例说渗透数学思想方法的误区及思考

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会做错？原来，在高一的时候，笔者例举了这样的一道题： “求函数 y = x +xx + 1 的值域.” 该题运用上面的方法，结论完全正确！学生当然“牢记在心” ，案例 2 的解法错误也就在所 难免了！实际上，所谓的“ ∆ 判别法”完全是方程思想方法中的一种“有条件限制”的“小 法” ，由于经验不足，没有看清方法后面所蕴涵的思想，以偏概全而对学生产生了误导. 近年来，笔者听了不少年轻老师的课，多多少少能够“看到”自己成长过程的“影子”. 即在数学思想方法的处理上，往往过于微观，只见树木，不见森林.看来，一个数学教师要 很好地进行数学思想方法的渗透,首先必须对方法后面的数学思想有深刻的理解，努力提高 数学修养. 3 各行其是 一个数学问题往往蕴涵着多种数学思想方法， 它们可能相互依存， 我们不能人为地割裂， 应该相互协调，综合渗透，否则将陷入各行其是的误区. −x 案例 3 解不等式 x + 1 >0 1+ x
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这是笔者在教学中使用过的一个数学问题，按照现在的考试形势，似乎不太合时宜，但 是笔者觉得以前在讲授该题的经历颇能说明问题.刚上无理不等式解法时，学生在一份课后 练习中遇到这个问题，由于练习很多，笔者没有多思考，就把答案报给学生，并且提示学生
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x2 +1
采用去分母化为无理方程，即化为 x 1 + x > x − 1 的形式，认为学生应该能够完成，加 上教学任务紧，就没有继续和学生探究下去了.到后来的专题复习的时候，笔者备换元法的 运用一课时，又将这个问题作为一个引题提出，想让学生体会换元法的好处.于是，笔者先 让 学生做一 下 （ 估 计他们会 采 用 去 分 母 的方法），结果发现相当一部分学生化到 x 1 + x > x − 1 后，没有讨论而直接两边平方去根号.显然，学生的分类讨论思想还没有 掌握好！ 无理不等式化为有理不等式的过程蕴涵着分类讨论思想的运用， 在处理这个问题上， 笔者的第一次教学没有做好这方面的工作.由于前面的工作没有做好，需要对分类讨论思想 的运用进行弥补，导致换元法专题课的任务不能完成. 现在笔者在反思：是否有必要开换元法的专题课？以后在数形结合专题课中再将本例 −x 拿 出？（本例可以 利 用 换元 u = 2 x , v = 1 u + v = 1 ，而原不 等式 化为 x +1 x +1 ， u + 2v > 0 然后利用数形结合解之）.笔者也遇到过一些教师开设思想方法专题课，如： 数形结合专题；函数思想运用专题；方程思想运用专题；…….在上课的时候，教师不外乎 例举一些可以利用本节课的思想方法能够“占便宜”的例子.笔者在听课的时候想：教师已 经提出主题了， 学生的思维导向肯定是会想到教师的例子或课堂练习都应该使用这种思想方 法来进行的，可一到茫茫的题海中，没有任何提示，学生会想到吗？学生会想到采用哪些思 想方法是最佳的途径呢？一些数学问题往往需要多种思想方法的有机结合才能解决 （如本例 就融合了分类讨论、换元、数形结合等思想方法，要采用数形结合法，换元法的铺垫作用就 显得重要）.因此，笔者认为，数学思想方法应该在平时有意识地进行综合渗透，我们要经 常将各种思想方法在同一个数学问题中同时出现让学生去体验、去选择，提高他们在问题解 决各环节中捕捉最佳方法的敏感性.适度对某个思想方法系统讲解和渗透虽然必要，但不宜 过于分开，导致思想方法之间的割裂现象，否则对学生的思维灵活性培养不利. 4 急于求成 数学思想方法的渗透需要一个漫长的过程，教师的教学手段应该符合学生的认知规律， 否则欲速则不达. 案例 4 已知 f ( x) − 2 f ( 1 ) = x ( x ≠ 0) ，求函数 f ( x) 的表达式. x 在函数概念课上好后，笔者补充了这么一道题.原想通过这道题渗透函数的对应思想， 可是学生竟然毫无反应.笔者只能尴尬地将解题过程展示：用 1 替代等式中的 x ，得到等式 x 1 1 1 f ( ) − 2 f ( x) = ，没想到这时就有一个学生提出： “ 已知等式 是对 x 而言的，怎么对 也 x x x 成立？”笔者解释说： “已知的等式对一切非零实数 x ，当然对 x 的倒数 1 也成立.”只见学 x 生一个个紧锁眉头，一副似懂非懂的表情.当笔者采用消元法将已知式子与所得到的式子消 去式子中的 f ( 1 ) 的时候，刚开始发言的学生又站起来： “老师，这两个式子中的 x 怎么会 x 是 一 样 呢 ？ 除 非 x = ±1 ， 它 们 才 一 样 ！” 笔 者 只 能 再 次 强 调 已 知 等 式 1 1 f ( x) − 2 f ( ) = x ( x ≠ 0) 是一个恒等式，采用 来替换 x ，当然两个式子中的 x 可以是一 x x
