不为 0.

去分母的方法解方程

2

x

y

•

2

x

解：设 -

x

y ，则原方程可化为:

2 小

y 3y

解得

(1)当

2

4时，-x

4 ,去分母, x 1

得x 2

4(x 1)

x 2

4x 4 ⑵当

而没有求到原方程的解，即x

【例3】解方程

8(x 2 2x) x 2 1

3(x 2 1)

x 2 2x 11 •

分析：注意观察方程特点，可以看到分式

2

小

x 2x_

— 与

x 1

2

x 2

x

1

1

互为倒数•因此,

可以设

2x

x 2 2x

x 2 1

y ，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程.

解:

2x 1

x 2 1 x 2 2x

原方程可化为：8y -

11 y

2

8y 11y 3

1 1

所以，原方程的解是x,x 3, x

2 5

说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程, 体现了化归思想.

、可化为一元二次方程的无理方程

根号下含有未知数的方程，叫做无理方程.

1•平方法解无理方程

【例4】解方程,x 7 x 1

分析：移项、平方，转化为有理方程求解.

解：移项得：.x 7 x 1

两边平方得：x 7x2 2x 1

移项，合并同类项

x2x 6 0

得：

解得：x 3或x2

检验：把x 3代入原方程，左边右边，所以x 3是增根.

把x 2代入原方程，左边=右边，所以x 2是原方程的根

所以，原方程的解是x 2.

说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：

边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根.

【例5】解方程、3x 2 3

分析：直接平方将很困难. 可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再

用例4的方法解方程.

解：原方程可化为：3x 2 3

两边平方得：3x 2 9 6.. x 3x3

整理得:6.x 314 2x 3.x37x

两边平方得：9(x3) 49 14x 2 x

整理得 2 x23x22 0 ,解得：x1或x 22.

检验：把x1代入原方程，左边=右边，所以x 1是原方程的根

把x22代入原方程，左边右边，所以x 22是增根.

所以，原方程的解是x 1 .

说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：

①移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的