关于麦克斯韦方程组的讨论_陈俊华

1864 年 12 月 8 日 , 麦克斯韦(1831 年 ～ 1879 年)在英国皇家 学会宣读他的总结性论 文《电磁场的动力学理论》 .这篇重要论文后 来发表在 1865 年的英国皇家学会会报上 .这 篇文章总结了他十年来 的研究成果 , 其中第 三部分是“电磁场的普遍方 程 , ”列 出了描述 电磁现象的 20 个方程 , 其中包括了我们今天 所熟悉的麦克斯韦方程组的分量形式 .
DISCUSSION ON MAXWELL EQUATIONS
Chen Junhua
(Puyang Education College, Henan 457000)
Abstract This article introduced the origin , statement and importance of Maxwell equations .It is useful to the teaching of Maxwell equations . Key Words Maxwell equations ;electromagnetic field
是描述各点的电磁场的方程组 .
2 .2 麦氏方程组的积分形式
∮D ·d S = q S
∮ ∫ E ·dl =-
L
S
B t
·
dS
∮B ·dS =0 S
∮ ∫ H ·dl =
L
S
j+
D t
· dS
值得注意的是 , 当有介质时 , 需要补充三
个描述介质性质的方程式 .对于各向同性介质 来说 , 有 :
n ·(D2 -D1)= σ n ×(E2 -E 1)=0
n ·(B 2 -B1)=0 n ×(H2 -H1)= i 式中 n 是 交界面法线 方向上的 单位矢 量 , 方向从介质 1 指向介质 2 ;σ为交界面上 自由电荷的面密度 ;i 为交界面上传导电流的 面密度 .
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物理与工程 Vol .12 No .4 2002
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物理与工程 Vol .12 No .4 2002
关于麦克斯韦方程组的讨论
陈俊华 (濮阳教育学院 , 河南 濮阳 457000)
(收稿日期 :2002 -05 -13)
摘 要 本文讨论了麦克斯韦方程组的来龙去脉 、形式和地位 , 对麦克斯韦方程组的 教学具有一定的参考价值 .
关键词 麦克斯韦方程组 ;电磁场
又因
·E =ρ/ ε0 , μ0 ≠0
故
·j + ρ t =0(电荷守恒定律)
我们知道电荷守 恒定律是普遍成立的 ,
现在我 们从麦 氏方程 组导 出了电 荷守恒 定
律 , 这就说明了麦克斯韦方程组的正确性 .
3 .2 由麦克斯韦方程组可导出电磁 场波动
方程
在自由空间中 , 电场和磁场互相激发 , 电
麦克斯韦方程组的出世是 19 世纪的物理 学上登峰造极的成就 , 意义非常重大 .著名物 理学家费曼说得好 :“从人类历史的漫长远景 来看 ———比如 一万年 之后回 来看 ——— , 毫无 疑问 , 在 19 世纪中发生的最有意义的事件将 判定是麦克斯韦对电磁定律的发现” .麦克斯 韦方程组指明了电磁场运动变化所遵从的基 本规律 , 它和洛 仑兹力公式以及电 荷守恒定 律一 起构成 了经 典电 磁现象 的完 整理 论基 础 .尽管在高速运动的条件下要考虑电磁场
磁场的运动规律是齐次的麦克斯韦方程组(ρ
=0 , j =0 情形):
×E
=-
B t
×H =
D t
·D =0
·B =0
为 简便计 , 我们讨 论在真 空中的 情形 .
在真空中 , D =ε0 E , B =μ0 H .取麦氏方程 组的第一式的旋度并利用第二式得 :
×( ×E)=- t
×B =-μ0ε0
他的推广 有两个方面 :其一是假 定变化 的电场(位移电流)产生磁场 , 从 而把安培环 路定理加以推广 , 使之包括位移电流 ;其二是 假定变化的磁场产生 电场 , 从而 把法拉第电 磁感应定律由导体回路中产生感应电动势推 广到一般情况 .
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的变换关系(狭义相对论), 在微 观领域里要 考虑量子化效应 , 但作为电磁场 的普遍规律 的麦克斯韦方程组 , 其形式仍然成立 .因此 , 在学习麦氏方程组时 弄清其来龙去 脉 、形式 和地位是很重要的 .本文就这些问题做一讨 论.
1 麦克斯韦方程组的来源
麦克斯韦 是在前人的基 础上 , 把 由实验 得出的电磁学规律加以总结和推广而得出他 的方程组的 .
2E t2
(1)
用矢量分析公式及 ·E =0 得 ×( ×E)= ( · E)- 2E =- 2E
代入(1)式得电场 E 的偏微分方程
2 E -μ0 ε0
2E t2
=0
(2)
同样 , 在麦氏方程组中消去电场 E , 可得
磁场 B 的偏微分方程
2 B -μ0 ε0
2B t2
=0
(3)
令 c=
1 μ0ε0
,
则
E
和B
的方程可写为
2 E -c12 2 B -c12
2E t2
=0
2B t2
=0
(4)
(4)式为波动方程 , 其解包括各种形式的电磁
波 , c 是电磁波在真空中的传播速度 , 也是真
空中的光速 , 麦克斯韦由此预言光是电磁波 ,
该预言为以后的实验所证实 , 这就将光和电
磁现象统一起来了 .
此外 , 我们还可由麦氏方程 组导出电磁
了解它的重要地位 , 我们通过下面几 个具体
问题加以说明 .
3 .1 由麦氏方程组可导出电荷守恒定律
由麦氏方程组可知 :
×B =μ0 j +μ0ε0
E t
(在真空
中),
Hale Waihona Puke Baidu
取
此式的散度得
·( ×B)= μ0 · j +μ0 ε0 t ( · E)
因为
·( ×B)≡0
所以 μ0 ·j +μ0ε0 t ( ·E)=0
场的能量密度 , 定义电磁波传播的能流密度 .
这些问题使我们认识到电磁 场具有能量 , 同
时加深我们对电磁场物质性的认识 .
参 考 文 献
[ 1] 郭硕鸿 .电动力学 .第 1 版 .北京 :人民 教育出版 社 , 1979 年
[ 2] 张之翔等编 .电动力学 — 提纲·专题·例题 .气象 出版 社 , 1988 年
3 麦克斯韦方程组的地位
麦克斯韦方程组 是一个完整的方程 组 ,
这就是说 , 只要给定源分布(即给定电荷的分
布及其运动状态)以及初始条件和边界条件 ,
在理论上 , 麦克斯韦方程组就可以唯 一地确
定电磁场在以后任何时刻的状态 .所以麦克
斯韦方程组在电磁现象中的地位就如同牛顿
定律在经典力学中的地位一样 .为帮助大家
D = εrε0 E B = μr μ0 H
j = σE 式中 εr 、μr 和 σ分别是介质的相对介电 常数 , 相对磁导率和电导率 .j =σE 是欧姆定 律的微分形式 . 2 .3 麦克斯韦方程组在边 界上的形式 ———
边值关系 在两种介质的交界面上 , 由 于介质的性 质发生突变 , 微 分形式便不能用 .这时一般 都用积分形式推导出一组关 系式来 , 叫做边 值关系 .形式如下 :
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麦克斯韦方程组的来源如下图所示 .
2 麦克斯韦方程组的形式
2 .1 麦氏方程组的微分形式
·D =ρ
×E
=-
B t
·B =0
×H
=j +
D t
式中 ρ是自 由电荷的体密 度 , j 是传 导
电流密度 ;Dt 称为位移电流密度 .通常所说 的麦克斯韦 方程组 , 大多指其微分 形式 .它