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方法的同时，也不能忽视基本方法的掌握，……” 本节课给笔者一个反思：在渗透数学思想方法方面，应该有一个主次之分，教师要根据 教学任务的需要，有所侧重.记得刚开始工作不久，经常有学生提供出乎自己意料之外的方 法，导致其他学生“眼睛一亮” ，就忽略了基本思想方法的掌握，有时连笔者也替学生高兴 而忽略基本思想方法的渗透.在测试中经常发现一些提供“巧解”的学生，连基本的思想方 法都没有掌握.一次，一个平时成绩较好的学生考砸了，笔者问其缘故，他说： “有几道题想 用好办法来解决，想了很长时间，结果时间耽搁了.”看来，如何把握时机，有计划地渗透 数学思想方法方面，我们教师还有好多问题可以研究. 2 以法代想 数学方法是数学思想的具体体现，数学方法后面常蕴涵着丰富的数学思想，数学思想往 往具有宏观的一面，而数学方法则在具体问题中体现，往往具有微观的一面.有些数学方法 是数学思想中的一部分，是数学思想在某个具体问题的运用，如果我们不注意，往往会犯以 法代想、以偏概全的错误，导致对学生的误导.
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致的，只见个别学生点头，其余学生一团雾水，看着他们的迷茫神态，笔者心里也感到不是 滋味： “怎么连这么简单的代换思想也不懂呢？” 这是笔者参加工作不久的一个教学片段.现在想起来， 当时犯了急于求成的毛病.函数思 想一直在中学数学中是一个重要思想，采用映射的思想观点理解函数本身就是一个难点，更 何况学生还刚开始学习函数的现代概念，不理解也在情理之中.又如反证法思想，学生也一 下子难以掌握到位.笔者曾经在八十年代对高一刚入学的学生做过摸底， 出过这么一个问题： “将一条长度为 3 米的绳子任意剪成三段.求证：至少有一段的长度不小于 1 米.”结果只有 不到 10%的学生能够叙述清楚！看来，我们以为很自然的思想方法，学生理解起来需要一个 过程，我们必须经常站在学生的角度好好掂量掂量（经常回顾自己中学时期和同学在学习数 学时的情景或许对我们教学有帮助） ，千万不能操之过急！记得笔者曾经听过一个年轻教师 在上一节新授课， 课堂上这个年轻教师列举了一个前一年的高考综合题， 课堂效果并不理想. 笔者问他： “为什么要例举这个综合题？”他说： “这个问题很好，里面体现了多种思想方法， 我想从现在开始，将高考题中的思想要好好在他们中间渗透渗透，哪怕现在他们还听不懂！ ” 笔者反思： “这种渗透数学思想的策略与意识无可厚非，但是让学生听不懂，我们是否太操 之过急了？这只会给学生产生“数学难学”想法的后遗症，无形中给他们增加心理压力和恐 惧心理，不利于学生对数学的学习.”学生的生理、心理发展的局限性，导致他们的数学思 维发展也有一个逐步的过程，如果我们不顾学生的思维特征，将一些所谓的数学思想方法强 加给他们，恐怕是拔苗助长，美国的“新数运动”失败就是一个典型的教训. 那么，我们应如何逐步渗透数学思想方法，同时又不犯急于求成的毛病呢？笔者认为， 首先要恪守课程标准的要求.因为课程标准是专家们进行了专门研究的且具有学术权威的纲 要，具有一定的可执行信度.当然，在条件允许的情况下，我们进行一些尝试也未尝不可， 但必须把握好度；其次，教师必须积累经验，尽量让学生经历从浅显到深化的过程，有梯度 地、有步骤地渗透数学思想方法，要从长远的角度来审视我们自己的做法. 数学思想的渗透应贯穿于数学学习的每一阶段， 前呼后应,避免一些不必要的误区.通过 数学思想的渗透使学生的思维立足点更高一些，用更广的视野去审视问题，提取信息，迁移 知识，寻找最佳策略方法.当然，感悟数学思想以解决数学问题，仅仅是我们教学目标的一 小部分，真正的价值应体现在“以人为本”的教育思想上，发挥数学思想在人的综合素质形 成过程中的基奠作用，进而实现其在解决实际问题中的使用价值.
