复数的概念

数系的扩充和复数的概念

[学习目标] 1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.

知识点一复数的引入

在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋b i(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋b i(a，b∈R)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C＝{a＋b i|a，b∈R}，称i为虚数单位.

思考(1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25. (2)虚数单位i有哪些性质？

答案(1)在有理数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5).

在实数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)

＝(x2＋5)(x＋5)(x－5).

在复数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)

＝(x2＋5)(x＋5)(x－5)

＝(x＋5i)(x－5i)(x＋5)(x－5).

(2)虚数单位i有如下几个性质：

①i的平方等于－1，即i2＝－1；

②实数与i可进行四则运算，并且原有的加法、乘法运算律仍然成立；

③i 的乘方：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *). 知识点二 复数的概念、分类

1.复数的有关概念

(1)复数的概念：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈R ，i 叫做虚数单位.a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部.

(2)复数的表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i.

(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C 表示.

2.复数的分类及包含关系

(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩

⎪⎨⎪⎧ 实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)

(2)集合表示：

思考 (1)两个复数一定能比较大小吗？

(2)复数a ＋b i 的实部是a ，虚部是b 吗？

答案 (1)不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小.

(2)不一定，对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，实部才是a ，虚部才是b . 知识点三 复数相等

复数相等的充要条件

设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .即它们的实部与虚部分别对应相等.

思考 (1)若复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ).z ＝0，则a ＋b 的值为多少？

(2)若复数z 1，z 2为z 1＝3＋a i(a ∈R )，z 2＝b ＋i(b ∈R )，且z 1＝z 2，则a ＋b 的值为多少？

答案 (1)0；(2)4.

题型一 复数的概念

例1 写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.

①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.

解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，

是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数.

反思与感悟 复数a ＋b i(a ，b ∈R )中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部.

跟踪训练1 下列命题中，正确命题的个数是( ) ①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；

③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0.

A.0

B.1

C.2

D.3

答案 A

解析 ①由于x ，y ∈C ，所以x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符

合复数相等的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0成立，所以③是假命题.故选A.

题型二 复数的分类

例2 设z ＝12

log (m －1)＋ilog 2(5－m )(m ∈R ).

(1)若z 是虚数，求m 的取值范围；

(2)若z 是纯虚数，求m 的值.

解 (1)因为z 是虚数，故其虚部log 2(5－m )≠0，

m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧

m －1＞0，5－m ＞0，

5－m ≠1，解得1＜m ＜5，且m ≠4. (2)因为z 是纯虚数，故其实部12log (m －1)＝0，虚部log 2(5－m )≠0，

m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝1，5－m ＞0，

5－m ≠1，解得m ＝2.

反思与感悟 将复数化成代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，根据复数的分类：当b ＝0时，z 为实数；当b ≠0时，z 为虚数；特别地，当b ≠0，a ＝0时，z 为纯虚数，由此解决有关复数分类的参数求解问题. 跟踪训练2 实数k 为何值时，复数z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.

解 由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i.

(1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，即k ＝6或k ＝－1.

(2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.

(3)当⎩⎨⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0

时，z 是纯虚数，解得k ＝4. (4)当⎩⎨⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1.

题型三 两个复数相等

例3 (1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值.

(2)关于x 的方程3x 2

－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值. 解 (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，

∴⎩⎨⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝－1.

(2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为

3m 2

－a 2m －1＝(10－m －2m 2)i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，

解得a ＝11或a ＝－715.

反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后