− 2x − 3 的值域. 案例 2 求函数 y = x x − 3x − 4 这是笔者带第一轮高三的一道复习题，相当部分学生的做法是这样的：将函数化为 ( y − 1) x − (3 y − 2) x − 4 y + 3 = 0 . 当 y = 1 时 ， x 有 解 ； 当 y ≠ 1 时 ， ∆ = (3 y − 2) − 4( y − 1)(−4 y + 3) = (5 y − 4) ≥ 0 ，所以 x 也有解.因此，该函数的值域为 R. （学生的错误在于没有考虑函数的定义域，本题的一种正确解法是将函数化为 x−3 4 ( x ≠ −1) ，故其值域为 y | y ∈ R, y ≠ 1, 且y ≠ ）笔者在纳闷：为什么学生都 y= x−4 5
数学思想和数学方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、 发展和应用的过程中.如何让学生感悟数学思想方法，占据数学思维的制高点，在更高层次 上审视和解决数学问题，是每个数学教师非常关注的话题.根据笔者从事二十多年的数学教 学经验，认为在渗透数学思想方法方面，常会陷入一些误区.以下笔者将感受较深的四点略 作陈述，并相应提出几点思考或建议，望方家斧正. 1 主次不分 数学思想方法融于数学知识中， 一些学者甚至认为数学思想方法就是数学知识的一个组 成部分.可以这样认为，每一个数学概念、公式、定理、法则乃至每一个数学问题的后面都 蕴涵着丰富的数学思想，是构造新的数学平台的方法和策略的具体体现.但是，数学思想方 法的渗透应该具有层次性， 一种思想方法的渗透不能越俎代庖冲淡另一种本应该着重渗透的 思想方法，导致主次不分. 案例 1 等差数列 {a }的前 n 项和为 S ，若 a > 0, S = S .问 n 为何值时， S 最 大？ 这是笔者在等差数列这一单元小结课的一个例题，目的是把 S , S 用前 n 项和公式代 入，寻找基本元 a , d 的关系，即体现化归思想.在课堂上，笔者问： “从条件中你们获得什 么信息?”没有想到学生甲举手： “将等差数列前 n 项求和公式 S = na + n(n2− 1) d 看成是 一个关于 n 的二次函数，它的图象是一条抛物线，从 S = S 可以看出抛物线的对称轴是 直线 x = 19.5 ，所以 S = S 最大.” “怎么办？”笔者的脑子迅速运转（学生甲数学成绩 一直优秀，课外参考书看了很多）.笔者看到学生乙在抓耳挠腮，于是问学生乙： “你听懂了 吗？”学生乙回答： “听是听懂了，可是他怎么想到这种方法的？真佩服！ ”笔者乘机问： “你 是怎么想的？” “我是想代求和公式，把 a , d 的关系找出来.”笔者环视教室： “有这个想法 的同学请举手！ ”结果有三分之二的学生举手了，出乎意料的是学生甲也在其中！于是，笔 者问甲： “你为什么举手？”学生甲说： “数列也是一种函数，利用图象解的方法确实快，但 似乎对本题适合，如果条件改为 a > 0,2S = 3S ，恐怕就没辙了！还是乙同学的方法比 较基本，我刚开始也是这么想的！ ”笔者松了一口气，学生甲替老师解围了！于是就总结到： “在解决数学问题的时候，一要重视基本方法的运用；二要具体问题具体分析.在把握最佳
例说渗透 例说渗透数学思想方法的 渗透数学思想方法的误区及 数学思想方法的误区及思考 误区及思考
季龙侯 （浙江温洲市第二高级中学 325000） 摘要：数学思想方法历来受到数学教师的重视，结合自己的教学经历，以例子的形式来说明我们在渗透数 学思想方面的四个常见误区，在把握渗透数学思想方法的侧重点、避免“想”与“法”不协调现象、注意 各种思想方法的有机结合以及如何把握时机而不能操之过急等方面提出一些建议或思考. 关键词：例说；渗透；数学思想方法；误区；思考